Skip to main content

Full text of "Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern"

See other formats


BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET 

Graduate Library 
University of Michigan 

Preservation Office 

Storage Number: 



AAX2762 

ULFMTBRTaBLmT/C DT 07/15/88 R/ DT 07/15/88 CC STATmmE/Ll 

035/1: : | a (RLIN)MIUG84-B60540 
035/2: : | a (CaOTULAS)160297297 
040: : |aMiU |cMiU 

100:1: | a Leibniz, Gottfried Wilhelm, | c Freiherr von, |d 1646-1716. 
245:04: | a Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. 
| c Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen 
Akademie der Wissenschaften, j n Erster Band. 
260: : |a Berlin, | b Mayer & Müller, |cl899. 
300/1: : | a xxviii, 760 p. | b diagr., facsim. |c25cm. 
500/1: : | a No more published. 

505/2:0 : | a Vorwort.— Briefwechsel zwischen Leibniz und Oldenburg, Newton, 
Collins, Conti. 1670-1716.— Briefwechsel zwischen Leibniz und Ehrenfried 
Walther von Tschirnhaus. 1676-1706.— Briefwechsel zwischen Leibniz und 
Christiaan Huygens 1673 (?)-1695. 

650/1: 0: | a Mathematicians | x Correspondence, reminiscences, etc. 
700/1:1: | a Gerhardt, Karl Immanuel, |d 1816-1899, |eed. 
998: : I c KLB I s 9124 



Scanned by Imagenes Digitales 
Nogales, AZ 

On behalf of 

Preservation Division 

The University of Michigan Libraries 



Date work Began: _ 
Camera Operator: . 



&er ^Meftoe^fel 



üon 



iottfwb IDüljdnt ftilmij 

mit 9Katl)ematifem. 



$erau§cjege&ett 



<&. 3. Qnrtjatät 



9Jcit Unterftü$uttg ber Röntgt, *ßreuf}tfd)en ?Ifabemte ber äÖijjenf^afteix, 



(Elfter »mtfc- 

Sfött einem p'fjotograpfitfdjen gacfimile. 



Berlin, 

atjer & WlütUx. 
1899. 



^ex ^xiefwe^fel 



von 



mit ITfatfyemattfem. 



grfto Sstottb. 



3)er Meftoedjfel 



öon 



©ottfrieb ttlilljdtn Cdtmi^ 

mit 9KatI)ematifem. 



§ et ausgegeben 



DÜtl 



€, 3. Gerl)arM< 



SJitt ituterftütmng ber Röntgt, ^reufjifdjen Slfabemie ber 333tf f etif d^ af ten . 



Mit einem pljoiograpfjifdjcn gac[tmt(e. 



a tj e r & SM 11 e r. 
1899. 



per <$&ömgl'tc$ l^reugifct^n 

jlkrifiif kt f iffcnfdjttftftt 

in Berlin 
jum 3tpett]un6crtjät)ci$cn StiftungsOubtläum 

getoibmet. 



SBon ben ©orrefponbettäen, ' bte unter Seibniä' SUtonufcripten' auf 

ber Äömgtidjen 33ibtiotljef in £>anno»er ficf) »orfinben, ift eine ber 

umfangreichen unb nridjtigfteu bte mit Sftatljematifera. ©ie beginnt 

mit hen erften hriffenfc^aftlidjen ©tubien SeibnijenS unb bauert fein 

ganges Sehen l)inburd). ©r richtete, als er ben SDrang füllte, in 

bie geteerte SBett einzutreten, an bte fyeröorragenbften SMmer ber 

SBtffenfdjaft in (Snglanb, ^ranfreid), £>o((anb, ®eutfd)(anb Briefe, in 

melden er feine $been entmidette. 3)iefe Briefe an 3 ber früfyeften 

miffeufdjaftlidjen SÖfjcitigfeit ßetbm§en§ fiub »ou befonberer SBidjttgfett, 

infofern barm ber Urfprung ber großen miffenfd)aftlid)en Probleme 

fidj finbet, bereu ßöfung er fein ganzes Sehen Ijinburd). »erfolgte. 

@o setgen fidj in feinen früljeften Briefen bereits bie erften $been ber 

Olmracteristica realis, einer ^eidjenfpradie, bie burd) 3etd)en auf 

bie uatürlidjfte SBetfe ■ ben S3egrtff auSbrüdt unb baburdj gugfeid) ben 

^ortfdjritt ber Söiffenfdjaft »ermittelt, groben ba»ou l)at ßeibnig 

fyfiter auf bem ©ebiet ber 9ftatl)ematif gegeben ; ber »on iljm gefuu= 

bene SC(goritt)muS ber t)öt)ereu StnaltjfiS geigt baS auSgejeidjuetfte 

23etftriel. S)iefe brieflichen SJättljeUungen erhielten einen größeren 

Umfang, als Sei6ni§ feit 1676 feineu äBoljnftfc in ^aunooer naljnt; 

er fitste bie miffenfd)afttid)e (Sinfamleit, in ber er fiel) bort be* 

fanb, burd) bie fteifjigfte unb ausgebreitete Sorrefponbenj ju »er- 

fäjeudjeu. $a feit feinem Slnf enthalt in $ariS (1672—1676) bie 

ilJlattjemati! fein SiebtingSftubium in einem tjöljeren ©rabe geworben 

mar, fo »erlaubte er befoubere (Sorgfalt auf feine (Sorrefponbenj 

i 



VIEL 

mit SJiatfyematifern. ©ie geftmnn eine aufjerorbetttttdje 3unat)me feit 
1684, in welkem $at)re Seibmj bie @infüt)rung be§ 2IIgoritt)mu3 ber 
Pieren StnattjfiS befanttt machte. ®aburct) bafj bie neue Stedjnnng 
in ben fotgenben $ctf)ren atttnäljltd) attfeittg at§ guöertctfftg anerlannt 
mürbe, nnb baf; jie namentlich in ber 25et)anblttng be§ großen, bereits 
oon (Mitäi öorgetegten Problems ber ßettenlinie auf ba§ ectatan- 
tefte fid) bewährte (1691) — baburct) mürbe iljr ©rfinber fieibnig 
ber ©eutrafyuuft, an ben bie gleid^eitigen Sftatljematifer it)re WlxU 
Leitungen richteten. $itx%\i fommt, baf? Seibntj in feinen Briefen 
ntdjt feiten Zfyeoxien §ur ©pradje bringt, bk er nxäji metter üeröffenfc 
tidjt Ijat; e§ fei Ijter nur bie Sluflöfuug ber ©leidiungen mittelft 
ber Determinanten ermähnt, bereu erfte Sfttfftettmtg nnb Stntnenbung 
auf üjn jurücfgufü^reit ift. ©o ift Seibut^ matfjematifdje (£orrefpon= 
ben% nid)t nur für feine Söürbigung afö WaÜjematiiev oon ber t)öd)ften 
SBtdjttgfett, fie bilbet and) bie ©ruubtage für bie ©efdjtdjte ber 
aWat^etnatil in ber gleiten Raffte beg 17. nnb für bie erfteu $atjr§e()nte 
be§ 18. $af)rt)unbert§. $nfoferu ift bie üottftctnbige Seröffenttidjung 
berfetben nodj gegenwärtig geboten, ©ie iann in ber SBeife a\x^ 
geführt werben, baj3 bie 9Jlanufcripte, auf meldte in ben Briefen £)im 
gemiefeu mirb, eingefdjattet merben, ma§ in ben big^er üeröffentßdjten 
ßorrefponbenjen mit SJiat^emattlern oft öermtfjt mirb. 

8tl§ ber Streit über ben erfteu ©ntbeefer ber SDtfferentiatredjnnng 
tobte nnb in ©ngtanb §u (fünften Sftemton'S bag Commercium epi- 
stolicum D* Jo. Collins et aliorum de Analysi promota, Londin. 
1712, erfdjien*), befdjlojj Setbutg ebenfalls ein Commercium epi- 
stolicum gu oeröffeutüdjen, um feine Steckte in betreff ber ©nt- 
bectuug ber SBifferentiatrcdjnimg matjräuuetjmeu. Kr gebaute barin 



*) $)te giuette §(u§gaDc crfcljtcn 1111101' bau SLitcI : Commercium epistolicum T). ,Io- 
hannis Collins et aliorum de Analysi promota, jussu Societatis Regiae in lucem editum: 
et jam una cum ejusdem Recensione praemissa, et judicio primarii, 1.1 1 ferebatur, Mathe- 
matici subjnncto, iterum i'mpressum. Lond. MDCGXXI1. 



IX 

feine (£orrefyonbeugeu mit |)ut)geug, £fd(jirul)aug, Söaltiö aufgitnet)meu, 
bie in ber Beit, als er feine ©ntbedung madjte, lebten unb bereu 
Urteile öottgüttig unb entfd)eibenb fein mufften. 33efonberg aber laut 
eg iljm barauf au, ben ßernpunlt beg ©treiteg, ber in bem Com- 
mercium epistolicum ber ©ngtctnber abfidjtlid) uer!)üttt ober aud) 
ittcöt erlannt Sorben mar, Kar bargutegeu*). Seibnig Ijat biefeg $or^ 
fycfotn nidjt ausgeführt. SDaburd) berieft bag, mag feine (Gegner be= 
tjaupteten, nidjt allein in ber Seit beS ©treiteg (Geltung, fogar big 
in bie (SJegentoart geigen fid) nod) immer bie folgen be§ ©treiteg, 
bie Sßerbunletungen, meiere bie (Gegner Seibnigeng rüdftdjtglog au§^ 
geftreut tjaben. Um fo meljr ift eg geboten, auf ©raub ber nod) 
oor^anbenen SDocumente ben ©treit über bm erften ©rfhtber ber 
SDifferentialredjnung gu Karen unb gu geigen, tnag bie SBiffeufdjaft 
fieibnig gu oerban!en Ijat, unb tme er auf feine ©rfinbung getont? 
tuen ift**). 

®ag Sßerfa^ren, toeldjeS bie griedjifdjen ©eometer gur S5e^anb= 
'fang Don Problemen ber pfjeren (Geometrie erfonuen Ratten, unb bag 
namentlich öou 2lrd)imebeg mit SKeifterfdjaft gur Slninenbuug gebracht 
mürbe, behielt man bei bem SBieberaufteben ber SBiffenfdjaft in feiner 
äußern 3?orm M unb bitbete eg gu einer 3M£)obe um, bie jebod) 
hm ftrengen Slnforberuugen ber äTcatfjematil ntdfjt genügte. 2)iefe 

*) Sed majus operae pretium erat ipsam viam ac rationem, qua ad novum hoc 
oalculi genus inventor pervenit, innotescere ; ea enim hactenus publice ignoratur etiam 
Ulis ipsis fortasse qui in partem inventi venire vellent, quam exponere ipse et progressiv 
studiorum suorum Analyticorum partim ex memoria partim ex soriptis extantibus et ve- 
terum sohedarum qualibuseunque reliquiis tradere, eaque ratione Historiam profundioris 
Matlieseos artemque ipsam inveniendi justo libello illustrare decreverat. Seifinifl in ber 
2l6f)cmblurtg Historia et Origo Oalculi differentialis. 

**) Utilissimum est cognosci veras inventionum memorabilium origines, praesertim 
earum, quae non casu sed vi meditandi innotuere. Id enim non eo tantum prodest, ut 
Historia literaria suum cuique tribuat et alii ad pares laudes invitentur, sed etiam ut 
augeatur ars inveniendi, cognita methodo illustribus exemplis. Sei&ntg im Anfang bei' 
?TOjanbIung Historia et Origo Oalculi differentialis. 



X 

$u8ftettungen juckte Saüatieri §u üermetbeu; er ftettte ein auberes, att= 
gemein anmenbbare§ SBerfa^ren afö ©rfajj für bie ftrenge 2lrc£)ime= 
beifdje SBeife auf, ba3 atlfeitigen SBetfatt fcmb. ®a e8 möglich tft, 
geometrifdje ©röfjen ju erzeugen: Stuten burcf) SBemegung eineg ^unlteg, 
ebene Figuren burcfj SSemegung üon Sinien, förderliche Figuren burcl) 
S3etoegung üon täibtnen, fo meinte ©aüalieri an bte ©teile üon ehenen 
Figuren 'Summen üonStnten, an bie Stelle üon förderlichen Figuren 
Summen üon ©benen fe|en ju fönnen, unb burcl) bie erjeugenben 
(Sröfjen bie entftanbeneu 51t ermitteln*)* $nbe$ ber SBiberfprud) im 
^rmcty ber -äKetfjobe, conttnutrttdje @rö|en auf btgconttnuMtdjem- 
s Bege beftimmen jit motten, mürbe bxxxä) ba§ Bufammenfaffen ber er- 
geugenben (Sröfjen ntdjt befeitigt. Slber obmof)! man faft allgemein 
bie geringe 3uüerläfftgfeit ber Methodus indivisibilium Kaüalieri'S 
erlannte, fo blieb fie bod) U§ jur ©mfüljruug be£ 8ligoritf)mu§ ber 
fjö^eren 2lna(t)fi§ ba§ einzige SJJitttel befonberS jur SJeftimmung be§ 
$ul)attg forderlicher kannte; fie I)at bie ©ntbecfung be§ Sttgoritljmug 
ber ®ifferentiat unb Integralrechnung befonberg beeinflußt. 

©aüalieri üeroffentlidjte fein SBerfaljren in ber Schrift: Geome- 
tria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, 
Bonon. 1635; faft gleichzeitig erfdjten 2)e8carte3' Tmite de la Geo- 
metrie, Leyden 1637, in meldjem biefer ein neues SSerfaljreu §ur 
23el)anbluug- geometrifcfjer Probleme befannt machte. 9?ad)bem bereite 
burcf) Stete bie SBerbtnbung ber Sllgebra mit ber Geometrie ange- 
bahnt mar, ^öt e S)egcarte8, mie e§ möglidj fei, burd) Slnmenbung 
ber Sltgebra bie ^atur üon frummen ßinien burcl) (Gleichungen bar^ 
aufteilen, unb bie ©tgeufdjaf ten einer ©urüe in einet formet au^ju? 
brücfen. SDaburdj mürbe bie SBerfoaubtfcfjaft ber ©urüen unb, mie fie 
gufammengetjoren, erlannt, man feilte fie naä) ber S3efdjaffenf)ett ber 



*) Optimam methodum figurarum scrutaodae mensurae judicavi prius liuearum pro 
planis, et planorum pro solidis rationes indagare, ut illico ipsarum figurarum mensuram 
mihi compararem. (Sctüalieri in ber SSonebe gitr Methodus indivisibilium. 



XI 

Formeln tu Klaffen; eg ergaben ftrf) $?etl)obeu für bie (£onftruction 
ber Sangenten; man fonnte bk Sonfiructton ber Surften verfolgen, 
ob fie enbticf) maren ober ftcf) ing Unenblictje erftrecf ten u. f. m. $u 
ben Problemen, bk SDegcarteg mit Vorliebe bearbeitete/ gehörte bie 
Sangenten ber Surften $u conftrniren; er fanb für geometrifctie Surfen 
(naä) feiner Sintljeitung) eine atigemeine Sftetljobe. Sie neuen Setzen, 
meiere Segcarteg aufgefteßt t)atte, mürben aüfeitig mit beut größten 
Veifall aufgenommen. Sie berüljmteften 9Katl^ematiler beg 17. ftcrfjr- 
fjunbertg l)aben ftdj "bemüht, fie §u fterbeffern. |)öcbft mafjrfdjeinttdj 
befdjtofj ßetbnig, um einen tyiafy in ber fRetJie ber erften 'SKatljemas 
tiler §u gewinnen, bie Vorzüge feiner mxxtxx ©rfinbung in ber Stuf* 
fteEung einer allgemeinen Sangentenmetljobe barjut^un unb §xtgXetdf) 
itjre allgemeine SInmenbbarfeit $ur Söfung ber Probleme ber teeren 
3ftatt)ematif ju geigen. Semnad) ift, mie man faft allgemein ange^ 
uommen l)at, ber Urfprung be§ 2tlgoritl)mug ber leeren Stnafyfig 
feinegmegg auf bk 9Jlet£)obe / Sangenten fton Surften gu conftrniren 
^urüc^ufütjren; fie f)at nur bag Verftctnbnifj ber neuen 9fed}nung fter^ 
mittett. Saftaliert'g Methodus indivisibilium mb bk üon Segcarteg 
angebahnte unb üon feinen Nachfolgern fterbefferte SJletljobe, bie Sam 
genten ber Surften ju finben, tjaben ju ber ©runblegung unb bem 
Slugbau ber neueren 2tnalt)fig befonberg beigetragen. 

ms Seibnij in ^arig fidfj auffielt (1672—1676), matten bie 
@d)üter unb 9lnt)änger fton Segcarteg burct) bie Vergötterung itjreg 
9JMfterg auf itjit einen mibermärtigen Stnbrucf; fie ^riefen bag,, mag 
er geteiftet l)atte, atg bag |)öcf)fte mag ju erreichen märe, unb fyktten 
bag mag tym nidjt gelungen mar, für unausführbar. Sieg Sreiben 
mar für it)n ein @porn, bie Söfung ber Probleme, an melden Seg- 
earteg ftergebtid) feine ®raft fterfudjt Ijatte, gu betrafen, ©in foldjeS 
Problem, ein fogenaunteg umgeMjrteg Sangentenprobtem (methodus 
tangentium inversa) mar Segcarteg fton feinem $reunbe ^tortmonb 
be S3eaune ftorgetegt morben: Trouver une. courbe teile que Tor- 



XII 

clonnee füt a la soustangente cömme tme ligne clonnee est ä la 
partie de l'ordonnee comprise entre la courbe et une ligne ii> 
clinee sous im angle donne. Segearteg öermodjte nidjt bie Stufs 
gäbe burd) feine StnafyftS DoEftänbig gu löfem 9Jlan Ijatte inbefj er= 
fannt, ba$ bie Söfung biefeg ^roblemg, ebenfo tme bie Söeftimmung 
ber Dftectiftcation bei: Surben, i^rer @d)merpuufte, -beS ^n^attS frum= 
mer Dberflädjen u. f. m. burdj Duabraturen beinerffteltigt toerben 
lönnte. Unter biefen 3)2ett)oben mar bie mittelft ber ©utbüt'f^en 
Siegel trieffetdjt bie am toemgften. beamtete, ba bie SBefttmmung beg 
©djtüerjmnlteg oft fdjtoieriger inar als bie Ermittelung beg $nljaltg 
auf birectem äöege. ßetbmj befdjtofj (25. Detober 1675) biefe We- 
ttjobe gtterft %vl unterfnd)en; er überzeugt fid) / bafj burd) ätoei gegebene 
Momente in S3ejitg auf gipei parallele Sinien bie gerabe Sinie, bie 
burd) ben ©djtoerpunft geljt, gegeben ift, unb bafj burd) brei gegebene 
Momente in 3$e$ug auf brei nidjt parallele Sinien ber gflädjenutfjatt 
unb ber @d)toet|3unft gefunben tnerben lönnen. $n ben folgenben 
Sagen (26. Detober, 29. Detober) tvenbet fiel) Seibnig gur Ermitte- 
lung ber Duabraturen, bie unmittelbar aug ber frummlinig begrenzten 
Sftgur fic£> ergeben, ©r meint, bafj burd) Leitung ber Figuren in 
öerfdjiebene Elemente bieg erreicht tnerben föunte, infofern burd) bie 
SBeftimntung eineg folgen Elementeg and) bie aller übrigen fitfj er= 
giebt ferner hetxaä)tei er bie Stellung ber ^tgur burdj fenfredjt 
auf bie Slbfciffeuaje gefällte Drbinaten, unb bewerft ben ©a|: Differen- 
tiarum momenta ex perpendiculari ad axem aequantur comple- 



mento summae terminorum, vsive omn. xw n ult. x . omn. w 



-~ omn. omn. w, obernad) ber fpätern 3Se$etd)mmg Setbni^eng 

^xl n x /l — f[l. $m Serlauf ber Uuterfudjung über bie Ottabra^ 

turen jie^t Seibnij bag Don if)m fo genannte triangulum characte- 
risticum ber ©uröen in ^etrac^t unb erörtert Sterbet, ob Slugbrücle 
tute omn.l unb omn.p, wo 1 unb p Stuten be^etdjnen, auf gemölju^ 



XIII 

fidje äöeife mit einanber muttipticirt werben fönnen, unb meldje S3e= 
beutung bag ^robuct l)at. Die SMtipltcation ift augfnljrbar, menn 
omn.l eine Sinie unb omn. p eine ebene $igur 'bebeutet, unb bag 
5ßrobuet -totrb ben $nl)att einer förderlichen 3?tgur augbrücfen. Seitmij 
fefct in ber nebenfteljenben $igur BL n y, WLnl, 
•BPnp, TBnt, AB rix, GWna, ynomn.1; 

eg ergiebig :bajj| n — —j^, folglich n ° D ^H 

b. lj. e§ tft omn.l in 1 §u . mnttipticiren, meldjeg 

beut p entfortcgt, tmtgtn tft omn. pn omn. 1. 




,2 _. :1 



SRun tft omn.p r\ J ~ n -_ g -J==J / folgttc^ 



2 2 



omn. 



omn.ljTj ~ ri _ . . . , , 

- L — l n omn. omn. 1 ~- ; ergo nabemus tneorema, )e§t 

Seibn% Jjin$U,-< quod mihi videtur admirabile et novo ' hüic ' cälculö 
magni adjumenti loco futurum. |)ier bie erfte ©rmät)mmg einer neuen 
Stedjmtng! ©g folgt fofort au&i bie neue SBejeidfjmmg: utile erit 
scribi /pro omn. ut /l pro omn.l, id est summa ipsorum 1. (£<§ 

ii //n 
finb für bie neue 91edjnnng bie betben £l)eoreme gewonnen: ~2ä n //la 



unb (xlnxjl-j/l; ferner ( x n |~, |x 2 n |-, J^^/ 1 / 



mit 

ber S5emerfung, bafs biefe ^eoreme auä) für ffteiljen gelten, in 
toetdjen bte Differenzen ber ©lieber ju ben ©liebern ein Heinere? $er- 
Ijäftnif} a£§ ein irgenb angebbareg f)aben. ßetbttig bemerlt jum @d)lufj: 
Satis haecnova et notabilia, cum novum genus calculi inducant. 
Darauf tvenbet fidfj Seibnij gur entgegengefettfen 9ted)nunggmeife (con- 
trario calculo). $n ben oorljergefjenben $af)ren Ijatte er fid) befonberg 
mit Uuter[ud)uugen tum 3<rf) Irenen befdjäfttgt; eg mar i^m bag $er= 



XIV 

pltntfj ber ©umme gur Differenz geläufig; er bewerft: ut /augebit, 

ita d diminuit dimensiones. /aiitem significat summam, d diffe- 
rentiam. ®ie ®iffereng ift ba§ ünxgefel)rte ber ©limine; inerben bie 

obigen 3$e$eid)nungen beibehalten, fo toirb —- bie 3)ifferen§ auSbrütfen, 

tnorin a bie ©int)eit barftettt. ©o füljrt £eibn% itrfprüngtid) bie 
S3e§eid)nnng für ba$ Differential ein ; erft in beut fütgenben SSKanufcrt^t 

ttüttt 11. 9fa)tiember bewerft er: Idem est dx etT'id est differentia 

inter duas proximas. 

Die mittetft ber neuen 23e§eid)nnng gewonnenen Siefultate »er^ 
toenbet ßeibniä in beut oben ermähnten SJKcmufcript öom 11. üftoöember 
itberfdjrteben: Methodi tangentium inversae exempla, gur 95e§artb== 
fang t)ou Aufgaben ber umgelegten Daugentemnettjobe, mit welchen 
er feit längerer ßeit fid) befd)äftigt Ijatte unb §u bereu Söfung bie 
big bcrijin öeröffentlidjten Sßetljoben nid)t ausreichten. $n einem 
Sftanufcrtpt au§ bem fotgenben $at)re 1676, batirt Jul. 1676, unb 
übertrieben: Methodus tangentium inversa, beljcmbett Seibui^ aud) 
bie ertuätjute SBeaune'fäje Aufgabe unb giebt bereu ßöfung. 

Durd) bie neu eingeführten 9M)nungg3eid)en t)atte ßeibnig eine 
neue Sftedjnung angebahnt. &§ tarn nun barauf an, bie Sftedjnunggs 
regeln für biefe neue 9ied)nung anfeuftetten. $ür Slbbition unb @ufc 
traetion ergaben fie fid) unmittelbar t)on felbft; fie blieben unoeränbert. 
@& blieb §u unterfudjen, wie fie in SUejug auf SJhtltiplieation unb 
Dioifion fid) gematteten, ©r überzeugt fid), ba§ dxy nid)t gleid) 

ift dxdy, unb ebenfo A~ nid)t gleid) —-. Qu bem 9JJanufcript 

11. Julii 1677, in tneldjem Seibnig eine 3ufammenfteEung be$ „Algo- 
rithme nouveau" giebt, fiuben fid) bie Differentiale be§ ^robuctS 
unb be§ Quotienten, fo wie für Sßoten-jen unb für bie Söurget 
ausbriicfe. 



XV 

%u§ beut SBprfte^enben unb bett betreffenben ^anttfcrtyten er- 
gießt fid), baf$ in SBejug auf bte SBeäeidjmmg unb ben weiteren Sllgo^ 
ricinus ber neuen 9ted)mmg leine ©tntoirfung öon anfjen Ijer auf 
Setbni§ ftattgefunben Ijat. 2)ie Gmtfütjrung beffetben iuar öietmefjr 
ein SluSflujs beg 33ehmf$tfem8, bajs öon einer paffenb gefragten Beiden- 
fpradje.ber $ortfd)ritt ber äöiffenfc^aft abfängt. ©§ erfd)eint bemnadj 
ber SKgorit^nug ber {(oberen §tnalt)fi§ afö ein SoroKarmro be§ grofjen 
y$vobUtll8 f ber Characteristica realis (auä) generalis genannt) ba$ 
Mhnifi feit bm erften Anfängen feiner luiffenfi^afttid)en Stubien fein 
ganje« Seben Itfnbutdj verfolgt Ijat *) $>affe(be bittet I)at ßeibnig 
audj in anberen mat^entatifc^en SDigctyünen, in ber Sltgebra unb in 
ber Geometrie, gut. Stntöenbung gebracht unb baburd) Erfolge erhielt. 

SDte ${u£ion<§red£)nung entbehrt biefeS $or§ugg. ^etoton §at ben 
mächtigen ©inftufj einer paffenb gewägten 3eid)enfyraä)e auf bie 
Biffenfdjaft ntdjt erlannt. $n ber gleiten Sluggabe be§ Commercium 
epistolicum, bie int Satire 1722 erfdjien, ift dm öon Newton öer^ 



*) SSereit^ irt feiner <Srftfmg$f$rift: De Arte eombinatoria au£ htm Sa^re 1666 
füljrt Seibnta a\x%, ba& ade begriffe in eine Heine Hnja^I einfacher, nriberfprud)3lojex 
Elemente ftdj ^erlegen laffen, unb ba%, wmxi e£ gelänge, füx biefe lejtcrn Beseidjnenbe 
Sfjarafiexe aufeufinben, bie Möglidjfeit gegeben mäxe, buxd) (SontBinatfori biefex @§arq!tere 
nidjt allein alle Bereits bekannten 2Ba§rIjetten fofort für jeben nerftänbtid) auSjubrü'äen, 
fonbern and) neue 2Baf)r*jeiten su entbeden; e* forme auf biefe SBeifegennffermafjen einMüfjaBet 
ber menfdjiidjen ©ebanfen gefdjaffen unb burd) Kombination ber Seidjen. biefe» mpIjaBetS 
unb burd) InalnfiS ber baräug gebilbeten Wörter alles fonuujl gefunben al* beurteilt 
werben.- Seibnig f treibt in ber angeführten ©'d&rift: Verum constitutis Tabulis vel prae- 
dioamentis artis nostrae complicatoriae majora emergent. Nam Termini primi, ex quomm 
complexu omnes alii constituuntuiy signentur notis, hae notae erunt quasi alphabetum. 
Commodum autem erit notas quam maxime fieri naturales v. g. pro uno punctum, pro 
numeris puuota, pro relationibus Entis ad Ens lineas, pro variatione angulorum aut Ter- 
minorum in lineis genera relationum. Ea si recte constituta fuerint. et ingeniöse, scrip- . 
tura baec universalis aeque erit facilis quam communis, et quae possit sine omni lexico 
legi, simulque imbibetur omnium rerum fundamentalis cognitio. Fiet igitur omnis talis 
scriptura quasi figuris geometricis, et velut picturis, uti olim Aegyptii, hodie Sinenses, 
verum eorum picturae non redueuntur ad certum Alphabetum seu literas, quo fit ut in- 
eredibrli memoriae afflictione opus sit, quod hie contra est. 



XVI 

faßte „Recensio libri" üorauggefdjtcft; es Ijeifji barm: Newtonus 
non in formis Symbolorum suam Metbodum constituit, neque sc 
alligat acl ullam unam speciem Symbolorum pro fluentibus et 
fluxionibus. Ubi areas Curvarum pro fluentibus ponit, saepe 
ponit ordinatas pro fluxionibus , et fluxiones clenotat per 
Symbola ordinatarum, ut in Analysi sua fecit. Ubi Li- 
neas pro fluentibus ponit, quäevis symbola ponit pro veloci- 
tatibus Punctorum Lineas describentium ., hoc est, pro fluxi- 
onibus primis ; et quaevis alia symbola pro incremento earum 
velocitatum, hoc est, pro fluxionibus secundis, ut saepe fit 
in Principiis Philosophiae. Ubi autem literas x, y, z 
pro fluentibus ponit, earum fluxiones denotat vel per alias 
literas ut p, q, r, vel per easdem literas alia forma positas 
ut X, Y, Z, vel x, y, z punctatas, vel per quasvis Lineas ut 
DE, FG, HI, consideratas tarn quam earum exponentes. Atque 
hoc quidem manifestum est ex Libro ejus de Quadraturis, 
ubi in prima Propositione fluxiones indicat per literas punctatas, 
in ultima propositione per ordinatas Curvarum; et in Intro- 
ductione per alia Symbola, dum Methodum explicat illustratque 
per Exempla, Leibnitius in sua Methodo nulla Fluxionum 
Symbola habet, et idcirco Newtoniana Fluxionum symbola sunt 
in eo genere prima. Leibnitius Symbolis illis Momentorum sive 
clifferentiarum dx, dy, dz primo uti coepit anno 9677: Newtonus 
Momenta denotabat per Eectangula sub Fluxionibus et Momente 
0, cum Analysin suam scriberet, anno 1669 vel antea. Leib- 
nitius Symbolis Ix, /y, z pro Summis Ordinatarum usus est, jam 
inde ab anno 1686: Newtonus in Analysi sua eandem rem 
denotavit, inscribendo Ordinatam in Quadrato vel Rectangulo ad 



hunc modum 



aa 



64 x 



Omnia Newtoni Symbola sunt in suo quae- 



que genere primae 



XVII 

Seibnig fyat bte SBür^üge beg üon tljm eingeführten Sltgjortt^muS 
ber fjöfyeren 9lnatt)fi§ auf bog nad)brncflid)fte »ertljeibtgt unb §ur 
(Mtmtg gebracht in feinem 3ufaimnenfem mit £fd)irnljau<§ in ^axi§ 
unb in bem barauf fotgenben Sriefmedjfet mit bentfelben. S£fd)irn= 
fyau§, ber mit ben tyerüorragenbften Scannern ber äöiffenfdiaft in 
Smtbon oerfeljrt Ijatte, lam mit ©ntpfeljltmgert Dlbenburg'S an ßeibnij 
im September 1675 naä) ^ari§. S5alb barauf , im- Dftober 1675 r 
gefd)a^ bie (Smfttljruncj be§ Sltgoritt)mu§ ber Ijöljereu Slnat^fiS burdj 
Seibnig. (£3 famnte nidjt fehlen, baf} barüber ättrifdjen beiben Unter- 
rebungen ftattfanben. £fd)irnl)au<S meinte, eine allgemeine Sffietljobe 
pr Cuabratur unb Kubatur gefunben ju Ijaben, tDobei er nur bie 
bisher übüd)en SSege in Stnfprudj naljnt (modum magis ordinarium 
et intelligibilem) ; er ttmr ber Stnfidjt, bafj burdj mu eingeführte 
äBörter unb $eid)en bie SBtffenfdjaft nur untierftönblicfyer gemacht 
tüiirbe*). ©r tobt befonberg SBfete, bafj er nur bie 33ud)ftaben be§ 
8ltpf)abetg gebraudjt fyabe, anftatt anbere wie Ungeheuer au§fet)enbe 
(£I)araftere (monstra characterum) einzuführen, darauf eruribert 
Seibnig : Ego non hunc tantum, sed et infinitos alios modos habeo 
obtinendi aequationes tetragonisticas per calculum, cujus istae a 
Te propositae sunt casus tantum. Calculum autem hunc exequor 
per nova quaedam signa mirae commoditatis, de quibus cum 
nuper scripsissem respondes, tuum exprimendi modum magis ordi- 
narium ac intelligibilem esse, et Te novitatem in definitionibus 
rerum quam maxime effugere, hoc enim nihil aliud esse quam 

scientias difficiles reddere In signis speetanda est 

commoditas ad inveniendum ? quae maxima est, quoties rei natu- 
ram intimam paucis exprimunt et velut pingunt, ita enim miri- 
fice imminuitur cogitandi labor. Talia vero sunt signa a me in 
calculo aequationum tetragonisticarum adhibita , quibus proble- 



*) Novitatem in definitionibus vocum quantum possum effugio, hoc enim nihil 
aliud est quam scientias difficiles reddere. Sfcfjtrnljcmä an Seifini$. 



XVITI 

mata saepe difficillima pancis lineis solvo Est mihi pro 

methodo tangentium inversa et methodo tetragonistica calculus 
idem, eadem signa. — ®er S3rteftt)etf)fel gmifdjen Seibmj imb 
S^fdjirnljauS in betreff beg Sttgoritjjmug ber Ijöljeren Stnattjfig wftljrt 
h\§> ju &nbt beg $a§re<§ 1679; er mirb befd)toffen burd) ein Ijödjft 
micfjttgeg ©^reiben Seibni§eng r in bent er über feinen matljematifdjen 
Sßilbnngggang SRitt^eüungen mad)t. 

@ß ift auffaHenb, bafj S£fd)ira!)an3 in feinen Briefen kernten 
nnb bie $tn£Ümen nidjt ernannt; Ijätte er baöott ^enntnijg gehabt, 
er tnürbe ftc^erlitf) fie bem ßeibni^tfdjen Sttgorttljmug gegenüber jnr 
(Sprache gebracht fabelt. %uä) i)kxau§ ergiebt fiel), ba§ anf bie 
©rfinbttng SeibniäenS irgenb \vdü)t 83eeinflnffnng nid)t ftattgefnn^ 
bm fjat. 

©g lann nid)t behauptet werben , bajg Seibntj fofort bie S£rag~ 
meite feiner nenen ^edjmmg überfal); ba%u Ijatte er noclj §n furje 
3eit ©tubien in betreff ber teeren SUiatljemattf gemalt, nnb ber 
Umfang ber matljematifdjen SBiffenfdjaft mar tljm nodj nidjt anfc 
reidjenb belannt. @ie mar tljm anfangs mir ein Söftttet, bie §tnf= 
gaben ber nmgeMjrten £angentemnet§obe p löfen. Slttmftljltd) tmtdjs 
in if)m bie ©rlenntnijg beS augge^eidjneten kittete §nr Bewältigung 
ber Probleme ber Ijöljeren SKatljematif. dagegen Ijat er ftetg be= 
Rauptet nnb mit Sftadjbrucf barauf Ijingetiriefen, baf? er btn „calculus 
differentialis" perft gefunben nnb belannt gemadjt*); mie tief mnfi 
e§ tyn oeriDunbet nnb gefdjmerst fyaUn, ai§ in bem Streit über ben 
erften ©rftnber ber ®ifferettttalredjmmg, in bem burdj englifdje 
^erfibie nnb $gnorang ber ©treityunft, um ben e§ fid) Ijanbelte, 
abfid)t(id) üerbunlett mnrbe, er aU ^netter ©rfinber, ber trielletdjt 

*) 9toton §at guerft in gwet Briefen an 2BaIIt§ nont 27. toguft nnb 17. @ep= 
tember 1692, bie er auf beffen äöunfdj fdjttefc, ©rfläruugen abgegeben, wa% er unier 
gluenten nnb glujtonen nerfie^t, guglcidj mit ben Segetcljnungen ber glurjoucn burd) 
barüber gefegte fünfte. §ödjft roafjxfdjemttd) ift biefc 33egeid)nung ber glurjonen .erft 
$>atnal§> entftanben. 



XIX 

fogctr »ort Newton ettoag entlehnt Ijakn formte, ^ingeftettt irmrbe. 
SetBntg ixrie§ mit Siedfjt baraitf fjirt, ba§ e3 fid) ntd)t um baä Sßrtncty 
ber (}öt)eren 3tnatt)fi<3 Raubte, bag feit 2lrdjintebe8 Mannt war; e§ 
lam t)ietmet)r barauf an, für biefe<§ ^Srinci^ um Siedlung auf§n= 
ft eilen. 

®er erfte SSanb enthält bie S5rtefttied^fel mit Dtbenfiurg, Sflttüton, 
Sütting, G&mti, %\&)\xvX)av& r $utygenS, tum benen Seibniä £fd)irnf)au§ 
nnb $utjgeng- afe gleidföeittg lebenbe «Seugen für hk ©ntbecfung feiner 
Stedjmmg aufführt, gngteid) mit ben 95eineigftüclen au<§ ben Seib= 
mstfdjen Söianufcrtyten. Stuf biefe äöeife erfdjetnt §nm erften SRale bie 
©ntbednng ber ®ifferentiatredjmmg actenmäfjig bargefteEt. 



ittljalt 

5es erftert Bernds. 

|JO*tt>0tt 

3Stfeftt>e$fef junfdjett ^eißntj ttnb ^fbettßutft, Newton, goffins, fonft. 
1670—1716. 

«Seite 

Einleitung 1 

15 

I. SeUmij an Dtbenburg Moguntiae ^ Julii 1670 39 

II. Dlbenburg an Setbnij Londini d. 10. Augusti 1670. ... 41 

III. SeiBttig an Olbenburg Moguntiae d. 28 Sept. 1670. ... 43 

IV. Dtbenburg an Seibniä Londini die 8 Dec. 1670 47 

V. Seibnts an Dlbenburg Mogunt. 11 Martii 1671 51 

VI. Olbenburg an SeiBnij Londini d. 14 April. 1671 54 

VII. Dlbenburg an SeiBttij Londini d. 24 April 1671 .... 55 

VIII. ßeibntä an Dlbenburg Francofurti 29 Aprilis st. vet. 1671. . 55 

Q 

IX. Seißnig an Dlbenburg Moguntiae -^ Junii 1671. ..... 59 

X. Dlbenburg an Sei&tliä Londini d. 12 Junii 1671 62 

XL Dlbenburg an Setfinij Londini d, 5 Aug 1671 66 

XII. Olbenburg an Seibnij Londini d. 28 Septbr. 1671 67 

15 

XIII.SeiBmj an Dtbettbutg Francofurti ~ Octobris 1671. ... 69 

XIV. Dlbenfiurg an SeiBntj le 30. Janvier 1673 73 

XV. DlbenButg an SeiBttij le 9. Fevr. 1673 74 

79 

XVI. Seibrnj an Olbenburg Londini d. 3 Febr. 16 Jj 74 

^Beilage. Theorema Arithmeticae infinitorum. Binarius est 
Summa seriei infinitae Fractionum, quarum Numerator 
Unitas ? Denominatores vero Numeri Trianguläres inde 
ab Unitate inclusa ordine crescentes in infinitum. 

Series y + y + y + jö ^ 15 + 21 etc * ^^xm n 2. 79 



XXII 



(Seite 

XVII. Sei&nij' Bufdjrift an bie töniglidje ©ocietät in Sonbon 

Londini ^ Februarii 1673 80 

XVIII. SeiBntä an Olbenburg Paris. 8 Mart. sty. nov. 1673. . 81 

XIX. Olbenburg an Seibniä Londini die 6. April. 1673. . . 85 

XX. Olbenburg an Seifori? Lond. die 10. April 1673. ... 89 

XXI. Setbniä an Olbenburg Paris. ~ April. 1673. . . . . 90 

XXII. Olbenburg an Seibnij le 14. Avril 1673 93 

XXIII. Olbenburg an Seibnij Londini d. 8 Maji 1673. ... 94 

14- 

XXIV. Seibnia an Olbenburg Paris. ~ Maji 1673 95 

XXV. Olbenburg an Seibnis Londini d. 28. Maji 1673. ... 97 

XXVI. Seibnij' ©anlernten an bie ®öniglicf)e ©ocielät in ßonbon 
Parisiis 1 Junii 1673 99 

XXVII. Seibntj an Olbenburg, otjne Ort unb Datum 100 

XXVIII. SeÜmtS an Otbenbutg Lutetiae Parisiorum XV Jul. 1674. 104 

XXIX. Seibniä an Olbenburg Paris. 16 Octob. 1674. . . . . 106 

XXX. Olbenbutg an Setbntg Londini d. 8 Decernbr. 1674. . 108 

XXXI. Seibnij an Oldenburg Parisiis 30 Mart. 1675 110 

Seilage. SWittljetlungen über ein öon Seibnij projecttrteg 

U^merl 112 

XXXII. Olbenburg an Seibnij Londini die 12 Aprilis 1675. . . 113 

XXXIII. Seibniä an Olbenburg Paris. 20 Maji 1675 122 

XXXIV. Olbenburg an Seibnij, oljne Ort unb ®atum .... 124 

XXXV. Seibnis an Olbenburg Paris. 12 Juni 1675 125 

XXXVI. Olbenburg an Seibnij Londini d. 24 Junii 1675. . . . 127 

XXXVII. Seibnij an Olbenburg Paris. 12 Jul. 1675 131 

Söettage. Seibn^ Söxief an ^erriet über bie äJfanufcripte 

Sßaleal'S. — $a3cal'3 Greneratio Conisectionum. . 132 

XXXVIII. Olbenburg an Seibniä Londini d. 30 Septembr. 1675. . 142 

XXXIX. Olbenburg an Seibnis Londini d. 20 Decembris 1675 . 143 
XL. Seibnij an Olbenburg Paris. 28 Decemb 1675. ... 143 

Beilage. A. Analysis Tetragonistica ex Centrobarycis. 
25 Octobr. 1675. 26 Octobr. 1675. 29 Octobr. 
1675. 1 November 1675. — ' B. Methodi tangentiuni 

inversae exempla. 11 Novembr. 1673(5). . . . 147 

XLI. ßeibnij an Olbenburg Paris. 12 Maji 1676 167 

XL1L Olbenburg an Seibnij Londini d. 26 Julii 1676. ... 169 
XLIII. Olbenburg an SeiBnig Londini d. 26 Julii 1676, ent^altenb: 
Apographum literarum a Dno Newtono scriptarum 

ad H. Oldenburgium. Cantabrigiae d. 13 Junii 1676. 179 



XXIII 

©eitc 

XLIV. ßet&tttj an DIbenbürg 27 Aug. 1676 193 

Beilage Methodus tangentium inversa. Jul. 1676. . ♦ 201 

XLV. SRettrtott an Olbenbutg Cantabr. Oct. 24 1676. .... 203 

XLVI. SoHittS an Stoton Lond. 5 Martii 167y 225 

Beilage. Seibnts unb §ubbe. — Seibnij' Calculus Tan- 
gentium differentialis. Novembr. 1676. — Xcut- 

gentenmetfyoben be-Sluje'S unb §ubbe'3 228 

XL VII. Olbenburg an ficibntj Londini d 22 Febr. 1677. , . . 237 

XL VIII. Olbenburg an Seibniä Londini d. 2 Maji 1677. .... 238 

XLIX. Setlmijcm Olbenburg 21 Junii 1677. 240 

L. SeiBhij an Olbenburg Hannoverae 12 Julii 1677 248 

LI. Olbenburg an Seibnig Londini d. 12 Julii 1677 249 

LH. 2et6nt5 an Olbenburg, oljne Ort unb Saturn 252 

LIIL DIbenbürg an SetJmij Londini d. 9 Augusti 1677. . . , 253 

7 

LIV. ßeibnij an SletotOtt Hannoverae ^ Martii 1693 255 

LV. Stontott an Seibntj Gantabrigiae Octob. ^g 1693. . . . 256 

LVI. Sottti an Seiöntj, oljne Ort unb Stätum . 258 

LVIL Scibttii an Sonti Hannover 6 Decembr. 1715 262 

Beilage. SciBntj an SRemonb 267 

LVIII. Sontt an Setbntä Londres le de Mars 1716 269 

LIX. Newton an ©onti London Febr. 26 17^. ...... 271 

16 

LX. Setbmj an Sontt Hannover ce 9 d'Avril 1716.] .... 274 

Settage. Sciöntj an SRemoub Hannover ce 9 d'Avril 1716. 281 

LXL Kenjtott'S SBcmcxIungen in betreff be£ ttorljergef)euben @d)reiben3 

an Seibniä ' . , 285 

LXII. Setbniä an ©ontt Hanover ce 14 d'Avril 1716 294 

33 et läge. Nie. Bernoulli Joh. F. de trajeetoriis curvas 
ordinatim positione datas ad Angulos rectos vel 
alia data lege secantibus, qua occasione communi- 
catur gemina construetio alieujus problematis a 
Leibnitio propositi de trajeetoriis orthogonalibus, 
una cum Appendice de Epistola pro Eminente Ma- 
thematico Actis Lips. Mens. Jul. A. 1716 inserta 

(Act. Emdit. Lips. an. 1718). . 295 

SSwfwdjfef jimfcpen ^eißttij nnb §0wnfrieb i^aft^e* *<w gf$mt0<ms. 
1676-1708. 

©inleitung 311 

I. Xfdjirnljatrö an öeibniä Paris d. 16 Novembr. Ano 1676. . 327 



XXLV 

©eite 

IL Sjtf)irn{jau§ an Seibnij Romae d. 17 Aprilis Anno 1677. . 328 

III. Sfdjirnl)au3 an öeibmj, ofme Ort unb Saturn 337 

IV. £fdjirn§cmS an S>ühn\% Rom. d. 27 Januar. An. 1678. + 339 

V. Seibni^ an Xfdfjirnl)auS, ofytte Ort unb Saturn 352 

VI. Sfdjirnl)au3 an Setbniä Romae d. 10 Aprilis An. 1678. . 354 

VII. Sfcijirn§au3 an Setön^ Rom. d. 30 Aprilis Anno 1678. . 371 

VIII. Setötttj an XfcljirttljauS, fine Maji 1678. ....... 372 

IX. Sfdjirntjaug an Setbnij, oljne Ort unb Saturn. ..... 382 

X. Sfd§irnf)au3 an Setbmj, o^ne Ort unb Saturn 399 

XL Setbmj an Sfdjirnl)au3, ofjne Ort unb Saturn 401 

XII. Seibnij an Sf$ttnftau3, oljne Ott unb Saturn 406 

XIII. SJdjirn!)au3 an SeiBntj Ätefslmggtoalbe b. 7 April. Anno 1681. 414 

XIV. Seitmij an XfdjtrnljattS, oljntneit 9totf)aufen bcn 13 Maji 1681. 415 

XV. Sfdjirnl)au§ an Seibnij Paris d. 17 April. Anno 1682. . 416 
Seiiommenb Seibnij an &aMß 4 May 1682 418 

XVI. Sjd)tnu)au3 an Setöntj Paris 27 May 1682 419 

Seilage. 2ßa3 £fc§icnt)au3 bex 5ßarifer Sttabemie vorgelegt 

l)at. — ©ine 3lbf)anblung über Stenntinien 425 

XVII. Setbnu an Sf$irnl)au£, oljne Ort unb Saturn 436 

XVIII. SfdjtrnfjauS an Seibrnj Paris d. 6 Aoust 1682 443 

XIX. SfcljtrnfjauS an ßei&mj $ieBttng§waibe b. 24 April 1683. . 445 

XX. ßeibnij an Sfd)irnl)au3 Hannover 4 Jul. 1683 .... 446 
XXL SfdjirnfjauS an Seibntj Neundorff d. 25 Aug. Anno 1683. 450 

öeilommenb ffllmdt an Setbnij, ßetpjig ben 16. Julii 1684. - 

Seibnij an Wltndt, ofjne Ort unb Saturn 454 

XXII. Setbrnj an Sfdjirnljau3, oljne Ort unb Saturn 456 

XXIII. Setbniä an Sfdjtrnfjaul, ofjne Ort unb Saturn 462 

XXIV. Seifitttj an Xfd)irnl)au3, o^ne Ort unb Statam. . . . . . 464 

3n golge einer Sifferenj gtDtfc^en Seibntj unb SfdjirnljauS öer= 

öffentliche (euerer in ben Act. Erudit. Lips. eine 93er= 
tf)eibigung§fd)rtft : Responsio ad objectionem, quae 
impressa mense Maji praesentis anni circa inventum 7 
quod mense ctobris anni praeteriti publicatum. ubi 
insinuatur Methodus datae flgurae Greometricae aut 
quadraturam aut impossibilitatem determinandi per 
D. T. ßeilmiä Ijctt biefe ©cfjrtft XfdjirnljaufenS mit S5e= 
merfungen fcerfeljen: Annotatiunculae ad scriptum 468 
Tschirnhausii contra me. Sfd£)tw!jau3 laut nodj einmal 
in ber TOjanblung: D. T. Additamentum ad metho- 
dum quadrandi curvilineas figuras aut earum im- 
possibilitatem demonstrandi per finitam seriem (Act. 



XXV 



Erudit. Lips. mensis Septembr. 1687) auf bett itt 
Sftebe fteljenben (Segenftanb jurücl. Setbmj Ijat baju 
folgenbe SIntoott enttootfen: Resposio GL Gr. L. ad 
DnL T. additamentum mense Septembri 1687 in 
Actis publicatum 

XXV. £fd}trtt§cm3 an Seibnij ®tepng§tt>albe b. 13 Jan. Ano. 1693 

XXVI. ßeibnig an S£fcijirnf)au§, oljne Ort unb Saturn. . . . 

XXVII. Xfdjunfjaüä an Setönis Seipgtg b. 7 Maj. An. 1693. . 

XXVIII. Setbnij an SfdjtTnljaug, ol)ne Ott unb Saturn. . . . 

XXIX. Setbnij an SfdjitttljauS Janvier 1694 

XXX. Sfejjitnljaitf an Seibnig fticBIingamalbc b. 27 Febr. Anno 1694 

XXXI. SetBttiä an Xf$irttt)au3 Hannover 21 Martis 1694. . 

XXXII. %\%\xt$a\a an Seibrnj Seipgtg b. 12 Octobr. Anno 1694 

XXXIII. SeiBntä an Sfd&itnljau» 20 Octobr. 1694 

XXXIV. Xfd)mu)au§ an Öeibtttä Seidig b. 22 Octobr. An. 1696 

XXXV. XfdjirnfjauS an Seibtttj Sterben b. 6 Sept. An. 1697. 

XXXVI. £JdjirnI)au3 an SciBnij Stcftting&tmlbe b. 8 Martii 1698 

XXXVII. Setbnij an SfdjmtfjauS, ofjne Ott unb Saturn. . . . 

XXXVIII. £fd)mu)au3 an Seibniä Leipzig b. 18 May An. 1700. 

XXXIX. %\%\miani an Setbniä Leipzig b. 16 Octobr. 1700. . 
XL. Öetbntä an Sfdjtnu)au3 §anot)er 17 April 1701. . . 

Setlage, ©rünbltdje 3lntt)enbung ju nüjlt($en Sßtften 
fdjaften, aBfonberlidj ju ber Mathesi unb Physica. 
tute fic aniejo öon ben geleljrteften afcgeljanbelt werben, 

Sftecenfton öon Set6nij) 

XLI. Xfdjirnfjaug an Seilmij, oljne Ort unb Saturn. . . 
XLIL Sf^itn^auS an SeiBnij Leipzig b. 23 Apr. An. 1704 
LXIII. Seibniä an Xfd)trn^au3 Dresde 26 Decembr. 1704. 

XLIV. Seibtttä an XfdjttnljauS Dresde 

XLV. 2fc§txttl)au$ an Seibttiä Dresden d. 6 Febr. An. 1705 
XL VI. £ftf)itnl)au§ an Öeibtliä Dresden d. 27 Dec. An. 1706 
Sftatfjttag. Setöntj an Xftf)irnfjau3 , 



©eite. 



473 
475 
477 
480 
481 
483 
484 
491 
495 
497 
499 
500 
501 
506 
508 
509 
510 



511 
515 
516 
517 
518 
518 
519 
520 



IStiefwedtfeC |»iMe« <£eißni$ itnb p*i|K<wtt jtawit» 1673(f)--1695. 

©tttleitung. . , 527 

I. Seümij an $>ut)gen§, oljtte Ort unb £>atum 547 

SSeitage. De Eesolutionibus Aequationnm Gubicarum 

Triradicalmm, de Radicibus i-ealibus quae iuter- 
ventu imaginariarum exprimuntur, deque sexta 
quadam opei'atione arithmetica. ...... 550 

II. ^uijgettS on Seibnij Ce 30 Sept. 565 



XXVI 

III. 

IV. 

V. 

VI. 
VII. 

VIII. 

IX. 
X 



XI. 



XII. 

XIII. 

XIV. 
XV. 

XVI. 

XVII. 
XVIII. 

XIX. 

XX. 

XXI. 

XXII. 

XXIII. 

XXIV. 

XXV. 

XXVI. 

XXVII, 



©ette 

§ltf)gen* an SeiBntj Ce 6 Novernbre 566 

Seifattä an $Ut)gen3 A Hannover ce 8 de Sept. 1679. . 567 

SÖeitage, bie nouvelle caracteristique betreffend . . . 570 

Seibnig mt $Ut)gen3 A Hannovre ee ^ Octobre 1679. 575 

|>ut)gen§ an Seibrnj, ofjne Ott nnb Satunt 577 

Seibmj an §ut)gen§, ofjne Ott unb Saturn 579 

SeibtttJ an §Ut)gen3 A Hannover ce jg Decembre 1679. . 582 

$Utygen§ an ßetbnij A Paris ce 11 Jan. 1680. . , . 583 

Seibniä an §Ut)gen3 k Hannover ce 26 de Janvier 1680. 585 
Setlage. Specimen ntilitatis Methodi novae Tangentiurn 

sive de maximis et minimis. . 586 

Seibnij an §uljgett3 Janvier 1688. 587 

^Beilage. Solution du Probleme propose par M. L. dans 
les Nouvelles de la Republique des Lettres du 
mois de Septembre 1687 H. D. Z. — Addition 
de M. L. a la Solution de son problenie donnee 

par M. H. D. Z. article VI du mois d'octobre 1687. 589 

§ut)gen§ an Seibnij A la Haye ce 8 Fevr. 1690. . . 593 

Setbniä an §Ut)gen§ Hannover gy Juillet 1690. . ♦ . 594 

$ut}gett$ an Seibni* A Voorburg ce 24 Aoust 1690, . 596 

^utjgenS an Seibntj A la Haye ce 9 Oct. 1690. . . . 598 

3 

öeibniä an §Ut)gen3 A Hannover ce j^ d' Octobre 1690. 600 

Setbniä an |>ut)gen3, oljne Ott unb Saturn 604 

Setbnij an ©utjgenS, oljtte Ort unb Saturn 606 

93eüage. Tentamen de physicis motuum coelestium 

Rationibus 612 

$uijgen8 an Seibnij A la Haye ce 18 Nov. 1690. . . 613 

14 

Setbrnj an #ltijgetl2 A Hannover ce ^ de Novernbre 1690. 617 

Setbniä an §Ut)gen3 A Hannover ce 25 de Novernbre 

v. s. 1690 622 

§Ut)gen§ an ßeibni^ A la Haye ce 19 Decembre 1690. 625 

ßetbtttä an §Ut)gen§ Hannover ce 27 de Janvier v. s. 1691. 628 

|)M)gen3 an ßeibnij A la Haye 23 Fevrier 1691. . . 635 

20 

Seibniä an §Ut)gen3 Hannover ce gg de Fevrier 1691. 639 

§ut)gen§ an ßetbntä A la Haye 26 Mars 1691 611 

Setlage 644 

#ut>gen3 an Seibnij A la Haye 21 Avril 1691. ... 646 



XXVIII. 

XXIX. 

XXX. 

XXXI. 



10 



SetBttij alt §Ut)gen3 A Hannover ce xfi d Avril 1691. 



20 



$ut)genS an ßei&rnj A k Haye ce 5 Maj. 1691. 



12 



Setfmts an £>Ut)gen3 A Hannover ce ^ de May 1691 



22 

14 
24 



XXXII. 
XXXIII, 

XXXIV. 

XXXV. 
XXXVI. 



XXXVII. 
XXXVIII 
XXXIX. 

XL. 

XLI. 

XLIL 

XLIIL 

XLIV. 

XLV. 

XL VI. 

XL VII. 

XLVIII, 

XLIX. 

L. 



ßetbntj an $Ut)gen8 A Hannover ce ~ de Juillet 1691 

93 et läge. Solutio Problematis Funicularis, exhibita a 
Johanne Bernoulli, Basil. Med. Cand. (Act. Erudit 
Lips. an. 1691). — Christiani Hugenii, Dynastae 
in Zeelheim solutio ejusdem Problematis, . . 

£mt)geng an ßetbntä A la Haye ce 1 Sept. 1691. 

|>Ut)gett£ an SetBnij A la Haye ce 4 Septembre 1691 

ßeümij an §Ut)gen§ Bronsvic ^ Septembre 1691. 

^WtygenS an ßeföntj A la Haye ce 16 Novembre 1691 
|jut)geng an ßei&mj A la Haye ce 1 Janvier 1692. 
Beilage. Methodus, qua innumerarum linearum con- 
structio ex data proprietate tangentium ? seu 
aequatio inter abscissam et ordinatam ex dato 
valore subtangentialis, exhibetur ..... 
Setfmij an §u%en§ A Hannover 20 Decembre V. S. 1691 
.SeiBttij an §Ut)gen3 Hannover ce 31 Dec. V. S. 1691 
§Ut)gen§ an ßeümtj A la Haye ce 4 Fevr. 1692. . 

9 
Set&ntä an $nt)gen3 Hannover ce y§ de Fevrier 1692 

§nt)gen§ an Setbmj 15 Mars 1692 

Set&nis an $iü)geng Hannovre ^ <T Avril 1692. . 

$iüjgen8 an Setlmtj A la Haye ce 11 JuL 1692. 

ßetbntj an §nt)gen3 Hannover ^ de Sept. 1692 

20 
ßettmtj an $iüjgettS Hanover ^ Decemb. 1692. . 

$Utjgett8 an ßeibntj A la Haye ce 12 Janvier 1693 

10 



XXVII 

©ette 

647 
649 
651 

652 



SetfmtS all |JUt)geni Hanover ce gg de Mars 1693. . 
|>Ut)gen§ an Set&ttis A la Haye ce 17 Sept. 1693. , 
Set6nij an §Ut)gen§ Hanover ce j-r d' Octobre 1693. 



11 



SeiBnij an §ut)gen§ Hannover ce j^- Decembre 1693. 

LI. Seifcntä an §Ut)gen§ A Hannover ce 26 d' Avril 1694. 

LH. |mV)gen§ an Seifinij A la Haie ce 29 May 1694. 

LIII. §ut)genl an Seibntä A la Haye ce 8 Juin 1694. 



654 
659 
663 

665 

670 
674 



676 
682 
686 
687 

688 

690 

692 

695 

700 

705 

706 

711 

716 

719 

723 

726 

728 
732 



xxvur 

12 

LIV. ßeiöttij att $M)gen3 Hanover ce ^ Juin 1694. . . 

LV. Seibuiä an $uggetl8 Hanover ce 29 Juin V. S. 1694. 

LVL Setömj an §utygetlS Hanover ce ^ Juillet 1694. . . 

LVII. $ut)gen3 an SetBnij A la Haye ce 24 Aoust 1694. . 

LVIIL Setöntä an |>Ut)gen3 Hanover ce ~ de Septembre 1694 

LDL Sct6tttj ätt §Ut)gen§ A Hanover 8 Septembre 1694 . 

LX. SeUmtj an |mt)gen3 Hanover ^| Octobre 1694. . . 

LXI. £>Ut)gen3 an ßei&ntä A la Haye ce 27 Decembre 1694 

LXIL Seibma an ©uljgenS. 21 Juin 1695 

Sftadjtrag. 



©ette. 

733 
739 
741 
743 
746 
753 
754 

755 

757 



riefn>ec$fe£ 

jttrifdjen 
unb 

^l'beitlhtrg, ^tewtott, §oflxm, §ontl 

1670—1716. 



»ctdjbem ßeifintä auf ber Unitierfitctt feiner SSaterftabt Seidig 
fett Dftern 1661 titirjuggtoeife ^tlofo^tfdjen unb juriftifdjen (Binbien 
\xü) getiribmet Ijatte, befd)toJ3 er Dftern 1663 nod) bie Unitierfitctt 
$ena §u Befugen. @r ttmrbe tiornetjnttid), tüte e§ fdjetttt, burtf) 
©rljarb Söeiget, ber bte ^rofeffur ber 9Jlat^entattl befteibete, baljtn 
gebogen. Söetget §atte ftdj weniger bnxä) bte SBtffenfdjaft, bte er 
tiertrat, at§ tiietmefjr burä) feine anregenbe Unterridjt^faeife nnb burct) 
ben befonbern 9Ser!e^r r in ben er $u feinen ©djülern trat, einen tnett 
tierbreiteten 9?uf erworben, ©eine ^enntniffe gingen toofjl ntdjt über 
bie ©lementar^SKat^emattf f)inau§, aber er Befajg großes medfanifdjeg 
©efdjic! xmb ©rftnbungggabe, bte er für bie ^raltifc^en gäc^er nnb 
auf bie Sebengtier^ättniffe tiertnanbte.*) 

Seibni^ gewann bemnacl) bnxä) feinen Stuf enthalt auf ber Uni- 
tierfitctt $ena leine erfjeblttfje ^orberung in feinen matljemattfdfjen 
^enntniffen; bagegen bürften bie Slrt nnb SBeife, toie äöeigel bie 
Sütat^ematil nacf) ben tierfct)iebenften Seiten jur Slntoenbnng brachte, 
nnb überfjattpt fein anregenber Unterricht iljre SBirlung attf Seibnig 
ntdjt tierfefjtt fjaben. SSieEei^t ift bie Gattung ber ©djrift De Arte 



*) UBer ©rfjarb SBetgel finb ^u tjergletdjen: (Mjarb Zeiget. (Bin ^Beitrag gut 
®efcf)tcl)te ber tnatljetnattftfjen SStffenf haften auf bm beutfc^ert ttniuerfitäien im 17. gcrijr* 
f)unberi, von Dr. ^axiljolomaei in 3ena (Bupplemeniljeft gitm 13. Saljrgang ber Qeit* 
fdjrtft für 2JtotI}ematt! nnb Sßljgjt!. 1868). - (Mjarb Zeiget, ein SeBenSfiilb oon ©bntunb 
©piefc, Seidig 1881. 



4 (Stnleitimg. 

Combinatoria, Lips. 1666, auf feinen $enenfer Slnf enthalt fritiich 
jnfüljren; beSgletdjen and) bie erfte $bee fetner ^edjenmafdjine, bie 
bereite üov bem $al)re 1671 entftanben ift.*) 

%u6) anf bem ®e£iet ber ^ilofo^ie bürfte eine (Sintnirfnng 
SBetget'g auf Seibntj nad^ntoeifen fein; waren bod) beibe in Über- 
einftimmnng, bajg gnr ©rflctrnng ber ©rfdjeimmgen ber ^crpertnett 
üon StriftoteleS, nacfjbem er öon ben ©c^lacfen ber fdjotaftifdjen- 
^jitofü^ie gereinigt^ entgangenen fei. Hoc unum in quaestione est, 
fdjreibt ßetbrnj an $acob ^omafing im $al)re 1669 (Seibn% ^i= 
(üfo^ifdje ©Triften 23b. I. ©. 16. 17) an quae Aristoteles de 
materia, forma et nmtatione abstracte disputavit, ea explicanda 
sint per magnitudinem, figuram et motum. Id Scholastici negant, 
Reformatores affirmant. Reformatoram sententia mihi non solum 
verior, sed et Aristoteli magis consentanea videtur.**) @£> !am bem= 
nctdj nur baranf an, jebe „mutatio", fo üerfdjiebenartig fie and} fein 



*) @S rairb meiftenS angegeben, bafj Scibntg mäTjrenb feinet Aufenthalts in 
$ßartS, al§ üjm bte ^edjcnmafcrjine SßaScal'S gegeigt mürbe, feine t»iel t)oH!otn innere cr= 
fnnben unb ein SJiobeH bauon aufgeteilt Ijabe, mobnrdj er bie 2lufmcrffamfeit bcS WU 
nifterS ©olbert anf fid) lenfte (©tttjrauer, SeiBnife £§eil 1. ©. 113). dagegen geljt aus 
ber ©orrefponbeng SeibnigenS mit be ©arcant) Ijernor, ba$ er bereits im Saljre 1671 
raa&renb feines Aufenthalts in SJlainj im 23efiij feiner 9kti)cnmafd)ine mar — ob in ber 
3bee ober fdjon ausgeführt, läßt fidj niä)t mit 93eftimiiit§cit entfdjeiben. $)e ©arcaim 
fdjreibt an ifjn (Lutet. Par. die XXa. Junii an. 1671) : Ad machinam tuam quod attinet, 
quam curiosam et utilem existimo, eani si ad nos mittere velis, dabo operam ut 
Excellentis Colberto innotescat, eanique nanciscar occasionem ut tua merita apud 
eum extollam, scilicet EfTecta verbis praepollent praesertim apud cum qui plura facit 
quam dicit, nee dubito quin Vir Sagacissimus eam magni faciat. Arcanum autem 
Religi« servabo; is enim sum qui tibi inservire etiam atque etiam exopto. Doc- 
tisaimus Paschalius, Mathematicarum olim peritissimus, jam a multis annis similem 
fere machinam invenit ex multis rotis compositam, cuius beneficio additionem et 
subtractionem, proindeque alias Arithmeticae regulas conficere in promptu est. Eam 
si non videris, autlior sum ut videas. — Seiber feljlt ber 23ricf SeibnigenS, meltijen 
be ©arcann Ijier beantwortet. 

**) gn ber ©orrefponbeng mit %acoh SljomafiuS erörtert Seibnig ben Urfprung 
feiner $>{jik> fopfjie ausführlich, namentlich baf} er niemals ©artefianer gemefen fei (me 
fateor nihil minus quam Cartesianum esse; ferner: Quare dicere non vercor, plura 
me probare in libris Aristotelis 7uepl cpuawojq dxpooccjswc quam in meditationibus Cartesii; 
tantum ab est ut Cartesianus sim). 



(Einleitung. 5 

mag, auf „motus" äurücfäitfütjren. Um bieg §u ©taube ju bringen, 
fal) fic£) Seibnig öerantafjt, Don ber metap^tjfifc^en 23efct)affent)eit ber 
Körper eine SSorftelluttg $u gemimten, nnb §ugleic£) bie ©nburfadje ber 
35emegmtg aufeufudjen. ©o mürbe bie 83etoegung ber Stugganggpmtft 
feiner 9ßetapf)t)jti 

$m $af)re 1669 befanb ftd) Seibrnj in bem SBabeort ©ctjmafc 
hau), at§ tym ein $eft ber Philosophical Transactions ber $önig= 
liefen ©ocietät in Sonbon ju (Sefidjt laut, in meinem Staublungen 
üon |htt)geng nnb äören über bie $emegungggefe|e enthalten maren. 
©r erfamtte fofort, bafj bie ®runbfct|e (regulae), meiere bie SSerfaffer 
in Setreff ber $emegungen aufgeftetlt Ratten, üon ben @rf Meinungen 
(phaenomena) entlehnt maren, bafj aber bie erften @rünbe ber 93e= 
Regungen ganj anbere mären. ®ie ©rfdjeinungen feien abhängig üon 
ber ^fälligen 23efcf) äffen!) eit Ü)rer Umgebung (ex statu Muncli); fie 
feien anbere im teeren 9£aum ober in einem rutjenben Sftebium, gerabe 
fo tr>te bie ©cfjmere nnb bie befdjteunigte Semegung ber fattenben 
Körper ntdjt üon einer innemotjuenben ®raft, fonbern üon ctujgerltdjen, 
ntdjt bemerlbaren Urfadjen beeinflußt »erben. Setbmj ergriff bie 
(Gelegenheit, nm mit ber Äömgltdjen ©ocietät in Sonbon in $e= 
rüfjrung ju fommen. ©r orbnete in fürjefter $t\t feine $been über 
bie erfte Urfadje alter 23emegungen in ber ^örpermett, mtb maubte 
fiel) an Otbenburg, ben ©ecretetr ber ©ocietät,*) um ju erlunben, ob 
eine ©djrtft mit bem betreffenben ftnljalt üon ber ©ocietät entgegen- 
genommen mürbe, hiermit beginnt bie Sorrefponbenj Seibrnjeng mit 
Dtbenburg, eine ber midjtigfien, buret) bie er in feinen öriffmfdjaffc 
ticken S3eftrebungen gauj befonberg geförbert mitrbe. 2tts Seibtttj üon 



*) §emrtd) DlbenBurg, geboren 1626 31t Sternen, MCeibetc raatjrenb (SxomroeH'g 
©crrfäaft ba§ %lmt eines <£onfitI§ fetner SBaterftabt in Sonbon. dlacl) SSerluft feiner 
amtlichen ©tcHung mürbe er £ntor eines englifeljen (SbelntannS, ben er 1656 nadj Drjorb 
Begleitete. (Sr nmrbe bafelBft mit ben (Metrien Mannt, welche bie Royal Society 
31t Sonbon grünbeten. 1663 nmrbe Dlbenburg einer ber ©ecretäre biefer gelehrten @e= 
jeHfdjaft. 



6 (Einleitung. 

Olbenburg jnr Überfenbung aufgeforbert tonrbe, lieft er feine (Sdjrift 
bruden. 3)ie Briefe, bie Setbnt§ in biefer 3ett. an Dtbenburg rtc£)tete / 
enthalten intereffante Beiträge in betreff ber ©ntfte^nng nnb &nU 
toidelung feiner metapf)t)fifc£)en ^orfteßungen, infofern er fidj genötigt 
fat), jur ©rmittetung ber (Srunburfadje ber $etoegungen auf bie S5e^ 
fc£)affettt>eit ber Körper einpge^en. ©ine |)auptfd)toierigfeit üerurfadjte 
itptt- bie ©rftärung ber ©rfctjeinungen ber Kopfion fotoof)t in betreff 
eine§ ®övpevä, al§ auä) oon mehreren Körpern unter fiel), tote fie auf 
S5etoegung äurücfäufüf)ren feien. Seibni^ ging hierbei toieberum auf 
Slriftoteteg jurüd, ber „contigua" befitlirt, quorum termini sunt 
simul, et continua quorum termini sunt unum. Quorum igitur 
termini unum sunt, ea connexa ac sibi cohaerentia sunt, quamdin 
perdurat terminorum unitas. $n $olge beffetl fteKt Seibni^ bie 
99e^au^)tung auf: Quaecunque ita moventur ut unum in alterius 
locum subire conetur, ea durante conatu inter se cohaerent, nnb 
fügt f)inätt : Conatus enim, rectissime observante Hobbio, est ini- 
tium motus, seu icl in motu, quod in linea punctum, $n ^Betreff 
be§ fünftes nimmt Seibnij bie SSorftellung ©aöaltert'S über bie im= 
teilbaren (Prüften ju $ütfe: Punctum non esse aliquid minimum 
et omnium partium expers; esse tarnen inextensum seu expers 
partium distantium; quin etiam punctum esse puncto majus, ut 
angulum angulo : Punctum non esse cujus pars nulla est nee 
cujus pars consideratur, sed quod quolibet extenso assignabili 
minus est, quod est fundamentum methodi Cavalerianae. ^!aum 
anberS, fe|t er liin^n, lönne mau fidj aus beut ßabtirintf) be§ 23e= 
griffe be§ ©ontinuirlic^en Ijeraugfinben. Sin einer anbern ©teile be^ 
merlt Seibnij: Ex subtilissima contemplatione de natura puneti 
seu indivisibilium pleraque miracula in rebus naturalibus oriuntur. 
Sin biefe leinegtoegg toiberfyrucptofe Sluffaffung t)on bem ^Begriff be<§ 
fünftes reiben fief) alle übrigen metapljtififc^en^orftellungenßeibniäeng.*) 

*) Qn SBegug auf ba% OBige fpricfjt fiel} Seifcnts m feinem erften ©rfjreiBen an 



(Einleitung. 7 

®ie öoti Seibnij »erfaßte ©tfjrtft ^at gum Xitel; Hypothesis 
physica nova, qua Phaenomenomm Naturae plerorumque causae 
ab unico quodam universali motu, in globo nostro supposito, 
neque Tychonicis, neque Copemicanis aspernendo, repetuntur, 
Autore G. G. L. L. Moguntiae Anno M.DC.LXXI. @ie be^ 
fteljt cm§ jtoet fetten, üon benen ber erfte bie Stnffdjrift Ijctt: 
Theoria motus concreti seu Hypothesis de rationibus phaeno- 
menorum nostri Orbis, nnb ber königlichen ©ocietctt in Sonbon 
gettribmet ift; ber jttette SHjeit Ijctt ben Xitel: Theoria motus ab- 
stracti seu rationes motuum universales , a sensu et phaeno- 



goljann griebxic^/ §ergog von $xaunfd)meig==£üneBuxg, baiixt Wlayn$ 21 ffla\i 1671 
(SetBnig, $ßl)ilofopt). Scljxiften 23b. I. <S. 52) tüte folgt au§: ©onften IjaBe untexitjänigft 
Bengefügt (31t bem @£emplar ber Hypothesis physica) einen furzen gefcljrieBenen £>i3cour£ 
ben id) einftmal)l£ auff Begeljren De usu et necessitate demonstrationum immortalitatis 
Animae auffgefeijet, barinnen icl) etnefj unbt ba$ anbete de Demonstrationibus meis 
circa Naturam Dei et Mentis gebenle. DBgleicl) folc^e Demonstrationes felBft megen 
iljxex unzertrennlichen itette, banütt fie einanber nicl)i allein Befiärfen, f mtbern and) er* 
läuttern, extractes ober ftüclmeife r>erftctnbtlid) Beizufügen unmöglich gemefen. £>enn audj 
meine Demonstrationen gegrünbet fein auff ber fcl)mel)ren doctrina de puncto, instanti, 
indivisibilibus , et conatu; bann gteid) tüie Actiones corporum Befielen in motu, 
fo Befteljeu Actiones mentium in conatu, seu motus, ut sie dicam, minimo vel 
puncto; biemeil auef) mens felBften eigentlich in puncto tantum spatii Befteljet, 
Ijingegen (Sin Corpus einen platj cinnimBt. 2Betd)e§ id), nur populariter banon 
31t reben, baljer flaxltcl) Bemeife, biemeil ,ba£ gentütf) fein nutfj tu loco coneursus 
alter Belegungen, bie t>on ben objeetis sensuum unfj imprimirt merben; bann mann icl) 
fdjltefjen null, baf3 ein mir norgegeBen corpus golb ferj, fo neunte icl) gufammen feinen 
glan£, £Iang unb gemid)t, unb fdjtiefte barauf3 ba& ej3 golb feu, mn$ atfo ba§ gemütl) 
at)n einem ortl) fem, ba alte biefe ßtnien visus, auditus, tactus gufammen fallen, unbt 
alfo in (Sinem punet. ©eBen mir bem ©emütf) einen gröfjem plaij at£ einen punet, fo 
ift efc fd)on ein Körper, unbt §ai partes extra partes, ift batjer fid) ntdfjt fetBft intime 
praesens, unbt tan alfo aud) rttcfjt auff alle feine ftücle unbt Actiones reflectiren. 
£)arinn bocB bie ©ffen^ gleidjfamB befc @emüit)e§ Befielet, ©efeirt nun ba% ©emütl) 
Befiele in (Sinem punet, fo ift e% ungertljeilig unbt ungerftörtid). to^ melden unbt 
anberen ba%n genommenen fundamenten icl) niel munbexlid) bingft von eigenfd)afft bex 
menfd)licl)en Seele unbt insgemein aller xjerfiembigen ©emütl)er Bemiefen, baxan mol)l 
Bi^er niemanbt gebaut, oBgleid) bie itmljrljeit ber Religion, ber ©ötttidjen Providentz, 
ber UnfterBtictjfeit unferer @eete unbt Dieler l)of)en mysterien (al§ ber geredjtifgeit, ber 
praedestination unb gegenmart im sacrament) mügticrjfeit auff ganfe niematjlfc gefetjene 
manier baraufc fliefet: 2Betd)e§ alleft icl) einftmal)lj3 fo flar al§ ©ituag fein lau, gu 
machen unbt bautitt Ben alten SSerftäubigeu, ben jeijo einreif) enben Atheismum fjaffenben 
unbt umB bie (Snugfeit fid) Befümmcrnben ä)Zenfd)en einigen £)anf gu nerbienen Ijoffe. 



8 ©mleüimg. 

menis independentes , nnb tft ber SCfabemte ber ^tffenfdjaften in 
$ati§ zugeeignet, $n bem erften £f)eit entoiclett Seibnij bie 
|)t){)ütf)efe einer Unitterfatbetoegnng in bent SBeltenranm als Urfadje 
aller Setnegungen in ber ßörpermelt. ©r geljt baüon aus, baf? bie 
©onne um tfjren aWittelpunft rotirt nnb pgleid) Stdjtftro^Ien au&= 
jenbet. 2>nrä) beibe§ hrirb ber gan^e äSeltenraum, ber an<§ bem 
„aether" nnb ben barin oorfommenben, nnt tfjre eigenen Wlittüpmtte 
rotirenben $immeföförpern Befielt, in eine Sentralbetnegung oerfe^t. 
^nxä) ba$ ßufammentreffen (coneursus) biefer ©entratbetoegnng be§ 
2ltJ>erg nnb ber eigenen Dotation ber ©rbe entfielen getoiffe Olafen 
ober feine ©efctfje (bullae quaedam seu vasa subtilia) toeldje gletdj- 
fam bie ^nnbamente ber Körper fitib, nnb bie fiel), tüte burclj ein 
nnftdjtbareg, au$ bem ^nfamntentreffen beiber SJetoegungen ent\tanbene§ 
fetter (ignis invisibilis, omnia nostra permeans totumque globum 
quousque nobis nosse datum est servans in perpetuo fluxu) in 
einer bent $oct)en gleiten SBetoegung (bullitio) befinben, nam bullitio 
rerum igne liquescentium, fe|t Seibnij f)tn$U, in perpetua bullarum 
generatione et interitu, transfiguratione, unione plurium parvarum 
sibi appropinquantium in unam majorem, dispersione unius nimis 
tumefaetae in plures parvas, mirabili circulatione consistit.*) 2) er 
%tt)ev f ber $ur SJtlbwtg ber „bullae" ntdjt nttthrirft, rottrt mit bem 
Stdjt in fdjneltfter SSetoegnng um bie ©rbe. @o entfielen bie (Hafticitctt 
nnb bie (Seltnere nnb öon biefen beiben bie meiften ßörper^ftttomene.**) 
— 5Den $nf)att be§ jtoetten &f)eii§> ber Hypothesis physica, ber bie 



*) SDtefe letztere 2(u§etncuibexfe£imcj tft bei (Soxrefponbens SeiBnijcnS mit be 
©arectur) entlehnt. 

**) Hie (aether) statim taru vim Elasticam tarn Gravitatem efficit : Vim 
Elasticam, quia si quid crassi consistentisque aetheri oecurrat. quod in tantam sub- 
tilitatem divisum non est, quanta est aetlieris gyrantis, id motni aetheris obsistit, 
quia ab eo abripi eaclem celeritate non potest : necesse est ergo, vel disjiciatur in si- 
niilem aethereae tenuitatem, niotui aptam, vel dejiciatur in locum, ubi motus tam 
fortis ac proinde tanta tenuitate opus non est, id est prope centrum : a disjeetione 
Vis elastica, a dejeetione gravitas: ab his duobus pleraque corporum phaenomena. 



(Einleitung. 9 

Xtjeorie ber 33etoepng ofjne fRxicIfid£)t auf bie ^anomene befjanbelt, 
f)at SetBntä fetbft in beut Söriefe an Dtbenbnrg üom 29. Sfyrit 1671 
inte folgt angegeben: ®ie Set)re oon ber Söetuegitng an fict) (theoria 
motus abstracti) befeitigt bie faft nnüberttunbtidjen ©djinierigfeiten 
in ber $nfatnmenfe|nng be§> ©ontimtirMjen; fie ftü|t bie ©eometrie 
ber unrettbaren imb bie Strtttjtnettl ber unenblidjen ©röfjen. @ie 
jeigt, bafj in ber Statur ber Singe ntdjtg o^ne Sprite ift; bag Son* 
tmitirtidfje beftetjt an§ nnenbtict) trieten fetten. SDie ßetjre tum. ben 
SBtnleln tjanbett öon ©röfjen ofjne Slugbe^nung (de quantitatibus 
inextensorum). SBeiter tjetfjt e§: Motum esse motu fortiorem, 
ergo et conatum conatu : conatum autem esse motum per punc- 
tum in instanti; punctum ergo puncto majus esse. Si corpus 
premat corpus, conari ac proinde incipere in ejus loco esse; ergo 
incipere uniri seu penetrare; terminos igitur eosdem; ergo Cor- 
pora se prementia cohaerere. Conatus diversos inter se per 
minima mixtos producere novi generis motus. Nullam esse 
cohaesionem quiescentis. Omnem potentiam esse a celeritate. 
Omne corpus esse m entern instantaneam; mentem servare conatum 
amisso motu, corpus non servare; sed mentem ab agendo desistere 
non posse, mentem propagare se ipsam sine nova creatione. 

®te ßonboner ©ocietät übergab bie ßetbmgtfd^e ©djrift an 
SBaHiS, ^rofeffor in Dgforb, jur SSertctjterftattung. @te fiet für 
Seibnij günftig au8. ®a3 SBefenttidjfte baüon enthält ber 93rtef 
Dtbenburg'g öom 16. ftnni 1671.*) 



*) SeiBnig Ijat fpäter üBcx bie Hypotliesis physica nova ein gang äf)nM)e§ ttrttjeit 
gefällt tuie nucr bie vorausgegangene ©ct)ri[t De Arte combinatoria. (&z fctjveiöt an 
goucljer (Seibni^ Sßfjtfofoptj. @cl)ti[t. 33b. I ©. 415): II est vray que j'avois fait deux 
petits discours il y a vingt ans, Tun de la Theorie du mouvement abstrait, 
oü je l'avois considere hors du Systeme comme si c'estoit une chose purement mathe- 
matique, l'autre de l'Hypothese du mouvement concret et syst ematique, 
tel qu'il se rencontre effectivement dans la nature. Ils peuvent avoir quelque chose 
de bon, puisque vous le juges ainsi, Monsieur, avec d'autres. Cependant il y a 
plusieurs endroits, sur lesquels je crois d'estre mieux instruit presentement, et entre 



10 Einleitung. 

3)ie Korrefponbenj äftifdjen Seibni^ imb Dtbenbxtrg in ben 
$af)rett 1670 unb 1671 betoegt fiel) toefentM) über bie oon Seibnij 
aufgeteilte Hypothesis physica nova imb über bte Söetoegung über= 
tjaityt; fie ttitrb bef Stoffen burdj' ba3 längere ©^reiben . Setöntjeng 
oon 15/25 öftober 1671, mit freierem er äitgleiif) eine Keine Wo- 
tjaublitug: Notitia Opticae promotae, Francofurt. 1671, überfenbet, 
bie er ber Äönigtidfjen ©ocietat üorsutegen bittet. Über btn $nt)alt ber- 
felben fdfjretbt Set6nt§ an ben ^er^og $o£)ann C^rtebrtcf) oon 23raun- 
fdjmeig^Sünebnrg ttie folgt (Seibn% ^ilofo^t). ©djrift. 33b. I ©. 59): 
$n Opticis fjabe iü) entbecfet erftlM) 1) an getmfjeg Genus Tubomm 
ober Lentium, fo idf) Pandochas nenne, bietnett fie ba§ ganje ob- 
jectum uniformiter fafjen, xutb nidfjt Weniger bte ftrafjlen extra 
axem opticum afö in axe optico distincte colligiren, babltrd) ba§>- 
jenige, tva§ man bMjetjr oergebenä gefudjt, ju mege gebraut mirb, 
tote netimtiii) ben vitris objectivis eine fo grofje apertura gegeben 
toerbe, ai§ wir inolten, nntb ber ftrafjlen befto meljr bamit §u fafjen. 
2) Tubos-Catadioptricos, ba in einem tubo ©Riegel imb Perspectiv 
mit einanber conjungirt, unb baburd) oiet fonft itnoermeibtlicl) brauff 
gefjenbe ftratjleu, jum inentgften nodj etnften fo oiet afö iejo 
mügtiä), erhalten »erben. 3) ©tu mittet, fo bi<§t)e!)r oergebtict) 
gefugt tnorben, mit Perspectiven au 8 einem ftanb gu mefjen, 
itf) ^öfjre ba£ bergleicfjen and) anbere tentirt, metctjer geftatt aber, 
Ijabe noctj üon feinem SJienfdjen oerftanben, unb baljeljr per artem 
Combinatoriam gefunben. — 9Kän lanu moljt ai§ §iem£ic^ fieser 
annehmen, bajg Seibniä bergleicfjen Stufen imb ftuftrumente nidjt 



autres je ni'explique tout autrement aujourdhuy sur les indivisibles. C'estoit l'essay 
d'un jeune homme qui n'avoit pas encor approfondi les mathematiques. Les Loix 
du mouvement abstrait que j'avois donnees alors devroient avoir Jieu effectiv erneut, 
si dans le corps il n'y avoit autre cliose que ce qu'ou y coneoit selon Des Cartes, 
et nieme selou Gassendi. Mais comme j'ay trouve que la nature eu use tout autre- 
ment ä l'egard du mouvement, c'est im de nies argumens contre la notion receue 
de la nature du corps. 



©mlcttimg. 11 

^raftifcf) conftritirt Ijat; er Ijatte bie äJleinung, ba§ bergtet^en möglidj 
fei. SBon weit tjötjerem ftntereffe ift ber übrige $nfjatt biefe§ \nxfy 
tigeu ©d)reibeng. SetBnig lommt auf 333aftt§' 3$ertd)t über bie Hypo- 
thesis physica jitrücl unb Ijebt fjeroor, bctfj äöcttüg mit ber SMjauptuug 
eitlüerftatlben fei: nulla est cohaesio quiescentis b. f). ©oljäfum 
entfielt nidjt in ber Sfttlje, fie ttnrb öiettne^r burd) SBetoegung t)eroor= 
gebracht. ©g giebt leine abfotute 3htfje in bm Körpern, unb ßeibntj 
fügt Ijiltju: Quod a nobis appellatur corpus quiescens, id 
in rei veritate esse spatium vadium, quicquid dissentiant 
Cartesiani. Hinc infero, ad essentiam corporis requiri aliud 
aliquid quam extensionem (id est magnitudinem et figuram), 
alioquin a spatio non diftcret. Ostendam autem, illud nihil 
aliud esse posse quam motum. Possum ergo demonstrare has 
propositiones alicujus in Philosophia momenti : (1) clatur va- 
dium; (2) quod quiescit, est spatium vacuum; (3) 
quicquid movetur, cohaeret in 1 i n e a motus; (4) 
Tellus movetur. Quae propositiones a se invicem pendent, 
aut consequuntur. Ausim me primum asserere qui demonstravit 
Motum Terrae. Si demonstrationes harum propositionum Illustri 
Societati Regiae non ingratas esse intellexero, transmittam ali- 
quando. hieran fdjltefjt Seibnij eine Äritif ber @ä|e, bie ®e§ectrte§ 
über bie ©efe|e ber 9?cttur itub über bie 33etoegung attfgeftettt f)at. 
@g finben fid) l)ier fcfiott bie ©ruublagen ber Singriffe, mit melden 
Seibnij ein ^aijv^djnt fyäter bm ®ampf gegen bie ©artefianer eröffnete. 

SDie ©orrefponbeuä giutfc^eit Seihnifi itttb Dtbeuburg ift öom 
&nbe be§ $al)re3 1671 bt§ StnfcmgS 1673 ■ unterbrochen, ba Seibnij 
burd} Strbeiten politifdjer Strt aubertoeittg in Stufprud) genommen 
tmtrbe, bie bamit eubigten, bafj er im Stuftrage be§ 3kron8 tum 
SSoineburg bm 19. 3Jiärj 1672 in einer potittfdjen äßtffum naä) 
^ari§ ging. ®urd) bie Unterfjanblungen, bie Seibui^ bafetbft ju 



12 ©tnlcitung. 

führen fjatte, würbe er längere Qeit feftgetjatten ; er unterlieft inbefj 
nidjt mit ben tjertwrrageubften SMunern ber SBiffenfdjaft in ^SartS 
in 33erfet)r #t treten; unter anbern machte er bie 93efamttfü)aft üou 
Inttjgeng, ber afö ber üornefjntfte Vertreter ber matt)entatifd)en 
3Biffenfd)aften feit 1665 in ^arig lebte, #m £erbft 1672 erfdjien 
eine anfjerorbenttidje ®efanbtfd)aft be§ (£t)urfürfteu oon SD^ains in 
^arig, welche bie Söeifung Ijatte, Don ^3ari§ naci) (Snglanb §u ge^en. 
$m (befolge be3 Ökfanbten lam ßei6m§ ben 11. Januar 1673 nad) 
Sonbon; er »erteilte bafelbft U§> SfotfangS 3Jiär§. ©r machte bie 
perfimlicfje SBefanntfdjaft öon Otbeuhtrg, uub t>erfe£jrte fjier, ebenfo 
tote Dörfer in ^ariS, mit ben bebeutenbften (Meljrten Sonbon' 3, be= 
fonberS mit bem ©(jemifer SSotjle. $n einem am 3. Februar in 
Sonbon an Dlbenburg getriebenen Briefe berichtet ßeibnig, bafj er 
am Sage oortjer hü SBotjte mit beut SJiatljematifer ^ell jufammen 
getroffen fei; er l)abe gitfälltg geäußert, baf? er im S5efi| einer -äftettyobe 
fei, mit $iilfe ber Differenzen bie ©lieber einer continuirlid) toadjfenben 
ober abneljmenben 3al)Ienreifje jn beftimmen, tooranf ^3etl bemerkte, 
baf? bieg- bereite in ber ©djrift .Mouton's De Diametris apparen- 
tibus Solis et Lunae ertocüjnt werbe. *) Seibnij t)atte oon beut 
Sßor^anbenfein biefer @c§rift leine ^enntnijg. ©r erhielt fie oon 
Dlbenburg jnr ©tnfidjt, unb überzeugte fidj fofort, baf3 ba3 bafelbft 
angegebene SBerfaljren in betreff ber SSitbung ber ©lieber einer Steige 
ein anbereg fei als baS feinige. ©r lonnte bemnad) nidjt allein ben 
SBefteig führen, baf; er bnrdj eigene Unterfudjungen betritt gelangt fei, 
er geigte zugleid), baf; er mit beut ©egenftanb au§reid)enb oertraut, 
über ba§> \va§ anbere bisher in biefer |)infid)t geteiftet Ratten, l)inau^ 



*) ®abml 2Routon (gcD. 1618 51t Srjott, geft. bafelbft 1694) $at fidj bitrdj ^Be- 
rechnung ber Sogaritfjmeit ber @inu§ unb Tangenten ber SSinM t>ou 0° Bio 4° für jebe 
6ecunbe auf 10 SDecünalfieflen mittclft ber Differenzen einen Tanten gemacht. Der genaue 
SLitel fetner angeführten ©djrift ift: Observationes diametrorum Solis et Lunae appa- 
rentium, meridianarumque aliquot altitudiuum cum tabula declinationum Solis etc. 
Lugd. 1670. 



(Einleitung. 13 

gegangen ftmre. Seibtttj fjatte in beut XdbUau ber SStnomtaicoefft- 
ctenten ntdjt nnr tote bigfjer bie ^orijontatrettjen ber ßaljleu betrautet, 
er Ijatte für bie in ben SBerticatrei^en unter einanber fte^enben ßa^Ieti 
ba3 btgfjer ntc^t beobachtete 33tlbung8gefe| erlannt / bafj jebe gafyl 
eine ©umme ^toeier 3af)leu in ber üorljergeljenben ^orijontatreüje ift 
(ita enim statim vera genuina eoram (numeromm) natura ac 
generatio apparet). Setbntj bemerlt ferner, bafj er feine Untere 
fudjungen auf unenbltdje Steigen auggebeljnt Ijabe, unb gan^ befonberS, 
bafs er bie unenblidjen Steigen öon 33rüdjen, bereu Bftljler 1 unb 
bereu Kenner bie triangulär ^^ramtbaU u. f. tu. Sagten tociren, 
funtmiren fönne. 

®a<§ ßufammentreffen tritt bem SIKatljemattfer ?ßeXI ttmrbe für 
ßetbntä öon ber folgenreichen SBebeutung. ©r erfuhr öon il)m, ttiag 
in ©nglanb auf beut (bebtet ber fjöljeren SJiatljemattf oeröffenttidjt 
tuorbeu toar, unter anbern in betreff ber Steigen bie Setftung 9Ker= 
eator'3 über bie Öuabratur ber ^tjperbet in beffeu 1668 erfdjienenen 
(Schrift: Logarithmotechnia.*) Seibni^ ncfym biefe @d)rtft mit 
naä) ^3arig. Sßon ben Seiftungen -ftetoton'g auf beut (Gebiet ber 
teeren SKattjematif, bie namentlich in ber Stbljanbtung : De Analysi 
per Aequationes numero terminorum infmitas, niebergetegt ftttb, 
erhielt er leine ®enntmf$; e§ ift ttwljt mit ©tct)er£)ett anjune^men, 
baf$ ber 9JJat^ematiler Kotting,**) ber barin etngetoeüjt ttrnr unb 
eine Stbfdjrift ber 9totonfd)en Stbljanblung befafj, toäljrenb be§ Sluf= 



*) £)er uollftäubige Sitel biefer @tfjrtft ift: Logarithmotechnia sive Methodus 
construendi Logarithmos nova, aecurata et facilis, scripto antchac coramunicata Anno 
Sc. 1667 Nonis Augusti, cui nunc accedit vera Quadratura Hyperbolae et Inventio 
Summae Logarithniorum. Aüctore Nicoiao Mercatore, Holsato, e Societate Regia. 
Londini MDCLXVIII. 

**) Soljtt ©oHinS (1625—1683) Ijat fiel) um bie ntatfjematifdje Literatur baburd) 
nerbtent gemalt, baj3 er ben £)rucf non @d)riften ber äJlatfjematifer feiner Seit ner* 
ntittelte, mefjr aber nod) baburtf), baj3 er fo ber 9JUtteIpunfi üon Brteftidjen Sftittljeiluttgen 
ber bamaligen äJtatfjematifer, befonberg ©ropritannien^ nmrbe, in einer Seit, wo bie 
Veröffentlichungen ber Wlabemien unb geitfdjrtften eben int (£ntftef)cn waren. 



14 (Stnlcttuttg. 

enthalte«? ßetbnijenS in Sonbon nid)t antnefenb toar*); jebenfaltg 
ttmrbe ölbenburg, ber mit KottinS näheren Umgang Ijatte, eine 35e= 
gegnnng beiber vermittelt tjabeu. $n bent erften S3riefe, ben Seibnij 
üon ^Sarig an DIbenburg richtete, ttirb Stoton mir in betreff feiner 
optiftfjen ©ntbecfnngen ertociljnt.**) 

S)ie Anregung , bie Seibnij $nm ©tubium ber leeren Wlatfjt- 
matt! in Sonbon ermatten tjatte, getoann nadj feiner Stücffeljr in ^3art§ 
bnrtf) |>nt)gen§ eine ganj befonbere $örberung. Seibmj l)at jn jeber 
3eit anerkannt nnb Ijertiorgeljoben, tote ötet er in feiner matljematifdjen 
23i(bung bem Umgang mit $ut)gen8 üerbaufe. ©r erlieft öon iljm 
ein ©jemptar feines eben fertig geworbenen, berühmten Söerleg : Horo- 
logium oscillatorium***) junt ®efdjenf, nnb ttmrbe üon if)m in 
^Betreff ber Seljre oom ©djtoerpnnft in ber ®ür$e unterliefen, ©inen 
größeren Umfang erhielten bie triff enf^afttidjen Unterhaltungen beiber, 
feit ßetfmij aufs eifrigfte in ba§ ©tubtum ber Ijöljeren äftattjematif 
fiel} vertiefte. |ntfc)gen§ ttmrbe fein $ül)rer nnb SBeraäjer; er empfahl 
it)m hie ©cfjrif ten be§ Gregorius a S. Vincentio****) nnb bie Söriefe 
uub Slbfjanbtitngen, bie ^ßagcal unter bent angenommenen tarnen 
®ettonritte öeröff entließt fjatte. *****) 3)a3 erfte ©rgebuif; biefer 



*) DIbenBitrg fdjtctBt cm Setfrntg Londini die 6. April. 1673: Scias itaque primo, 
nie scriptum illud tuum de Interpolationum doctrina deque tuo cum clariss Pellio 
circa id argumentum et Moutonum colloquio impertiisse DoctissP nostro Collinio, 
similiter e Societate Regia, qui in hac est seutentia etc. 

**) De Neutonii sententia scribe, quaeso, quid vestri sentiant; aegre certe 
adducentur cruditi , ut ejus sententiam de differente radiorum refrangibilitaie 
admittant. 

***) Horologium oscillatorium sive de Motu pendulorum ad Horologia aptato. 
demonstrationes Geometricae. Paris. MDCLXXIII. ©ic 2)cbtCtttton au ben dortig 
Subtüig XIV ift batirt nont 25. Wäx^ 1673. 

****) Opus geometricum quadraturoe circuli et sectionum coni, decem libris 
comprehensum. Antwerp. 1647. 

*****) Lettres de A. Dettonville contenant quelques unes de ses Inventions de 
Geometrie. Scavoir, La Resolution de tous les Problemes touchant la Roulette 
qu'il avoit proposez publiquement au mois de Juin 1658. L'Egalite entre les Lignes 
courbes de toutes sortes de Roulettes et dea Lignes Elliptiqu.es. L'Egalite entre les 
Lignes Spirale et Parabolique demonstree a la maniere des Anciens. La Dimension 



Einleitung. 15 

©tnbien toar, nadj bem Vorgänge 9Jiercator'8 in betreff ber «gerbet, 
bctf? Setfentä bie nadj üjm benannte fReiJje y — ^ + j ~~ t + t — n 
in inf. fatib, bie ficf) ^nr ©irifjeit »erhält tote ber ®rei3 $u bem nm= 
fdjriebenen £luabrat.*) Stuf ber anbern ©eite itmrbe ßeibrnj. öon 
DIbenbnrg, bem ©otttnS afö 33erat^er in matfjematifdjen fragen jur 
©eite ftatib, über bie 3fortfdf)ritte in ben mat^ematifdjen ®i3ctplinen 



dun Solide forme par le moyen d'une Spirale antour dun Cone. La Dimension et 
le Centre' de gravite des Triangles Cylindriques. La Dimension et le Centre de 
gravite de l'Escalier. Un Traitte des Trilignes et de lenrs Onglets. Un Traitte 
des Sinus et des Ares de Cercle. Un Traittö des Solides Circulaires. A Paris 
M.DC.LIX. 3u biefer ©cljrift finb bk 2101) cmblun gen SßciScat'g au§ beut Saljre 1658 
mit btn Sufdjrifteu an §ut)gen3, be (glitte unb einen Ungenannten verewigt. 

*) lieber bie Verleitung biefer 91eilje verbreitet fidj Setbntij au£fül)rlid) in oer 

^Ibljaubtung : Historia et origo calculi differentialis. £)er 3 c ^punft' ber (Sntbecfuug 
biefer Sfteilje unrb annähern b befiimntt burdj §uggen8' S3rtef an Setümta uout 6. 9?o= 

nentber (1674), tDeldjer audj begfjalb Ijter einen ^laij Derbicnt, infofern er tu betreff 

beS (Streitet anriftfjen Setbntg unb Jgac. ©regora über bie ©utbeclung btefer Sfteilje ent* 
fdjeibeub ift. 

Huygens an Leibniz. Ce ^ Novembre (1674) . 

Je vous renvoie, Monsieur. Vostre escrit touchant la Quadrature Arithmetique, 
que je trouve fort belle et fort heureuse; Et ce n'est pas peu ä mon avis d'avoir 
decouvert clans un Probleme qui a exerce tant d'esprits, une voye nouvelle qui semble 
donner quelque esperance de parvenir ä sa veritable Solution. Car le Cercle, suivant 
vostre invention estant ä son quarre circonscrit comnie la suite infinie de fractions 

T" — ~ + T"~v + 77 — TT e ^ c - ^ l'nnite, il ne paroistra pas impossible de donner la 

1 O O / u XL 

somme de cette progression ni par consequent la quadrature du cerle, apres que 
vous aurez fait voir que vous avez determine les sommes de plusieurs autres pro- 
gressions qui semblent de mesme nature. Mais quand mesme rimpossibilite serait 
insurmontable dans celle dont il s'agit. vous ne laisserez pas d'avoir trouve une pro- 
p riete du cercle tres remarquable, ce qui sera celebre a jamais parmi les geometres. 
Pour ce qui est de la ligne courbe Anonyme qui sert ä Yostre demonstration, j'avois 
envde de la baptizer, en luy donnant quelque nom compose des noms de deux lignes 
dont je trouvois qu'elle estoit produite, qui sont le cercle et la Cissoide des anciens. 
Mais ayant vu du depuis que cette mesme ligne a este premierement mise en avant 
par J. Gregorius, je crois qu'il luy faut laisser le droit de la nommer comnie il 
voudra. II s'en est servi pour demonstrer le rapport qu'il y a entre la mesure de 
la Cissoide et celle du cercle, qui est de mon invention, ainsi qu'il paroit par le 
traite de M. Wallis de Cissoide, et par ce que le mesme autheur en a dit dans 
son traite du Mouvement, oü la demonstration que j'ay donnee de ce Theoreme est 
inseree. Laquelle estant supposee, vous pourries par lä abbreger de beaueoup vostre 
demonstration de la Quadrature Arithmetique. Mais vous ferez en cela comme vous 
le jugerez ä propos. Je vous donne le bon jour etc. 



16 Einleitung. 

in ©ngtarib unterrichtet; pgteid) Braute biefer bie neueften @rf Meinungen 
in ber matl)ematiftf)en Siteratur auf beut $efttanbe §ur ©^racfye, unb 
bat ßeibnig um bie SSefdjaffung ber 33nä)er. $n ^^9^ biefer freund 
fdjaftlidjen 33e§ie^ungen gmifd^en Seibutj unb Dtbenbnrg, namentlich 
tooljt burd) bie befonbern ^Benutzungen beg te|tern / mürbe Seibuij 
jnm SRitgßeb ber Stotjat ©octett) ben 9. Wpvil 1673 einfttmmig 
getoctfjlt. 

SDie Sluffinbung ber oben ermähnten Sieüje für bie Öuabratur 
be§ ^retfe§ mürbe für Seibnig bie SBerantaffnng, feine ©tubien metjr 
atg bisher geometrtfdjen Problemen §u jntoenben. 3nnäd)ft ergab fid) 
itjm ein gemeinfameg Sfjeorem für bie ®egelfd)nitte, bie einen SJüttet 
punlt tjaben: SBenn man öon bem ©Reitet eineg ^egetfdjnittg ans 
einen beliebigen ©nröenbogen abfdjneibet, bie ©nbpnnfte beffelben 
mit bem SDZtttelpunft üerbinbet, unb burd) biefelben ©nbpnnfte San- 
genten legt, fo ift ber entftanbene ©ector einem Stecktet! gteidj, tnetd^eS 
aug ber falben großen Slge unb einer geraben Sinie, bnxä) bie un= 
enbtidje Steige t + i t 3 + ± t 5 + 1 1 7 in inf. auggebrücft, eonftruirt 
toerben fann, tno t bag ©tücf ber Sangente beg ©cfyeitetg be^eic^net, 
bag gtuiftfjen bem ©Reitet unb bem ^nrdjfdjnittäpnftft ber Saugente 
beg anbern GmbfmnfteS beg Surüenbogeng liegt, unb bag Stecfjtecf 
aug ber falben großen unb falben Keinen Sljce ber (Sin^eit gteidj 
gefegt ift. $n betreff ber bereiten SBorjeidjen ift ju bewerfen, bajg 
bag ^eic^en + für bie $t#erbet, bag ,8eid)en — ■ für ben ®reig unb 
bie (Htipfe gilt. — ©in anbereg bemer!engtnertf)eg Stjeorem fanb 
Seibnij für ben $nf)aft eineg ©tjetoibenfegmenteg burd) unmittelbare 
Öuabratur, unabhängig oon bem $nf)alt be§ er^eugenben Greifes.*) 
SSirb in ber ©tjetoibe MKAEI burd) ben ^atbirungg^unlt G beg 
f erfrechten 9tabinS beg erjengenben ^reifeg bie Stute KE paraM §u 
ber ©bene, auf melier ber ergeugenbe $reig rollt, gebogen, fo ift, 



*) Leibniz an Oldenburg, Paris den 15. Juli 1674. 



©tnletfung. 



17 




M H I 

tote $mjgeng gefunben Ijatte, bag Styctoibenfegment KEAK = betn 
falben regulären ©eäjgecf AOPH, tnetdjeg in bem erjeugenben ®retg 
eiugefdjrieben ift. ßeibnij legte bie parallele LF burd) ben Wlitteh 
punft beg ergeugenben Greifes nnb §og bie Stute AF; er fanb, baf} 
bag (£t)ctoibenfegment AFEA = A ABC ift. 

Seibnij befdjtof} bie neuen ©rgebniffe, bie er burd) feine ©tubteu 
auf ben ©ebieten ber Steigen unb ber Duabraturen gewonnen fyatte, 
in ein ©an^eg Rammen in faffen unb $um (Segenftcmb einer felbjfc 
ftanbigen ©djrtft ju formen. @ie ttar im $af)re 1675 öotteubet 
unb ift unter feinen äßattufcrtpten üotfjcmben unter bem Site!: De 
Quadratura Arithmetica Circuli, Ellipseos et Hyperbolae, cujus 
corollarium est Trigonometria sine Tabulis. Autore G. G. L. L. 

$n feinen Briefen aug bem $a§re 1674 fommt Seibnig auf bie 
Öuabratur beg ®reifeg mittetft ber Don il)m für bie ^eri^erie ge^ 
fuubenen Steige tuiebertjott jurücf, nnb ergebt biefeg £f)eorem atö bag 
SBm#igttdjfte, ttfog big^er t)on einem 9Kat^emattfer geteiftet ftorben 
ift. ©r bemerlt, bafj bag, ftmg in betreff ber Duabratur beg ßreifeg 
t)on Sorb SSrounler unb Söaltig aufgeteilt itmrbe, nur annä^emb bie 
sßertyfjerte beg $reifeg augbrücfe ; eg Ijabe aber ttodj Sftemanb eine 
imettbltdje ^rogreffion in rationalen .ßctfjlen aufgeteilt, wie bie tiou 
itjm gefunbene fRei^e, bereu ©umtue bie ^eriptjerie beg ^reifeg öolt 
ftänbig angebe. @g lomme §in%n f bajg bie öon ifjm gefunbene Steige 
auf ^t^erbel unb ©tttpje, überhaupt auf bie Äegelfdjuitte, bie einen 
SJlittetpunft l)abeu, Slumeubuug finbe. 2)aburd) fieljt ftcf) DIbenburg 



lg (Stnleitung. 

öerantafjt in beut ©djreiben Dom 8. S)ecember 1674 Seibniä mit- 
jutljeiten, bafj in betreff ber Cluabratur Don ©uroen unb ber Kubatur 
ber Don frummen Oberflächen begränjten Körper burdj $aeob ®regort) 
unb Sftetoton S$ebeutenbe8 geteiftet ftorben fei. Stuf biefe allgemeine 
Slnbeutung folgen im Saufe be§ $af)reS 1675 burcf) Dtbenburg, mit 
|)ütfe Don Fölling, einzelne Angaben in ^Betreff ber ßeiftungen 
engüfdjer SJlatljematifer, namentlich $ae. (Sregortj'g, toeldjer Steigen 
für bie 65rö§e eineg ^rei§bogen§ r für bie Sangeute be§ ®reife3 r für 
btn ftnljatt eines ®retgfegments unb Srei£fector<§ aufgeteilt tjatte, 
unb über bie Seiftungen Sßeft'g in betreff ber S3efjanblung atgebra^ 
ifdjer (Steigungen. ®iefe Sftitttjeituugen merben befdjtoffen, nadjbem 
Seibnij am ©cljtuf} be3 $at)re§ 1675 in feinem ©^reiben oom 
28. 3)ecember bie Slnbeutung über bie ©ntbecfung beg 2ttgoritt)mug 
ber tjötjeren Stnafyfig gemacht tjat,*) burdj bie umfangreichen, 
fe^r ausführlichen ©einreiben ©ottinS' ltub -ftettrton'S Dom 26. #uli 
1676. S3eibe famen überein , rücffidjttict) ber arbeiten ber 
englifcfjen s IRat^emati!er im legten ^atjrjetint, fo jueit fie nodj nidjt 
burdj ben ®rucl üeröffentlidjt maren, beu fraitjöfifc^en SRat^ematileru 
gegenüber, eine Überfielt %u geben: SottinS, buref) beffen £>änbe bie 
gegenfeitigen brieflichen ^ftittljeitungen ber englifdjen Sftatfjentatifer 
gingen unb ber in biefer |)inftcf)t gemiffermafjeu einen SJlittetpunlt 
bitbete, mar gan$ befonberS ba^u geeignet; er befafs namentlich bie 
Sorrefponben§ $ac. ©regortj'S, ber gegen (Bnbt be§ $af)re§ 1675 
geftorbeu mar; Sftetoton tnottte felbft über feine arbeiten imb ©r= 
fiubungeu SfRitt^eitung madjen. Fölling bemerlt $unäd)ft in feinem 
©djreiben, bajs auf ©runb ber ©orrefponbenj ©regorty'S eine „historia 



*) Sed et ad aliud Problema Geometricum, hactenus peue desperaten (Setlnüj 
[prtdjt Ijier üffen&ctr Dom untgeMjrten ^angentenptoBIem) nuper aditum reperi felicem. 
De quo pluribus loquar, ubi " otium erit absolvendi. Haec vero omnia ubi ita in 
ordinem redegero ut mitti possint, singulatim tibi spondeo. Ex quibus agnoscetis, 
credo, non tantum soluta a me Problemata, sed et nova methodo (hoc enim ego unice 
aestimo) deteeta esse. 



(Umleitung. 19 

de seriebus" gegeben faerben lönne, inbem er ^tnjufägt, bafj §xtr 
3eit über Üßetoton'g SXrbetten nidjts weiter begannt fei, at§ wag er 
in bem ©djreiben öom 10. SDeeember 1672 mitgeteilt Ijätte, eine 
Semerlung, bte tymfidjttidj be§ ©treiteg gtDtfc^ett Seibnig imb Newton 
über bte fo genannte ©rfinbimg ber ®ifferentialred^mmg tum fjödjfter 
äB'idjtigfeit ift.*) SJefonberS auffattenb i-ft btefe SBemerftmg, ba ©ottin§ 
eine 8i6fdjrift üon ^ettton'g 3tbt)anblmtg De Analysi per Aequa- 

*) S)ct§ ©djrciBen 9iemtün'§ uom 10. £>ecember 1672, bci§ Ijiei* cmmfjnt wirb mib 
auf roelcIjeS in bem (Streite ättafdjen Seibni^ imb üßeroton ganj befonber§ ^öe^ug ge= 
uontmert wirb, mag Ijier eine ©teile finben (ßiefy. Commercium epistolicum J. Collins 
et aliorum de Analysi promota etc. 2lu§gabe non SBiot unb Sefort, SßariS 1856. 
<£>. 83 f.): Ex animo gaudeo D. Barrovii amici nostri reverendi lectiones Mathematicis 
exteris adeo placuisse, neque parum me juvat intelligere eos [Slusium et Gregorium] 
in eandem mecum ineidisse ducendi Tangentes Methodum. Quälern eam esse conjiciam 
ex hoc exemplo pereipies. Pone C B applicatam ad 
A B , in quovis angulö dato , terminari ad quamvis 
Curvam A C, et dicatur AB x et B C y, habitudoque 
inter x et y exprimatur qualibet aequatione, puta 
x a — 2xxy -j- bxx — bbx -j- ^ y y — y' 5 
= o, qua ipsa determinatur Curva. Regula du- 
cendi Tangentes haec est; multiplica aequationis 
terminos per quamlibet progressionem arithmeticam juxta dimensiones y, puta 
x 3 — 2xxy -J- bxx — bb x -f- b yy — y 3 ; ut et juxta dimensiones x, puta 

Ol 2 3 

x 3 — 2xxy -f bxx — bbx -(- byy — y 3 . Prius produetum erit Numerator, et 

3 2 2 10 

posterius divisum per x Denominator Practionis , quae exprimet longitudinem 
ß D, ad cujus extremitatem D ducenda est Tangens CD: est ergo longitudo 
___ — 2xxy + 2 byy-- 3 y 3 
3xx— 4xy-(-2bx — bb 

Hoc est unum particulare, vel corollarium potius Methodi generalis, quae ex- 
tendit se citra molestum ullum calculum non modo ad ducendum Tangentes ad 
quasvis Curvas sive Geometricas sive Mechanicas, vel quomodoeunque reetas lineas 
aliasve Curvas respicientes ; verum etiam ad resolvendum alia abstrusiora Proble- 
matum genera de Curvitatibus, Areis, Longitudinibus, Centris Gravitatis Curvarum etc. 
Neque (quemadmodum Huddenii methodus de Maximis et Minimis) ad solas restrin- 
gitur aequationes ilias, quae quantitatibus surdis sunt immunes. 

Hanc methodum intertexui alteri isti, qua Aequationum Exegesin instituo, re- 
ducendo eas ad Series infinitas. Memini nie ex occasione aliquando narrasse D. 
Barrovio, edendis Lectionibus suis oecupato, instruetum me esse hujusmodi me- 
thodo Tangentes ducendi: Sed nescio quo diverticulo ab ea ipsi describenda fuerim 
avocatus. 

Slusii Methodum Tangentes ducendi brevi publice prodituram confido : quam- 
primum advenerit exemplar ejus, ad me transmittere ne grave ducas. 




20 Einleitung. 

tiones numero terminorum infinitas befajg utlb biefe ganj mit ©titt= 
fd)tt)eigen übergebt. ®arauf ntadjt KotttnS au§ ben Briefen ©regorty'g 
in ben ftcdjren 1671 big 1675 3Jättl)eitungen über bie SBefttmmung 
ber äßurjetn tum ©leidjungen in ffteifjen auSgebrücft nnb mit |)ülfe 
»on ßogarttljmen, nadjbem bie ©lieber ber ©leidjungen ättrifdjen ber 
työdjften mb niebrigften ^otenj eliminirt fitib. hierauf folgt eine 
Überfielt ber übrigen arbeiten ©regortj'g naä) feinen Briefen. 2)a§ 
Schreiben fdpejgt mit einer ©arftetlung ber Seiftungen *ßett'3. 

Sietotou §at unter bemfetben ®atum, 26. ftuti 1676, ein 
©abreiben an Seibnij gerietet; er §at biefem, ba Seibnij einige weitere 
Sluffictrungen tüttrifdjte, ein §tt)ette§ unter bem 24. Detober beffetben 
$al)reg folgen laffen. S3eibe Schreiben üon ^öd£)fter SBidjtigfett für 
bie ©efci)id£)te ber SBtffenfdjaft fielen im engften gufammenljang nnb 
bilben gufammen ein ©an^eg. Wlttoton berietet barin eingefjenb über 
ben ©ang feiner matljemattfdjen ©tubien. ©r begann mit ben 
Stefuttaten, bie SBaHig in ber Arithmetica infinitoram niebergelegt 
§at in betreff ber Öuabratur ber ©uröen. 2öatti£ l)atte für bie 

m 

©urüen, bie burcf) bie (Gleichungen öon ber $orm y = x^ beftimmt 
finb, burcf) $nbuetion gefunben, bafj bie Cuabratur berfelben buxä) 

n m + n 

ben Slugbrucf ^-— ^ x n bargeftellt wirb. Newton betnieg biefeg 
£f)eorem allgemein für beliebige (£$)onenten. ferner Ijatte SBatttS 
gefunben, bafj, menn bie Drbinate burcf) eine algebraifcfje ©umme 
auggebrücft ift, ber $täcf)eninl)alt ber ©uroe burcf) ebenfo Diele ©lieber 
mit ben entfyrecfjenben SSorjeid^en beftimmt inirb. gu biefen Sfjeoremen 
fügte Stoton als mm§ f)in&u, bafj, menn in ben 23eftimmung^ 
gteicfjungen ber ©uroen 93rüd^e ober SSurjetaugbrücfe üorfommen, biefe 
in unenbüdje conöergente Steigen ju enthricfetn ftnb, auf bereu einzelne 
©lieber bie SBorfdjrifteu für bie Öuabraturen angeftenbet werben, 
hierbei mar bie Stnt&enbung be§ fogenannten allgemeinen binomifcfjen 
£ef)rfa|e3, ben 9?ett)ton beim beginn feiner matljematifdjen ©tubien 



(Umleitung. 21 

buref) Interpolation ber 3lu§brücfe für (1 — x 2 ) , (1 — x 2 ) 1 , 

(1 — x 2 ) 2 , (1 — x 2 ) 3 gefunben Ijatte, »ou ber größten 

SBtdfjttgfeit. SItt gafjtreidjen SBeiftrieten überzeugte ftd) -ftetoton oon 
ber Slntnenbbarleit biejer analtjtiftf)ett Sfieoreme. 3)nrd) bie Über- 
tragung berfelben auf bie ©eontetrie gewann er mit «gmtfe ber $or= 
fteltungen ©aöaüeri'S bie ©rnnbt^eoreme ber ^(ujümgrec^mmg, bie 
er in biefen Briefen in Griffet = unb Betdjmfdjrift oerbirgt. @r be= 
trachtete bie $(äd)e einer ©uroe entfte^enb buref) eontinuirtic^e 35e= 
megung ber fertfeedjtett Drbinate längs ber Slbfciffenaje ; tnbent bie 
Drbinate toftfjrenb biefer SBefoeguttg proportional annimmt, itmcijft bie 
Slbfeiffe gleichmäßig in SBerljättnifj ber 3ett ®ie gunatjme ber 
Drbinate tote ber Slbfciffe ttirb mit o bejetdjnet unb äßoment genannt. 
®te barauS entfte^enbe unenblid) Keine ^nna^me ber '^ftädje ber ©uröe 
ober baS fRet^tecE au3 ber Drbinate in bie unenblidj Keine 3wtal)tne 
ber 3lbfciffe nennt SRetoton baS Moment ber fjflädje ; bemttadj ift baS 
Moment ber gflftdje yo.*) S)ie f^lädEje ift bie gftuente (quantitas 

*) Sn ber „Recensio libri", bie ber ^eitert 2lu3gctöc bc3 Commercium episto- 
licum D. Joannis Collins et aliorum de Analysi promota jussu Societatis Regiae in 
lucem editum nom S^te 1722 forgebruefi ift, unb bie Beratern v erfaßt Ijat, mieb erholt 
er jux* Erläuterung ber gturiongredjnung ba% SBeifptel,. ba% er in ber $bfianblung De 
Analysi per Aequationes numero terminorum infinitas gegeben Ijat. @g mag Ijier $>Iat$ 
finben wegen ber SBenterfuugen, bk Beratern rjingufügt: Quoque melius intelligas, quo 
ealculationis genere Newtonus usus fuerit Anno 1669, vel ante, cum hoc Analyseos 
sitae Compendium scripsit, ponam hie ejus demonstrationem primae illius Regulae 
supra memoratae. 

Sit Curvae alieujus AD 8 Basis AB=x, perpendiculariter applicata BD=y 
et area ABD = z, ut prius. Item sit Bß — o, BK = v, et Rectangulum BßHK 
(ov) aequale spatio B ß 8 D. 

Est ergo A ß = x -f- o, et A8ß - z -f o v. His prae- 
missis, ex relatione inter x et z ad arbitrium assumpta 
quaero y ut sequitur. Pro lubitu sumatur [aequatio] 

2 -f .4 

•--- x~ — z, sive - x 3 =: zz. Tum x-f- o(Aß) pro x, et 

z -j- ov (A 8 ß) pro z substitutis , prodibit-- in x 8 -}- 3 x x o 
-|-3xoo + o3 = (ex natura curvae) z 2 -j- 
2 z ov + v 2 o 2 . Et sublatis -„- x 3 et z z aequalibus , reliquisque per o 
divisis, restabit — in 3 x 2 -J- 3xö + ° 2 = 2 z v -f- ov 2 . Si jam suppo- 




22 (Sinlettung. 

fluens), ba§ -äftoment ber ftl&tyt bie fJtuEion. — Üftetoton fyatte 



namus B ß in infinitum climinui et evanescere, sive o esse nihil, erunt v et y 
aequales, et termini per o multiplicati evanescent, ideoque restabit - x 3 x x = 2 z v, 

sive ~xx (=r zy)~7X ä y, sive x 2 I "" 'T ) = y. Quare e contra, 

O o \ x - ' 

a 

erit — x = z. 

Vel generaliter, si — - — x a x n = z: sive ponendo -I?A_ — c, et m + n — p, 
m •+- n ^ in -+■ n 

iL 

si ex n = z, sive c n xP — zn ; tum x -J- o pro x et z -j- o v sive (quod perinde est, z -{- oyj 

pro z, substitutis, prodit c n in x p -f pox p etc. = z>i + noyzn-1 etc. reliquis nempe 
[serierum] terminis, qui tandem evanescerent, omissis. Iani sublatis c n x p et z 11 aequa- 

libus, reliquis que divisis, restat c n px^ _nyz =: — - — — -JL J sive divi- 



dendo per c»x p , erit px — n y - sive pcx n — ny; vel restituendo l — pro c 



ex m 

et m + n pro p, hoc est, m jn'Oj)— n, et n a pro pc, fiet a x n = y. Quare e contra si 

m m-t- m 

ax 11 = y, erit — - — ax n — z. Q. E. D. 
m -f- n 

Eadem operandi ratione, etiam Regula seeunda demonstrari potest. Et si 
quaelibet Aequatio assumatur, Relationein exprimens int er Abscissam et Aream, 
ordinata inveniri poterit eadem ratione, ut in proximis Analyseos verbis indicatur. 
Et si illa ordinata in unitatem dueta pro Area novae Curvae ponatur, novae illius 
Gurvae ordinata eadem methodo inveniri potest, atque ita in perpetuum. Haeque 
ordinatae primam, seeundam, tertiam, quartam, sequentesque Fluxiones primae Areae 
repraesentant. 

Haec Newtoniana fuit operandi methodus. eo tempore quo Comp endium illud 
■sitae Analyseos scripsit: eademque methodo usus est in Libro Quadraturarum, atque 
in hunc usque diem adhuc utitur. 

§terau8 ergießt fid), baf3 Newton 23rütije unb SSurgeltutSbrücfe, burdj bie ber gort= 
fdjrtit in ber Söfung von ^ro Meinen ber pljeren Hnatnfig aufgehalten umrbe, burdj 
(Smtnncflung in unenblidje conoergente Sfteiljen Befeitigte; c§ gefdjal) bieS mit §ülfe be£ 
allgemeinen &inomifdjen Seljrfa^eä. Sftecfjnuug^regcln, forde trgenb meldje Beftimmte 23e= 
Setcrjuung ber gebrauchten ©töften feljlen. £)at) Zeniten üBcrljaupt bie Ijolje SBidj'ttgfett 
einer jruccl mäßigen Sejetdjnuug für bie ?lnuienbbarfeit ber Slljeorte nerfaunte unb auf bie 
©iufüfjrung eines burdjgreifcnben Algorithmus fein ©emicfjt legte, geljt au£ ber folgcnbcu 
(Btrfte in berfelben „Recensio" IjcrDor: Ut Methodi Differentialis primum se auetorem 
venditaret Leibnitius , insimulavit Newtonum litera o niore vulgari pro dato Incre- 
mento tou x primo fuisse usum, qui mos Differentialis Methodi utilitates tollit: post 
edita vero Principia mutavisse o in x, substituendo x pro dx. Hoc vero nunquam 
quis probaverit, Newtonum unquam o in x mutavisse, vel usurpasse x pro dx, vel 
omisisse uti litera o. Newtonus in Analysi anno 1669, vel antea scripta, et in Libro 
de Quadraturis, et in Principiis Philosophiae usus est litera o; atque adhuc utitur, eodem 



Einleitung. 23 

erfmmt, bafj bie ©ntoiefetung in unenbüdje conöergente Steigen ein 
t>öräügttc^e§ Mittel fei / um bie Probleme ber Öuabratur, Kubatur, 
Sftectiftcätion u. f. tt). ber Ijöljeren SJlat^ematil ju btfjcmbetn unb ju 
löfen; e§ lag nctf)e, baffelbe $erfal}ren auf bie &vmittelunQ ber 
SBurjetn Don fjöfjeren (Steigungen anjutoenben. $n feinem erften 
©^reiben giebt er bie Wuftöfung öon gtoet (Steigungen brüten (SrabeS, 
einer uümerifdjen unb einer mit allgemeinen ©oefftetenten ; bem SBunfdje 
Setbrnjeng entfprectjenb fügt er in bem fetten ©^reiben nähere ©r- 
täuterungen über fein SBerfctfjren ^inju. Sln^erbem jetgt Stoton nod) 
in biefem feiten Schreiben, tme bie Steigen jur $erecf)nung üon 
Logarithmen unb ^ur SBeredjmmg einer Xafet ber ®ret8functionen 
angetnanbt tnerben föntten. — SDer $nf)att betber ©abreiben gefjt 
' toefentttdj nifyt über bag fjinauS,. toag Newton bereits in ber Wo- 
fianbtung De Analysi per Aequationes numero terminorum infinitas 
px Spraye gebraut fjat. 

SDag erfte ©abreiben S^etütou'S erhielt fieibnij noef) tocüjrenb 



plane quo prius sensu. In libro cle Quaclraturis usus est litera o una cum symbolo x ; 
ideoque non posuit unum loco alterius. Symbola ista o et x pro rebus diversi generis 
posita sunt. Prius est momentan, alterum Fluxio est sive velocitas, ut supra est 
explicatum. Cum litera x pro quantitate uniformiter fluente ponitur, symbolum x 
est unitas, et litera o (seu lxo) momentum , atque xo et dx idem ambo Momentan 
significant. Literae punetatae numquam indicant Momenta, nisi cum mnltiplicantur 
per momentum o vel expressum vel subintellectum quo infinite parvae evadant; et 
tum Rectangula pro momentis ponuntur. 

Newtonus non in formis Symbolorum suam Methodum constituit, neque se 
alligat ad ullam unam speciem Symbol ornm pro fmentibus et fluxionibus. Ubi areas 
Curvarum pro fmentibus ponit, saepe ponit ordinatas pro fluxionibus, et fluxiones 
denotat per Symbola ordinatarum, ut in Analysi sua fecit. Ubi Lineas pro fmentibus 
ponit, quaevis symbola ponit pro velocitatibus Punctorum Lineas describentium, hoc 
est, pro fluxionibus primis ; et quaevis alia symbola pro incremento earum veloci- 
tatum, hoc est, pro fluxionibus seeundis, ut saepe fit in Principiis Philosophiae. Ubi 
autem literas x, y, z pro fmentibus ponit, earum fluxiones denotat vel per alias literas 
ut p, q, r, vel per easdem literas alia forma positas ut X, Y, Z, vel x, y 5 z, punetatas, 
vel per quasvis Lineas ut DE, FG, HJ, consideratas tamquam earum exponentes. 
Atque hoc quidem manifestum est ex Libro ejus de Quadraturis, ubi in prima Pro- 
positione fluxiones indicat per literas punetatas, in ultima propositione per ordinatas 
Curvarum, et in Introductione per alia Symbola, dum Methodum explicat illustratque 
per Exempla. 



24 (Einleitung. 

feines StufentfjaltS in^ariS; feine Stnttuort ift batixt ben 27. Sluguft 
1676. Seibnig bemerft, baf} feine Sßeife, bie SEBnrgetn ber (Steidjimgm 
gu finben, nnb feine £htabraturmetl)obe nicfjt burd) unenbtict)e fRei^en 
gefdjefje, me es t>on Peloton bewirft tnerbe; feine Öuabraturmetl)obe 
befiele barin, bafj bie (Meinung ber gu quabrirenben (Satröe in eine 
anbere tranSformirt tterbe, fo bafj bie fjödjfte ^oteng ber Drbinate 
ntcfft über ben gleiten ober brüten ®rab fjmauggeljt ; atsbann lönne 
buxä) SBnrgetauSgieljnng ober bnrtfj einfache SDitrifion nadj bem Vorgang 
SJiercator'g bie Cluabratur betraft tnerben. Seibnig gertegt bie gu 
qnabrirenbe Surüe auf gtneifacije äöeife, buxä) parallele fenfredjte Dr^ 
binaten in ^ßaralleltrapege nnb buxä) Sinien oon- einem *ßunft aus 
in SDreiecfe, fo bafj an bie ©teile eines \tben SrapegeS ein gleiches 
SDreiecf tritt, nnb mit $ütfe biefer Sreiecle eonftrnirt er eine gtoeite 
©uröe, biz ber erften an $tctct)enint)att gleid) ift, nnb bie nad) 9Jier= 
catorS'S $erfaf)ren betjanbett toerben lann. SDiefe Transformation 
SeibnigenS ift offenbar baffelbe, tnaS gegenwärtig in betreff ber 
Integration buxä) ©infü^mng einer nenen SSerctnbertidjen gefdjieljt. 
Bugleidj geigt Seibnig, ba^ er aud) auf bem (Gebiet ber Steigen gu 
bemerfenStüertfjen 9£efultaten getaugt fei, namentlich tüte mit ber oott 
iljm gefunbenen Steige für bie Ouabratitr beS Greifes bie ©ummirung 
neuer ^Äei^en in SSerbinbung ftef)t. |>ert)orgut)eben ift nocf) bie 95e^ 
merlung gegen ben ©djluf} be§ ©djreibenS: Quod clicere viclemini, 
plerasque difficultates (exceptis Problematibus Diophanteis) ad 
Series Infinitas reduci, id mihi non videtur. Sunt enim multa 
usque adeo mira et implexa, ut neque ab Aequationibus pendeant 
neque ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis aliis) Problemata 
methodi Tangentium inversae, quae etiam Cartesius in potestate 
non esse fassus est. In tomo 3. Epistolarum una habetur ad 
Beaunium, in qua, ad propositas a Beaunio, Curvas quasdam 
invenire conatur, quarum una est Ludus Naturae, ut intervallum 
inter Tangentem ad (axem) directricem usque productam et 



(Einleitung. 25 

ordinatim applicatam ex Curva ad directricem sit semper idem, 
recta scilicet constans. Hanc Curvam nee Cartesius nee Be- 
aunius nee quisquam alius (quod sciam) invenit. Ego vero qua 
primum die, imo hora, coepi quaerere, statim certa Analysi solvi. 
Fateor tarnen nondum me quiequid in hoc genere desiderari 
potest consecutum, quam quam maximi momenti esse sciam. 
®urd) bie Söfung biefeS fogenannten SSectune'ftfien Problems ging 
Seibniä juerft über bie Seiftungen ber ©artefiemifdjen ©eometrie 
f)inau3.*) — 35er $mtoet8 auf bie Wlefyanif, mit bem Seibnij 
fein ©^reiben f fließt, ift infofern t>on SBebentnng, afö betrank 
Ijeröorgtfjt, bajg Seibni§ audj ömfjrenb feines ^arifer Stufent^altS bie 
SSeröottfommmmg ber Seiten ber Sttedjanif, befonberS ber SDtjnamif, 
nicf)t aus ben Singen öertor. 

®ie Stbfdjrtft öon bem ^weiten ©(^reiben -Dtarton'g erhielt 
fieibnij im fotgenben $afjre 1611, na^bem er längft feinen 2Bof)nfi| 
in |)annoöer genommen fyatte (fiel). ba§ ©^reiben ©ottinS' an Stoton, 
battrt Lond. 5 Martii 167|). 

Seibnig oerltejs ?ßart§ im öftober 1676, um nad) 2)eutfd)(anb 
äurüc%nM)ren. ©r ging äunäd^ft nad} Sonbon, tno er eine SBodje 
öertnetlte. $n biefer Seit machte er bie perfönli^e ^efanntfdjaft öon 
(£otttn8, ber i^m ©infidjt in feine Sammlung öon ©orrefponbenjen 
mit SJlat^ematilern gemattete. Seibni^ fanb barunter eine Stbfcfjrift 
ber Slbfjanbtltng ^etöton'S : De Analysi per Aequationes numero 
terminorum infinitas, öon bereu $nljatt er £)ter §uerft ßenntni§ 
erhielt.**) $on (Sngtanb tuanbte fief) Setbntj nad) |)ottanb, ba§> 
bamalg einen S3rennpunlt tt)iffenfd)afttid)er 35eftrebungen bitbete. @r 
fjatte im Sftoöember 1676 Unterrebungen mit ©pinoja im |)aag 



*) Unter ben £ei£tri$tfdj)en 9Jicmufcripten ift bie Betreffenbe Uttterfudjung t)ort)anben; 
fie folgt 31t bem ©djrei&en SeiBni^enS al% Beilage. 

**) SSergl. meine SlB^anblung: SeiBni^ in Sonbon, n ben äftonatSBex'tdjten ber 
^mtiglidjen SUabentte ber SBiffetifdjaften §u Berlin 1890. 



26 (Umleitung. 

(fiel). Seib. ^itofo^ifd^e ©djrift. 35b. I. ©. 117. 33b. VII. ©. 251), 
mit bem 9ftatf)ematifer |>ubbe in Stmfterbam; er befugte 2eeutoent)oef 
in ®elft. 

2)te Unterrebnng £eibniäen§ mit $ubbe tourbe in betreff ber 
äftatljemattf t)on ber fotgenretc£)ften 23ebeutung. @ie betoegte fitf) über 
bie Probleme, bte bamatö an ber S£age3orbmmg toaren, über bie 
Öuabratur fton Surften, über bie Stuflöfung ber (Stetdjungen, über 
bie 3Ketf)oben, bie Sangenten an Suröen unb bie äKagtnta unb 
Minima ju beftimmen. $on ben S£angentenmetf)oben war bie be ©tuge'g 
al8 bie neuefte in ben Sßljttofopl}. SranSact. ber Sftotjat ©ociett) be3 
$af)re3 1673 in jtoei Briefen an DIbenbnrg fteroffenttidjt. $ubbe 
betnieg Seibnig, baf$ bie feinige allgemeiner unb umfaffenber mar, afö 
bie be ©tuje'g. $terburdj mürbe £eibnig fterantafst, gu prüfen in 
tote toeit burd) feinen „calculus differentialis" ein $nftrumeut §ur 
ßöfung ber Probleme über bie Seftimmung ber Sangenten unb ber 
Sftajima unb Minima ber Surften gegeben fei. ©r überzeugte ftdj, 
baf? feine Sangentenmetfjobe mittelft be§ „calculus differentialis" alle 
bisher belannteu an Sttlgemeüdjeit unb Setdjttgfett ber Slntoenbung 
überträfe. @§ toar ntdjt mef)r nötf)ig, au§ ben ©teidjungen bie 
Cluottenten ber Unbelannten unb bie irrationalen 2Iu3brüde §u be= 
fettigen, toag nur burd) feljr umbequeme unb umftänblidje 9ted)nungen 
möglich toar. Offenbar toar biefer Umftanb für Seibni^ mit enfc 
fdjetbenb, bajg er ftmter tebiglid) bie ^Differentialrechnung befonnt 
machte, ba er ettva§ $oItfommne§ unb alles 33t3^ertge Übertreffenbe§ 
fteröffentlidjen lonnte. 

Unter bem tebenbigen ©inbrud ber neu gewonnenen fRejxtttate 
auf beut fäebkt ber t)öt)eren SUiat^emattl ift SeibnigenS Slnttoort 
(21. $unü 1677) auf bag §toette Schreiben 9?etoton'§ abgefaßt. ©r 
fe|t oljne fRüdl^alt bie £angentenmett)obe mittelft be§ calculus diffe- 
rentialis au3 einanber unb fjebt üjre SSorgüge üor allen anbern 



(Einleitung. 27 

Ijerüor, ttlbem er £jin§ltfiigt : Arbitror quae celare voluit New- 
tonus de tangentibus ducendis, ab his non abludere. — Sßrfjr 
jnrficöjaftenb unb üorfidjtiger ift £eibni§ in betreff beg umgelegten 
Sangentenprobtem^ b. i. feines calculus summatorius, fp fiter calculus 
integralis genannt. ©inerfettS Ijatte er in biefer |)infict)t etoa§ ganj 
Weites gefunben, ba§ er Bei leiten noc^ nttf>t öottftänbig ausgebeutet 
t)atte r anberfeitö ttiotCte er nod) nidjt mit bem 9tlgortti)mu8 biefe§ 
Katcufö lieroortreten, tuoburcl) er ehen bie ßöfung ber Probleme be- 
inerlftettigte. üftettton Ijatte in feinem feiten (Schreiben geankert, 
ba$ er bie Probleme ber umgelegten £angentenmett)obe ju löfen 
oermöctjte; in 99e§ug barauf bemerlt Seibni^ bafj biefeg, wie er 
glaube, burd) nnenbttdje Steigen gefdjefje. Sed a me, feiert er fort, 
ita desiderantur , ut curvae exhibeantur geometrice quatenus id 
fieri potest, suppositis (minimum) quadraturis. Exempli causa, 
cycloidem deprehendit Hugenius sui ipsius evolutione describi; 
difficile autem fuisset, credo, solvere hoc problema : invenire 
curvam, quae sui ipsius evolutione describitur. Nee refert quod 
istius curvae descriptio quadraturam circuli supponit«. Et hoc 
problema etiam ex eorum est immer o, quae voco Methodi Tan- 
gentium inversae. $n biefem ©^reiben, fo tüte in bem fotgenben, 
betoeift Seibni^, tnte weit er in ber Integralrechnung öorgefc^ritten 
ttar. Sßenn anä) bie Öuabratur ber meiften big baljin betjanbetten 
(Surüen auf bie be§ Greifes ober ber |)t)perbet jurücfgefüfjrt werben 
lönnte, fo tnüfjte nad) feinem dafürhalten bie Öuabratur berjenigen 
©uroen, für bie bieg ntd)t möglief) fei, auf anbere Ijöljere Surften 
^Urüdge^en (restat ut alias quasdam figuras primarias altiores 
constituamus , ad quarum reducantur caeterae omnes, quando id 
fieri potest). — Stu^erbem bringt Seibnij nod) oiete anbere Probleme 
jur Spraye: ob e§> möglid) fei, bei ber Stuftöfnng ber- ©letdjmtgen 
buxtf) Otogen §u entfct)eiben, ba§ bie äBurjetn rational ober irrational 



28 ©inleitung. 

feien, ferner Sluftöfung von (Meinungen, in melden bie Unbefannten 
als @$>onenten vorkommen n. f. tu. 

%loü) in bemfetben ftctfjre, im September 1677, ftarb Dlbenburg. 
$n il)m verlor Seibni^ ben treüeften fjreunb, ber il)n anf jebe äöeife 
%u förbem fudjte, ber üjm unermübtiä) über alte nenen nriffenfdjafts 
liefen ©rfdjeinungen in ©nglaub Mitteilung machte, ©eine 9todh 
folget als ©ecretäre ber fRotjat ©ociett), Robert |>oof nnb ^efjemiag 
(Sreto, fdjeinen nidjt ein gleich $nterefje für Seibnig gehabt ju Reiben. 
SDaffelbe gilt and) von ©oHinS, ber immer nnr buref) Dtbenbnrg mit 
Seibnij in SSerbinbung ftanb. @o toar Seibni^ toefentüdj auf 93erid£)te 
von 2)entfd)en, bie bamats in ©ngtanb lebten, angetviefen. 

93eDor Seibnij nad) langer Unterbrechung bie ©orrefponbeu^ mit 
Sftetoton ttieber anfnüpfte, Ijatte er bk ©runbjüge ber Differential- 
nnb #ntegralred)nung in ben Act. Erudit. Lips. oeröffenttid^t ; bie 
Stidjtigfeit nnb Slntnenbbarleit ber neuen 9£ed)nung Ratten fiä) burd) 
bie Söfungen ber vorgelegten Probleme, ber ifod^ronijd^en Kurve nnb 
ber Seitenlinie, glänjenb öetocöjrt. 9liü)t nur bie Ijervorragenbften 
äßatfjematifer beg gefttanbeS bebienten fidj beifällig ber neuen Sftetfjobe, 
aud) in ©nglanb fanb fie 2lufnal)me ; ber ©trotte $of). Kraige rühmte 
in feiner @lf)rift: Methodus figurarum lineis rectis et curvis 
comprehensarum quadraturas determinandi , Lond. 1685, bk 
^Differentialrechnung als bie »orgügltd^fte Metl)obe jnr SBeftimnnmg 
ber Sangenten an Kurven. Über üftetoton'g $tu£ionSreci)nung umrbe 
guerft burt^ SÖattiS einiges in bie Öffentlichkeit gebracht. $n feiner 
Sllgebra, bie er 1693 tateinifd) Verausgab, ertofflfjnte er Srndjftücfe 
au§ ben beiben Briefen, bie 9tovton an Dlbenburg jur Mitteilung 
an Seibniä im $al)re 1676 richtete; auf Anregung eines $reunbeS, 
ber von ben gegenfeitigen Mitteilungen ^etvton'S nnb SeibnigenS 
^unbe fjatte,*) veröffentlichte er in bem feiten Söanbe feine 28erfe, 

*) £)iefe $>erfönlid)feit tft ptf)fi roafjrftfjeinlitf) %aüo be ©uillier, ber mit £>nt)gen3 
in £>oIIanb üexfepte nnb in biefex Seit mit tfjm in ßoxxefponbens ftanb. 9In§ feinen 



©inlcttung. 29 

ber üor bem erften im $al)re 1693 erfriert, bie beiben Briefe Stonton'g 
DoEftctnbig pgleidj mit einem üon kernten üerfafjten Unterricht über 
bie ^lujfonSredjtmng nnb iljre ^ejetdjnnng. ®ie§ ttmrbe oljnftreitig 
bie 3?erantaffung / bajs ßeibnij natf) 17 jähriger Unterbrechung bie 
Korrefponbenj mit 9toton unb gugteict) mit SBattiS begann, $n 
feinem ©^reiben bewerft Seibn% nadjbem er bie $erbienfte Stonton'S 
um bie fjöljere 9Jiatf)ematif gebü()renb fjertwrgefjoben, bajg ancE) er 
bnrd) feine 9ftetl)übe, bnrd) bie Differential unb #ntegralretf)tumg, 
ntdjt Unerhebliches auf bem bebtet ber tranfcenbenten (Geometrie 
geleiftet ^abe. @r ertnartet öon -ftetoton, baf? er feine Stufmerlfamleit 
auf bie SSeroottfommnung ber ^ntegratredjnnng rieten tterbe. ®egen- 
über hm &ettmnberimgStoertIjeu Seiftnngen Starton'g' in ^Betreff ber 
äJledjanil ber ^imntel§!örper fjält er feine #t|potIjefe öon ber @giften§ 
eines Slt^erS (fluidi ambientis), bnrd) tt)e(d)en bie SBetoegungert ber 
«g)immetSlörper bewirft ober geleitet werben, aufregt. ,8ngleid) bringt 



Briefen, bie Uylenbroek (Christ. Hugenii aliorunique seculi XVII virorum celebrium 
exercitationes matheinaticae et philosophicae, Hag. Comit. MDCCC XXXIII. Tom. II. 
p. 99—131) üeröff entlief) t fyat, geljt fjerüor, ba$ gatio Bereite 1691 Geraten al§ ben erften 

18 

©rfinber ber Differentialrechnung Bezeichnete. @r fdjreiBt (ä Londres cc ^ Dec. 1691): 

II me paroit par tout ce que j'ai pu voir jusques ici, en quoi je comprens des papiers 
ecrits depuis bien des annees, que Mr. Newton est sans difficulte le premier auteur 
du calculus differentialis, et qu'il le connaissait autant ou plus parfaitement 
que Mr. Leibniz ne le connait encore, avantque ce dernier n'en eut eu seule- 
ment la pensee, qui nienie ne lui est venue, ä ce qu'il semble, qu'ä l'occasion 
de ce que Mr. Newton lui ecrivit sur ce sujet. — $n bem folgenben ^Briefe 

(ä Londres ce ^ Fevr. 1692) fügt gatio Ijinju: Les lettres, que Mr. Newton ecrivit 

ä Mr. Leibnitz, il y a 15 ou 16 ans, parlent bien plus positivement que l'endroit que 
je vous ai cite des Principes, qui neanmois est assez clair; surtout quand ces lettres 
lui servent d'explication. Je ne doute pas qu'elles ne fissent quelque peine ä Mr. 
Leibnitz, si on les imprimoit, puisque ce n'est que bien longtemps aprez qu'il a 
donne au public les regles de son calculus differentialis, et cela sans rendre 
ä Mr. Newton la justice qu'il lui devoit. Et la maniere dont il s'en est acquitte est 
si eloignee de ce que Mr. Newton a lä-dessus, que je ne puis m'empecher en corn- 
parant ces choses ensemble, de sentir bien fortement leur difference, comme d'un 
original acheve et d'une copie estropiee et trez imparfaite. — Wlan fxeljt §ieraxt§, baf} 
ber Angriff gcttio'3 auf SeiBntj, ber 1699 öffentlich erfolgte, Bereite feit längerer Seit t)or* 
Bereitet nmr. 



30 ©inleittmg. 

Seibnij mehrere fragen au3 ber öptt! afö ÖJegenftanb für bie vettere 
Korrefyonbenä jur ©pradje. ©rft itad^ Ablauf eines |>atbjaf)r3 ant^ 
toortet SRetDton. @r ertociljnt, bafj bie S3riefe r bie er burd) bie $er= 
mittetung Dtbenburg'3 an Setfentj gerietet Ijabe, öon 2öatti§ juglet^ 
mit einem öon tljm oerfajsten forden Unterricht über bie gftugtonSs 
redjnung herausgegeben toorben mären. Um Seibnijen§ SSünfcfjen 
entgegen ju fommen, giebt er ein SBerfafjren, toie bie Öuabratur ber 
(Surften auf bie 9fcctification jurücfgefü^rt derben fann. Sitte übrigen 
fragen in betreff ber SBetoegnng ber InntmeföftSrper unb über bie 
Stjeorie be§ Siebtes, bie Setbntj %nt 5Dt§cuffion angeregt fjatte, toeift 
■ftetotott prüd; bie öon itjm anfgeftettten ©efe|e feien au§reidjenb 
begrünbet, caxäj Dermeibe er alles toaS $n tr> tf f enf d^af tttd^en ©trete 
fragen SSerantaffnng geben Kinnte. ®amit ift jebe $ortfe|ung ber 
Sorrefponben^ abgebrochen. 

%loä) einmal lam £eibn% in feinen legten ßebengjaljren mit 
Stonton in SBeriÜjmng. @S gefcljat) bie§ in ^olge be§ fo genannten 
Streitet über ben erften ©rfinber ber Differentialrechnung. Um ben 
3nfammenfjang Kar 51t legen, ift Ijier über bie ©ntftefjnng unb ben 
Fortgang biefeS ©treiteS in ®ürje 311 berieten. @3 finb bereite bie 
betreffenben Sinterungen f^atio be ®nitlier'S in feiner ©orreftwnbenj 
mit Antigens ermähnt korben; er mar mit üftetoton belannt unb fjatte 
offenbar ©infidjt in beffen äßannfcrtpte gehabt. SDiefe Sinterungen 
toieberljotte er öffentlich in ber Keinen ©djrift: Lineae brevissimi 
descensus investigatio geometrica duplex, cui addita est investi- 
gatio geometrica Solidi rotundi in quod minima fiat resistentia, 
Lond. 1699. Newtonum — fo lauten feine äöorte — primum 
ac pluribus annis vetustissimum hujus Calculi Inventorem ipsa 
rerum evidentia coactus agnosco : a quo utrum quicquam mutuatus 
sit Leibnitius, secundus ejus Inventor, malo eorum quam meum 
sit Judicium, quibus visae fuerint Newtoni Literae aliique ejusdem 



(Einleitung. 31 

manuscripti Codices. Neque modestioris Newtoni silentium aut 
prona Leibnitii sedulitas inventionem hujus Calculi sibi passim 
tribuentis ullis imponet, qui ea pertractarint quae ipse evolvi 
Instrumenta. Seibttig tt)ie§ ben Singriff ^atio'S jurücf in ber 2lb= 
l^anblnng : G. G. Leibnitii Responsio ad Dn. Nie. Fatii Duillerii 
imputationes. Accessit nova Artis Analyticae promotio speeimine 
iudicata, dum designatione per numeros assumtitios loco lite- 
rarum, Algebra ex Combinatoria Arte lucem capit (Act. Eruclit. 
Lips. an. 1700). ®ie (Entgegnung ^atto'S ttmrbe öon ben |>erau^ 
gebern ber Act. Eradit. Lips. nidjt aufgenommen. ®er Streit 
brad) t>on neuem au§ im $ctf)re 1705. ©in #af)r t>ort)er inar 
SRctoton'ä ©djrift: Optics or, a Treatise on the Reflections, Re- 
fractions, Inflections, and Colours of light, London 1704, er- 
fdjienen, in melier als Sln^ang §tt>ei 2tbf) anbiungen : Tractatus de 
quaclratura curvarum unb Enumeratio linearum tertii ordinis 
hinzugefügt nmren. ©ine anonyme Siecenfion barüber enthielten bie 
Act. Eruclit. Lips. mens. Januar. 1705; tjierin fjeifjt e§ : Pro 
differentiis igitur Leibnitianis D. Newtonus adhibet, semperque 
adhibuit fluxiones, quae sunt quam proxime ut fluentium ang- 
in enta, aequalibus temporis particulis quam minimis genita, 
iisque tum in suis Principiis Naturae mathematicis, tum in aliis 
postea editis eleganter est usus ; quemadmodum et Honoratus 
Fabrius in sua Synopsi Geometrica motuum progressus Cavalle- 
rianae methodo substituit. SDtefe ^Behauptungen riefen bie @nfc= 
rüftung ber ©djüter unb $reunbe WlewtoxCS Ijerüor. (Einer üon 
üjnen $MÖ, ^ßrofeffor ber 9lftrouomie in Djforb, erKarte in einer 
©djrift, bie in ben Philosophical Transactions be§> $afyce§ 1708 
abgebruclt ift, baf; Station nac^ feinen tum SBaftiS herausgegebenen 
Briefen oljne aßen Btneifet ber erfte (Erfinber ber glujionen fei, unb 
bafj biefelbe SftedjnungSart, nur mit abgeembertem Tanten unb S5e= 



32 ©inlettimg. 

getdjmmg öon Setbmj in ben Act. Erudit. Lips. befannt gemalt 
korben märe. Über biefen äujgerft plumpen Singriff beflagte ftdj 
Seibnij im $al)re 1711 in einem Briefe an ©toane, ben ©ecretär 
ber Sftotjat ©ociettj, ju beren SJätgliebern Settt gehörte, nnb ver- 
langte, bafs bie ®önigtid)e ©ocietät ben letzteren §n einem SBtb erruf 
öeranlaffen füllte, ©3 mürbe befdjtoffen, ba% teiE feine aufgehellten 
Behauptungen betueifen folle, mit anbern äöorten, baf? er ba§ ^Pri- 
oritätsrecht ^emton'S oer%ibigen falle» SDieS geftfjaf) in einem 
Briefe an ©toane im SD^ai 1711 , in toetdjem teilt mefenttid) bei 
feinen Behauptungen fielen blieb , inbem er ausführte, bafs Sfemton 
in feinen beiben Briefen an Dtbeuburg Stnbeutungen gegeben ijätte, 
aus melden Seibnij bie ^rineipieu feiner Differentialrechnung gefolgert 
fjabe ober boef) folgern formte. Stuf biefeS längere (Schreiben Äeitt'S, 
baS ßetbntg burdj bie ^öniglit^e ©ocietät in Stbfdjrift mitgeteilt 
mürbe, forberte biefer, bajg teilt burd) bie ©oeietät gum ©djmeigen 
gebraut mürbe ; berfetbe t)abe o^ne bie Slutorität S^emton'S gefjcmbelt, 
nnb fei al8 ein homo novus unb als ein mit ben fingen menig Be= 
lannter ju betrauten. 5Da bie ©ocietät eines itjrer SCRitglteber nidjt 
ungegart gum @d)meigen verarbeiten lonnte, fo fat) fie ftd) öercmtafjt, 
junäd^ft ben Staub beS Streites burdj eine Kommiffion unterfudjen 
$u laffen. ®er Beriet berfelben mürbe oon ber ©oeietät einftimmig 
angenommen, unb ber ®rucl berfelben befdjtoffen. ®ie ©ommiffion 
erklärte am ©djtufj, bafj -Ketoton feine 3ted)mmg Dor beut $at)re 
1669 geftmben, bajg bie SDifferentiatredjmmg nur bem Flamen unb 
ber Begnüg Smeife nad) üon ber $tit£ionSred)nung fid) imterfdjeibe, 
ba§ eS beStjatb nur einen ©rfinber ber neuen Siedjmmg geben lönne, 
unb biefer fei Newton.- Der Beriet ber ßommiffion erfd)ieu gu 
Anfang beS $at)reS 1713 unter bem Sitet: Commercium episto- 
licum D. Johannis Collins et alioram de Analysi promota jussu 
Societatis Regiae in lucem proditum, unb ttmrbe alS @efd)enl ber 



Einleitung. 33 

©efeftfcljaft ben tjerüorragenbften (Mehrten (SngtcmbS unb be§ Kontinents 
jugefanbi. ßetfintj, ber fidj bamaU in SBien Befanb, erhielt bte erfte 
9£ad)rtcf)t öon bem ©rfdjeiuen be§ Commercium epistolicum burä) 
$ot). SJermmttt, ber äugleid) erftärie, ba£} ferner Meinung nad) Stoton 
nidjt ber erfte ©rfinber ber Differentialrechnung fei. ®a§ (Schreiben 
S3ernouIIi'§ veröffentlichte ßetbnij in einem fliegenben S3Iatt im $uti 
1713. Sind) ba3 Journal litteraire, baS im <£>aag erfdjien, enthielt 
eine Entgegnung auf ba§ Commerc. epistol., nwrin ausgeführt nmrbe, 
bajg beteten erft nad) Setbnij im 93eft| ber 3flujrton8redjmmg gelommen 
fei. SBefjufS einer Slntoort baranf mürbe ßetH tum ^emton mit ben 
nötigen Untertagen üerfetjen; fie erfdjien im (Sommer 1714 ebenfalls 
im Journal litteraire. ©o nmrbe ber (Streit ein perföntidjer gtotfc^en 
Sftetoton unb Seibni§. ^acijbem öon (£f)antberlat)ne im $atjre 1714 
vergebens ber Sßerfud^ gemadjt morben mar, bie Beiben berntjmteften 
SMnner beS $al)rt)unbert§ ju üerföfjnen, mürbe ber (Streit jttrifdjen 
S^emton unb Setbn% als ber ©fjurfürft $eorg ßubmig öon ^annooer 
als ®eorg I im September ■' 1714 ben SHpon öon ©ngtanb Beftiegen 
Ijatte, eine Slngetegen^eit beS ^ofeS, inSbefonbere baburd), bafj ber 
Stöberte Sonti*) ben ®önig bafür $n intereffiren ttntfjte. 



*) £>er SCbbatc (£ontt — fein eigentlicher Steinte mar Antonio ©tfjineHa — ftantmtc 
an§ einer uornefjmen gamtlic SBcnebicjS. 1677 gn *ß ab u et geboren, geigte er früfjgeitig ein 
großes Sntereffe für bte 2BiffenfcI)aften. @r trat 1699 in SBenebtg in bie (Kongregation 
be3 Oratoriums; 1708 trat er ans, um auf ber Uninerfität gu Sßabuct 'jßfitlofopljie unb 
äJlatfjematif 51t ftubtren. (£r fdjrteo bafelnft eine SDifferiation üner bte geugung 
gegen ben 9Xtgt Stigrijolt in gerrara (fie ift aBgebruclt int Giornale de' Letterati 
d'Italia, vol. XII art 10 be§ 3aljrc§ 1712), burcl) roeldjc er fiel) in ber gelehrten 
SBelt Mannt machte. .3n Sßctbua fjörtc (£onti bie matt)ematifd)en Vorträge be§ 
9Jfatljentott!er§ ©ermann (©ermann an SeUhtig Patavii d. 27. October 1712), mit 
meinem er cutdj fpäter in ^ortefpouben^ 6 lieft. 5lucl) \tanb er mit (Sljrift. SOBotf über 
bie P)ilofopl)ic SctfmigenS in 23riefmedjfel. Um bie Glitte bc§ 3at)rc§ 1714 Befanb fiel) 
(£onti in §ßcnct§, mo er in bem Greife non ©eleljrtcn, 51t benett Sftemonb geprte, nerlefjrtc 
(SR'emonb an SeiBnij 5. Wtay 1714, Setönig' ^t)tlofopl)ifd)c ©Triften 23b. VII @. 616). 
gm (Sommer 1715 ging ©ontt mit bem äftatfjemcttifer Sftemonb be äftontmoxt nad) @ng* 
lanb. @r futfjte bie 2kfanntfdjaft terato n% ber üjn gu feinem Vertrauten madjte. (©onti 
an Sftemonb ce 30 cl'Aoust: Je vais trois fois la sername chez Mr. Newton, et qnand 
je reviendrai ä Paris, je vous assure que vous serez content de lui et de moi. — 

3 



34 (Einleitung. 

©ottti fjatte ttotf) öou ^ari£ au3 im Sommer 1715 ein ©^reiben 
an Seibniä gerietet, ba£ biejer burc^ Stemottb im Oftober beffetben 
^al^reg ^ugefanbt erhielt, ©einer Slntoort fügte Setbmj ein umfang= 
reifes ^oftfcriptunt Ijüt-ju, ba§ ftc£) anf feinen ©treit mit üftetoton 
begog nnb jnr Leitern Verbreitung beftimmt toar. Wt einem getniffen 
überlegenen ©elbftbemn^tfein bemerlt barin Seibn% namentlich untere 
ftü|t bnrcf) ba§ Urzeit ftolj. Vernontli'g, baj3 e§ ttidjt gtücfen mürbe 
§n betoeifen, bafj kernten üor it)tn bie K^aralteriftil nnb ben %h 
gorit^mn§ ber ^nfinitefimalrec^nnng gefnnben Ijabe. (&§ fei bie 
ßauterfeit feiner ©efinnung (candeur) oerbädjtigt morben bnxä) fcttfdje 
Stillegungen, aber er merbe baburcl) $u leiner ©rttriberung gereift 
merben. $)abei fei man äugtetd) üon ber ©adje, um bie e§ fid) 
fjcmbelt, abgegangen nnb man t)abe, anftatt über bie ^Differentialrechnung 
gu urteilen, bie Steigen ertoftljnt, morin Sfletoton otjne ßtoeifet it)m 
üorauggegangen märe. ©eine ©egner Ratten im Commercium 
epistolicum bie Briefe ntdjt tiottftänbig öeröffentüdjt, ötetmeljr nur 
ba§, tnoburd) fie ifjre falfdjen SluSlegungen unterftü|en fönnten. (£r 
bebauere Stonton, bajg er für ©cfjmeicfjter $u tmttfftljrtg gemefen fei, 
bie tljn nur in 3tmfttgletten Ijätten üertmiletn motten. Sind) ^abe 
bie ®önigtid)e ©ocietät in betreff ber Veröffentlichung be§ Commerc. 



^etttonb an SeiBntj 4 Sept. 1715: Mons. l'abbe Conti, qui m'ecrit tres souvent, est 
charme de ce pays lä; il me paroit que M. Newton n'a rien de cache pour lui). 
Beratern geigte il)m feine Sttanufcripte unb feine fdjönen (^perunente, unb Betmrfte, ba$ 
et al§> Sftüglieb in bie ^öniglidje &oäetät aufgenommen nmrbe. ©onti fanb gutritl gum 
$öniglid)en £>ofe; ber Eönig @eorg I lieg jttf) burdj ifm über ben ©trcit straften ßeibni§ unb 
Newton berieten unb erhielt fo ^enntnift non SeiBnigcn^ ^djretben nom 6. £)ecember 
1715 t^emonb an £eibni§ ce 15 de Mars 1716: M. l'abbö Conti est tous les jours 
plus charme de l'Angleterre et plus amoureux de Mr. Newton. II a eu l'honneur de 
souper avec le Roy d'Angleterre et aux propos de table il paroit bien que ce grand 
Prince a vecu avec Monsieur de Leibniz. Sa Majeste Britannique voulut savoir de 
lui l'historique de vostre dispute avec Mr. Newton. Je lui ecris sur tout cela, comme 
je dois, c'est ä dire suivant ce qui je dois ä la verite et ä mon attachement declare 
pour vous, car vous devez compter, Monsieur, d'avoir en moi un admirateur tres 
sincere et un ami tres fidel e). 1716 ging (Sonti über £>oIIanb naä) £)eutfdjlanb; 
er mar ber tägliche Sifdjgenoffe be£ $önig£ ©eorg, mctfjrenb biefer in ©annoner r>ermeilte. 
1718 !am er nad) Sßariä %utM. ©onti ftarb gu $abua 1749. 



Umleitung. 35 

epistol. bie tnefentltc^en Formalitäten nicfjt erfüllt, inbem. fie jebe 
äRitttjetlmtg an üjn nntertaffen Kjätte, ob er gegen bte Sommiffare 
berfetben etwa<§ eingnwenben t)abe; bafyer Ijabe benn audj bte ©ocietctt 
nidjt befinitiü gtüifd^en xi)m nnb Newton entfdjetben wollen. 2lföbann 
wenbet fidj Setbnig fet)r augfütyrlidj gegen bte foSmtfdj ^^füattjc^en 
SSorftetlnngen ^ewton'g. äöenn and) jeber Körper feiger ift, fo müfjte 
boä) bte ®ramtatton ate eine ©igenfeijaft, bie ju ben t)on ben 
©djotaftifern anfgefteüten verborgenen ©igenfefjaften gehört (qualite 
oeculte Scholastique) , betrautet werben, ©benfo wenig ift t)on 
Newton nnb feinen 2lnf)ctngern bag $orl)anbenfein eineg teeren Oknmeg 
nadjgeftriefen. ferner lönne er in betreff ber Stynamtf ober ber Qefyxe 
oon ben Gräften fein ©rftannen nicfjt %nxM galten, bafj Newton nnb 
feine Sln^änger meinten, bafj ®ott bie SBett fo nnöoElommen erraffen 
Ijabe, bafj, wenn er feine $anb baoon abzöge, fie, wie e§ hei einer 
Utjr ber $att ift, ftitt fielen würbe. £ro| biefer Slngftettnngen wirb 
aber oon Seibnij Newton ba3 f)öd)fte ßob gefpenbet über bie Wct nnb 
SBeife, wie berfetbe an§ ben ^änomenen feine ©djtüffe jieljt, otjne 
irgenb welche $t)potf)efen $u machen, 2M feinen ©Gütern nnb 2ln= 
Rangern felje man tubefj !eine ©pur baoon. Übertjanpt fei für (£ng(anb 
ba§ gotbene Zeitalter ber SBiffenfdjaften vorüber; Sören, $tamfteab, 
Newton feien rtod) ber einige Überreft. ^otitifdje nnb retigiöfe 
Streitfragen feien an ber £age£orbmmg. ©ewiffermafjen nm bie 
®eifte3fäf)igfeiten ber engtif^en SWatljematüer §n prüfen nnb tJjnen 
ben ?ßul§ gu fügten, legte ßetbrnj feinem ©^reiben ein S5ittet hex f 
in bem er jnr Söfnng ber fotgenben Slnfgabe anfforberte: Trouver 
une ligne qui coupe ä angles droites toutes les courbes d'une 
suite determinee d'un meme genre.*) 

Seihni^ ©^reiben wnrbe in Sonbon viel getefen nnb machte 
grof?e§ Sluffeljen; and) ber ®önig ©eorg naljm ßenntnijs baoon. 

*) 3n betreff btefeS ^rofilemg ftefje bie Beilage ju bem legten @djretBcn oon 
SeiBnis an ©otttt. 

3* 



36 (Sinleitunct. 

®ie $reunbe ^ewton'g brangen in ü)n barauf ju antworten ; aber 
er war ba^u nicfjt §u belegen. ©r fcfjrteb erft feine ©rwiberung, 
a(8- ber ®önig fidj erfunbigte, ob bie Antwort ■ SZetotou'S ab= 
gegangen wäre, $n biefem ©^reiben öom 26. Februar 17^| weift 
Newton bie öon ßeibnig aufgehellten Söe^aitptungett afö unbewiefen 
änrücl. @3 fei an tfjm bie 23efc|utbigungen als waf)r ju beweifen, 
fonft fei er at<§ ein Serläumber ju betrachten, ßeibnij fei ber an= 
greif enbe Streit, e3 liege üjm ob, bie Slnltage $u rechtfertigen, $n 
einem längeren an (£onti gerichteten Schreiben tritt Seibnij guerft 
ber 23eftf)utbigung entgegen, aU Ija&e er ben Streit begonnen. ®ie 
angeführte ©teile in ben Act. Erudit. Lips. an. 1705: Pro 
differentiis Leibnitianis D, Newtonus adhibet semperque adhibuit 
Fluxiones, fei burcf) bie #mäunaljme ber folgenben äöorte: quemad- 
modum et Honoratus Fabri in sua Synopsi geometrica motuum 
progressus Cavallerianae methodo substituit, böswillig gebeutet, 
al§ Würbe barin Newton be§ Plagiats öefdjutbigt. SttSbann wenbet 
fid) ßeibtttg £U bem Commercium epistolicum, »oti beffen ©rfcfjeinen, 
ba er in SBien war, er erft fpäter ^enntmjg erhielt, ©in itjrn be= 
frennbeter au^ge^eic^neter SKat^emattfer I)abe in einem ^tugblatte feine 
^etfjte wahrgenommen, worüber Newton ftdj nidjt besagen tonnte. 
$n betreff be§ Commercium epistolicum bemerlt Seibniä, bafj ber 
$nt)alt beffetben fid) gan§ entfernt öon bem fünfte, nm wetzen e3 
fxcEj fjcmbelt, öon ber ©rfinbnng ber Differentialrechnung ; e§ ift 
öietmeljr barin öon ben diesen bie fRebe. Um in biefer #mftdjt 
ben Veröffentlichungen in bem Commercium epistolicum entgegen^ 
antreten, müjgte er ein Söerf öon ehen folgern Umfange £)erfteUen, in 
welchem er bie Briefe au8 ber frül)eften #ett feiner ©tubien öer= 
öffentliche, bie §um Sljeil öerloren gegangen, %nm Zfyeit unter feinen 
papieren öergraben lägen nnb bie er nidjt ^eröorfnc^en lönnte. ©r 
l)abe fiel) beim ^Durchliefen be§ Commercium epistolicum überzeugt, 



Einleitung. 37 

bctfj eg im $ntereffe ^emton'g unb-ju feinem SRatfjt^eit rebigirt fei; 
er Ijabe barin fo tnete Beiden öon SSögwiftigfeit imb Sfjicatte bemerft, 
bafs er mit acuten, bie tum bergteidjen ÖJeöraudj matten, in eine 
weitere ®igcuffion fidj-mdfjt eintaffen wollte. $n einem großen X§ eil 
beg ©ctjreibeng geigt £eibni§ ben ©ang feiner ©tubien in ber 
ajiat^ematif, nnb weift bie Singriffe gurücf, bie in betreff feiner ©r^ 
finbnngen erhoben werben. $u Seibnig' ©^reiben f)at Newton 3$e= 
merlnngen gemalt, aug wetzen befonberg bag fjerüorjufjeöen tft, mag 
er über bie ©rfinbung ber Fusionen nnb über bie 3eit ber @nk 
fteljung berfetben berietet, kernten öesfidjert, baf? er bie 9Ketl)oben 
ber Steigen nnb ber $Iu£tonen im $aljre 1665 gefnnben nnb im 
fotgenben $af)re weiter auggebilbet fyabe. 2tug einem Sftanufcript, 
meines öom 13. Dfawember 1665 batirt ift, fütjrt er bie SBeljaublung 
be§ Problems an, ju einer gegebenen ©teidjung bie $tu£tonggteid)ung 
§n fud^en, worin bie birecte Wlefyobe ber ^tujionen enthalten fei, 
nnb bemerft, bafj biefetbe SBefjanbtung and) auf bie 93eftimmung ber 
Sangenten nnb ber Krümmung ber Kurben angewanbt fei. $tt einer 
Keinen Stbfjanbtung, bie im Sftoüember 1666 gefctjrieben tft, fyabe er 
bie Wefyobe fo weit üerüoülommnet, bafi fie auf S3rüdje nnb tran= 
feenbente ©röfjen anwenbbar war. Slm ©djtufj berfetben ^abe er 
bag SSerfa^ren, Wie aug ber f^tujion bie $tuente ju finben fei, fo 
weit er eg bamatg in feiner (Gewalt Ijatte, hinzugefügt. Newton 
geigt, bajg er bei ber Slbfaffung biefer Slbtyanbiung im ©taube war, 
aug einer $lu£ionggteid)img bie ber ^luenten tjerguteiten, jebocfi nur 
für ©lieber, bie gange atgebraifdje Functionen enthielten; öon ben 
©liebem, in wetzen 23rücf)e oorlommen, f treibt er gur 23egeM)nung 
beg Qntegralg bag Beiden □; er bewerft aud), bajg er fidj guweiten 
(sometimes) ber punftirten 33ud)ftabett gur 23egeid)uung ber Spionen 
bebient ^abe. Newton fügt fjütju, bafi er biefe Keine Stbfjanbtung 
im $atjre 1671 weiter ausgeführt Ijabe, wie er in bem ©^reiben 



38 (Einleitung. 

cm Seibni^ üom 24. Dctober 1676 erttmljnt. @ie beginnt mit ber 
©nttnicflung enbticfjer ®röf3en in conüergente Steigen nnb mit ber 
Söfung ber beiben Probleme: 1. Relatione Quantitatum fluentium 
inter se data, Fluxionum relationem determinare; 2. Exposita 
aequatione Fluxiones Quantitatum involvente, invenire relationem 
Quantitatum inter se. 9toton fe|t fjinftu, baft er burcf) bie Wltfyobe 
ber Steigen nnb burcf) bie 9ttetf)obe ber gfluEumen feine Slnaltjp fo 
eulgemein gemalt fjabe, bajs fie faft auf alle Strien t)on Problemen 
antnenbbar war. Sluffattenb ift, ba§ 9tot<m tyex öon irgenb einem 
Sltgoritfjmug ber $tu£ionen leinen (Mraucf) madjt. 



£eibnt3 an (Dlbenhmg. 



%la(fy einer Hbfcfjrift uon bem original im SBefüj ber atonal ©ocietn in öonbon (Letter- 
book IV, 51—53.) 



Ignosce quod ignotus scribo ad non ignotum; cui enim Reg. Socie- 
tatem non ignoranti ignotus esse possis? Et quem Societas latere possit, 
qui aliqua verae Eruditionis cura ducitur, verae, inquam, quae paulatim 
vestris potissinmin auspieiis a criticorum ambulacris in arcem naturae 
se recipit. Est, fateor, gens gente in accipiendis his igniculis languidior; 
sed scis, alium aliis constantius seniel haustos tenere. Nostris certe 
non desunt experiinenta praeclara, sed, prout nunc est Reip. status, pro 
cujusque proniptitudine aut invidia recondita vel aperta, quod in ^ocie- 
tates coitum non est, nee ita facile inter tot in una Rep. Respublicas 
coiri potest. 

Me quidem, cujus alioquin potisshna opera, instituto vitae nieae 
congrua in jurisprudentia ad eas rationes prope dernonstratorias revo- 
canda, quae Philosopho uteunque severo satisfacere possint, consumitur, 
a natura exaetius pervestiganda non pauca alia prohibuerunt : videor 
tarnen mihi nonnulla observasse, quae fortasse conferre poterunt aliquid 
ad accensum a vobis verae Philosophiae lumen. Nam de veris Motus 
rationibus Elementa quaedam condidi, ex solis terminorum definitionibus 
Geometrica methodo demonstrata, in quibus causam connexionis, flexionis 
duritiaeve in corporibus, hactenus quod sciam a nullo explicatam ape- 
ruisse mihi videor, atque illud etiam ostendisse. Regulas illas, quas de 
motu incomparabiles viri Hugenius Wrennusque constituerunt, non prhnas, 
non absolutas, non liquidas esse, sed per aeeidens, ob certum globi 
Terraqu - aerei statum, evenire (non minus quam gravitatem) ; non axi- 
omata, non theoremata demonstrabilia, sed experientias, phaenomena, 
observationes , at feliees, at praeclaras (ultra quas hactenus nemo pro- 



40 ßeiBnts an DlbenBnrg. 

cesserit) esse-, in niedio tamen quiescente, vel aliter moto, alia omnia 
eventura. Nam et separatas meditationes habeo, quibus ex imiea quadam 
hypothesi certi motus universalis in globo nostro Terraqu - aereo (quem 
et Copernicus et Tycho admittere possit) omniuin motuum, quos in 
corporibus miramux, insueta hactenus claritate reddi ratio potest Gravi- 
tatis, Levitatis, Paradoxorum omnium hydrostaticorum, Mechanicorum, 
motus projectorum ? ßeflexionum, Refractionum ; sed et, quod mireris, 
trium ehymicorum quae vocant principiorum, a confusione vulgari ad 
accuratas deflnitiones reductorum, omniumque solutionum ? reactionum, 
praecipitationum, idque non atomis quibusdam, non ramentis, non ab- 
stractis, sed familiari quadam et pene mechanica ratione. Edidi etiam 
ante quadriennium dissertatiunculam de Arte Combinatoria, in qua nova 
non paüca, quaedam etiam forte profutura, observata sunt, sed quod 
per aetatem adolescentiam vix ingressam, tunc illaboratior fuerit edita, 
resumere aliquando cogito. Gaeteroquin apud nos avide expectatur, 
quid eruditi, et Vos inprimis, de Hugeniano Longitudinum, ope Penduli, 
Invento sentiant, cujus mentio in Epliemeridibus Grallicanis •, satisne vobis 
perfectum videatur; tum quae fuerit ratio quive exitus tentaminis Grallici 
de dulcescentia aquae marinae proeuranda. A Cl mo . Hezenthalero*) 
habeo, quae de perfecta quadam ad usum Philosopliiae lingua condenda 
celeberrimus vester Wilkinsius deliberet. Idem significavit , Jungii 
Phoronomica lucem quam merentur, vobis obstetricantibus visura. Quod 
linguam universalem attinet, scio, Virum aliquem Illustrem sumptuosis 
itineribus plerarumque orbis linguarum radices collegisse et comparasse 7 
condendae linguae matricis causa. Sed et Athanasius Kircherus mihi 
scripsit, Ferdinandi III Caesaris auspiciis multum ea in re a se, sed 
nondum pleno successu laboratum compluraque eo in negotio observata 
a se in turrim Babel mox edendam translata esse. Sed nolo Te a 
negotiis immortalis vestrae Societatis, cui nihil decedere generis humani 
interest, diutius avocare. Vale faveque etc. 

Moguntiae**) 
| Julii 1670. 



*) §eferttljaler (1621—1681) «ßxofeffor ber Sßolitif imb Serebfantfeit an ber Unit-erfität 
in SüBtngen. 

**) ®ic üor mir üegenbe Sl&fdjtift ift baürt: 2Iug. 23. 1670. gdj Jjalte bieg Saturn 
fcfjon fetner SSoxtfieHung uad) für unrichtig. 



Dlbenfmrg an Sciöntg. 41 



II. 

(Dlbmbuvg an £etbnt3* 

9laä) bem Original in ber ^önigl. SBiMtotfjef §u §annooer. 

Obtinere a ine non potui, Vir consultissime, ut Literas tuas ^ Julii 
novissimi Moguntia ad me datas silentio praeterirem. Spirant quippe 
hurnanitatem. non vulgarem; quin et eximiam in provehenda re Philo- 
sopliica voluntatem testantur. Hujusmodi nova non leviter eos afficiunt 
juvantque, qui in votis omnino habent, ut omnium gentium viri sagaces 
et industrii velint studia et exercitia sua ad äugen dam ornandamque 
solidam et feracem Philosophiam consociare. Anglia nostra eo imprimis 
annititur; molitur idem Gallia et ipsa Italia: nee Germaniam opinamur 
post prineipia latere. Tu 7 Vir amplissime, insigniorem pro aetate tua in 
rebus physicis tum affectum tum progressum significas, eaque de veris 
Motus Rationibus epistola tua subinnuis, quae Salivam mihi et aliis 
movent ? unicam illam tuam ? de qua . loqueris, certi Motus universalis in 
Grlobo nostro Terraqu - aereo Hypothesin cognoscendi, ex qua seil, 
omnium quos in corporibus est deprehendere motuum ratio ? insueta 
hactenus claritate, reddatur. Virum sane Philosophuni Te praestabis, 
si tanti momenti negotium confeceris, remque feceris Societati Regiae 
gratissimam, si Hypothesis illius Summam et rationes exponere non 
graveris. Idem jam fecit de suis Motus Regulis Hugenius, aliis ipsum 
in eodem argumento explicando imitantibus; quorum nomina aeque ac 
nieletemata, cedro digna, numquam intermorituram in Soc. Regiae 
Archivis, suum cuique tribuere summopere satagentibus, perennitatem 
consequuntur : Quod idem Tuis eveniet meditationibus et inventis , si 
quidem in iis edisserendis et communicandis cordatum et facilem Te 
mihi praebueris. 

Quam de arte Combinatoria Dissertationen! edidisse Te scribis, ea 
ad oras nostras needum pervenit. Eam tanto magis videre opto, quod 
in ea Te nova non pauca, quaedam etiam profutura observasse sub- 
indicas. Quae hactenus de Arte illa varii scripserunt, vanam potius 
loquendi de variis amplitudin ein, quam judiciose disserendi et nova 
solida ac profutura exeogitandi rationein docuerunt, 

Societas nostra in conseetandis perpetim Experimentis laborat, 
unde Sylva suo tempore confertissima suecreseet, amplissimam Naturae 
Historiam complectens, solido et feraci Physices Systemati condendo 



42 DIbenBurg an SeiBnig. 

posteritati forte suffecturam. Quidant ejus Socii de variis varia nuper 
in lucem emisenmt. Nosti jain 7 quae Dn. Boylius per aliquot annos 
feliciter edidit, quoruni postrema sunt de Formarum et Qualitatuni 
origine; de Argumento illo, Num detur absoluta sive perfecta Quies in 
corporibus etiam solidissiniis? De Qualitatibus Systematieis sive Cosniicis: 
de Suspicionibus Cosniicis: De regionum subterranearuni juxta ac subniari- 
naruni Temperier deque maris Fundo: quibus accessit Ejusdem Introductio 
in Historiam de Qualitatibus particularibus. Insuper Dn. Wallisius imprimi 
nuper curavit duas partes priores Mechanicae sive Tractatus sui Geometrici 
de Motu, in quarum prima de Motu praemittit Generalia, agitque de 
Gravium descensu et Motuum Declivitate, speciatim vero de Libra 
doctrinam tradit: in secunda vero de Centro Gravitatis ejusque Calculo 
in figuris quam plurimis Curvi-lineis atque ex his oriundis Solidis et 
Superficiebus Curvis. Tertiana et ultimam partem habebimus ? quam 
primum per Praeli difficultates licebit. At haec Dn. Barrovius, priori 
haud impar Autbor, Lectiones edidit tum Opticas tum Geometricas, a 
subacti judicii Lectoribus magni aestimatas. — In Anatomicis prodiere 
Dr. Lowerus de Motu Cordis et Sanguinis, ubi Experimenta istius 
generis egregia inseruntur: nee non Dr. Thrustoni de Respirationis Usu 
primario diatriba. 

Non ita pridem ad manus meas ex Germania pervenerunt cbartae 
quaedam impressae, quarum titulus : Inventum novum Artis et Naturae 
Connubium ? in copulatione Levitatis cum Gravitate, per Artifieium 
Syphonis, Macliinae Aquaticae et Anthliae exbibitum a Georg. Christoph. 
Wernero, Memmingensi, excusum Augustae A. 1670. Ait Autbor ? 
Machinam hanc non modo in minori, sed et majori forma descriptam ? 
in aedibus ipsius ad quorumvis conditionis hominum servitia prostare. 
Scire percuperem, num dieta Machina per Germaniam longe lateque 
innotuerit et a viris harum rerum calientioribus laudem impetraverit. 
Multum me tibi devinxeris, Vir speetatissime, si Memmingae, ubi inventi 
Author degit, vel Augustae Vindelicorum, ubi excusus est Libellus, rei 
et successus veritatem sollicite inquiras, meque de re tota et de ipsius 
imprimis artificii ratione perfecte edoceas. 

Hugenianum Longitudinis , Penduli beneficio, Inventum adhuc in 
suspenso est. Existimant nonnulli, duo adhuc istius xAutomati com- 
plemento deesse; unum est, quod needum perpetuo retineatur in situ 
perpendiculari; alterum, quod multum incommodi ab irregulari Motu 
aeris ingeratur. Spes tarnen est, remedium, defectibus hisce curandis 
aptum ? non adeo esse difficile inventu, quum degit inter nos Vir 
quidam Mathematicus ? qui actu se invenisse remedium illud affirmat, 
cumque opportunum fuerit, se propalaturum pollicetur. Haec sunt, 



ßeibntä an DlbenBnrg. 43 

quae Tuis regerenda hac vice suppetebant. Tu Interim, Vir doc- 
tissime, rem philosophicam ornare et augere perge. 

Dabam Londini d. 10 Augusti 1670. 

P. S. Literas tuas Dn. Hobbio inseriptas rus, tibi nunc degit, 
transmisi. *) Si quid responsi dederit, sine mora ad te curabitur. 



III. 



€eibnt3 an (DlbmbuvQ. 



9lafy einer Wöfdjrift r>on bem Original im 33efi£ ber Sftogat @ocietn in ßonbon 
(Letter-book, IV, 85— 91j. 

Meditationes nieas de primis abstractisque Motus rationibus con- 
ceperam superiore anno Sualbaci in ipso acidularum usu, cum Clarissi- 
mus Mauritius,**) Juris Consultus Chiloniensis ? Vir varie eruditus, 
ostendisset mihi in Transactionibus philosoph. quarum aliquas secum 
habebat, ingeniosissimorum Virorum, Hugenii Wrennique, cogitata de 
rationibus motuum. tüa cum primum vidi, dixi, mihi ea Phaenomena 
vera videri, sed primas abstractasque Motuum rationes longe alias 
necessario esse-, Phaenomena autem haec sane admiratione digna, si 
modo accurata experientia comprobata sunt, oriri ex statu Mundi; in 
vacuo, aut medio quiescente, omnia louge alia esse ; prorsus ut gravitas 
motusque in gravibus acceleratio, non innata corporum vi, sed externis 
insensibilibusque causis- contingunt. Continuo igitur sumto calamo, et 
scribendi impetu simul, coepi exarare, quae dudum ea de re conceperam; 
dem'onstrationibus figurisque illustrandi spatium non fuit. Bidui triduive 
spatio elaborata monstravi Mauritio*, is cum esse sibi vobiscum usum 
literarum dieeret, missurum se vobis pollicetur. Resumo, expolio, atque 
inde ei mitto; accepit, sed mox extinctae conjugis domestico infortunio 
afflictus, rem, opinor, ex animo dirnisit, certe vobis, ut video, non misit. 
Cum vero supersit mihi exemplum, ex Nundinis Francofurtensibus, si 



*) §)en SBrief £eibni$en§ an §obbe£ fiefy 2eu3nigen§ Sßfjilofoplj. @d)riften, S3b. I. 
@. 82 ff. 

**) @rtdj manxitm (1631—1691) $ied)t§ gelehrter, feit 1665 Sßrofeffor an ber Uni« 
nerfität in ®iel, fpäter Skififeer be§ ^eidj^fantmercjeridjiö in SBefclax. 



44 SetBntj an DIbenbutg. 

qua occasio suppetit, ad vos mittam. Summa interim huc redit: Longe 
alias esse Motus veras Regulas, quam apparent. Nam pleraque moveri 
insensibiliter , quae quiescere videntur*, pleraque quae videntur unum 
corpus ? non esse nisi congeriem plurium; sensus nostros nunquam 
mendaces, plerumque tarnen dissimulatores esse : Corporis vere quies- 
centis nullam resistentiam ac reactionem esse posse; imo nullam Massam ? 
quantumcunque rnagnam, plane quiescentem esse re vera unum ens 
unumve corpus, sed constitutam in statu, ut sie dicam, materiae primae 
levissimo euieunque rei impulsu disjiei posse. Non esse consentaneum 
primis motuum regulis, ut absolute anguli ineidentiae et reflexionis sint 
aequales; alias longe ejus rei causas subesse; multa alia id genus 
Theoremata in Phaenomenorum potius numero habenda, quorum de 
prineipiis causisque ita apparendi inquirendum sit; tantum abest ut ipsa 
sint pro prineipiis agnoscenda. Sed ut ad rem propius accedam: in 
ratione eorum, quae apparent ex liquidissimis notionibus corporis, Magni- 
tudine, figura et mobilitate, reddenda, nihil me torsit magis quam partium 
in toto, aut plurium totorum inter se cohaesio, cujus species sunt 
durities, mollities, tenacitas, flexitas, fragilitas, fricabilitas , pleraequae 
aliae tactus qualitates, quas vulgo seeundas vocant. Agnoscebam facile, 
necessariam esse aliquam in rebus cohaesionem ad Oeconomiam rerum ; 
sed unde ea fieret, exputare mecum non poteram. Plerique Philosophi 
tanti momenti rem ne tetigerunt quidem; ipse Cartesius cum varia 
corpuscula et ex eorum collisu ramenta facta supponit, non reddit 
rationem cur ista corpuscula consistant, nee ad quemlibet impulsum 
divellantur. Breviter ? qui fit, quod manus meas ad quemlibet conatum 
a corpore avelli non potest? cur ventus nobis capita non aufert instar 
pileorum? cur lapis in terram projeetus non eam totam aquae instar 
ad centrum usque perforat? Ridicula haec quaesitu sunt, sed difficilia 
explicatu. Plebs nos insanos putaret, si talia quaerentes audiret, et quae- 
renda sunt tarnen. Nee densitas ad rationem resistentiae reddendam 
sufficit. Cum enim densitas vulgo definiatur, multum materiae in 
parvo spatio: quiescentis autem nulla sit actio (omnis enim actio corporis 
est motus) quid poterit summa densitas massae quiescentis ad perfo- 
rationem impediendam. Gassendus videtur vidisse difficultatem ; igitur 
ut atomos suas connecteret, hamos atque uncos commentus est; sed ubi 
jam ipsarum atomorum, ipsorum liamorum consistentia et durieties ex- 
plicanda est, confugiendum est ipsi ad voluntatem Creatoris, perpetuo 
igitur ad continendas atomos miraculo opus est. Cartesius qui nihil 
insecabile admittit, sed gradus quosdam duritiei et tenacitatis in rebus 
statuit ? causam tarnen, quod ego quidem sciam ? reddit nullam. Ipse 
Hobbius consistentiam seu cohaesionem in rebus velut quicldam app"/)Tov 



Setfimg an . JDIbenburg. 45 

assumpsit; ande pag. 240. edit. Londmensis Elementorum de corpore 
statuit, fluidum durunique aeque esse homogenea atque ipsum vacuum : 
Et pag. 271. definit durum, ac recte quidem, quod sit corpus/ cujus 
pars moveri non potest sensibiliter nisi rnoto toto, et addit, ex molli fieri 
durum tali partium subtili motu, ut partes simul omnes impingenti 
resistant, sed qualis sit ille motus, neque ipse, neque quisquam alias 
hactenus explicuit. 

Nihil attinet recensere, quae ego hujus rei explicandae causa sim 
commentus : ad extremum visus mihi sum in rationem quandam facilem 
et universalem incidisse. Nimirum rectissime Aristoteles contigua deflnit, 
quorum termini sunt simul, et continua quorum termini sunt unum. 
Quorum igitur termini unum sunt, ea connexa ac sibi cohaerentia sunt, 
quamdiu perdurat terminorum unitas. Sed quomodo effici potest, ut 
duorum corporum termini sint unum, et quomodo rursus ex uno eoque 
indivisibili (termini enim rerum indivisibiles sunt) possunt fieri duo, 
ad res tum connectendas tum dissolvendas ? Haec pendent ex subti- 
lissima contemplatione de natura puncti seu indivisibilium, ex qua 
pleraque miracula in rebus naturalibus oriuntur. Statuo igitur: quae- 
cunque ita moventur ut unum in alterius locum subire conetur, ea du- 
rante conatu inter se cohaerent. Conatus enim, rectissime observante 
Hobbio, est initium motus, seu id in motu, quod in linea punctum. Si 
igitur unum conatur intrare in locum alterius, alterumque (ne detur 
penetratio dimensionum) ex eo expeJlere, sequitur ut primo momento 
temporis jam fit in primo puncto loci, quem intrat, extremo puncto suo 
ingressum; sed eodem primo momento alterum expellendum nondum est 
egressum; duo igitur puncta seu extremitates corporis, expellentis et 
impulsi, se penetrant (datur enim punctorum, non corporum, penetratio) 
et proinde unum sunt. Admirabilis profecto est natura punctorum; 
quanquam enim punctum non sit divisibile in partes positas extra partes, 
est tarnen divisibile in partes antea non positas extra partes, seu in 
partes antea se penetrantes. Angulus enim nihil aliud est, quam 
puncti sectio, et doctrina de Angulis non est alia quam doctrina de 
quantitatibus puncti: sed, ut in viam redeam, si quod totum ita mo- 
veatur, ut pars una alteram expellat loco suo et in eum subeat, eo- ipso 
cohaerebunt eae partes, non absolute quidem, sed dum ingruat fortior 
motus. Finge columnam moveri linea recta.in longitudinem, cohaere- 
bunt sibi partes ejus in longitudinem, sed neque in latitudinem neque 
in profunditatem. Unde si quid ingruat vel occurrat fortior e motu 
secundum longitudinem, id secare poterit columnam secundum longitu- 
dinem in duas partes, et abripere secum qnam tangit, reliquam 
praetervehi sinet. At si quid ingruet in latitudinem vel profunditatem. 



46 SetBntg an ölbenBurg. 

id si debiliore motu ingruet, simul abripietur, motu tarnen totius immi- 
nuto ; sin aequali, faciet cessare connexionem columnae, et utrnmque 
quiescet reductum in arenam sine calce (corpora enim quiescentia nihil 
aliud sunt quam mera puncta sine uniöne, sine lineis, sine superficiebus 
nisi spatii cui insunt); sin fortiore, non avellet partem eolumnae quam 
quiescenti abstulisset, differentia celeritatum, sed auferet totum, unde 
reliquum columnae non perget (ut prius, cum in longitudinem divideretur), 
sed sequetur. Obscuriuscula haec sunt nee nisi figuris illustrabilia ; 
certissima tarnen, et si quis rem attente expendat, necessaria. Nee 
possibilis est alia ratio solida connexionis in rebus, nisi entibus incor- 
poralibus evocatis perpetuoque extra ordinem coneursu alligatis. 
Caeterum ex his, primo aspectu parvis, multa ac magna deduci queunt. 
Primum enim demonstrare possum, dari aliquod spatium vaeuum cor- 
poribus; deinde, dari tempus vaeuum rnotibus, seu ut clarius loquar, 
impossibile esse ut omnia sint plena; impossibile item, ut datus aliquis 
motus rectus sit semper generatus ab alio motu in omnem retro 
aeternitatem, nee posse mundum, ut nunc est, entibus incorporalibus carere 
aut caruisse; quae una propositio, concessa etiam possibilitate processus 
in infinituni (cujus impugnatione potissimum pugnari vulgo pro DEO 
solet) a me, ut spero, clare demonstrata nulli Euclideae certitudine 
eedet, et ubi primum se detexit, majore me gaudio imbuit, quam si 
quadraturam circuli aut perennem motum invenissem. Conabor ali- 
quando me distinete explicare, ac demonstrationis de tanta re, a qua 
felicitas generis humani pendet, judicem constituere K. Societatem. 
Tempus est ad eam rem accedam, quam Tu, Vir Amplissime, potissi- 
mum a me postulare videris ? id est ? expositionem Hypotheseos, cujus in 
prioribus literis mentionem feceram, quae ex universali quodam motu 
in Globo nostro supposito, rationem Phaenomenorum in corporibue 
plerorumque reddat. Hanc ergo breviter ruditerque sie aeeipe, et 
si indigna est oculis vestris ? quod vereor, tentamentis hominis im- 
becillitatem suam fatentis et jussu potissimum Tuo ad hanc audaciam 
excitati ignosce, eandemque iis veniam a tot magnis viris, in R. So- 
cietate congregatis, impetra. Ego mihi hoc saltem assecutus in ea 
videor, ut, paucis mutatis, sectis plerisque omnibus quadrare possit. 
Tbeoriam ipsam de Motus rationibus abstractis majoris facio, non sua, 
non hypotheseos ei superstruetae causa, sed quod me in mentium non 
existentiam tantum, sed et naturam intimiorem, a corporea distinetam 
(quod cordatissimi quique et severissimi Philosophorum hactenus despe- 
ravere) mira quadam claritate duxit: sed de his alio tempore 
aut loco. 

Hypothesis consistit in circulatione aetheris cum luce seu sole 



DIbenöurg an SeiBtttg. 47 

circa terram, circulationi Terrae contraria, ex qua gravitatem et elaterem, 
et magnetis vertieitatem, et ex his omnes rerum antipathias et sym- 
pathias, et solutiones, et praecipitationes, et fermentationes, et reaetiones 
derivo, usque adeo ut credam admirandos omnes et extvaordinarios 
naturae effectus lruie aetheris motui deberi; nee jam amplius stupendam 
esse musculorum arcus ? pulveris pyrii, venenorum vim ? cum non parti- 
cularis rei ? quam nos agentem credimus , virtute, sed ipsius systematis 
laborantis nisu actiones tarn vehementes exerceantur. Quae res mihi 
spem fecit, posse rem quandam, aere exhaustam, aethere distentam, 
ac proinde aere aequalis spatii leviorem parari, cujus appli- 
catione in ipsum aerem homines attollantur: de quibus aliisque 
maximi momenti consequentiis hypotheseos meae, fusius in ipsa dixi. 

Hoc ipso momento, quo haec scribo, literas ab amico aeeipio de 
Wernero Memmin gensi. Is suis ipse manibus machinas ejus contreetavit, 
expert usque est, tantam in iis vim esse, ut ? etsi puer, rotam motricem 
levissimo negotio circumagat, aiiae tarnen machin ae partes (author vocat 
die stieffeien) ne a fortissimo quidem viro sisti possint: sed rationem in- 
venti ab authore celari; nunc ab Electore Bavariae evocatum in Swa- 
censibus fodinis ab aquarum importunitate liberandis speeimen dare, 
ex cujus exitu poterit de re liquidins judicari. Ubi plura didicero, 
perscribam. 

Dab. Moguntiae d. 28. Sept. 1670. 



IV. 

(DIbenburg an Seibmj- 

9la<fy bem Dxigmal in bex Röntgt. Sibüoüjef 511 §cnmot)er. 

Responsum ad locupletissimas tuas literas, 28 Septemb. ad me 
datas, invitus plane ad hoc usque tempus ob varia impedimenta distuli. 
Tu facile indolem provinciae meae dispicies, eoque pronius scripti hujus 
tarditatem excusabis. Dicere vix possum, quam gestiat animus, dum 
intelligitj Virum inter Leges et Aulam dispunetum, ista tarn recenti 
aetate, magnorum in Philosophia Nominum, ßaconi puta, Gassendi, 
Cartesii similiumque scripta, non dico perreptasse, sed tarn subacto 
Judicio ut a Te factum, excussisse, Quae de Jure constituendo brevi et 



48 DXbenBuxg cm Seibnig. 

dilucido, infinitis tarnen casibus, sola paucarum ac paene simplicium ße- 
gularum Combinatione sufFecturo , moliris , totum ea sola hominem ? quin 
totos nomine s quam plures deposcunt. Rem arduam fateor, sed integri- 
tati, perspicaciae, solertiae industriaeque mea quidem sententia nequa- 
quam impossibilem. Felicem Tibi tuique geminis in conatu, non utili 
minus quam laudabili, suecessum ex animo comprecor, meque posse Tibi 
cordatos in tanto opere Patronos et hyperaspistas conciliare, in votis 
quam maxime habeo. Re ferente cum nostris hie loci in Jure Civili 
Doctoribus de Instituto tuo forte disseram, eorumque opinionem explo- 
ratam suo tempore rescribam. 

Hac vice in reliqua hujus epistolae parte juvat philosophari quaeque 
literarum tuarum occasione cogitata subnaseuntur, enarrare. 

Et primo quidem oecurrit Hugenianum de Longitudinibus, Penduli 
ope inveniendis, conamen. Lutetia Parisiorum nuper aeeepi cordatos 
quosdam Viros rerumque Mathematicarum peritos sumptibus publicis tum 
in Indiam (Mentalem tum in Araericam brevi navigaturos, Automatis 
aliquot Hugeniano artificio fabrefactis, instruetos, eo plane consilio, ut 
memorati Penduli in agitatis maribus exaetitudinem summa cura explorent, 
fidamque Regi suo de successu narrationem afFerant. 

llle qui hie Londini incommodis illis quae hac in re etiamnum 
superesse censet, mederi satagit, est Doctissimus Mercator: Promisit ille 
Automatum, Longitudini deprehendendae idoneum quod 1) habet Duos 
Annulos Cylindricos, qui id perpetuo in situ retineant perpendiculari, 
eidemque Navis lateri obversum, quoeunque demum fluetu ea feratur: 
unde, cum motus fere tendat a Puppi ad Proram, certiores Penduli 
vibrationes evadant, quam si in quam vis Navis plagam Machina digre- 
diatur. 2) Quod Aequationem Temporis exhibeat perquam aecurate, ipso 
Automato applicandam. 3) Quod ab irregulari Aeris motu ingreditur in- 
commodi (praecedentia ipsius quidem sententia longe superantis) amoliatur. 
Tempus docebit eximii hujus iuventi successnm ? eosque, qui authoritate 
et munificentia sua illud juvent ? Terrarum Principes excitabit. 

Quid Machinae Aquaticae Memmingenses in fodinis Suacensibus 
ab Aquarum importanitate liberandis praestiterint^ scire perquam aveo. 
Spes est, Serenissimum Bavariae Electorem, quem eo Machinas evocasse 
scribis, rem pro merito examinaturum ? Teque ubi de exitu rei liquido 
judicatum fuerit, pro humanitate tua perscripturum. 

Aegerrime fero, Clarissimum Doct. Mauritium tuas de Primis Ab- 
stractisque Motus rationibus Meditationes nobis invidisse. Solatur interim, 
quod generöse adeo candideque aliud nobis Exemplum polliceris. Eous- 
que de Summa illa, mihi jam transmissa, Judicium suspendere nobis fas 
fuerit, cum multo commodius rectiusque de re tota ex integro Scripto ? 



DIbeuBurg an SeiBnij. 49 

quam ex cornpendio pronnntiari possit. Interim quae de natura Punc- 
torum eorumque Penetratione, inque partes ante non positas extra partes, 
seu in partes ante se penetrantes Divisibilitate subtiliter disseris, majorem 
lucem firmiusque quo consistant talum postulare videntur. 

Jungas, obsecro, Hypothesin integram, quae ex universali quodam 
Motu, in Grlobo nostro supposito, plerorumque in corporibus Phaenome- 
num rationem reddit. Nee ea nos celes, quae ex ipsa de Abstraetis 
Motus Rationibus Theoria duxisse Te in Mentium non Existentiam 
tantum, sed et intimiorem a corporea distinetam Naturam asseris. Gra- 
tissima haec nobis futura sunt, et summo, mihi crede, candore excipienda. 

Visa tibi sine dubio fuere Elementa Physica Francisci Wilhelmi 
Baronis de Nuland, qui Cartesianorum Principiorum falsitatem se osten- 
disse, ipsiusque errores ac paralogismos (sie vocat Author) ad oculum 
demonstrasse arbitratur. In hoc libello cum Motus statuatur unicum 
produetorum Corporum Organ on, ejusdem Natura et Leges investigantur, 
quas cum Te vidisse et examinasse credam, hie commemorare supersedeo. 

De caetero, Soeietas Regia conseetandis Experimentis pro viribus 
ineumbit. Socii quidam ejus Tractatulos quosdam Physicos nuper edi- 
dere. Nobilissimi Domini Boylii Origo Formarum et Qualitatum, juxta 
Philosophiam Corpuscularem Experimentis et Considerationibus illustrata, 
Latine nunc exstat, Oxoniae impressa et propediem in Belgiam magno 
Exemplarium numero transvehenda. Idem Author Anglice non ita 
dudum emisit Dissertationes quasdam de Qualitatibus Cosmicis, deque 
Regionum Subterranearum et Submarinarum Temperie, nee non Maris 
Fundo; ad haec, Diatribas aliquas Experimentales de miranda Aeris 
etiam citra Calorem Expansione deque Elasticitatis ejusdem Duratione: 
Quae omnia sine dubio Viris eordatis et sagaeibus aeeeptissima erunt. 

Quam cupis Josephi Glanvilli de Scientiarum et Artium incremento 
Historiam, lubens transmittam 5 sed Amicum exspectem oportet, qui oras 
vestras commigret, sibique hujus aliorumque quorundam libellorum 
fascieuium imponi sinat. — Transactiones, quas vocamus, Philosophicas, 
hinc a Te postulatas, forte non mittam, cum eas audiam Hamburgi ser- 
mone Latino nunc imprimi-, unde commodius Tibi comparare poteris. 
Consilium edendae hoc loco Bibliothecae Philosophicae me latet: Si quid 
tarnen ea de re deineeps reseivero, perscribam; nee qui Catalogi libro- 
rum recentiores apud nos exstant, fasciculo dicto adjungere omittam. 

Finem hie facerem, nisi ad Epistolae tuae calcem, de Motus per- 
petui proeurandi ratione perquam facili, a Te inventa, nonnulla in- 
nueres, quae tantillum me remorantur. Ais, Te rei demonstrationem 
stupentibus Viris magnis expedivisse, animosque sumpsisse, speeimen 



50 Setfmta an Dtbenfiuxg. 

in macbinula edendi, atque ubi res successerit, vadum publicum tentandi, 
dummodo intelligas, esse qui rem ex vero aestiment. 

Facile, puto 7 credes me in Anglia peregrinum, sine palpo et assen- 
tatione de Anglis pronuntiaturum. Sunt inter eos viri complures, subacto 
in rebus Matbematicis et Meebanicis judicio praepollentes ; quorum de 
Iuvento isto tuo sententiam ut exquiras, priusquam id evulges ejusve 
Autborem te scribas, omnino et amice suaserim. Si consilium allubescat 
meque bac in re parario opus fuerit, provinciam non detrecto, omnemque, 
quae virum bonurn decet, candorem spondeo. Vale ? Vir egregie, et nie 
Tibi devinctissimum ania. 

Dabam Londini die 8. Dec, 1670. 
Si quo responso me digneris, literas tuas, quas tabellario committis, 
hunc in modum inscribas quaeso: 
A Monsieur 

Mons. Grrubendol 

ä 
Londres. 
Nibil praeterea; multo tutius literae sie inscriptae et per tabellarium 
missae ? ad manus meas perveniunt, quam si meum ipsius nomen ad- 
hibeatur. Interim si quis amieo huc profecturo literas vel fascieulos pro 
me tradiderit, eo casu proprio meo nomine utendum ftierit. 



V. 



£dbnt3 an (Dlbmbuvg. 



Wad) einer Hftftfjxtft von bem Dxigittctl im SBeft& bex Sftogal @ociett) in ßonbon 
(Letter -book, IV, 234—8). 

Literas tuas responsorias bumanissimas fruetuosissimasque aeeepi 
dudum; sed cum replicationi meae addere Hypotbesin, quam brevissime 
delineatam, consilium esset, adeoqne typis exeudendam dedissem, pro- 
fectiunculis variis inopinatisque interrumpere operas coactus sum, expertus 
in absentia mea, praesertim in argumento ejusmodi, ubi voeibus ab usu 
communi remotis saepe utendum est, omnia innumerabilibus mendis 
foedari. Quare cum etiamnum interrumperet denuo, nee ante aliquot 



SetBntä an ©IbenBurg. 51 

septimanarum exitum finem sperarem, mahn Tibi interim dimidiam, 
quam vides, partem mittere, quam totum differre. Illud vero magnopere 
rogo, ut excuses audaciam meam inscribendi Schediasmation ejusmodi 
Societati tot magnis ingenio ac digtiitate viris Illustri. Solum, fateor, 
argumentum tantis lectoribus dignum est; caeteris si agnoscitur, satis 
rem ad votum cessisse putabo. Concise scripsi, quia intelligentibus. 
Hypothesin ipsam, credo, attendenti claram facilemque visum iri, fortasse 
et explicandis phaenomenis omnibus tanto magis suffecturam, quanto 
erit is, qui quandoque utitur, ingeniosior et in experimentis me versatior. 
Omnia vel naturae vel artis, ut sie dicain, horologia et maebinamenta 
vel a Gravitate vel ab Elatere pendere, re expensa nemo diffitebitur : 
utramque, unicum quem explicui motum aetheris circularem, modo suppo- 
natur, consecuturam non est difficile cogitatu. Atqui hie est cardo 
totius contemplationis meae*, hunc assecutus, quidquid suseeperam ob- 
tinuero: Hypothesin scilicet breviorem elarioremque quam quae hac- 
tenus extat. Spero tarnen, applicationi quoque specialiori aspersa non- 
nulla non omnino repudianda, ut in verticitate magnetis ab aetheris 
gyratione derivanda, in frigoris natura exemplo angiportuum declaranda, 
in Acidorum Alcaliumque et omnino prineipiorum, quae vocant, Chymi- 
corum reactionibus ? fermentationibus, solutionibus; in restitutione ballistae 
aut chordae tensae; in vibrationibus pendulorum, chodarumque, aliisque 
nonnullis explicandis. De magnete nonnulla adhuc inquirenda puto 7 
antequam omnium rationem reddere sperem, ac potissimum. verumne 
sit experimentum Grandamici publicatum in libello ? quem titulo demon- 
stratae immmobilitatis terrae edidit. Quanquam enim Demonstratio, 
quam superstruit, infirma admodum videatur, experimentum tarnen ipsum 
non negligendum est. Nimirum ait Grandamicus : si magnes sphaericus 
(vulgo terrellam vocant) raticulae e subere vel alicui alteri vasculo in- 
natanti imponatur, ea ratione ut polus ejus Borealis, id est, qui polum 
terrae borealem sibi relictus spectat, in raticula vergat deorsum, nadir 
versus, adeoque ad centrum terrae, Australis autem respiciat Zenith, 
atque ita constituto magnete, et librato, designatur in eo circulus, meri- 
diano loci aecurate reperto respondens, eum circulum fore meridianum univer- 
salem, ac toto orbe, magnete similiter constituto, meridianum loci, ac proinde 
piagas mundi sine ulla declinatione monstraturum. Scio, de hac narratione 
dubitari; ac proinde valde desidero severe examinari, cum plurimum referat 
ejus veritas falsitasve ad aecuratam quandam de Phaenomenis Magneticis 
Hypothesin, cujus umbram animo coneepi, construendam. Mihi aecurate 
experimentum facere, hoc quidem statu negotiolorum meorum impossibile 
est, cum etiam magnetes satis validi, quales requiri ajunt, mihi desint, 

et terrellam necesse sit satis exquisite tornari. Vos veritatem nullo 

4* 



52 SeiBntg an DIbenBurg. 

negotio scieritis, praesertim si Petito (quem exquisitissinias terrellas, sed 
alio fine 7 ut scilicet gyrationem diurnani terrenae similem, quam GKlbertus 
magneti ascripserat, tentaret, fabricasse, ex ipsius ad vos literis, Trans- 
actionibus insertis, didici) negotium quoque rem examinandi demandetur. 
Successum rei non conternnendae, si per Te intellexero, magno beneficio 
me accumulatum credam. 

Instructionem de usu pendulorum Hugenianorum in particula 
Transaetionum, ab amico mihi commodata, legi, sed constructio abfuit. 
Ego vero nosse opto, ex quo principio procedant ista pendula novissimae 
constructionis, usui marino suffectura, an ex principio gravitatis, ut solent 
horologia majora, an ex principio Elateris, ut solent minora illa porta- 
bilia. Utrumque genus habet suum proprium incommodum primarium. 
Nam quae a naturali ponderum gravitate moventur, non possunt de loco 
in locum sine Gravitationis mutatione transferri, ac proinde jactationi 
marinae non sunt accommodata : contra, Elastica etsi transferri huc illtie 
tuto possint rarissime tarnen sunt accurata, ac vix unquam aequabili 
motu clecurrunt, levissimis etiam ex causis, ut aeris, ut tensionis irregu- 
laris inaequalisque, maxime vero temporis tractu variantur; nam vis 
Elastica lassatur, gravitatio naturalis perseverat. Nihilne certi com- 
pertum est de ratione aquae dulcis habendae ex marinis, quam medicus 
quidam ex Britannia minore Eegi Christianissimo proposuisse dicebatur. 
Idem Keifferus quoque, ut audio, sola distillatione pollicetur. Epheme- 
rides Collegii Naturae Cariosorum quod Medici aliquot Germani inie- 
rünt, uti nunc mediocri volumine in specimen anni primi prodiere, ad 
vos pervenisse non dubito, ac proinde de iis plura scribere supersedeo. 
De Werneri Hydrotechnicis diu est, quod nihil fando inaudivi; expecto 
tarnen successum, quisquis etiam futurus est, ex amico. Sunt quorum 
praejudicio non fit magni, sed ego has praedamnationes odi. Ingenio- 
sissimi Geriekii Magdeburgenses Meditationes atque experimenta his nun- 
dinis in publico expectamus. Becherus promittit demonstrationem 
Chymicam, qua ferrum in notabili satis quantitate ex terra, nihil ferri 
actualis continente, produci, ac metallornm genesis non parum illustrari 
possit. Quidam Helvetius eruditus rationem, ut intelligo, invenit, oppido 
facilem et regulärem, lentes sectionum Conicarum elaborandi, idque et 
specimine comprobatum ajunt. Expecto literis proximis de ejus instituto 
distinctiora. Francisci Wilhelmi lib. Baronis de Nuland Elementa nondum 
mihi visa sunt. Delineationem brevem abstractae nieae de Motu Theo- 
riae adjicio postremis pagellis Hypotheseos vobis dedicatae ; inde, opinor, 
apparebit, Paradoxa mea de motu, et Continuo non ita esse a ratione 
aliena, ut primo aspectu videntur: Punctum non esse aliquid minimum, 
et omnium partium expers; esse tarnen inextensum seu expers partium 



Seibnis an DIbenburg. 53 

distantium ; quin etiani punctum esse puncto inajus, ut angulum angulo; 
Punctum non esse, cujns pars nulla est, nee cujus pars consideratur, 
sed quod quolibet extenso assignabili minus est, quod est fundamentum 
methodi Gavalerianae. Sed quid praeoecupo illic clarius dicenda? Credo 
tarnen, vix aliter Labyrintho compositioiris continui exiri posse. De Deo ac 
mente peculiares demonstrationes molior. in quibus nonnulla mirabilia, 
hactenus indieta, lucem tarnen fortasse non vulgarem allatura, dicentur. 
Interim hie breviter innui, omne corpus esse mentem momentaneam, ac 
proinde sine conscientia, sensu, recordatione. Si vero in uno corpore 
possent ultra momentum perseverare duo contrarii conatus simul, omne 
corpus foret mens vera. Ubicunque autem hoc effectum est, produetae 
sunt mentes, eaeque naturaliter indestructibiles, quia, ut suo loco 
demonstrabo, duo contrarii conatus in eodem corporis puncto semel ultra 
momentum compatibiles, in aeternum nullo aliorum corporum allapsu, 
nulla vi adimi possunt. Haec prima specie exigua, vix credi potest 
quantum aperiant portam cogitationibus non contemnendis : Quas aliquando 
aecuratius elaboratas demonstrationibus de jure naturali (in quo argu- 
mento me pretium operae facturum spero, praesertim cum paueos ex- 
tare arbitror scriptores ingenio-siores in eo versatos, quos non contulerim, 
ac proinde rogo, ut si qui, quod non dubito, apud vos scientiam hanc 
tanti ad omnem vitam momenti exeolunt, mihi Tuo beneficio innotescant) 
cujus magna pars demonstrationibus de Deo ac mente innititur, jüngere 
consilium est. Hypotheseos meae non nisi unum Tibi, ut vides, exein- 
plum ob locorum distantiam mittere possum; cum vero Illustri Societati 
inscripserim, cum egregios viros, qui in ea sunt, censores, sed placidos 
optem, fortasse nisi Tibi aliter videtur, potest totum Schediasma meum, 
quippe non nisi quatuor plagellarum, vel totum simul, vel particulatim 
Transactionibus inseri, eruditorumque judicia Candida placidaque ex- 
plorari: materiam certe multis fortasse novis cogitationibus praebere 
poterit. Judicia si per T.e reseivero, plurimum accedet tot benefieiis, 
quibus Tibi me obstrictum sentio. 

Si excusabis audaciam apud magnos viros, collegas Tuos; si prae- 
parabis animos eorum homini ignoto et obscuro 5 si censuris eorum 
doceri me, perfici cogitata mea feceris, faxo ut intelligas, ineidisse Te 
in hominem beneficii agnoscentem. Reliqua Hypotheseos mox sequentur; 
sed finiendi tempus est. Vale faveque. 

Mogunt. 11. Martii. 
st. n. 1671. 



54 DIbenfmxg cm SetBntg. 



VI. 



(Dibenburg an £eibni3* 

Watf) bem Original in ber Eönigl. SBtbliotfjef 51t §annoner. 

Recte accepi, Vir nobilissime, Hypothesim tuam Physicam, typis 
Mogimtinis editam, et niox prima ferente occasione corani Soc. Regia 
produxi. Praelecta ipsi fuit honorifica Dedicatio, protinusque nonnullis 
ejus sociis in mandatis datum, ut libellum istuni evolverent et expen- 
derent, suamque de eo sententiam, quam primum fieri commode posset, 
in coetu publico referrent. Id dum agitur, suadere velim, Vir optime, 
ut partem alteram quantoeyus ad me, tuta occasione, expedire ne gra- 
veris, cum intelligam Ego ? viros illos, quibus examinis hujus provincia 
est demandata, vix quicquam de re tota pronunciaturos esse, nisi et 
tuam de Abstracta Motus Theoria doctrinam, saepe a Te citatam et 
pluribus positionibus substratam, cognoverint. Interim, quantum colligo, 
non displicet opera tua iis, qui inspexere, certe mihi perplacet, qui ad 
multa Te respexisse percipio. Cum posteriora videro scripti hujus, mox 
Hypothesi tota Transactiones Philosophicas exornare satagam. 

Quam primum de Machinae Wernerianae successu certi quid acce- 
peris, nobis quoque impertiri ne graveris. Rationem dulciiicandi aquam 
Marinain invenies impressam No. 67. Transactionum philosophicarum, 
quantum qui dem ejus retegere inventori vis um fuit. 

Famigeratum illud Grandamici de Terrella Magnetica Experimentum 
successu carere, satis liquet ex iis, quae ex Dn. Petiti epistola in Transact. 
phil. Nr. 28. inserta habentur. 

Operam dabo , ut cura Martini nostri libros a Te hinc desideratos 
accipias. Vale et porro Tui studiosissimo fore. Raptirn Londini d. 14. 
Aprii. 1671. 

P. S. Ne ; quaeso, invideas mihi peculiares illas 7 quas dicis, de 
Deo ac mente demonstrationes, circa quas nonnulla innuis, quae me 
perquam attonitum habent, adeoque stimulant, ut tanto importunius 
eorum communicationem expetam. 



Dlbenburg an Seibnis- — Seibmj an Dlbenfmrg. 55 

VII. 

(Dlbenburg an iexbni^ 

$la<§ bem original in ber £önigl 23t6üotf)e! gn £>annot>er. 

Paucis abhinc diebus per Tabellionem ordinarium de plurimis rebus 
Philosophicis, nee non de Hypothesi tua Physica ad Te scripsi; imprimis 
vero ursi, ut partem ejus seeundam de Abstractis Motus regulis quan- 
tocius, ad majorem totius rei lucem, huc transmittas. Spero literas illas 
rite Tibi fuisse traditas. Iam quod scribam aliud non suppetit, nisi ut 
significem, me per Bibliopolam nostratem Martinum, et per Schultzium 
Hamburgensem, ad Zunnerum Francofurtensem libros a Te desideratos, 
quos quidem eorum concessu potui transmisisse, nempe: 

lib.sterl. shil. d. 

Phil. Transaet. annorum 68 ? 69 ? 70 . . . . 1 — — 

Lexicon Bluntii — 4 — 6 

Boylius de Rarefactione Aeris — — 6 

Boilii Tractatus aliquot de quäl. Cosm* etc. . — 1 — 8 

Glanvils Plus Ultra — 1 — 6 

Mercur. librarius — 1 — 6 

Summa 1 — 10 — 8 
Persuasissimum habeo, Te curatnrum, ut Zunnerus Schultzio de 
pretio satisfaciat, ut Schultzius deinde j>ossit satisfacere Martino; absque 
quo si fuerit, difficilis erit imposterum Martinus noster in consimili 
occasione. Vale et a Tui observatissimo plurimum salve. 

Dabam Londini d. 24. April. 1671. Deinceps Schultzius Amplitudini 
Tuae suppeditabit omne^ hujusmodi libros, in Ajiglia impressos: Noster 
enim Martinus cum eo rem habet. 



VIII. 



£eibnt3 an (Dlhmbuvg. 



Waü) einer TOfdjrift t>mt bem Original im SBejtfc ber Sftonal ©ocietn in Sonbon (Letter- 
book, IV, 285-9). 

Quoniam his nundinis Francofurtensibus nihil a vobis accepi ? vereri 
ineipio, ne quas ego literas prolixas satis per Cursorem publicum ad 



56 Setbntg an DIbenBuxg. 

Te cum parte Schediasmatis mei novi destinaveram, perierint. Sehe- 
diasina ipsuni Illustri Societati Regiae, ut vides inscriptuin est, autore, 
per Te potissimum, veniam a consessu tantoruni Virorum sibi pollicente. 
Adjunxi aliud ? quod Academiae Regiae Parisinae inscripsi. Summa 
utrique huc redit: Theoria motus Abstracti invictas propemodum com- 
positionis continui difficultates explicat, Geometriam indivisibilium et 
Arithrneticam infinitorum confirmat; ostendit nihil esse sine partibus in 
rerum natura; infinitas actu cujuscunque continui partes esse; doctrinam 
de angulis esse de quantitatibus inextensorum ; Motum esse Motu for- 
tioreim ergo et conatum conatu: conatum autem esse motum per punctum 
in instanti ; punctum ergo puncto majus esse. Si corpus premat corpus, 
conari, ac proinde incipere in ejus loco esse; ergo incipere uniri, seu 
penetrare; terminos igitur esse eosdem; ergo corpora se prementia 
cohaerere; conatus diversos, inter se per minima mixtos, producere 
novi generis motus; nullam esse cohaesionem quiescentis; omnem 
potentiam esse a celeritate; omne corpus esse meutern instantaneam; 
mentem servare conatum amisso motu, corpus non servare : sed mentem 
ab agendo desistere non posse, mentem propagare se ipsam sine nova 
creatione ; multaque Theoremata admiranda a me demonstrabuntur, non 
minore claritate Greometrica, quam quae de punctis et conatibus ratio- 
cinari licet: nam quod in corporibus praestant spatia et motus ? id in 
mentibus puncta et conatus. Caeterum hoc loco explicui omnis generis 
figurarum et motuum originem ex meris rectis; ipsa lentium elabo- 
randarum fundamenta; corporum absolute considerandorum inter se 
concurrentium eventa saepe paradoxa, quia a Phaenomenis dissentanea ; 
nam alia plane est magnitudo, flgura, motus corporis apparens, alia vera. 
Cum igitur eventa motus apparentis difFerant a regulis veri, sed insen- 
sibilis, seu non apparentis, cogitandum fuit ratione conciliandi, seu de 
quibusdam motibus veris insensibilibus, qui hos sensibiles saepe tarn 
paradoxos producerent. Id quamdiu omnes naturae sinus nondum 
excussimus, praestari non nisi per Hypothesin potest, quae quanto clarior, 
simplicior ? brevior, concinnior ? phaenomenis quae hactenus novimus 
potissimis difficillimisque solvendis sufficientior , tanto veritati propior 
habenda est. Hypothesis autem mea in summa huc redit: suppono 
solem simul gyrare circa suum centrum, et radiäre extra se; ita radia- 
tione apprehendet, gyratione circumaget totum quem vocant magnum 
orbem suum, ex aethere et globis in eo disseminatis, planetis nimirum 
et tellure ? constantem. Cur autem globi illi ab aethere diversi distinc- 
tique? quia separato motu circa proprium centrum suum circumferuntur ; 
atque in specie terra nostra, dum gyratione sua particulari opponit se 
aetheri, circa solis centrum cum ipso gyrato, efficit ut ex duobus his 



Setfmt& an Olbenfcuxg. 57 

motibus solis radiäntis aetherem moventis recto, et telluris obnitentis 
circulari velut in ofncina vitriaria, siniplicissimo artificialium genere, 
bullae quaedam seu vasa subtilia fiant, velut fundamenta specierum et 
corporum particularium. Reliqua pars aetheris, quae libera mansit, 
gyrabitur cum luce circa Tellurem motu, ut conjicere licet, fortissimo ; 
tellurem enim secum abripere non potest, quin illa separatum sibi motum 
retineat. Hie statini tum vim Elasticam, tum Gravitatem efficit: Vim 
Elasticam, quia si quid crassi consistentisque aetheri oecurrat, quod in 
tantam subtilitatem divisum non est, quanta est aetheris gyrantis , id 
motui aetheris obsistit, quia ab eo abripi eadem celeritate non potest: 
necesse est ergo, vel disjiciatur in similem aethereae tenuitatem, motui 
aptam, vel dejiciatur in locum ubi motus tarn fortis ac proinde tanta 
tenuitate opus non est, id est, prope centrum : a disjeetione Vis elastica, 
a dejeetione gravitas: ab bis duabus pleraque corporum phaenomena. 
Nam omnes reactiones, fermentationes solutionesque et praeeipitationes 
ferme reduci possunt ad reactionem, quae est inter aeidum et alcali, 
haec vero pendet a Vi Elastica. Est enim Alcali instar sclopeti ventanei 
aere onerati; quorum ex vitro constantium acervi, si violenter ad rup- 
turam usque commisceantur, quis ejaculante uno, altero sorbente, ex- 
oriturus sit tumultus, facile cogitatu est: idem proportione, tumultu non 
nisi effectibus suis sensibili, in reactionibus omnibus contingere cogitemus. 
Hie positis omnia de prineipiorum chemicorum numero litigia cessandi, 
etiam metliodi medendi stabiliendae iniri aliquando ratio poterit; con- 
traria enim contrariis substantia similibus gradu curanda sunt: Alcalia 
scilicet per aeida, et contra, sed subtilitate proportionata; unde speeificae 
medicamentorum vires. Haec satis, opinor, harmonica aliis non paucis 
congruentiis confirmantur. Quid enim memorabilius , quam rationem 
directionis magneticae ad polos manifestissimam hinc reddi posse, quod 
hactenus, quantum scio, nemo praestitit. Nam librata, et potissimum 
magnetica, si se quomodoeunque vel directe vel oblique in longitudinem 
seu inter orientem oeeidentemque collocarent, torrenti aetheris ab Oriente 
in Occidentem moti se opponerent; quod ne fiat, collocant se tandem 
post multas Variationes in latitudinem inter meridiem et septentrionem, 
seu versus polos \ ■ quibus positis fortasse ad declinationis magneticae 
causam aliquando perveniri potest. Ex eodem prineipio aetheris 
circulati motus marium et ventorum, leges Refractionis et Reflexionis, 
pendulorum synchronismos multaque alia naturae phaenomena deduxi, 
quanta vix ex hypothesi tarn simplice quis quam. Quae alia his 
connexa in re naturali, mechanica et civili molior, alias fusius dicam. 
Nunc, Vir Amplissime, Te vehementer rogo, ut efficias, hoc quiequid 
est hominis ignoti et peregrini et multis aliis morosioribus studiis 



58 Setbntg an Dlbenbnxg. 

ultra solitum distracti, a tantis viris quantis inseriptuni est, boni saltem 
consuli. 

Non nisi exemplum miito ? quia mittendi ratio alia quam per cur- 
sorem ordinarium non fuit. Valde vellem igitur, ut quia tarn exiguum 
est, apud vos pro commodiore distributione recuderetur, aut fortasse 
Transäctionibus, si quidem commode fieri potest, ad aliarum Epistolarum 
dissertationumque instar connecteretur * 7 quod vero potissimum peto, 
hoc est, ut judicia, monita, aniraadversiones, supplenienta, emendationes, 
stricturas egregiorum virorurn scripto scilicet. et tanti videtur ? ab 
unoquoqae, pro re nata, comprehensas mihi resciscere liceat: Inprimis 
oro, ut Wardi, Boilaei, Wrenni, Wallisii, Wilkinsii, Willisii, Loweri, 
Collinsii, Mercatoris, Hookii, aliorum magnorum Virorum sententiae ad 
me Tuo beneficio perveniant; poterit fortasse rudior adhuc doctrina po- 
liri exactius, et sicubi maxime laborare videbitur, demonstratio num ro- 
bore firmius emuniri. Caeterum Doctissimi Wilkinsii Characterem Uni- 
versalem beneficio Amplissimi Viri Gruilielmi Curtii nuper legi; Tabulae 
perplacent: vellem res, quae describi nisi pictura non possunt, ut sunt 
varia animalium, plantarum, instrumentorum genera, figuris adjectis ex- 
hibuisset. Utinam esset qui in Latinum traduceret, quanquam nemo 
posset rectius Autore; dummodo rerum non aliter declarabilium figurae 
nonnullarumque vocum ignotiorum explicationes adjicerentur. 

Quaesivi literis nuperis, verane sint, quae in itinerario narrat 
Monconisius de pulvere tarn mirandae compositionis ; ut integras naves 
destruere possit, quem habeat Drebelii gener Küflerus; item quid de 
ejus fornace pisterio; de registro, se sponte sua ad debitum caloris 
gradum demittente; de aquae marinae distillatione ibidem asseruntur. 
Quaesivi etiani, quis eventus fuerit praedictionis circa Declinationes 
Magneticas, autore, ni fallor, Bondio, quam in vestris Transactionibus 
legi. Quid judicatis de Experimento Magnetico P. Grandamici*) qui 
ait ? Terrellam polo impositam et ita in subere libratam certum quendam 
Meridianum ubique locorum polo seu Meridiano loci sine declinatione 
ulla obvertere'. Iteim an veram putetis inclinationem magneticam Gril- 
berti et Kircheri, qua acus elevationem poli monstret. Haec duo ? illud 
inprimis , valde nosse vellem ad Hypotheses meas Magneticas perfi- 
ciendas, neminique rectius quam Vobis explorata puto. Nihilne novi 
circa Tubos Opticos inventum? an cum fructu perfecta Machina Wrenni- 
ana pro vitris Sectionum Conicarum? Ottius quidam, natione Hel- 



*) Jaeqnes G-randami (G-randamicus) geB. 1588 gefi 1672, Sefuii, Sefjiet bex 
Geologie nnb $f)iIofoprjte in üerfcljiebenen DtbertgcüFIegien in granfreic^. £>ie von üjm 
IjetcmSgegcüene ©djrift, anf meiere Sctont^ S3e§ug nimmt, ifi: Nova demonstratio 
immobil itatis terrae petita ex virtute magnetica. La Fleche 1645. 



Setfmig cm DIbenBurg. 59 

vetius, juvenis doctus, ait machinani facilem sectionibus conicis exhiben- 
dis se reperisse, cujus ineminit in dissertatione sua de Visu. Scribitur 
mihi, in Helvetia, Tiguri, ni fallor, Stollium quendam, virum eruditum, 
sudorem scintillantem nonnunquam (certo anni tempore , de quo spe- 
cialiora expeeto) indubie excutere. Similes extant observationes apud 
Borellum, et alios. Becherus, Medicus Germanus, asserit, invenisse se 
rationem ex solo limo communi. adhibito saepeque abstracto et cohibito 
oleo lini ? faciendi ferrum artificiale, per omnia simile naturali, nullo 
prius ferri in limo vel lino vestigio. De Wernero, inventi Hydraulici 
Autore, diu est quod nihil audivi; expeeto responsum Augusta. Vale 
faveque etc. 

Francofurti 29. Aprilis 
st. vet. 1671. 



IX. 



£eii>ni3 an (Dlbenburg. 



9^ac§ einer TOftfjrift non bem Original im 33efi^ ber Sftogal ©oäettj in Sonbon 
(Letter-book, IV, 322-6.) 

Non dubito quin postremae meae literae, quibus residuum Hypo- 
theseos meae, tum et festinata de abstraeta motus theoria cogitata, ad 
Te recte pervenerint. Ex iis licebit, opinor, perspicere indolem senten- 
tiae meae. quanquam poliendae ejus perficiendaeque curam non ab- 
jeeerim; neque enim adeo difficile erit, ubi otium suppetet, editis inedi- 
tisque meis amicorumque cogitatis experimentisque illustrare sententiam, 
ad explicanda omnia latissime patentem. Certe nihil est Experimentorum 
publice notorum, quae non ei ; notabili harmoniae simplicissimae clari- 
tate, conciliare sperem. Omnes omnium gentium temporumque philo- 
sophi de spiritu quodam Universali seu Anima mundi disseruere, unde 
vita rebus ratione carentibus et motus: ne Aristotelis quidem loca desunt; 
at qui Spiritus ejus motum, causam que motus et effeeta mechanice ex- 
posuerit, notus est mihi nemo. Magno me beneficio affeceris, Vir 
Amplissime ? si egregiorum apud vos Virorum, quibus abundatis, tum 
judicia mihi perscripseris, tum favorem notitiamqua conciliaveris ; non 
eorum tantum ? qui naturae novam lucem infundunt, sed et qui circa 



60 Setfmiä an DIbenButg. 

Theologiam naturalem et moralia aliquid praeclari molirmtur. Licetne 

aliqua Experiraentoruni Eelationumque per coniinunicationem nancisci, 

quae in Historia Societatis enumerantur, praesertim si quid vieissim 

aperiri communicarive possit? Si qua judicia de Schediasmate meo 

insinuata sunt lllustri Societati, ea, rogo, ut mihi qualia sunt etiam cum 

Autorum nominibus, si licet, integra descripta mittas: reprehensiones 

enim, modo aculei absint, non aegre fero. De Machinae Wernerianae 

successu haec conaperi, in fodinis Schwazensibus Bavariae ditionis hacte- 

mus frustra fuisse, sive ipsius artificii vitio sive ut solet obtrectatorum 

malitia, aut fortasse sumptuum mora, qui, ut cogitatu facile est, ad talia 

in magno opere prosequenda non exigui requiruntur: Autorem 

ergo ad extremum, facta redeundi afferendorumque necessariorum spe, 

domum abiisse, nondum rediisse, Sed nondum ideo res tota mihi dam- 

nanda videtur, qui scio, quot mali genii bonis se conatibus opponänt. Ego, 

ut certiora tandem nanciscar, ad Werneruni ipsuin, curante Anrico, cui 

familiaris est, scripsi. Responsum habebitis, ubi ego nactus fuero. 

Grandamici experimentum Magneticum, de quo antehac loquebar, 

hoc est: Magnes Sphaericus raticulae subereae vel alteri vasculo aquis 

innatanti imponatur, ea ratione, ut polus ejus b Borealis, hoc est, ille 

qui sibi relictus borealem coeli plagam, sive verius, telluris polum, 

Australis autem a respiciat zenith. Hoc 

enim modo constitutus magnes, post °^ s co ^ Zenith 

°, 7 r ooreahs 

aliquot hinc inde reciprocationes, in \ ; 

liquido cd horizonti parallelo, disponet \ 9\Maqnes 

quasdam suas partes constanter in c \.{JL) ^..J 

Austrum, et oppositas in Bore am sine /ß\ X 

ulla declinatione. Quare, si in ter- / \ \ 

rella, sie consistente ope lineae me- Tellus\ ) 

ridianae aecurate repertae per aliquod \ \ / 

e problematibus Astronomicis, designe- \. V/ 

tur in superficie Terrellae Meridianus ji\ 

circulus, erit is universalis pro omnibus \ 

terrae locis, citra usitatam ill am de- Australis 

clinationem Magneticam, tantopere 

variam et inconstantem. Haec ille. Valde desidero, nosse rei veritatem 

ad Theorias meas magneticas perficiendas, et experimentum ipsum tale 

est, ut mereatur a diligentissimis observatoribus excuti. Quo facto, si 

quid mihi certi perscripseris, magno me beneficio affeceris. Kircherus, 

Zucchius Scottus approbant; sed scis, alios testes domesticis accedere 

debere: si verum est, sequetur, causam declinationis agere in solum 

Magnetis polum, cui si sie vaeiilandi libertas adimatur, declinationem 



Seibntg an DIbettButg. 61 

cessaturam; de quo fateor esse cur dubitem. Licetne nosse, quid rei 
sit mirabilis ille pulvis Kiefleri, Drebelii generis, cujus meminit Mon- 
conisius in itinerario, qui totas naves destruere possit ; meininere ejus 
etiara Ephemerides Gallicae in judicio de Monconisio. Verumne quod 
ibi narratur, experimentum sumptuni esse coram Croniwello? Continua- 
turne Atlas Anglicanus? Ignosce Te quaestionibus obtundenti. Unum 
est praeterea, quo post tot beneficia fortiore etiam, si id fleri potest, 
modo, Vir Amplissime, me Tibi obstringes. Comperi, apud vos olim 
prodiisse librum quendani Anglicum Grabrielis Plate de rebns sub- 
terraneis, inque eo narrari processum quendam eliciendi Salem ex Anti- 
monio, qui sit quidem infructuosus ob paucitatem et sumptuum magni- 
tudinem, evincat tarnen veritatem transmutationis. Hunc processum ex 
illo libro, quem audio apud vos esse sie satis vulgarem, mihi verbotenus 
describi valde desidero, eaque in re curanda benevolentiam tuam invoco. 
Experimentum a Bechero, Medico Germano, descriptum, faciendi ferrum 
ex rebus non-metallicis , imo nee mineralibus, nescio an ad vos per- 
venerit : memini ejus, ni fallor, nuper; id ita habet, si limus, unde la- 
teres coquuntur et furni parantur, ad aerem siccatus ut cribrari possit ? 
oleo lini ita perfundatur, ut globuli inde formari possint, pro colli re- 
tortae capacitate, idque eum in finem ? ne facta distillatione ob exemp- 
tionem capitis mortui retorta frangi debeat ? deinde ut ignis parvos glo- 
bulos vehementius quam totam massam penetret: Repleatur globulis 
retorta, et per gradus ex aperto igne distilletur augendo sub finem ignem 
fortiter. Prodibit oleum simile illi ; quod vulgo vocant Philosophorum. 
Finita distillatione globuli nigrescentes contundantur et cribrentur ? in 
patinam ponantur, et superfusa aqua communi moveantur; turbidum per 
inclinationem gradatim effundatur; limpida nova addatur, idque tarn diu 
donec effusa aqua clare decurrat, et in fundo patinae grave nigrum 
sedimentum maneat. Hoc siccatum chartae imponatur; adhibitus magnes 
pulvisculum ferreum extrahet, qui repetita extractione copiosus colligetur, 
ex quo ferrum fiet in omnibus probis Optimum. Haec Becherus, qui 
putat ex reactione quadam inter linum et oleum lini fieri ferrum. Quod 
concedendum erit, si verum est, sine oleo ferrum extrahi non posse : imo ? 
alio olei linive genere adbibito, alia metalla oriri; sed sunt qui putant, 
esse tantum latentis in limo ferri extractionem , cum etiam Sendivogius 
alieubi asserat, in omni terra plurimum Martis latere. Sed Vos rectius 
arbitr abimini. Experimentum ipsum verum est, et coram eminentissimo 
Electore Moguntino nuperrime sumtum, qui incomparabili judicio et ma- 
xima harum rerum experientia, decora in Reip. administratione elucentia 
velut distinguit. Unum restat quod non possum quin ubi significem: 
Est mihi amicus, in re metallurgica egregie versatusj is rationem invenit 



62 DIben&urg an SetBntg. 

et in praxin deduxit ehalybem ex ferro in quantitate cum magno 
fructu parandi. Sed cum talia ita comparata sint, ut fructus eorum ab 
iis demum, quibus fundus est rem tentandi in magno, autoritasque et 
notitia securitasque consumptionis, sentiatur, statuit vendere inventum 
suum iis qui rectius queant uti, quales vos judicat: nee si contrahetur 
quiequam petet antequam sumptibus suis assertionem suam apud vos 
verifieaverit. Ees est consideratu digna: nee hie vulgare aliquid ac 
tritum suspicere. 

Si quid nonnonquam apud vos notabile ineidit, quod scire liceat, 
Transactionibusque non inseratur, ejus me signincatione subinde mire 
beatis. Quod restat, vale; quam primum literis me tuis recrea, Illustri 
Societati commenda, faveque etc. 

Moguntiae ^ Junii 
1671. 



X. 

(Dlbenbuvg an ieibni^ 

$la<§ betrt Original in ber ^ontgl SBiMiotfjef gu §annot)er. 

Exhibita, prout jusseras, Regiae Societati Hypothesi tua Physica, 
nee non Motus Abstracti Theoria, mox lila, more suo, utrumque libellum, 
diversis vieibus, nonnullis e coetu suo Mathematicis et Physicis evolven- 
dum atque examinandum commendavit. Factum hic ? quod fieri assolet 
in ferenda de rebus extra Mathematicam evidentiam positis sententia: 
In diversas quippe opiniones Philosophi illi abiere. Interim, qui favere 
sensis tuis omnium maxime videbatur, erat Clarissimus Wallisius, Geo- 
metriae Professor Savilianus Oxonii, cujus mentem, si placct, paucis 
et quidem primo de Hypothesi ipsa sie aeeipe: 

Legi semel atque iterum Dn. Leibnitii Hypothesin novam, de 
qua opinionem meam petitis. Authorem quod spectat, utut de 
nomine (quod memini) mihi ignotum prius, aestimare tarnen debeo, 
ut qui, in loco magno inter magna negotia positus, vacare tarnen 
potest liberae Philosophiae, et rerum causis investigandis, quique 
ad multa respexisse videtur. Opus quod attinet, multa inibi reperio 
summa cum ratione dieta et quibus Ego plane assentior, ut quae 



DIbenBurg an SetBntg. 63 

sint sensis meis consona. Talia sunt, debere Physicum ad 
mechanicas rationes, quam fieri potest, oninia accom- 
modare § 15, Nihil se ipsuni, ex abstractis Motus 
rationibus, in lineam prior em restituere, etiam sublato 
imp e dimento, nisi accedat nova vis § 23. Omnia Cor- 
pora sensibilia, salteni dura, esse Elastica; Atque ab 
Elatere oriri Reflexionen! § 22. (Quae meis de Motu Hypo- 
thesibus, Trans actio nibus Philosophicis*) jam anteliac in- 
ser'tis omnino congruunt, quaeque in Mechanicis seu de Motu 
Tractatu fusius prosequor capp. 11 et 12). Item, Attoli gravia 
non metu vacui ? sed propter Atmosp haerae aequili- 
brium § 25. Levitatem vero per accidens tantum sequi 
ex Gravitate (gravioribus minus gravia sursum pellentibus) § 24. 
Irruptionem Aeris (sed et Aquae etc.) in vas exhau- 
stum ob Aeris gravitatem et Elaterem fieri § 26. Item ? 
Exhausti atque Distenti (ut loquitur) Effectus; unde Per- 
mentationes, Deflagrationes et Displosionum omne genus, 
nempe displodente altero ? quod alt er um absorbet (seu ad- 
mittit potius) § 27., 39, 40. Nam et haec etiam ab Elatere fiunt, 
vel in Contento vel in Continente, vel utroque; illic, explicante se 
quod nimis fuerat impressum; hie, contrahente se quod nimis fuerat 
distentum: quippe utrovis modo, nedum utroque fiet eruptio vel 
explosio, dummodo locus sit, quo sine impedimento reeipi possit 
quod ejiciendum erit. Suntque haec plane consona traditis nostris 
Mechan. c. 14. Sed et illud, Gravitatem in inferioribus oriri 
ex Motu (vel pressu) superioris aetheris § 13 7 16, magna 
saltem verisimilitudine dicitur; quamquam enim Gravitatis causa 
(ut et Elateris) tarn sit in abscondito, ut mihi nondum usque qua- 
que satisfactum sit, quid in ea re statuam 7 Naturae tarnen phaeno- 
mena Pulsione quam Tractatione felicius ut plurimum explicantur. 
Aliaque multa sunt, quae repetitu non est opus, quae magna veri- 
similitudine, si non et certitudine, dieta judico, quaeque per se 
satis consistunt independenter ab aliis; neque enim ita inter se 
connexa omnia, ut unu vacillante cetera simul ruant. De tota 
vero Hypothesi ne quid statim pronuntiem, id saltem facit, quod 
non sim pronus Ego (in rebus saltem pure Physicis, non Mathe- 
maticis) assensum novis Traditis adhibere, donec vel Eruditorum 
sententiis in utramque partem ventilatis, quid statuendum sit rec- 
tius constet ? vel ipsa sui evidentia (quod in veris Hypothesibus 



*) %m Glaube Bewerft: N. Num. 43. 



64 Dlbettfiurg an SeiBnt^. 

non raro fit) veritas eluceat. Fundamentum Hypotheseos novae 
petit ex Abstracta sua motus Theoria (quam nee dum vidi, ut nee 
hujus Tractatus posteriora, quae passim citantur) nempe, Qu od 
nulla sit cohaesio quiescentis, sed omnis consistentia 
seu cohaesio oriatur a motu § 7, 12, 34 (quod cum Gui- 
lielmi Neilii nostri placitis eoineidit). Contra vero Honoratissimus 
Boylius Consistentiam in particularum quiete, et Fluiditatem 
in c arundem continuo motu, collocat. Alii, ad varias 
Atomorum figuras, hamatas et varie implicitas, rem re- 
ferunt. Neque Ego is sum, qui in tanta sententiarum varietate me 
velim arbitrum interponere. Sed tempori res permittenda est et 
Doctorum in utramque partem rationibus. Quippe, idem fere ob- 
tinet in novis Hypothesibus atque in Pendulorum Oscillationibus, 
ubi post crebras hinc inde faetas reeiprocationes, tandem in per- 
pendiculo fit quies. Id vidimus in Hypothesi Copernicana, 
quae utut fuerit Veteribus cognita, tarn diu tarnen jaeuit sepulta ut 
pro nova haberetur: Et quamvis optima esset suffulta ratione, non 
tarnen statim obtinuit, sed a variis fuit variis modis impedita, et 
acriter disputata, donec tandem rationibus authoritati praevalentibus 
ita jam universim admittitur, ut vix quipiam harum rerum gnarus 
de ea dubitet^ nisi quibus Cardinalium deeretum praejudicio est: 
Et quamquam Tycho novam illius loco substituerit, quae illi aequi- 
polleret, ea tarnen tot onerata est incommodis ? ut existimandus 
videatur potius ad frangeDdam invidiam id fecisse (quoniam Telluris 
motus ita Vulgi opinionibus horribilis videbatur) quam quod Co- 
pernici Hypothesin ex animo repudiaverit. Idem dicendum de 
Circulatione Sanguinis Harveana; quae utut optime stabilita 
fuerit et oculorum aÖTo^iot comprobata, diseeptata tarnen fuit inter 
Londinenses Medicos viginti plus minus armis 7 antequam in publi- 
cum prodiret, et ab aliis postea. Quae tarnen deineeps post 
maturam rei pensitationem (quod tempori dandum erat) ab omnibus 
ut indubitata reeipitur. Sic Gra]ilaei Hypothesis (ob Antlias, 
aquam non ultra certam altitudinem attrahentes, primum exeogitata) 
quam Torricellius in graviori liquido adeoque magis traetabili 
promovit, Aequilibrium Atmosphaerae pro Veterum Fuga 
Yacui substituens, non nisi post diutinas hinc inde disputationes 
eum apud Viros Doctos locum obtinuit, quem jam habet. Idem de 
Jolivii nostri vasis Lymphaticis, ante multos annos Londi- 
nensibus Medicis ab illo indicatis atque ab iisdem admissis et 
approbatis dicendum erit; Quae tarnen ita rationi consona reperta 
sunt et oculari inspectioni manifesta, ut tandem longo post 



DIbenburg cm SetBtttj. 65 

tempore inter alios aliquot acriter disputatum sit, quis eorum pri- 
mus lnventor fuerit. Idemque in hoe negotio, aliisque novis 
Hypothesibus exspectandum quae nee oculi inspectione nee certa 
demonstratione probari possunt, at, si veris rationibus fundatae 
sint 7 tandem, quamvis non nisi post velitationes utrimque faetas, 
in libere philo sophantium animis locuni obtinebunt, interea pendulae 
mansurae". 

Secundo, idem Wallisius de Theoria Motus Abstracti 
haec alio tempore multo pareius respondet: 

Accepi transmissam Dn. Leibnitii Theoriam Motus Abstracti, 
de qua etiam Judicium meum expeetatis : Duo autem sunt, quae 
suadeant, ne illud praestem. Alterum, quod res invidiosa videafcur 
de aliorum scriptis censuram agere: Alterum, quod oecupatissimo 
tempore huc advenerit, quo aegre tempus obtinuerim semel atque 
iterum attentius legendi ? nedum omnia pensiculatius expendendi. 
Quoniam vero id petitis, haec pauca dicam : Multa scilicet inibi 
contenta Ego plane approbo ut subtiliter et solide dieta, quaeque 
virum curiosum et cogitabundum indicant. 

Si pauca sint, quibus non statim assentiar, ignoscet ? spero, 

Vir humanissimus. Et speciatim fateor, mihi nondum satisfactum esse, 

ut ? primis saltem cogitationibus ? statim assentiar, Cohaesionem 

ex continuo celerique sed inobservabili particularum motu fieri 

(quod ille Theoriae Motus Concreti fundamentum ponit); uti nee 

pridem mihi flebat satis ? cum ante aliquot annos, similem quietis et 

Cohaesionis causam assignaverit Neilius noster.*) Quid olim ali- 

quando net, post rem aecuratius perpensam, nee dicere possum, 

nee praevidere. Interim Ego octus^w nee quiequam in aliorum prae- 

judicium pronuntio; quin liberum cuique sit, eam quam rationi 

magis consentaneam judieaverit sententiam amplecti. 

Hucusque Wallisius noster, qui forte rem totam a Te propositam, 

concesso ampliori otio, penitius excutiet. Neilius ille 7 quem indigitat, 

vir adhuc juvenis, e Societate Regia, aetate juxta ac ingenio florenti 

satis nuper concessit. Is anno 1667 sua de Principiis et Natura Motus 

Cogitata primum Doctissimo Wallisio et mihi ? deineeps vero ipsi Societati 

Regiae exhibuerat, prout in ejusdem Archivis consignata reperiuntur. 

Supponebat ille ? Nullum quiescens habere resistentiam ad Motum; et 

duo corpora sibi invicem oecurentia, ambo in coneursus instanti a Motu 

desinere. Nullam ipse in Mundo admittebat Reflexion em, statuens, 



*) Leibniz hat am Bande bemerkt: Nota, si quies est causa cohaesionis, omnis co- 
haesio est aequalis. 

5 



66 Dlben&uxg an Seümtg. 

nullam materiae particulam posse retroagi quin prius moveri desineret; 
si vero denuo moveatur, a novo id impulsu oriri, etc. 

Caeteruin, Vir amplissime, morem gessi desiderio tuo, et pro 
commodiori distributione Scriptum tuum hie reeudendum tradidi. Hoc 
sane pacto, Doctorum quorunivis nostratium sententias longe lateque 
explorabit, ab iisque forsan, ubi Tu needum clare cernis, ampliorem 
aliquani lucem foenerabitur. Tu interim valeas feliciter et scientias 
Philosophicas pro virili augere pergas. 

Dabam Londini d. 12. Juni 1671. 

P. S. Jam ante aliquot septimanas transmittendos ad Te curavi 
libros, quos petieras. Martinus noster, Bibliopola Londinensis, commen- 
davit eos Schultzio Haniburgensi ; hie Zunnero Francofurtano. Tu 
operam dabis, si placet, ut quantocius resciscam, postquam tum iili libri, 
tum haec literae ad m^nus tuas pervenerint; meminerisque inscriptionis 
solitae, nempe etc. 

Nil praeter ea ? nisi ut literae tuae rite curentur vel Amstelodamum 
vel Antverpiam; inde enim tuto ad nos transferentur. 

Si quid Parisienses de Tua Hypothesi et Motus Theoria cen- 
suerint, id nobis a Te communi^atum iri omnino eonfidimus. 



XI. 

(Dlbmburg an $ci£>ni3. 

Waü) bem Original in ber ^önigl. 23iMtoÜ)ef gu §annot)er. 

Ante paueos dies Studioso cuidam Frankofurtensi, Hamburgum hinc 
velincaturo, literas ad Te datas commisi satis, ut puto 7 prolixas, quas 
Tibi rite traditas jam esse dubitare nolim. Continent illae quid philo- 
sophorum nostratium nonnulli de Hypothesi tua sentiant, quidque Ego 
de eadem in Transactionibus philosophicis commemorandum duxerim. 
Supersunt nonnulla in literis tuis novissime ad me datis, quibus respon- 
sum debeo ? quod tarnen cum paratum needum habeam, in aliud tempus 
differre cogor. Interim dimittere harum gerulum nobilissimum haud 
potui, quin Te salutarem, simul et fidem facerem, me reliqua, quae de 
me exspeetas, quam primum fieri id potuit, confecturum. Caeterum cum 



DIbenBurg an SeiBttis. 67 

eximius Helmontius, affectu mihi conjunctissimus, propediem ad nos sit 
reversurus,' poteris, si placet, ipsi tuto eommittere, quaecunque forsan 
mihi scribenda vel communicanda occurrerint. In novissimo Nundinarum 
Francofurtensium Catalogo unus alterve liber juridicus occurrit, quorum 
tituli singulare quid spondere videntur. Sunt ilie quidem, Strykii Tractatus 
de Jure Sensuum, et Grutherii Tractatus de Jure Manium. Si quidem 
libros hos lectu dignos judicaveris, ut mihi hac occasione trarsmittas, 
rogo, operam daturo, ut quibusdam authoribus hinc tibi mittendi bene- 
ficium rependam. — Vale, et raptim ex nimia festinatione scribenti 
ignosce etc. 

Londini d. 5. Aug. 1671. 



XII. 

(Dlbenburg an Utibni^ 

9tad) bem Original in bex ^öntgl SHMiotfjef 5U §annox>ex. 

Tardius aliquanto binis tuis novissimis, 10. Junii et 20. ejusdem*) 
ad me datis, respondeo, quod rusticari ad tempus, deinde complura 
negotia, nullam ferentia moram expedire debuerim. 

Gaudeo interim ? quae antehac ad Schultzium Hamburgensem in 
usum tuum transmisi, rite Tibi dudum fuisse reddita. Ex eo tempore, 
Numero 74. Ephemeridum mearum Philosophicarum, Doctoris Wallisii 
de Hypothesi tua Judicium inserui, quem ]ibellum ab eodem bibliopola 
Hamburgensi ad Te curatum quoque fuisse plane confido. 

Ceterum quod artem illam attinet, quam Amicum Tuum callere 
scribis, Chalybem seil, ex ferro in quantitate cum magno emolumento 
parandi, scire Te velim, Serenissimum Principem ßupertum Palatinum 
hie Londini artincium illud per quam facili negotio in praxin deduxisse, 
et quoties lubet deducere. Quaevis enim Instrumenta ferrea, penitus 
jam confeeta, integra etiam tormenta bellica grandia aeque ac parva 
etc. novit Ille in Chalybem perfectum, multo minori quam secus fit 
sumptu facili negotio convertere, ad eamque quam libuerit temperiem, 
citra ullum instrumenti damnum ? reducere. 



*) $er SBrief vom 20. 3uni fep. 

5* 



68 DtbenBurg an SetBntg. 

Grandamici experimentum a Te recitatum fidei adeo sublectae 
habetur a Nostratibus, ut neminem hactenus reperim, qui dignum judicet, 
cm peragendo tempus impendatur. 

Certum est, quod Monconisius de pulvere Küfleriano ingentes naves 
duorum triumve minutorum spatio in fundum agente commemorat; revera 
enim id praestitum fuit, imperante Cromvello, qui et in eo erat, ut 
cum Inventore de certo pretio contraheret, morte tarnen rei executionem 
praeoccupante. 

Conipos fieri non possum libri a te desiderati, cui titulus : Gabriel 
Plat de Thesauris subterraneis. Interim edocuit me vir Philosophus et 
in Chymicis versatissimus, qui eum totum evolvit, expenditque, nullam 
ea in re quam Tu indigitas transmutationem intercedere , sed totum 
negotium in eo consistere, quod Aurum ex Antimonio parva quantitate, 
perinde atque ex Ferro, elici sive extrahi possit. 

Experimentum Becheri impressum, de methodo seil. Ferrum ex 
limo latericio et lini oleo parandi, in oras nostras pervenit, et j am modo 
sub examine versatur, cujus eventum suo tempore perscribam. 

Vidisti sine dubio, quae Cassinus nuper de Maculis in Sole, Augusto 
novissimo observatis commentatus est ? quaeque de eodem argumento 
Ephemeridibus meis Philosophicis No. 74. eodem mense evulgatis annota- 
vimus. Non dubium ? quin et Tu eas inspexeris ; uti eaedem et Amstelo- 
dami, Hamburgi et Londini observatae fuerunt. 

Clarissimus Wallisius tertium et ultimum volumen edidit operis 
sui de Motu et Mechanice ? ubi ? inter complura alia ? traetat de quinque 
Potentiis Mechanicis, ad motum facilitandum comparatis, de Vecte scilicet ? 
Axi in Peritrocbio, Trochlea, Cochlea/ et Cuneo, deque aliis, quae ad 
has reduci possunt. Inserit nonnulla de Hydrostati eis , de Gravitate et 
Elatere Aeris, deque Atmosphaerae contrapondio ; unde ea derivat effeeta, 
quae Naturae a vacuo abhorrenti philosophorum vulgus attribuit, addita 
complurium Experimenti Torricelliani phaenomenüm Explicatione 5 mul- 
tarumque Quaestionum Mechanicarum solutione etc. Exemplaria ejus 
quam plurima sine dubio Hamburgum transvehentur; unde brevi poterunt 
Moguntiam curari. 

Telescopia et Microscopia Anglica quod attinet ? scire Te velim, 
Artificem hie esse unum alterumve, qui talia elaborent, quae hactenus 
Nostratium non modo, sed et Advenarum atque Extraneorum applausum 
meruerint. Arduum nonnihil est quid ea praestent, examussim designare. 
Dn. Hevelius non ita dudum Telescopium 50 pedum triginta libris 
Sterling, nee non Microscopium eximiae magnitudinis et praestantiae, 
decem libris sterl. a nobis procuravit; mihique nuper scripsit, utroque 
sibi abunde satisfactum. Ni fallor, Telescopium 60 pedes longum probe 



£eibnts an DlbenBnrg. 69 

elaboratum, statuit objectum 1000000 es: Et Microscopium, quäle 
supra dixi, tantundem. Specula eoncava Ustoria quod spectat, Artificum 
nostrorum unus offert, velle se , precio 10 librarum Angliearum, tale 
speeulum conficere, cujus diameter sit 16 pollicum quodque ad duorum 
pedum distantiam urat efficaciter. Nosti, in Gallia jam quid amplius 
fuisse praestitum. Forte et nostri homines majora praestarent, si consi- 
mili praemio stimularentur. Hisce vale, meque virtutis ac doctrinae 
Tuae Cultoribus accense. 

Dab. Londini d. 28. Septbr. 1671. 



XIII. 



€etbnt3 an (Dlbenbmg. 



yiafy einer OTftfjrifi von bent Original im S3eft& ber Sftonal ©ocietn in Sonbon 
(Letter-book, V, 15—21). 

Literas Tuas, quibus mihi Dn. Wallisii, acerrimi ingenii et pro- 
fundissimae doctrinae viri, Judicium transcribis, du dum accepi. Re- 
sponsum distuli, dum hoc quod vides Schediasma Opticum*) addere 
posseim quod Illustri Societati Eegiae communicari peto. 

Memini in Transactionibus Philosop. mentionem fieri Propositae ab 
Auzuto rationis opticae metiendi ex una statione ; sed qualis illa sit ? 
mihi incompertum. Lentes sive Vitra Pandocha nemo quod sciam, 
unquam consideravit ? multo minus Tubos Catadioptricos, quales 
mihi in mentem venerunt. Ulis confusio radiorum tollitur; his unio 
augetur. 

Amicus mihi est Johannes Ottius, juvenis egregie doctus, 
vobis non ignotus, qui praeclaras habet meditationes Opticas, quamquam 
mihi Ellipsibus et Hyperbolis plus aequo tribuere videatur. Idem pro- 
ponit rationem quandam a se inventam, solis circulis id efficiendi quod 
Cartesius Ellipsibus et Hyperbolis; imo plus etiam, ut scilicet omnes 
radii singulorum in totidem distincta puncta Ordinate reeolligantur, sed 
hoc in certa tan tum distantia figuraque tum objecti tum 
fundi excipientis. Caeterum meae Lentes Pandochae illud ; fateor, 



Notitia opticae promotae. Francofurt. 1671. 



70 SeiBntg an Dlbenfiurg. 

praestare non possunt, ut vel unius puncti omnes radios in imum punctum 
recolligant, nedum ut singulorum; sed interini hoc praestant, ut quantum 
Lentes vulgares efficiunt in puncto objecti unieo, in axe optico sito, 
tan tum Pandochae praestent in punctis omnibus etiam ab axe optico 
remotis, quantacunque sit apertura Lentis, aut Magnitudo, 
figura, distantia objecti. Idem Ottius mihi nuper misit disser- 
tationem suam eruditam de morbis visus; quemadmodum et Henr. Screta, 
studiorum Ottio socius (qui eodem quo Ottius tempore de visu, ipse de 
Auditu cogitationes Physico - mechanicas publicavit) suam de morbis 
Auditus. 

Quod celeberrimi Wallisii, acerrimi ingenii et profundissimae 
do^trinae Viri, Judicium de Hypothesi mea qualicunque transcribis, 
accepi Tibique maximas gratias debeo. Si quid vicissim imperabis, 
nihil promptitudinis a me desiderari patiar. Si quae aliorum censurae 
ad vos pervenerunt (eorum inprimis quibus id negotii dedit Illustris 
Societas), beneficio tuo rescire spero. Clarissimus Wallisius mentem 
meam egregie cepit. Video, eum potissimum subsistere in hac propo- 
sitione : nulla est cohaesio quiescentis. Fateor, Cartesium alia 
omnia sentire, cui videtur corporibus ad cohaesionis firmitatem nullo 
alio glutine opus esse praeter quietem. Ego contra, hoc Grluten esse 
motum. 

Sententia Illustrissimi Boylii de fluiditate et flrmitate non difficulter, 
opinor, conciliabitur meae. Fateor ego, motu res fieri fluidas, quiete 
firmas; sed motu irregulari variü, crasso externo, perturbante proprium 
intestinum, quo cessante restituitur intestinus, id est qui es sensibilis, 
seu potius motus insensibilis conspirans. Recte dubitat ipsemet 
Boylius, an detur absoluta quies in corporibus, consistentiam ergo a 
quiete oriri, certum ei esse non potest. Imo, ne quid dissimulem, quanto 
rem considero profundius, tanto persuadeor magis, nullam esse quietem 
absolutam in corporibus, et quod a nobis appellatur corpus quies cens, 
id in rei veritate esse spatium vacuum, quicquid dissentiant Carte- 
siani. Hinc infero, ad essentiam corporis requiri aliud aliquid quam 
extensionem (id est magnitudinem et flguram), alioquin a spatio non 
differet. Ostendam autem, illud nihil aliud esse posse quam motum. 
Possum ergo demonstrare has propositiones alicujus in Philosophia mo- 
menti: (1) datur vacuum-, (2) quod quiescit, est spatium vacuum; 
(3) quicquid movetur, cohaeret in linea motus; (4) Tellus mo- 
vetur. Quae propositiones a se invicem pendent, aut consequuntur. 
Ausim me primum asserere qui demonstravit Motum Terrae. Si demon- 
strationes harum propositionum Illustri Societati Eegiae non ingratas esse 
intellexero, transmittam aliquando. 



Öetbntg an Dlbenbutg. 71 

A Cartesii regulis motus, fateor, me non posse non magnopere 
dissentire-, quanquam de caetero maximi faciam illum virum, cui inter 
Heröes statuam dedicandam censeo. Ante omnia ei non concedo, cor- 
poris essentiam consistere in extensione (sed in motu); nee proinde 
spatium et corpus esse idem, neque ergo vaeuum esse impossibile : Nee 
proinde materia illa subtili, in indefinitum se actu comminuente, solius 
spatii implendi causa conflcta, opus arbitror. Nee illud admitto, quod 
ait , motum tantum consistere in mutatione vicinitatis , ac non magis 
dicendum, moveri terram immoto coelo , quam coelum immota terra, 
mutari enim situm amborum inter se, ergo moveri utrumque. Unde 
sequeretur, spatium quoque vaeuum moveri, quoties a corpore deseratur; 
ac proinde esse corpus, contra priora. Nego etiam, tantundem requiri 
actionis ad quietem, quantum ad motum : Omnis enim actio mutatio est, 
mutatio nulla quiescentis. Nee a Cartesio demonstratum est. eandem semper 
quantitatem motus in universo a Deo conservari; ratiocinatio enim ab 
immutabilitate Dei valde infirma est. Accedo jam ad Leges naturae a 
Cartesio allatas. Prima vera est. prineip. pari 2. n. 37. sed a Car- 
tesio non demonstrata. Demonstravit eam primus Hobbius, quod semel 
moveatur, semper, quantum in se est, moveri. Secunda n. 39. vera est, 
sed a nemine demonstrata. Demonstrabitur autem a me ; motui curvo 
inesse conatum in rectum-, Cartesius iterum recurrit ad immutabilitatem 
et regularitatem Dei. Tertia lex n. 40 falsa est, et partim experimentis 
male intellectis, partim rationibus debilibus asserta; nee admitto, quae 
asserit (part. 2. prineip. n. 43.) quod quiescit, quod alteri conjunetum 
est, habere in se vim ad resistendum moventi, disjungenti; et n. 44. 
motum non esse motui contrarium, sed quieti. Porro ex 7. regulis, 
quas habet n. 46. et sequentibus, ne unam quidem per omnia approbo; 
neque magnitudinem unius corporis continui ad rem pertinere censeo. 
Quieti vim resistendi abnuo. Nee quietem pro glutine agnoso. Baroni 
Nulandio, tum ei qui contra Cartesii 7 regulas scripsit, in eo 
non assentior, quod partim quietem considerant velut aliquid activum, 
partim putant in abstraeta motus ratione corporis majoris esse vim 
majorem eadem manente celeritate motus, cum tarnen majorum vis major 
sensibilis longe aliud prineipium habeat, seil, turbatam magis aetheris 
circulationem. Sed hie tarn multiplex dissensus nihil apud me detrahit 
opinioni de tarn insignibus viris. Scio enim, si tantum dissentiamus in 
prineipiis paucis, necesse esse ut dissentiamus in conclusionibus multis. 

Quid de me vestris Tr ansäet ionibus insertum sit, nosse opto. 
Hypothesin meam magis magisque polio et emendo: faxo aliquando, Deo 
volente, ut in paulo meliore habitu prostet. Grerickius noster scribit 
mihi, opus suum jam prope praelo exiturum, misitque mihi Indicem 



72 SetBntä an Dlbenburg. 

eapitum : Ex quo disco, sequi eum systema Copernicanum, sed quodam- 
niodo emendatum, recensere varia experimenta comparandi vacuum, et 
ununi ex iis, comparandi vacuum quod putat summum. Ego, ut dicam 
quod res est, cum totum mundum globulis, bullis, gyris, orbibus con- 
stare credam, pro certo habeo, vacuum intercipi; sed vacuum aliquod 
sensibiie procurari posse ullo experimento, non puto. Habet experi- 
mentum, quo nubes, ac ventus, coloresqne Iridis possunt in vitro ex- 
citari; item experimentum de consumptione Aeris per ignem; experi- 
mentum ingens pondus elevandi: item Experimentum novi et antea 
nunquam usitati selopeti: Thermometrum novum, Magdeburgicum 
dictum: Grlobum quem vocat Sulphureum (Schwefel -Kugeil) qui 
miras illas Operation es in distans ex er c et, plumam ad certam distantiam 
in aere libero sustinet, et secum gyrat. 

Non dubito quin ad Te pervenerint binae quaedam literae meae, 
eodem circiter tempore missae a me, quo datae sunt tuae. Memini, me 
in iis multa scribere, ad quae responsum desidero. Inprimis quis sit 
status rei opticae apud vos # , quantam faciat Lunam optimum apud vos 
Telescopium, salva claritate; quae sit maxima magnitudo pediculi per 
optimum Micro s copium ; quae ut inquirerem imperaverat mihi Eminen- 
tissimus Elector Moguntinus, rei opticae curiosissimus , qui de Instituto 
vestro praeclarissime sentit, ut est Princeps talium valde intelligens; 
item in quanta distantia legi possint literae maximae impressae ? ut in 
libris Ecclesiasticis. Vellem etiam nosse, quis eventus fuerit destinationum 
Wrenni et Dusonii, celeberrimoram Virorum, in poliendis sectionibus 
conicis* Ego quae de his politionibus sentiam ? in schedula adjecta 
breviter expressi. 

Sed nihil est nunc quidem quod magis a Te ? Vir Amplissime, 
optem scire quam successum experimenti Magnetici Grrandamici 
Exposui Tibi, ni fallor ? literis praecedentibus , et repetam brevissime. 
Ait nimirum Grandamicus (libro 7 demonstratio immobilitatis 
Terrae), si Terrella Magnetica ipso puncto suo polari collocetur in 
subere ? ita ut alter polus Magnetis respiciat Nadir, seu centrum Terrae, 
alter Zenith, suber autem in aqua libretur, certas Terrellae partes in 
Septentrionem, certas in meridiem sine ulla declinatione dispositum iri, 
ac proinde designari posse in Terrella Meridianum quendam, qui ubique 
monstret Meridianum loci sine ulla, ut dixi, declinatione: Quasi 
scilicet declinatio Magnetica in solo polo ejus hospitetur, quo nunc fixo 
reddito, ut unum perpetuo mundi punctum, nimirum centrum Terrae 
praecise respicere cogätur, caeteras etiam magnetis partes praecise 
respicere certas mundi piagas. Meminit etiam hujus experimenti, sed, 
ut solet, sine nomine Inventoris, Cartesius in Princip. Philo s. part. 



Dlbenburg an Setbntj. 73 

4. Artic. 145 inter caetera magnetica phaenomena ibi recensita n. 21; 
dubitat tarnen, an omnis omnino absit declinatio, et rationem reddere 
eonatur artie. 271. Non dubito, quin Mercator, Powerus, Henricus 
Philippi, aliique apud vos insignes Magnetici hoc experimentum sump- 
serint, quorum judicia si ad me pervenire feceris, magnum in me bene- 
ficium contuleris. 

Unum superest, quod bona tua venia quaero : Scis, Illustrem 
Boylium multa experimenta sumpsisse in Recipiente exhausto ; sed in 
iis quae edita sunt, non potui observare, tentatum ab eo unquam dis- 
crimen inter Refractioneni Aeris communis et exhausti. 
Si vel ipse vel celeberrimus Hookius, vel alius eruditonvm vestrorum 
aliquid certi de eo argumento comperit, fac quaeso ut id ad me per- 
veniat. Quod restat, vale faveque •, si qua in re servire possum, audacter 
impone ac rescribe etc. 

Francofurti 
| Octobris 1671. 



XIV. 

(Dlbenburg an £etbm3> 

üftatf) bem Original, in ber $tfnigl. SBiMioujef 51t §annoner. 

Me*) voicy en vostre logis, pour livrer a S. Exe. Mons. de Schoen- 
born une lettre, et a vous une autre ? qui me sont venues en main aujourd- 
huy sous mon couvert. Je plains mon malheur de n'avoir pas trouve 
S. Excellence au logis, pour luy faire la reverence et pour rendre sa 
lettre en main propre. Vous me ferez la grace de le faire a ma place 
avec mes tres-humbles baisemains. 

Monsieur le Chevalier Moreland dont vous parla hier Mons. le 
Chevalier Moray ? et qui est Finventeur d'une machine Arithmetique, 
m'ayant parle de la vostre aujourdhuy, a dit qu'il est prest de vous 
monstrer la sienne demain sur les onze heures du matin, desirant aussi 
de voir la vostre enfin de les conferer ensemble. C'est donc, Mons., 



*) £>iefe§ unb ba% folgenbe ©djreiBen finb jtDei ^ißet§, bie Dlbenburg an £et6ni§ 
nmfjtenb feineg 2(ufentl)alte3 in Sonbon richtete. 



74 DIbenBnrg an SeiBnig. — SetBniä an DIbenBnrg. 

pour vous offrir mon service de vons accompagner sur cete heure lä 
dans le j ardin de Whitehal, ou il a quelques chambres, et oü son dit 
Instrument est löge, s'il vous plait de prendre la peine m'appeller chez 
moy, et faire porter vostre machine avec vous. Si non, vous m'obli- 
gerez de rae le faire savoir demain matin a bonne heure, ä fin que je 
regle mes affaires lä dessus et face scavoir ä Mons. Moreland, qu'il ne 
nous s'attende pas etc. 

le 30. Janvier 1673 
au soir. 



XV. 

(Dlbmburg an ^ctbrtt^ 

yiaä) bent Original in ber ^önigl. 93iBüotfjef %u §annot)er. 

Je vous supplie de vouloir faire mes treshumbles baisemains ä S. 
Exe. Monsieur de Schoenborn, et de m'excuser aupres de luy, de ne 
pouvoir pas jouir de Thonneur qu'il m'a destine cejourdhuy, ayant 
receu ce matin ä la Cour des affaires, qui demandent une despesche 
sans aueun delay, de sorte que ie n'auray presque pas une minute de 
temps pour disner chez moy. Je me donneray pourtant Thonneur d'as- 
surer son Exe. devant son depart de mes treshumbles obeissances , et 
de vous tesmoigner aussi, que ie suis sincerement etc. 

le 9. Fevr. 1673. 



XVI. 

£eibrii3 an (Dlbmbmg. 

9la<§ einer OTfdjrtft in ber Sammlung t). 9fturr'§ auf ber königlichen 23iBüotI)ef in Berlin. 

Cum heri apud illustrissimum Boylium ineidissem in clarissimum 
Pellium, Mathematicum insignem, ac de numeris ineidisset mentio, com- 



SeiBntj an DIbenBurg. 75 

memoravi ego, ductus occasione sermonum, esse mihi methodum, ex 
quodam differentiarum genere, quas voco Greneratrices, colligendi terminos 
serici cujuscunque continue crescentis vel decrescentis. Differentias 
autem Generatrices voco : si datae serici inveniantur differentiae , et 
differentiae differentiarum, et ipsarum ex differentiis differentiarum 
differentiae etc., et series constituatur ex termino primo, et prima 
differentia, et prima differentia differentiarum, et prima differentia ex 
differentiis differentiarum etc., ea series erit 4 rg 

differentiarum generatricium , ut si series con- /\ 

tinue crescens vel decrescens sit a. b. c. d, differen- / \ 

tiae generatrices erunt a. a + b. a + b, + , b + c. v^A^i^l^J -^ 

12 3 / \/ \ 

a + b, +,b + c „ ± „ b + c ? +, c + d. 2(a|b) bic cid 

4 /\ /\ /\ 



Aut in numeris : si series sit numerorum ^ 
cubicorum deinceps ab unitate crescentium, differentiae generatrices 
erunt numeri 1. 6. 6. Voco autem generatrices, quia ex iis certo modo 
multiplicatis producuntur Termini Serici, cujus usus tum maxime apparet, 
cum differentiae generatrices 

6 6 6 6 sunt finitae, termini autem se- 

6 12 18 24 30 rici infiniti, ut in proposito 

1 7 19 37 61 91 exemplo numerorum cubicorum. 

1 8 27 64 125 216 Hoc cum audisset Clariss. Pel- 
lius , respondit, id jam fuisse in literas relatum a Domino Mouton, 
Canonico Lugdunensi, ex observatione Nobilissimi Viri Francisci Reg- 
naldi Lugdunensis, dudum in literario orbe celebris, in libro laudati 
Domini Mouton de Diametris apparentibus Solis et Lunae. Ego, qui 
ex epistola quadam a Regnaldo ad Monconisium scripta et Diariö 
itinerum Monconisiano inserta, nomen Domini Moutoni et designata ejus 
duo didiceram, Diametros luminarium apparentes et consilium de men- 
suris rerum ad posteros transmittendis , ignorabam tarnen librum ipsum 
prodiisse; quare apud Dominum Oldenburgium Soc. Reg. Secretarium 
sumtum mutuo tumultuarie percurri, et inveni verissima dixisse Pellium : 
sed et mihi tarnen dandam operam credidi, ne qua in animis relin- 
queretnr suspicio, quasi tacito inventoris nomine, alienis meditationibus 
honorem mihi quaerere voluissem. Et spero appariturum esse, non 
adeo egenum me meditationum propriarum, ut cogar alienas emendicare. 
Duobus autem argumentis ingenuitatem meam vindicabo, primo si ipsas 
Schedas meas confusas, in quibus non tantum inventio mea, sed et 
inveniendi modus occasioque apparet, monstrem; deinde si quaedam 



76 SeiBntfl an DlbenButg. 

momenti maximi Regnaldo Moutonioque indicta addam, quae ab hesterno 
vespere coniinxisse me non sit verisimile , quaeque non possunt facile 
expectari a Transcriptore. 

Ex Schedis meis occasio inventi haec opparet: quaerebam modum 
inveniendi differentias omnis generis potestatum, quemadmodum constat 
differentias quadratorum esse numeros impares, inveneramque regulam 
generalem ejusmodi: Data potentia gradus dati praecedente invenire 
sequentem (vel contra) distantiae datae vel radicum datarum, seu in- 
venire potentiarum gradus dati utcunque distantium differentias. Multi- 
plicetur potentia gradus proxime praecedentis radicis majoris per diffe- 
rentiam radicum, et differentia potentiarum gradus proxime praecedentis 
multiplicetur per radicem minorem, productorum summa erit quaesita 
differentia potentiarum quarum radices sunt datae. Eandem regulam 
ita inflexeram, ut sufficeret praeter radices cujuslibet gradus etiamsi 
non proxime praecedentis potentias datarum radicum dari ad differentias 
potentiarum alterius cujuscunque licet altioris gradus inveniendas. Et 
ostendi quod in quadratis observatur, numeros impares esse eorum 
differentias, id. non nisi regulae propositae subsumtionem esse. 

His meditationibus defixus, quemadmodum in quadratis differentiae 
sunt numeri impares, ita quoque quaesivi, quales essent differentiae cu- 
borum, quae cum irreguläres viderentur, quaesivi differentias differenti- 
arum, donec inveni differentias tertias esse numeros senarios. Haec 
observatio mihi aliam peperit-, videbam enim ex differentiis praeceden- 
tibus generari terminos differentias que sequentes, ac proinde ex primis 7 
quas ideo voco generatrices , ut hoc loco 0. 1. 6. 6. sequentes omnes. 
Hoc concluso, restabat invenire, quo additionis multiplicationisve aut 
horum complicationis genere termini sequentes ex differentiis generatri- 
cibus producerentur. Atque ita resolvendo exprimendoque deprehendi, 
primum terminum componi ex prima differentia generatrice sumta 
semel seu vice (l) ma , secundum 1 ex prima semel (1) secunda 1 
semel (1) ? tertium 8 ex prima semel (1) secunda 1 bis (2) tertia 6 
semel (1), nam 0(1) + 1(2) + 6(1) = 8, quartum 27 ex prima semel 
(1) secunda 1 ter (3) tertia 6 ter (3) quarta 6 semel (1) ? nam 0(1) + 
1(3) -f- 6(3) + 6?1) — 27 etc. idque Analysis mihi universale esse 
comprobavit. 

Haec fuit occasio observationis meae longe aiia a Moutoniana, 
qui cum in tabulis condendis laboraret, in hoc calculandi compendium 
cum Regnaldo incidit-, nee vel illi vel Regnaldo adimenda laus, quod 
et Briggius in Logarithmicis suis jam olim talia quaedam ? observante 
Pellio, ex parte advertit. Mihi hoc superest, ut addam nonnulla illis 
indicta ad amoliendum transcriptoris nomen ; neque enim interest Rei- 



SeiBnts an DIbenBurg. 77 

publicae, quis observaverit, interest quid observetur. Primum ergo illud 
adjicio, quod apud Moutonium non extat, et caput tarnen rei est: quinam 
sint illi numeri, quorum tabulam ille exhibet in infinitum continuandam, 
quorum ductu in difFerentias generatrices , productis inter se junctis, 
termini serierum generentur. Vides enim ex ipso modo quo tabula ab 
eo pag. 385 exhibetur, non fuisse id ei satis exploratum ; alioqui enim 
verisimile est, ita tabulam fuisse dispositurum, ut ea numerorum connexio 
atque harmonia appareret, nisi quis de industria texisse dicat ; ita enim 
habet pars Tabulae : 

1 1 Apparet ex hujus tabulae con- 

2 1 1 structione, solam haberi rationem 

3 1 2 1 corresponsus numerorum generantium 
(4) 1 3 3 1 cum numero termini generati, ut cum 

5 1 4 6 4 1 terminus est quartus (4) producitur 

6 1 5 10 10 5 1 ex prima differentia semel 1 ? secunda 

7 1 6 15 20 15 6 ter 3, tertia ter 3 ? quarta semel 1; 

8 1 7 21 35 35 21 ideo in eadem cum (4) linea trans- 

9 1 8 28 56 70 56 versa locantur 1. 3. 3. 1. 

10 1 9 36 84 126 126 Sed vel non observavit vel dissi- 

11 1 10 45 120 210 252 mulavit autor corresponsum nume- 
rorum, si a summo deorsum eundo per columnas disponantur hoc modo : 

1 Ita enim statim vera genuin aque 

1^1 eorum natura ac generatio apparet, 

1 2 r-i 1 esse scilicet eos numeros quos com- 

1 3^-3^1 binatorios appellare soleo, de quibus 

1 4 ^ 6 4^1 multa dixi in dissertatiuncula de Arte 



1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 



1 5 ^ 10 10 5^1 Combinatoria ? quosqne alii appellant 

1 6 ^ 15 20 15 6 ordines numericos, alii in specie 
1 7 ^j 21 35 35 21 primam columnam Unitatum , secun- 
1 8 r^28 56 70 56 dam Numerorum naturalium, tertiam 

1 9 ^ 36 84 126 126 Triangularium ? quartana Pyramida- 

1 10 45 120 210 252 lium, quintam Triangulo - Triangu- 
larium etc. de quibus integer extat tractatus Pascalii sub titulo Tri- 
anguli Arithmetici ? in quo tarnen proprietatem numerorum ejusmodi tarn 
illustrem, tamque naturalem non observatam sum miratus. Sed est 
profecto casus quidam in inveniendo, qui non semper maximis ingeniis 
maxima, sed saepe etiam mediocribus nonnulla offert. 

Hinc jam vera numerorum istorum natura et tabulae constructio 
sive a Regnaldo sive a Moutonio dissimulata intelligitur. Semper enim 
terminus datus columnae datae componitur ex termino praecedente 
columnae tarn praecedentis quam datae: atque illud quoque apparet 



78 SetBntg an DIbenburg. 

non opus esse molesto calculo ad Tabulam a Moutonio propositam con- 
tinuandam ? ut ipse postulat, cum hae numerorum series passim jam 
tradantur calculenturque. 

Caeterum Moutonius observatione ista ad interponendas medias 
proportionales inter duos extremos numeros datos, ego ad inveniendos 
ipsos numeros extremos in infinitum cum eorum differentiis utendum 
censebam. Hinc ille nonnisi cum difFerentiae ultimae evanescunt (aut 
pene evanescunt) usum regulae invenit, ego detexi innumerabiles casus, 
regula quadam iiiobservata comprehendendos r ubi possum ex datis 
numeris finitis certo modo multiplicatis producere numeros plurimarum 
serierum in infinitum euntium, etsi difFerentiae earum non evanescant. 
Ex iisdem fundamentis possum efficere in progressionibus problemata 
plurima, ut in numeris singularibus, aut ut in rationibus vel fractionibus, 
possum enim progressiones addere subtrahereque ? imo multiplicare 
quoque et dividere idque compendiose. 

Multa alia circa hos numeros observata sunt a me, ex quibus illud 
eminet, quod modum habeo summam inveniendi seriei fractionum in 
infinitum decrescentium ? quarum numerator unitas, nominatores vero 
numeri isti Trianguläres aut Pyramidales aut Triangulo-Triangulares etc. 



1 


l 


1 


3 


4 


5 


1 


1 


1 


6 


10 


15 


1 


1 


1 


10 


20 


35 


1 


1 


1 


15 


35 


70 


etc. 


etc. 


etc. 



Londini d. 3. Febr. 16^. 



Stt betreff ber ©ummirung ber Sfteiljen, bie am Sdjtufj be3 üorftefjenben 
23riefe3 ermähnt merben, mirb golgenbe§ bemerft: $n ber 2Ibl)anblung: His- 
toria et origo calculi differentialis berietet Seibniä, §ut)gen§ |abe üjm im 
Sa^te 1672 (nodf) ttor feinet erften SÄeife nadj Sonbon) in einem ©ejprädj über bie 
©igenjdjaften ber galjlen bie Stufgabe vorgelegt, bie Summe einer abneljmenben 
9fteifje oon 33rüc£)en, beten Qifyltx 1, bie Kenner bie Xriangutar^len mären, 
ju finben. @r Ijabe bie Summe Der Steige = 2 richtig gefunben. Unter ben 
ßeibtiijifdjen papieren ftub bie ÜKanufcrtpte tiorfyanben, meldte bie Untersuchung 
über bie ermähnte Stufgabe enthalten, mit ber 2Iuffc£)rift: De summis serierum 
fractionum, quarum numeratores uiütas, nominatores sunt numeri figurati ; 
Öeibniä Ijat bie SBemeriuncj hinzugefügt: Hie primum cepi invenire. 3)a3 



Setfmia an DIbenBurg. 79 

äJJanufcript beginnt: Hugenius summam exhibere promisit Fractionum in 
infinitum decrescentium, quarum numeratores unitas, uominatores sunt 
numeri Trianguläres. Öeibnij fudfjt bie Summe ber 9^ei£)e <$u finben mittelft 
bet ©ifferengen ; er bemerft, ba$, tnenn bie 9tn§a^t ber ©lieber unenblitf) ift, 
maxima est difficultas, et fortasse major, quam ut cognitis hactenus 
artibus superari possit. (är öerfudfjt bie Söfung be£ ^robtemä auf anbere 
äßeife, nämlidj: Data aliqua serie Fractionum invenire aliam seriem, ad 
cujus differentias series data aliquam habeat rationem constantem, si id 
possibiie est, aut ostendere impossibilitatem. 9$on biefen UnterfudEjungen, 
bie für bie SSeröffentlidjung nid^t geeignet ftnb, ift ba3 golgenbe forgfältig au£* 
gearbeitet. 

Theorema Arithmeticae infinitorum. 
Binarius est summa seriei infinitae Fractionum , quarum Numerator 

Unitas , Denominatores vero Numeri Trianguläres inde ab Uni- 

tate inclusa ordine crescentes in infinitum. 

series Oy + y + ir^]ö~l~"i5~l"~2i etc - m infinitum f~] 2. 

Demonstratio. 
Esto series infinita Fractionum quarum Numerator Unitas, 
Nominatores vero sint Numeri Naturales inde ab unitate inclusa 
ordine crescentes in infinitum 

series ]) Y~\~~2~^~~3~^~~4 J r'~b~^~~6 etc * * n m fi nr tum. 

Exponatur et series dimidiata: 
series g i-^fl-f^-j-^ + ^-fl etc. in infinitum 

Quam ajo esse |"1 1 + 

Nam auferatur series g a serie D, singulae fractiones a singulis ordine 

respondentibus, restabit -2" + r2 + 36 + 8ö + ^ ~^~ ~^& etc * s * ve 
depressis fractionum Terminis 

series 9 2" + "3"H~T~l _ ^"~l~"6"~i~y e ^ c * * n i n fi n ^ um - 

Ab eadem serie ]) auferatur 1, residua erit eadem series 9 
Ergo 1 et series g sunt inter se aequales. 

Quia ab eadem serie ]) ablatae relinquunt idem, Ergo dupla 
series ß sive series erit aequalis binario. 

Quod demonstrandum sumseramus. 

2tu3 S?orftel)enbem ergiebt ftdfj, bafs Seibuij iu biefen Unterfudljungen bas» 
aritf)metifd£je 2)teiedf nicfjt jur Slntoenbung gebraut Ijat. 2113 er fpäter mit 
SßafcaF§ aritl)metifd£)em 2)reiedf belannt würbe, für meldjeS bie aritt)tneti[d)e 
^Srogreffiott 1, 2, 3, 4 .... bie gunbamentalreifje ift, bitbete er nacij biefem 
i*a% I)armonif<fje ©reiedf, beffen gunbamentalretlje bie Jjarmonifdjje $ßrogreffton 



80 Illustrissimi Clarissimique Domini. 

T' h ¥' T • • • *ft' utt ^ f an ^ m ^ §ütfe bcffetbext bie Summen ber Sftet£)en 

T' T' ^ äö ' 4"' 1' ]]y k • - - wxc er e ^ ™ ^ et Sl^anblimg: Historia 

et origo calculi differentialis bargeftettt !)at. 



XVII. 

Illustrissimi Clarissimique Domini. 

Sufdjrift an bie ^öniglidje ©ocietät in ßonbon. 9?ad) einet Stöftfjttft in ber ©amtnlnng 

üon t). $tar'§. 

Institutum vestrum, quod semper veneratus sum e longinquo, nunc 
propius admissus coepi etiam admirari, ubi intueri coram licuit viros, 
quorum judicio ac doctrinae tan tum Europa defert. 

Jecistis certe fundanienta rerum magnarum, quibus inaedificare 
genus humanuni potest. In ista aedificatione alii Architecti sunt, alii 
materiam subigunt ? alii formant; nee illi rejiciuntur, qui ob via sed apta 
saxa arrepta aggerunt ad augendam struem. 

Ea enim est bonitas vestra prudentiaque, ut medioeribus etiam 
ingeniis uti sciatis velitisque. Id vero eam mihi quam hie videtis auda- 
ciam feeit, offerendi operam meam destinatis tarn praeclaris, quando in- 
genium industria bonaque voluntate suppleri potest. Si fas est reeipi 
inter vestros hominem peregrinum, juvenem, nullis operibus vestro no- 
mine dignis clarum, nee nisi conatu se conimendantem, jam nunc (quan- 
quam absenti in necessaria itineris festinatione, signandi potestas futura 
non sit) nomen dabo. 

Homini philosopho veritatisque amanti, nulla propemodum nova 
obligatione opus est, ut vester sit: ita enim arbitror, id quod generis 
humani et quod Societatis Regiae pro generis humani augenda potentia 
laborantis interest, idem esse nee aliquid in Vos conferri quod in publi- 
cum non redundet. 

Hoc animo ? hoc consilio, ego me Vobis totum offero. Vos, ut 
visum erit, utemini 

Illustrissimi Clarissimique Domini 

Londini 10/20. Februarii 1673. 

devoto vobis 
Gottfred. Gruilielmo Leibnitio 
Consiliario Moguntino. 



ßetBmg an DIbenfiurg. 81 

XVIII. 

£etbni3 an (Dlbenburg. 

'üafy einer $töfdjrift ©u^tauer'^ Me berfelbe nom Original (Miscell. Papers Mus. Brit. 

Bibl. Birch. 4294) genommen. 

Paris 8. Mart. sty. nov. 1673. 

Ubi primum Parisios feliciter appuli, illud inter primas meas curas 
fuit, ut ad TE literas grati animi indices et conimercii excultrices 
darem. Ante ornnia non dubito, libros quos a TE mutuos habebarn, 
recte ad TE perlatos, eos enim niane discessurus, quando perferendi 
spatium non supererat, Nobilissimo Schrodero commendavi, adjectis ad 
TE literis meis ? quibus alias ad Illustrem Societatem Regiam incluseram, 
voti mei, coram TE expositi et a TE approbati indicatrices. Illud certe 
tuto meo nomine spondere potes ? daturum me operam, ne tantos viros poeni- 
teat ? liominem quantuluncunque, optime tarnen animatum, benigne suscepisse. 

Illustriss. Boylio cum salute a me obsequia et venerationem de- 
nunties oro. Ita enim illi pariter Tibique, imo amicis meis omnibus 
persuasum esse volo ? testorque quoties occasio est, Virum esse maximis 
ab omni memoria hominibus connumerandum, et cui statuas aliquando 
debere se agniturum sit humanuni genus. Quaero quae ille promisit 
mihi, C ata logum commutandorum fac mature tenearn favore Tuo, 
ac re cipro ca ei a me promitte. 

Sane afflixit nos non mediocriter infelix nuntius de Eminentissimi 
Electoris Moguntini morte, quem Caleti offen dirnus, in quo Principe 
certum est non Eempublicam tantum, sed et Philosophiam plurimum 
perdidisse. Solamur nos tum successore Episcopo Spirensi, principe 
non sapiente tantum, sed et ad mechanica usque curioso, eidemque 
familiae illigato, nam frater ejus Schoenbornii, qui apud Vos nunc 
fuit ? sororem in matrimonio habet; tum quod literae chartaeque omnes, 
inprimis quae ad rem Philosophicam spectare possint, in manu nostra 
erunt; sed hoc non nisi ad TE scriptum volutatumque*) 
illustr. Boylium. 

De caetero ill. Boylium quaeso roga, ut si placet ? menstruum 
Stanni, ut spem fecit, mecum communicet A Te quoque, Domine, 
prout promisisti, exspecto illam (mixtura ex duabus partibus Aquae 
fortis et una parte Spiritus salis communis) formae in metallum im- 
pressionem, cujus mentio fit in historia Societatis. Quicquid vicissim 
imperabis ? exequar sedulo. 

In Instrumento meo Arithmetico laboratur strenue. Reperi 
certissimam rationem in exiguum spatium, ac ? si placet, baculum inclu- 

*) 2)ie ^Xbfc^rift Ijat volvatumque. 



82 SetBntä an Olbettfcurg. 

dendi, idque sive Elateria sive tantum Rotas adhibeas: neque id ex 
iis quae jam habebam difficile erat praestare. Quare pro certo habeo, 
Claris sirnum Hoockiurn se non raixturum inventioni alterius; ejus enini 
generositatis ac prudentiae esse arbitror, ut propria potius inventa, 
quibus non caret, poliat, quam ab alio jam publice proposita involet. 
Sane ex relatione ejus quam mihi praesente Clarissimo Hakio fecit, 
constabat fundamentum constructionis idem esse cum meo; tantum ab eo 
compendium promitti. Nee dicere poterit, ipsum fundamentum ei sine 
me in meutern venisse, cum duo constet (1) nemini eum unquam de tali 
re locutuin, antequam ego in Angliam cum machina mea veni ; (2) 
machinam meam ab eo diligenter et curiose ex proximo fuisse inspeetam. 
Cum enim eam in R. Societate exponereni, ipse sane proximus fuit, 
asserculum postieum, quo tegebatur, amovit, omnia, quae dicebam, 
excepit: ac proinde qua est sagacitate et rerum mechanicaruni peritia, 
dicere non potest, mea a se non pereepta. Equidem omnes rotas meas 
non assecutum distinete, facile concessero: at sufiieit in talibus bomini 
ingenioso et mechanico ideam instituti rudern, imo exteriorem operandi 
modum semel vidisse ad aliquid de suo postea comminiscendum, quod 
in Rotarum tantum complicatione consistit, quae a variis varie fieri potest. 
Seimus viros candiclos et generosos, si quid deprehenclerant, quod ad 
aliena inventa augenda pertineret ? maluisse additamenta sua atque 
accessiones autoribus concedere, quam in suspicionem ineurrere partim 
jejunae mentis et egeni verae gloriae animi, si falsum quadam inhonesta 
rapacitate aueuparentur. Ita post inventa a Galilaeo sidera Medicaea 
Peirescius in periodos eorum observandas summo studio ineubuit; at 
ubi autorem intellexit ad eandem curam animum appulisse longitudinum 
causa ? sua ei omnia ultro lubens concessit, idque justitiae esse ratus est. 
Ita Grassenclus in Selenographiam quondam diligenter incubuerat ; multas- 
cpie jam flguras Telescopio adhibito delineatas in aere sculpi curaverat; 
at ubi intellexit praeoecupatam esse ab Hevelio provinciam, propiusque 
eum a meta abesse, non destitit tantum. sed et suarum inventionum 
partieipem fecit. Contra inventoris est, ei quoque se obligatum publice 
confiteri, cujus monitis cogitata sua crevere. Quare breviter; cum sub : 
stantia inventi mea sit aut hausta ex meo; cum quiequid Hoockius tan- 
tundem ego praestiturus sim, clarissimum virum, qua est virtute, rei meae 
eultum ac polituram mihi relicturum 7 imo et quas habet adnionitiones, 
earum mihi copiam liberaliter facturum, interventu praesertim Tuo, 
spero ; quod si fecerit, publice candorem laudabo, sin minus, rem faciet 
nee coneepta de se opinione, neque natione sua, neque R. Societate 
dignam. Caeterum, cum optima quaeque sperem, hoc non nisi TIBI, 
ac si placet, 111. Boylio scriptum volui, ut si occasio ferat, a coepto 



Setötttä an Dlb'ett&uxg. 83 

eum deducat, imo conimunicationem ei persuadeatis. Quare hactenus 
nemini nisi Boylio TIBIque verbum de re dixi scripsive. 

Locutus est mihi Dominus Boylius de quodam praedictore ven- 
torum ? qui et menstruas suas praedictiones mittere solebat, sie satis 
veraces. Interroga, quaeso, an novissime miserit et satisne veras. 

A Domino Hoockio seiscitare quaeso, quid de Blondelliana circa 
Trabium aequiresistentium figuram demonstratione sentiat, quando 
ipsum quoque de ea re meditatum ais. Diarium homuneuli Gerickiani 
continuatur cum successu. Oblitus sum a Domino Boylio quaerere, 
quid sentiat de experimento Hugeniano in Diario eruditorum aliquando 
relato de duabus laminis sive Tabulis politis , in vacuo aeque ac 
in pleno non divulsis, cum tarnen meminerim contrarium experimentum 
a Boylio in novissimis de vi Elastica narratum esse. De Algebra per- 
velim nosse, an aliquid circa depressiones aequationum insignes viri 
apud vos ? Illustriss. Brunkerus. tum viri, tuus Wallisius, Pellius, Mer- 
cator ? Gregorius aliique praestitevint. Parisiis est Dominus Osanna, juvenis 
in Algebra versatissimus, qui nobis aliquid in eo genere, idem Diophan- 
tum promotum dabit ? reperta ratione solvendi problemata, quae neque ex 
Diophanto, neque ex cognita hactenus Algebra poterant solvi. Ecce TIBI. 

Quatuor problemata, quae (inquit) palam proposuit et quorum hac- 
tenus nemo dedit solutionem : 

(1) Invenire infinita Triangula reetangula diversae speciei, in 
quorum singulis area detraeta lateri minori circa rectum et hypotenusae 
singillatim relinquat quadratos. 

(2) Invenire infinita Triangula reetangula diversae speciei, in 
quorum etc. ut paulo ante, substituto latere majore. 

(3) Invenire Triangulum rectangulum ? in quo difFerentia qua- 
dratorum laterum circa rectum detraeta alterutri eorum summae, et 
differentiae, singillatim relinquat quadratos. 

(4) Invenire tres numeros ? ut summa eorum quorumlibet sit 
quadratus et differentia duomm quorumlibet etiam quadratus. 

Haec problemata quae difficillima ac taediosissima, nee nisi post 
diuturni temporis impensas solubilia videri possent ? ab illo tarnen, nova 
quadam methodo, paucis lineis, ut vidi, soluta sunt: ipse aliis solvenda 
considerandaque proponit, optatque de iis sententias intelligere egre- 
giorum apud vos Algebristarum ? ut appareat nova an trita sit methodus 
ejus; solvit autem per speciosas nulla numerorum consideratione. 

Caeterum, fac quaeso sciam, quid Clarissimus Pellius a Mengolo 
jam praestitum dixerit ? cum schedulam ei meam monstravisses. E. P. 
Pardies dabit dissertationem de linea Logarithmica, ejusque usu in 
solvendis problematis graduum omnis generis : eam lineam attigit in 

6* 



84 Set&nig an DIbenBurg. 

suis Elementis Geometriae, sed ea linea describi non nisi per puncta, 
ni fallor, potest, id est Geometrica non est. R P. Berthet circa motum 
a Pardiesii libello dissentit, et ut puto, aliquid de ea re edet. Prostat 
hie . scientia Chinensium P + Iriteriertae, sed non videtur magna adeo 
mysteria continere. 

Nosse distinetius velim, quae circa Varinkonenj acum magneticam 
in Hudsonsbay, item Dantisci, mihi narrabas ; Hoockiani item Catadiop- 
trici statum et successum, inprimis an circa materiam speculi singulare 
aliquid praestetur, tum ut politura sit pura qualis vitri, tum ut materia 
ab aeris injuriis praeservetur. Plura scribam, ubi in civititem me 
immersero, hactenus in componendis reculis versor. Potero tunc for- 
tasse scribere nonnihil de iis, quae Du. Mariottus de Iride contra 
Cartesium, et de coJoribus contra Newtonium, item de aquarum proprio 
pondere pressarum jaculationibus, quarum leges ab iis quae autores de 
aequilibrio liquorum scripsere plurimum diffenmt, molitur. Construxit 
fonticulum, qui ubi salire desiit, emortuus quidem subito rursus ineipit 
simplicissimo artifieio, et bis ipsis quas affer t legibus innixo. 

De Newtonii sententia scribe, quaeso quid vestri sentiant; aegre 
certe adducentur eruditi, ut ejus sententiam de differente radiorum re- 
frangibilitate admittant. Si Oxonii responsum aeeepisti circa Vectium 
Valentem, cujus copiam sibi fieri Nobiliss. Huetius desiclerat ? fac ut 
sciam. Sumtus describendi lubens exsolvet, modo favore tuo sit, qui 
rem in se suseipiat. Sed video me excedere Epistolae modum ? imo et 
moderationis, cum tot ac tanta Tibi imponere, a Te postulare audeo ; 
quam vero rectius poenam luam ? qxiam Tibi. Quare vicissim non patiar 
tantum ? sed et rogo ut quaeras, jubeas, postules quidvis, quod in mea 
potestate est. Quod si vero proximis literis nihil aliud quam hoc unum 
mihi responderis, Illustrissimam Societatem preeibus meis detulisse, 
abunde mihi satisfactum putabo. Responsoriis mihi inscriptis operculum 
tale quaeso circumda ita inscriptum: a Monsieur, Monsieur le Baron de 
Boinebourg, Paris chez Monsieur Heis, rue Thibaut aux dez. Quod 
restat vale faveque etc. 



Sluf bem Original fyat Dlbenbutg etgentjänbig bemerft: Resp. d. 6. 
Martii 16—, misi impressionem formae in metallo, et responsa de Vectio 
Val ente; promisi me curaturum ipsius admissionem, et significaturum, 
quod spectat Boylium, Algebram, Osannae problemata, Pellium, spec 
Catadioptricum . 

Resp iterum d. 10. April, et nuutiavi, ipsum 9. April, electum 
fuisse socium Societ. Regiae ? inclusi prolixam epistolam de rebus Al- 
gebraicis quam plurimis, ex Colliuii scripto in Latinum sermonem versis, 



DIbenbnrg an Seiönig. 



85 



ut et scriptum continens summam rerum quae destinantur secunclo vo- 
lumine Algebraico quod Angiice meditatus Kersaeus.*) 



XIX. 

(Dlbenburg an £ribnt3. 

yiaü) beut Original in ber ^önigl 23tl3Iiot§ef %u §annooer. 

Londini die 6. April. 1673. 

Promiseram, Vir Aniplissiine, in literis meis ? 6*° Martii novissimi 
ad Te datis, nie ampliorem ad Tuas responsionem adornaturum, quam 
primum edoctus forem de iis, quae porro ex me scire desideraveras. 
Datam itaque fidem liberaturus, hanc priori epistolam succenturiare 
volui, ut intelligas eo luculentius, nolle me tibi in ulla re deesse 7 quae 
quidem a mea proflcisci tenuitate poterit. Scias itaque primo ? me scrip- 
tum illud tuum de Interpolationum doctrina, deque tuo cum clariss. 
Pellio circa id argumentum et Moutonum colloquio impertiisse Doetiss? 
nostro Collinio, similiter ex Societate Regia, qui in hac est sententia, 
dictam Interpolationum doctrinam multo posse latius extendi, loogeque 
reddi faciliorem, idque binae methodi adminiculo, Aequationem seriei 
propositae accommodando, quam numerorura iiguratorum Tabulas adhi- 
bendo. Ut exemplis rem ostendat, duas omnium difficillimas in Moutoni 
libro series sub incudem vocat, dicitque si respectu alterutrius earum 
sumas numerum terminorum esse radicem sive t atque ex Aequatione 
eruas Homogeneum ? inventum iri quemlibet numerum vel numerum in- 
termedium in alterutra harum serierum. 

Prior series 

3 ) 

Hujus prioris haec est Aequatio ipsi accommoda 



18 

45 

105 



60 



t*. 



— t 4 + 
12 L ' 



t 3 _ 3 iL. t 2 + 7^-t — 2=N 



3 

18 

222 

1317 

4977 



Altera series 

N ) 

Aequatio haec est: 



4 — t 5 

* 20 l 



20 



t 4 + 56 4- t3 — 101 4- t 2 + 103-^ * 



- 39 = N 



*) Offenbar tft ba% Severe ein ?ut^ng anZ bcm folgenben Briefe, ber t-mn 6. 2tpril batixt ift. 



86 DlbenBurg an ÖeiBnig. 



Ex. gr. sumo terminum 


i quartum 




+ 4 x 103^ 


= +■412,8 




— 16x101— 


=■ — 


1620 


+ 64 X 56^- 


= + 3600 




— 256x204- 


— 


5184 


+ 1024x 44 


= + 4147,2- 


39 




+ 8160- 


-6843 




— 6843 





1 1 1 1 

4 10 20 35 
1 1 1 _1 

5 15 35 70" 



-f 1317 

Adjicit in quavis Aequatione quinti gradns (quod et extendit ad 
alios gradus) facile esse, per 4 Multiplitiones e Radicibus excitare Ho- 
mogenea, ita ut non sit opus radicis excitare Potestates. 

Deinde quod commemorabas Methodum tibi suppetere, qua addere 
possis eas Series Fractionum, quarum Denominatores numeris constant 
Figuratis, putat idem Collinius Mengolum in libro suo de Additione 
_L _L _J_ _i_ ) Fractionum sive Quadrat urae Arithmeticae, Bono- 

3 6 10 15 

niae impresso A. 1658, docuisse nos modum summae 
harum serierum inveniendae. At quando idem Men- 
golus pergit ad progressionem Musicam in Fraetioni- 
bus, vel quod idem est, ad Reciproca Progressionis Arithmeticae, cum 
Quadratis et Cubis eorum, puta, fatetur ille, non potuisse se harum se- 
1 j_ J__ J_ _i_ ) rierum sumnaam invenire, ditiorisque ingenii 
iiiix/ adminiculum in eo postulat. Methodus nostra, 
~T~ ~9~ ~W ~W ~W ) ait Collinius, ad harum quoque summ am invenien- 
dam se porrigit, atque si illa methodus idem praestat, eas coincidere 
arbitratur. Ad quod experiundum, utilem hanc quaestionem pro- 
ponit: 

Quidam habet domum fundamve sibi locatum pro censu annuo 
100 librarum, spatio 100 annorum: scire cupit praesentem ejus valorem, 
accisis 6 libris in 100 pro simplici faenore annuo, solutione annuatim 
facienda. 

Valor ille est summa 100 terminorum, hac serie l ^?° 4ttt- -t^t -tot* 

7 10b Hz llö \<14 

etc. quod juxta computum nostrum facit 3200 Pfd. quam proxime. Quae- 
ritur, quae sit summa cujusvis alterius vel majoris numeri Termino- 
rum in dicta serie? 

Si procurare nobis potes eum Mengoli librum, cui titulus : Via 
Regia ad Scientias Mathematicas, ejusdemque Musicam novissime 
editam; ad haec Grriembergerum de Speculo Ustorio Elliptico, 



Dlbenonrg an SetBntg. 87 

una cum ejusdem Nova Caeli Perspeetiva., nee non Praxi Sectio- 
num Conicarum, et Consectariis, Circulorum Contactus et Sectiones 
angulares concernentibus, rem omnino gratam nobis es praestiturus, 
quam, re ferente, demereri annitemur. 

Reverendi Patris Pardies institutum quod attinet de Inveniendis 
Aequationum radieibus, Gnrvae Logaritlimicae beneficio, laudatus Colli- 
nius ait, methodum ejusmodi probe inter nos esse cognitam, eamque 
aecommodam non esse nisi Aequationibus duarum potestatum, aequa- 
lium Nnmero Resolvendo sive Homogeneo aequationis, quales sunt illae 
cubicae, quibus suas Cardanus regulas applicat, quae sunt vel s al- 
tem reddi possunt generales, obstante nequicquam difficul- 
tate ex negativae quantitatis radice orta, id quod omnibus 
hueusque Authoribus crucem fixit. Atque in hoc genus Aequa- 
tionibus conficiendis, Tabulae equidem radicum quadraticarum, cubica- 
rum etc. operationes sane tales apprime faciliores redderent. 

Dn. Laurentius Gallus, in praefatione ad Specimina sua 7 metho- 
dum pollicebatur, omnes Potestates medias in quibusvis Aequationibus 
.auferendi, proindeque relinquendi nullas nisi Potestatem supremam in- 
fimamque Homogeneo aequalem (qua de re doctissimus Freniclius haucl 
dubie edocere harum rerum curiosos poterit.) 

Hoc si fieri semper posset, fateremur profecto, Curvam Logarith- 
micam inservire omnium Aequationum construetioni posse. Atque si 
hanc obtinere poteris Notiönem ullasve alias a Dno. Osanna, in nuperri- 
mis literis tuis a Te celebrato, circa aequationum in sua componentia 
divisionem etc., supplemento erit institutis nostris tempestivo, quae in 
lucem edita doctissimum Authorem debita laude cumulabunt. 

Vidimus*) non ita dudum Perspectivam Heureti, in qua per- 
stringuntur rejiciunturque Dni. Des Argues Conica, Lecons de Te- 
nebres nuneupata, quorum non nisi 50 Exemplaria fuisse impressa di- 
euntur, adeo ut perdifficile sit ; vel unum ex tarn paucis procurare. 
Sentit Dn. Collinius, si quidem mens et scopus Authoris probe attendatur, 
doctrinam illam applausum potius et augmentum mereri, quam vituperium; 
Consilium quippe ipsius fuisse, Agere de Sectionibus Conicis ceu pro- 
jeetis e circulis minoribus, in Sphaerae superficie sitis. In cujus rei 
Explicationem : 

Suppone (cum dicto Gollinio) Oculum in centro Sphaerae, quam 
tangit Planum zenithi, eumque speetare Planum Segmenti Sphaerae; 
dictum Planum est basis Coni, cujus Vertex est in Oculo; si quidem supra 

*) hierbei ifl 51t Dergleichen meine TOfjcmblung: $)e§argue§ nnb $ßa§cal über bu 
^egelfdjnitte, in ben <Stfcung§6eridjien ber Sftmigl. s 2lfabemie ber SBiffenfcfjaftcn §u 
Berlin 1892. 



88 DIbenBurg an ßeiBntg. 

Horizontem fuerit eique Parallelus dictus Circulus, Sectio in Piano tan- 
gente erit circulus ; si vero non fuerit Horizonti parallelus, erit Ellipsis 5 
si Horizontem tangat, omnesque ejus partes reliquae fuerint supra Hori- 
zontem, erit Parabola-, cumque complures ejusmodi circuli elevati tangere 
in eodem puncto Horizontem possint, Projectiones eorum oinnes erunt 
congruentes Parabolae : At si unus pluresve circuli partim supra Horizon- 
tem fuerint, partim infra eum, Projectiones eorum Hyperbolae erunt; 
atque si eandem .habuerint cbordam communem in Horizonte, Pro- 
jectiones eorum erunt congruentes Hyperbolae : si plane fuerint infra Ho- 
rizontem, projici nullatenus possunt. Supposito, ex diversis Circulis Sec- 
tiones Conicas istum in modum projici, si supponatur consimiliter ocu~ 
lum transferri ad Nadir, eosdemque circulos denuo projici, sequetur quod 
prius fuit per Conicarum harum Sectionum intersectiones determinatum, 
id inveniri jam posse et determinari per Circulos projectos positosve sub- 
contrarie ad istos in Spliaera circulos qui Conorum visualium Bases 
constituunt. Adeo ut exinde in eam deducamur considerationem, in qui- 
busnam scilicet casibus Problemata per Sectiones Conicas 
determinata solvi Geometriae planae beneficio queant? 

Sed pergo ad alia. Commemorat alicubi Mersennus de Paschali 
filio ? Eum unica Propositione universalissima, 400 Corollariis armata, 
totum Apollonium fuisse amplexum. Inaudivimus ? hunc Tractatum hac- 
tenus esse ineditum ; insistere autem methodo Des-Argueanae (quam 
forte ceu viri illius discipulus imbiberat) edoctique fuimus a Bibliopola 
Parisiensi de Prex ? manuscriptum id esse penes fratrem quendam suum 
(Prexii) in Auvernia. Utinam id protrahi in lucem posset! 

Videre est in Scripto hie sociato*) promissa nobis fuisse residua 
Fermati. Credimus interim, haec ipsa vel saltem nonnulla eorum, nee 
non Tractatum Dni. Des Argues, ut et Ms. Clarissi. Robervallii de Locis 
planis, Solidis, Linearibus et ad Superficiem jam esse diuque fuisse in An- 
giia penes virum quendam doctum, qui scripta illa bactenus premit, qui- 
que Tractatum molitur de Canone Mathematico, sive Tabulam sinuum 
qua ostendatur, quam difficilia Problemata et Aequationes solvi illius 
beneficio possint. Quoad Cartesianam problematis Pappi solutionem, ait 
idem, multum operäe fuisse impensum, ubi parum sufFecisset. Atque ut 
verum fateamur ? inquit Collinius, si 5 puneta in sectione conica, aut 4 
in Parabola dentur, alia puneta innumerabilia describi possunt angulorum 
mobilium ope, absque ulla cognitione vel figurae vel ipsius Axium ? Foco- 
rum, Asymptotwv, Ordinatarum, unde supputationes Trigonometricae si- 
militer consequuntur. 



(Sntplt bie petita emsige be§ 2. 2knbe£ t)on tefett) llgeBra. 



DIbenBntg an Sei&ntg. 



89 



Interim si non fiat nobis horum copia aliunde, sperandumne saltem, 
ea nos inventuros esse in Claudii Milleti de Chales Cursu Mathematico, 
Lugduni Galliarum sub praelo nunc sudante ? 

Denique, accepit ab Erasmio Bartolino Picardus Dni. de Beaune 
tractatum de Angulo solido, ea scilicet lege ut Parisiis imprimendum 
curaret. Lubenter sciremus, num praelo jarn commissum sit opus, et 
quanto temporis spatio proditurum in lucem credatur. 

Ob varia complurium Societatis Regiae membrorum negotia publica 
raro adeo fuerunt a discessu tuo conventus, ut Electio nulla fieri hac- 
tenus potuerit. Nee ipse professor Astronomiae Oxoniensis, Dn. Bernhar- 
dus, eandem ob causam cooptari potuit. Quam primum numerus debi- 
tus convenerit, vos ambo simul, nifallor admodum, cooptabimini. 

Polliceor mihi properam ad binas meas responsionem. Lubeat tuas 
ad me litteras sie inscribi, si quidem per tabellarium expediantur: 

A Monsieur 
Mons. Grubendol 



Nil praeterea. 

Vale. Sum Tui studiosissimus 



a 
Londres 



H. Oldenburg. 



XX. 



(Dlbenburg an §eibrÜ3* 

Sftad) bem Original in bet Äöntgl. föt&Iiotfjef §u §amtoüer. 

Voti tui quod relictis mecum litteris exposueras, compos jam es 
factus, dum Regia Societas hesterno die conspirantibus omnium suffragiis, 
in sodalium snorum Album Te cooptavit, idque eodem tempore, quo doc- 
tissimum Astronomiae in Oxoniensi Universitate Professorem Savilia- 
num, Dn. Edwardum Bernhardum unanimi similiter consensu elegit. 
Negotia publica, negotiosa hac rerum facie aecumulata, aliquam 
Electioni huic moram injeeere, eo quod complures Societatis nostrae 
consortes gravibus oecupationibus tum in Aula tum in Regni comitiis 



90 SetBntg an DlbenBurg. 

involuti, Conventus nostros philosophicos infrequentiores reliquerunt: 
unde factum, ut requisitus Electioni numerus ad usque diem hesternum 
nobis defecerit. Exinde vero rebus tuis ex animi sententia transactis, 
tuum jam erit, genuinum Te Societatis hujus Philosophicae alumnum 
praestare, inque medium ea conferre, quae vel Tutemet in Physicis 
Mechanicisve meditando et experiundo fueris cousecutus, vel alii per 
Germaniam in eadem re philosophica excogitaverint. Grermana id fide 
Te praestiturum nulli dubitamus, ad similia vicissim officia Tibi exhi- 
benda ex animo parati. — 

Lubens haec addere iis volui, quae jam uberiori epistola die 
6. Aprilis ad te data conscripseram. Vale ? deque litteris hisce bene 
traditis quantocius Tui studiosissimum Oldeuburgium certiorem redde. 

Dabam Lond. die 10. April. 1673. 



XXI. 

£eibnt3 an (Dlbmbuvg 

9ta§ betn Original in ber ®önigl. SBtbltotfjel 51t §annot>et. 

Obligatissimus favori tuo rescripsissem dudum, secl promissas a cl. 
Huetio literas in dies exspectanti, quas fluxio quaedam oculi ejus incom- 
moda distulerat, tempus elapsum est; Eas nunc ubi primum accepi, statim 
mitto. Sententiam ejus facile intelliges. Ea viri eruditio est, ut publici; 
ea huinanitas, ut obligantis intersit ? eum beneficio ejusmodi obligari. 
Ea vero promptitudo officio sitatis tuae, ut ab ea quidvis sibi polliceantur 
eruditi. Huetium fortassis non ignorasDelpbini studiis admotum; scis guber- 
natorem esse Montauserium Ducem, in quo cum aulica prudentia doctrinae 
profunditas certat, studiorum ejus rector primarius Episcopus Condomensis, 
proximusabhocHuetius. Jussu Montauserii, rectore Huetio, coeptares est ad 
amoeniores literas fugientemque antiquitatis eruditionem velut revocandum 
perutilis.Certisenimhominibusdoctisid negotii datumestjiitscriptoresveteres 
latinos, quos classicos vocant, alio quam hactenus more tractent, adjecta 
quadam velut paraphrasi, ubi opus est lucida, ac brevi, ut facilis juven- 
tuti reddatur veterum lectio: Rejectis in notas, quae ad autoris intelli- 
gentiam ex historia scientiisve repeti debent. Inter caeteros, Vitruvius 



Sei&ttty an DlbenButg. 91 

quoque et Celsus ea lege tractabuntur. Sed Huetius ipse alia agitat, 
utilia sane etiam ad scientias severiores, nee vobis ingratas Nam 
praeter Vectium Valentem, hactenus ineditum, habet Heronis Spiritalia 
aeeeptiora multo quam exstant, Naumachiam item, non Leonis tantum, sed 
et Basilii oujusdam patricii: sixovac; item Philostrati cum scholiis hac- 
tenus ineditis, ut alia non memorem. 

Celeberrimum Wallisium, cui ego jam bis obligatus sum ? rogo ut a 
me officiosissime salutes, eique promptitudinem meam denunties, si quid 
ille exquiri in Grallia Germaniaque aut alibi etiam cupit aut si qua alia 
occasio offerfcur utendi opera mea. Id fortasse libenter intelliges, mox 
proditurum esse traetatum Ol. Mariotti du Choc des Corps, in quo 
sententia, quam ille fovit dudum et quam Wallisius in traetatu de motu 
pulchre expressit, quamqueego, nulla horumeonscientia, mHypothesiillamea 
attigerambreviter(ReflexionemabElaterio esse)multis experimentis eleganti- 
bus praeclare admodum confirmatur : unde satis appariturum arbitror, phaeno- 
mena Hugenio -Wrenniana ex abstractis motus prineipiis explicarinon posse. 
Ego supposito itidem Elaterio, modum reperi explicandi mechanica claritate 
cur lumen in densioribus refringatur ad perpendi ciliarem, in rarioribus 
a perpendiculari , cum contrarium e venire debere videbatur. Scis 
explicationem ejus rei visam difficillimam et Cartesianam hypothesin 
pororum assumtione innixam vix ullis nisi qui in verba magistri jurarunt, 
satis fecisse Cum ego praesertim tum rationibus tum experimentis 
evinci posse putem, perspieuitatem a porositate non pendere. Solutio 
phaenomeni manifesta est in Hypothesi mea; si tanti putas, ego mittam. 
Caeterum rem tibi baud dubie ingratam invitus nuntio, P. Pardies ali- 
quot abbin c diebus obiisse ; doleo jacturam viri docti et diligentis, et 
a quo non pauca utilia poterant exspeetari. Tria ab eo opuscula sub 
praelo sunt, sed quae sint, nondum explicatum habeo: ubi intellexero, 
faxo ut scias. Credo, opticam ejus inter caetera fore, quod vellem 
sane. Scio enim id argumentum ab eo traetatum diligenter. 

Memini te quaerere, cum apud nos essem, nossemne, quid Dn. de 
St. Hilaire circa magnetem novi haberet. Ego nunc ita aeeepi : Repertam 
ab eo rationem ope magnetis, a dato baculo ferreo, utrimque inaequali, 
abscindendi partem ponderis datam, ut sextam, quartana, tertiam, Mag- 
nete scilicet determinante punctum sectionis. Magnam id lucem utique 
philosophiae magneticae afferet. 

Cl. Mariotus rem quandam perutilem agitat, sine ulla Aereometria aut 
virgula Stereometrica determinare, quantum liquoris vas aliquod datum 
figurae cujuscumque contineat. Ubi experimentis satis multis, ut solet, 
stabiliverit artem suam, non dubito, quin sit juris publici facturus. 



92 Setbmg an DIbenBurg. 

Clarissimi Cassini observationes circa systema Saturnicum et ma- 
culas solares haud dubie jam sunt in manibus vestris. Extimus Satelles 
jam inde ab anno 1671 ab eo observatus, octoginta diebus periodum 
absolvit, intimus hoc demum anno detectus 5 et dimidio, medius ? Huge- 
nianus, diebus sedecim. Accessere observationes macularum solarium, 
quibus illud concluditur, revolutionem solis circa proprium axem absolvi 
circiter 26 diebus cum dimidio. Sed haec te dudum habere puto. 

Hoc interea tuo favore nosse desidero : scis aestate praeterita publi- 
catum illustris Hugenii experimentum de duabus tabulis vel laminis 
politis, in vacuo sive recipiente exhausto suspensis, ac ne pondere quidem 
inferiori appenso dissolutis; At ego me legere memini, in experimentorum 
elasticorum Boylianorum editione novissima, ubi sub finem, nisi fallor, in 
tabulis politis institutum experimentum recensetur, referri contrarium: 
Tabulas nimirum exhausto recipiente fuisse dilapsas. Librum hie non 
reperio ut eam dubitationem mihi adimere possim : quare rogo, ut librum, 
imo ipsum 111. Boylium data occasione consulas; id enim nosse interest 
philosophiae. 

An ut audio Cl. vir Isaac Vossius musicos veteres aut musicam 
veterem aut aliquid simile editurus sit, Tu optime noveris. Audio Oxonii 
nescio quem Geometras veteres publicaturum. Optem Wilkinsii Charac- 
terem latinum prodire quam primum; visum enim est mihi opus utilissi- 
mum. 111. Boylium quaeso data occassione meis verbis saluta, eique 
eultum a me perennem denuntia: nihil est quod malim ? quam continuatam 
ejus erga me benevolentiam, cujus indicium habebo, si ? quod coram 
pollicitus est, Catalogum commutandorum mihi miserit. Ego eo non aliter 
utar ? nee apud alios ? quam ipse volet, satis enim in istis mihi cautelae 
est ac circumspectionis. 

Desiderium meum, quod illustri Societati Regiae per literas expo- 
sueram, ubi occasio se obtulerit, exitum expeetat. 

Machina mea Arithmetica, officium suum plane factura uti absente 
me coepta erat, nunc ad finem decurrit, et magno ut video applausu 
generatim excipitur. Spero alia momenti non minoris mox secutura. 

Attuli mecum Barrovii Lectiones Opticas; sub libri calcem 
doctissimus autor phaenomenon exhibet, cujus rationem reddere posse 
negat, aliosque ut inquirant hortatur aut ut si possint causam sibi com- 
municent, rogat; dubitat vero ut id facile praestari possit. Hugenius 
tarnen et Mariottus ejus Solutionen! se habere dixere. 

Cum hoc scripsissem, exspeetatissimas a te literas aeeepi, quibus 
Illustrem Societatem Kegiam desiderio meo locum dedisse nuntias. 
Regiae Societati gratias rebus ipsis habebo ? eique studia mea probare 
conabor. 



DIbenButg an SeiBntg. 93 

Ad caetera literarum tuarum, profunda rei Algebraicae eruditione 
refertarum, justis literis respondere, et quae jubes, quae postulas, in- 
quirere ac praestare conabor. Subtilissinio Collinio, tarn praelara com- 
municanti, obligatuni me profiteor. Gaeterum quod Mengolum ajunt 
praestitisse , quod ego promiseram , summam fractionum quarum 
noniinatores sunt numeri Trianguläres et Pyramidales etc., id for- 
tasse ex promisso meo non satis recte percepto profectuni est: 
quanquani enim nondum mihi inquirendi in Mengolum otium fuerit, 

conjicio tarnen ex illis ipsis, quae in literis tuis repraesentas, Mengolum 

.-, ... . • ■,. 1 1 1 i II 1 1 1 II 1 1 1 1 

summas quidem miisse serierum ejusmodi, -^ -^ ^ F> T lö 20 |5 T5 35 7Ö' 

sed finitaruni, seu ad aliquem Terminum usque, qualiscunque tarnen ille 

sit. continuatarum. At ego totius seriei in infinitum continuatae summam 

invenio Methodo mea -^ g- ^ — — ^ e tc. in infinitum, quod jam publice 

propositum esse, vel ideo non credidi, quia Nobilissimo Hugenio mihi 

primum propositum est hoc problema in numeris Triangularibus ; ego 

vero id non in Triangularibus tantuin, sed in Pyramidalibus etc. et in 

Universum in omnibus ejus generis numeris solvi, ipso Hugenio mirante. 

Dominum Collinium autem de his infinitarum Serierum summis non 

loqui vel in de conjicio, quia exemplum hujus seriei affert y T T ¥ V 

quae si in infinitum continuetur, summari non potest, cum summa ista, 

non ut numerorum Triangularium sit finita, sed infinita. Sed nunc 

literarum spatio excludor. 

Dominus Agar hie de frigore experimenta memorabilia fecit figuras- 

que in variis congelascentibus summa diligentia observavit miras et 

curiosas ; si quid distinetius ab ipso, ut spero, impetravero, te partieipem 

reddam. Interea vale et ac homini tui studiosissimo fave. 

Paris | April. 1673. 



XXII. 

(Dlbenbrng an ieibni^ 

Waü) bem Original in ber ^öntgl SBtBIiotfjef gu §annot)er. 

Jeudy dernier ie vous envoyay un pacquet assez large, l'addressant 
selon vostre ordre ä vous sous le couvert de Mons. Boinebourg chez 
Mons t Heis. Ayant desia vous adresse une autre lettre de la mesme 



94 DIbetiBurg an Seibn^. 

maniere, sans avoir receu aucune responce lk dessus, i'ay voulu prendre 
cete voye pöur vous dire derechef, que vous fustez eleu le 9. de ce 
mois dans la Soc. royale nemine contradicente; et que ie vous ay 
respondu sur toutes les particularitez, si ie ne me tronipe, que vous 
in'aviez proposees dans vostre lettre escrite de Paris, y ayant ad- 
jouste d'autres choses, que vous ne serez pas mury d'entendre. Je 
seray bien aise de recevoir proniptenient vostre responce etc. 

le 14. Avril 1673. 



XXIII. 

(Dlbenbuvg. an iexbnx^ 

$lad) htm original in ber £önigL 23tbüotf)eJ %u §annox>er. 

Hac ipsa liora gratissimas tuas d. 16. April, datas accepi, pluri- 
morum argumentorum mihi pergratorum copia refertas. Noli ad singula 
hac vice responsum exspectare. Plane enim hoc tempore, ut fuse scribam, 
non vacat r remitto hoc ad alium diem, quo de omnibus rationem Tibi 
reddere, quantum pote eonabor ? simul et Amplissimo Huetio ea qua par 
est observantia, respondere. Duo duntaxat nunc seligo. de quibus amice 
te moneam. Prius est ? ut Epistola ad ipsam R. Societatem data gratias 
ipsi agas de Electione. Alteruin, ut promissi tui, publice in Coetu R. 
Societatis dati, memor, Organum tuum Arithmeticum ? quam primum fieri 
id commode et tuto poterit, ad nos transmittas: qua ratione honori tuo 
imprimis consules, et majorem invento tuo plausum apud nos conciliabis. 
Paucula haec in rem ttiam, Te raptim volui; de caeteris brevi tempore 
fusius agam. Vale, et has lineolas Tibi redditas esse quantocius rescribe. 

Dabam Londini d. 8. Maji 1673. 

Jacturam feci notae ? quae indicabat Jocum hospitii tui Parisiis; 
i terato mihi significare eundem ne graveris, rogo. 



SeiBntg an DIbenöurg. 95 



XXIV. 

£eibni3 an (Dlbenburg* 

9lafy einer 2lbfcljäft in bex Sammlung v. SDturr'S. 

Non satis mirari possum literas, quas nuper ad Te dedi satis 
grandes, semiplagulam qualis haec est presse scriptam implentes, tibi 
non fuisse redditas. Scripseram earum partem, ut de Societatis Eegiae 
voluntate denuo sciscitarer; interea Tuae advenere prolixae et multis 
rebus memorabilibus, ad Algebram imprimis et Geometriam pertinentibus, 
graves quibus nonnihil statim respondi, relinquamque partem earum, 
quas jam ante coeperarn, literarum absolvi, easque altero ex quo Tuas 
acceperam die Tabellario publico commisi. 

Quod summas attinet fractionum, quarum nominatores sunt numeri 
trianguläres, pyramidales, aliterve figurati, quas a Mengolo initas in- 
dicas, ita respondi: Cum Mengoli über non sit ad manus, videri ex 
relatione vestra, Mengolum summam tantum iniisse seriei talium fractio- 
num finitae v. g. -^ -\- -g- -\- yq 4~ 15? me vero summam invenire totius 
seriei infinitae y + y + iö + Tö - ) - ^! e ^ c - Quod praestitum esse vel 
ideo non puto, quia Illustris Hugenius eam Quaestionem mihi proposuit 
in nominatoribus tantum triangularibus ? a se occasione eorum quae de 
alea inquisiverat, determinatam. Ego vero solutionem reperi universalem, 
qua summam non tantum infinitarum fractionum Triangularium, sed et 
infinitarum Pyramidalium et Triangulo - Triangularium etc. ineo, ipso 
Hugenio mirante. Si tarnen idem et Mengolus praestitit, non miror; saepe 
enirn eoncurrere solent diversi. 

Quod vero subtilissimus Collinius (cui salutem a me officiosam 
nunties rogo) non de summa serierum infinitarum, sed certo terminorum 
numero constantium loquatur, vel id me credere fecit ? quod de summa 
fractionum hujusmodi 1 Y ~3 T (cujus termini sunt progressionis harmo- 
nicae) loquitur. Certum enim est, seriem istam in infinitum productam 
non esse (ut aliae plurimae fractionum infinitarum series) finitam nee 
summabilem. At vero hujus seriei in infinitum produetae y 1 Y m e ^ 0, 
summam nondum fateor reperi, sed et needum inquirendi satis diligenter 
otium habui. Theorema aliquod reperi nuper alia quaerendo, satis me- 
morabile, ni fallor : si sint series, quas vides, infinities infinitae fractio- 
num omnium quadratarum, cubicaruin, quadrato-quadraticarum, simul 
summa omnium aequabitur unitati. Seu si a quantitate data auferas 



1 


l 


1 


4 


9 


16 


1 


1 


1 


8 
1 


27 
l 


64 
1 


Tö 


87 


256 



1 



96 ßeiBnig an DIbenbutg. 

primum quartam partem, deinde nonam ? postea decimam sextani, item 
octavaim 27 am, 64 am, rursus decimam sextam ? 81 am, 256 am etc. 
et ita porro in infinitum, quantitas data praecise exhaurietur. 

etc. 
etc. 
etc 
etc. etc. etc. 

Obtulere se nuper mihi Geometrica nonnulla, quae ubi nonnihil 
expolivero perscribam. At prolixiores tuas sumto tempore ample re- 
spondebo, et quae jussisti praestare conabor. Scripseram tibi jam in 
praecedentibus literis, R. P. Pardies obiisse, magno dolore meo. En 
tibi quae ab eo expectabamus : La Statique (dont il nous a dorm 6 une 
petite partie seulement), L'Optique, FAlgebre, TArithmetique, le comput 
Ecclesiastique, 1 norologe Thaumantique, des Eclypses, la Cosmographie, 
la Geographie, Y Hydrographie, Reeueil de quelques experiences modernes 
remarquables du mouvement des corps pesants, des Liqueurs, de Y On- 
dulation et libration, de arte militari militiaque Graecorum ? Romanorum 
et hodierna. Claudius Millet de Chales, ejus cursus mathematicus et 
tuae quoque literae raeminere, Lugduni prodit, est ex societate Jesu. 
Accepi eum post introductionem generalem purae matheseos, elementa 
mathematice tractata, Terram, Aquam ? Aerem, Ignem, nobis exhibiturum, 
quae sane methodus non videtur contemnenda 7 cum plerasque artes me- 
chanicas comprehendat. 

Est hie vir eruditus, et in experimentis egregie versatus Mons. 
Agar, qui circa gemmas ? rem vitrariam, colores, frigus, putredinem 
multa magno studio annotavit; habet imprimis experimenta notabilia de 
Sympathia et Antipathia colorum qui scilicet in eadem tabula pieta 
mixti se mutuo destruunt, deprimunt, attollunt: quod magni in artem 
pictoriam est momenti. Sed quae de variis figuris liquorum, frigore 
concrescentium ? annotavit, plane insignia sunt. Sed vir est paulo mo- 
rosior, ac lentior in producendis suis. Si placet, fac quaeso hono- 
rificam ejus mentionem in iis, quas mihi rescribes, literis-, id eum excitabit 
fortasse ad colendum vobiscum commercium. 

In machina mea arithmetica multa mutare coactus sum, ut (quod 
antea non poterat) additionem, multiplicationem eundo, subtractionem, 
divisionem redeundo exhibere possit. Alioquin enim hoc inest incom- 
modi, ut in catena operationum super eundem numerum aut produetum 
ex eo, subinde mutanda sit machina quod plurimum temporis perdit; 
idque mutari hie quoque non a viris tantum doctis, sed et aliis speeta- 
toribus illustribus ad perfectionem machinae valde est desideratum. Nunc 



DIbenBurg an SeiBnig. 97 

tandem superata est ea difficultas, et macliinam mox dabimus absolutam. 
Alias fusius, nunc ideo tantum scribo, ne aut de diligentia mea aut de 
literarum tuarum curatione sinistre suspiceris; interea vale faveque etc. 

Paris. £ Maji 1673. 



XXV. 

(Dlbenburg an icibrxi^ 

ytaü) einer 2C6fdjrift non bem Original int 33efi^ ber Sftonal ©ocietn in ßonbon 
(Letter-book, VI, 121—123). 

Jam antea paucis significavi, traditas mihi fuisse tuas d. 26. April, 
ad me datas. Exinde alteras accepi ^ Maji exaratas. Graudeo im- 
primis feliciter adeo superasse Te difficultatem in machina tua Arith- 
nietica objectam, ut eam brevi numeris omnibus absolutam sis daturus. 
Suaserim omnino, ut datam Societati nostrae in consessu publico fidem 
quam primum liberare satagas Interest existimationis tuae, ut id facias; 
interest mea, ut ad id praestandum te stimulem. 

Eespondi Huetio de Vectii Valentis codice Oxoniano, et opellam 
meam Praestanti Viro paratissimam obtuli: velim ipsum urgeas, ut Hero- 
nis Spiritalia (quae multo auctiora ipsum habere quam quae exstant, 
asseris) nee non Leonis et Basilii Patritii Naumachiam juris publici 
faciat; ad haec Vitruvii Celsique novam editionem maturet. Spero ? ex 
ejusmodi lucubrationibus quales sunt Wallisii, Hugenii, Leibnitii, Mariotti, 
Wrenni et similium, doctrinam de Motu tandem perspeetam fore. Rem 
omnino gratam feceris, si quae Tu de porositate, a Cartesiana hypothesi 
abludentia, me dicatus (?) es, mihi transmiseris. 

Quod tu ex Dni. St. Hilarii sententia circa Magnetem annotas, 
eget explicatione, quam proinde proximis tuis literis a te exspecto. 
Mo dum determinandi capacitatem vasis eujuseunque figurae sine uila 
stereometria aut virg. stereometrica non capio; ut eam Clar. Mariottus, 
quem ex me plurimum salvere velim, stabiliat et in lucem emittat, 
impense opto. 

Necdum vidimus Celeberr. Hugenii de Pendulorum motu Tractatum. 
Interim nobilis quidam Anglus ex occasione demonstrationis, a Rev. Dno. 
Pardies ad libelli sui statici calcem exhibitae, suam de vibrationum in 

7 



98 DIbettBurg an Seümig. 

cycloide peractarum synchronismo demonstrationem Trans actionibus 
Philosophicis, jam sub praelo sudantibus, et per tabellarium proximum 
Parisios mittendis commisit. 

Experimentum illud Boylianum de duabus Laminis politis, in reci- 
piente exhausto ab invicem dilapsis, bona fide a se enarratum ait Boylius* 
de aliorum Experimentis respondere non potest. 

Lnbentissime accipiam Barroviani in Lectionibus Opticis phaeno- 
meni solutionem, ab Hugenio et Mariotto, ut ais, inventain. Quod ad 
series illas fractionum attinet, quarum denominatores sunt nunieri figu- 
rata sive finiti illi sint sive infiniti, Dn. Collinius ait 7 Mengolnm in libro 
suo de Addit. fractionuin, sive quadraturis Arithmeticis, ostendere modum 
eos addendi omnes ; at quando ad illani accedit Fractionum seriem, 
quarum denominatores sunt in progressione Arithmetica, demonstrare 
Mengolum, quamlibet ejusmodi seriem infinitam majorem esse quovis 
numero assignabili *, atque idem eum facere de cujusvis ejusmodi seriei 
quadratis et cubis ? affirmantem, tentatum a se fuisse finiti terminorum 
numeri in seriebus modo dictis additionem, at imparem se operi com- 
perisse, idque ditioris ingenii adminiculum postulare. Quaerit itaque 
Collinius, an Methodus tua ad id praestandum se extendat ; nostram, 
inquiens, id praestare infiiiitamque approximationem praebere. Addit 
idem Gollinius 7 cum assignaverit tibi summam KJO terminorum in sei'ie • 
fractionum musicalium, atque ut significes petierit ? metbodusne tua potis 
sit majorem minoremve numerum simul addere, manifestum satis fuisse, 
ipsum (Collinium puto) non potuisse de infinitae seriei summa intelligi. 

Quod Theorema tuum attinet ? in posteriori tua epistola commemo- 
ratum ? Collinius ait, non sibi novum videri fractiones illas, a Te positas ? 
addere deorsum, cum denominatores earum in continua tunc proportione 
se habeant; at si seperatim et lateraliter eas sumas, -^-9^^ etc. quaerit 
idem, an eo casu addere eas possis. Spero, quae elaboravit nuper de- 
natus Dn. Pardies, lucem suo tempore visura, et Societatem illam in 
eo futuram 7 ne viri docti lucubrationes pereant. Videre aveo, quae 1). 
de Chales circa elementa matliematica metliodo tractavit: Inprimis vero 
eruditissimum Dn. Agar sollicitari et urgeri velim ? ut eximia, quae ipsum 
habere intelligo, de Frigore, pntretudine, gemmis, re vitriaria, Coloribus ? 
iisque quae ad ornandam augendamque pictoriam artem faciunt, meditata 
et experimenta in lucem emittat; maxime hoc pacto sibi devinciet Uni- 
versum doctorum orbern, et nostrates praesertim Anglos, et prae aliis 
omnibus, Nobilissimum Boylium et Oldenburgium tuum. Hoc ipsi ex 
me, addita salute officio sissima sigtiificare ne graveris oro. Vale. 

Dabam Londini d. 26 Maji 1673. 



Illustri Societati Regiae Britanniae Gotofredus Guilielmus Leibnizius. 99 



XXVI. 

Illustri Societati Regiae Britanniae 
Gotofredus Guilielmus Leibnizius. 

jftctdj einer OTfdjtift in ber (Sammlung t). Wlut?%. 

Quas sub discessum ex Anglia meum ad vos dederam literas, eo 
favore in consessu vestro exceptas, quem homo mei similis non ausit 
sibi sine temeritate polliceri, ex p.larissimo viro Henrico Oldenburgio, 
Secretario vestro ? intellexi, a quo nuntiatum mihi est, conspirantibus 
suffragiis in sociorum numero me quoque fuisse cooptatum. Grave fateor 
munus mihi impositum est, aecedere tot lectis viris, in quos omnium 
oculi conversi sunt, quibus nemo gregarius misceri potest, quin nimia 
dissimilitudine prodatur: quando tarnen ex vestra quoque sententia non 
ingenio tantum, sed ex labore litari potest philosophiae, nee tantum cogi- 
tationum subtilitas, sed et industriae speeimina quaeruntur, resumo ani- 
mum neque despero, posse me apud vos gratitudinem quoque meam 
ultra verba testari: illud certe spondeo, memoriam beneficii me (non?) 
depositurum, neque commissurum, ut opera, quam philosophiae frugiferae, 
aut eultus, quem vobis ejus propagatoribus debemus, ab nomine vobis 
deditissimo desideretur. 

Dabam Parisiis 1 Junii 1673. 



Seibnüj ermähnt in feinem erften SSriefe an Dlbenburg ba3 groJ3e Problem, 
\)a§ er feit feinen früljefteti ©tnbien ba§ ganje Seben Jjiuburd) verfolgt §at, 
eine allgemeine S^aralteriftif (lingua universalis) ju ftnben. 3n ben folgenben 
Briefen fommt £r baranf juriid, unb jeigt fein 3?ntereffe für bie ©djriften, bie 
in (Snglanb über benfelben ($egenftanb erfdjienen umreit, namentlich für bie öon 
Sofyn SSSiHinS. 2Bie ju erwarten nmr, 6radjte Seibnitj aud) tnäfjrenb feinet 
9lufentljatte3 in ßonbon in feinen Unterrebungen mit 93ot)le unb Dlbenburg bie 
allgemeine ©fjaraftetiftif jur ©pradje. ®r §at barüber in ber ©djrift öon 
®eorg ©algarno: Ars signorum, vulgo character universalis et lingua 
philosophica, London 1661. bie er naef) 5ßari» mitnaf)m. golgenbe£ an= 

7* 



100 SeiButs an OlbenBurg. 

gemerft: Hoc inventum prosecutus est et ad fmem perduxit Johannes 
Wilkinsius, Episcopus Chrestrensis, philosophus mathematicus et theo- 
logus insignis, qui inter societatis Regiae Anglicanae fundatores censeri 
potest. Videatur opus praeclaruni Characteris philosophici quod in fol. 
Londini prodiit. 

Verum quemadmodum ego coram indicavi Roberto Boylio et 
Henrico Oldenburgio, videntur egregii viri magnitudinem rei verumque 
usum non satis animo coniplexi. Nam illorum sive Lingua sive scriptum 
hoc tantum efficit, ut inter lingua dissitos conmioda institui possit com- 
municatio; sed vera Characteristica Realis, qualis a nie concipitur, inter 
optissima humanae Mentis instrumenta censeri deberet, invincibilem 
scilicet vim habitura et ad inveniendum et ad retinendum et ad diju- 
dicandum. Illud enim efficit in omni materia, quod characteres Arith- 
metlci et Algebraici in Mathematica : quorum quanta sit vis quamque 
admirabilis usus sei im t periti. 

Sed de his rogatu clarissimoram e societate Regia Virorum pecu- 
liarem molior dissertationem 

Qkk in Slugfidjt geftettte „dissertatio peculiaris" ift nidjt üorfyanben. 
IDa^ folgenbe ©djreifcen, tu welkem Seibnij feine Sbeen in Setreff ber all- 
gemeinen Sfjarafteriftif eingeljenb erörtert nnb ba§ oljue Zweifel Ha 4) fä mx 
SRücffefJT ttott Sonbon umljrenb feinet Sßarifer Aufenthaltes abgefaßt ift, finbet 
fitf) unter feinen papieren. 



XXVII. 

$eibnt3 an (Dlbmbuvg. 

9lacfy bem Original in ber ^onigl. SBi6Iiot(jef 31t §annot)cr. 

Petis a me, Vir Cl me , ut paulo fusius agam de Characteristica illa 
reali, cujus jaru aliquoties inter nos mentio ineidit. Scripseram tibi 
jam tuir± ; si bene memini, quam de ea habeo notionem ab eorurn insti- 
tutis plane diversam esse, qui scripturam quandam universalem Chinen- 
sium exemplo condere voluere, quam in sua quisque lingua intelligeret, 
aut qui linguam etiam philosophicam sunt moliti quae ambiguitatibus et 
anomaliis careret. Quanquatn eadem praestari debeant illa quoque 
quae ego desidero, majus tarnen aliquid et continere debet et simplices 
linguae sive scripturae usus infinitis modis supergreditur ; ita enim 
sentio ; si quando hac quam optamus frui fas erit, omnium consensu 
inter potissima bona babitum iri, quae humano generi contingere possunt. 



SeiBtttg an Dlbettbuxg. 101 

Nihil enim hominibus evenire niajus potest quam perfectio functionum 
mentis; scripturam autein rationalem ajo potissimum rationis instrumenta)! 
fore ? minimumque ejus usum censeri debere commercium inter gentes 
lingua dissitas, tametsi ille fortasse ad ejus introductionem plurimum 
valiturus sit apud homines populariter doctos qui non nisi illis tangun- 
tur 7 quae in sensus incurrunt. Quaeres, quid monstri sit characteristica 
illa 7 de qua tarn magnifice sentio? sed brevibus de re tarn late fusa pro 
dignitate dicere difficile est. Unum hoc suffecerit inter haue aliasque 
tantum interesse, quantum (exempli causa) inter notas inathematicas 
Vietae et Herigoni, aut quantum inter z et a 2 , aut quantum inter y ^-~~ 
et A ? quorum utrumque numerum triangulärem repraesentare potest ? vel 
denique quantum inter characteres Arithmeticorum et Astrologorum. Alii 
enim characteres compendii tantum aut commercii vel etiam arcani 
causa reperti sunt, alii inventionem augent ac Judicium dirigunt. Hiero- 
glyphicae Aegyptiorum aut Chinensium et apud nos notae Chymicorum 
characteristicae realis exempla sunt, fateor, sed quäle hactenus autores 
clesignavere, non qualis nostra est. At Arithmeticam et Algebram inter 
mei instituti speeimina recenseo, ut videas ejus quoque jam tum exempla 
haberi. Alia autem eaque plane nova atque inexpeetata non deerunt, 
ubi tute tempestivam in eo genere judicabis diligentiam meam, id est 
ubi videbis esse qui rei magnitudine animo coneepta quo par est ardore 
ad juvandam rempublicam ferentur collatisque plurium studiis reapse 
suseipiendum opus arbitrabuntur. Tum vero candide omnia exponam 
quae in eum usum meditata habeo, quae sane multa esse non nego. 
Rem enim jam a deeimo oetavo aetatis anno agitavi et quotidianis ex- 
perimentis in instituto sum confirmatus, tametsi rudia satis prima cogi- 
tata essent.*) Caeterum nihil refert, an scripturam tantum universalem, 
an vero et linguam condere velimus ; facile enim est utrumque eadem 
opera efficere. Lingua haec sive scriptura difficillime condetur, facillime 
discetur. Qui linguam hanc discet, simul et discet Encyclopaediam, 
quae vera erit janua rerum; quemadmodum apud Chinenses, ita hie 
quoque non erit necesse omnes totam linguam nosse, quemadmodum nee 
omnes in omnibus scientiis versatos esse necesse est. Enmt tarnen 
quaedam omnibus communia ? quemadmodum ex scientiis quaeque Meta- 



*) 3ti bem exften (Sntnmxf bte[e3 SdjxetBeng fteljt Ijtex folgenbe Bemerfen§tr>ertt)e 
©teile: Unum tantum novi scriptorem, summum virum qui in suspicionem aliquam 
ejusdem consilii venit, cujus insignem sane locum mihi indicarunt amici, non ante 
ab ipsis intellectum, quam ubi de meo disserebam. Ex quo illud quidem agnovi rei 
magnitudinem ab eo pereeptam, sed vias quibus ad eam perveniri possit, nondum 
illi fuisse exploratas, satis ex ejus reliquis scriptis deprehendo. Setbntj §at fpeiter 
btefe ©teile bitxcEjftxtcfjen. @3 iffc fein Stüetfel, ba$ er I)iex auf 28ilfen§ f)tntt)eift. 



102 SetBtttg an Dlbettburg. 

physica et Etliica vera omnibus explorata esse deberent Qui linguam 
haue semel didicerit, non poterit ejus oblivisci, aut si obliviscatur, facile 
omnia necessaria vocabula ipse sibi reparabit. Quicunque de aliquo 
argumento loqui aut scribere volet, huic ipse linguae genius non tantum 
verba, sed et res suppeditabit. Ipsi eujusque rei nomen clavis erit 
omnium quae de ea dici, eogitari, fieri cum ratione debeant. Equidem 
fateor et res ipsa clamat non posse nunc quidem ex nomine quod auro 
(exenipli causa) imponemus, duci phaenomena quaedam chyniica quae 
dies et casus detegent, donec sufficientia phaenomena :;d reliqua deter- 
minanda nacti simus. Solius Dei est, primo intuitu hujusmodi nomina 
imponere rebus. Nomen tarnen quod in hac lingua imponetur, clavis 
erit eorum omnium quae de auro humanitus, id est ratione atque ordine 
sciri possunt, cum ex eo etiam illud appariturum sit, quaenam experi- 
menta de eo cum ratione institui debeant. Eadem tarnen res varia no- 
mina habebit. Et quemadmodum olim quae in terris Roma, in coelo 
Amaryllis appellabatur, si Etruscis flaminibus credimus, ita salvo ipsius 
linguae universalis genio, imo ita ferente ejus natura, alio vulgus, alio 
sapientes nomine easdem saepe res censebunt. Et is plura in promtu 
habebit qui plura ejus nomina memoria tenebit. Quare hujus 
quidem linguae usu non exaequabuntur ingenia (tametsi diligentia 
et labore unusquisque quidvis possit) sed velut lapide Lydio dis- 
cernentur, nam proportione dotium suarum unusquisque ejus usu 
fruetur. Et qui memoriae vi atque imaginationis facultate pollebant, 
habebunt hie quoque, unde admirationem de se excitare possint. Verum 
ut inventione distinguentur, ita judicio omnes aequabuntur, et qui eo 
parum instruetus est a natura, supplebit arte defectum, si modo gram- 
matica praeeepta et inprimis syntaxin hujus linguae probe didicerit et 
a soloecismis diligenter caverit, qui sese detegent ipsi, cum ad con- 
struetionem attendemus. Miram tibi Grammaticam narrare videbor, sed 
tum vere philosophicam esse scito, nee a Logica divellendam. Illud 
autem quantivis pretii erit, quod in hac lingua nemo de argumento 
scribere poterit quod non intelligat. Si facere conabitur, aut ipse se 
nugari agnoscet et lector quoque, aut discet inter scribendum, scriptura 
enim et meditatio pari passu ibunt, vel rectius dicam, scriptura erit 
meditandi filum. Post tot de inventione, de Methodo, de Logica 
scriptores etiam optimos desideratur semperque desiderabitur filum 
meditandi, donec Lingua realis constituetur. Filum autem Meditandi 
voco quandam sensibilem et velut mechanicam mentis directionem quam 
stupidissimus quisque agnoscat. Pontem noctu transituro regulam hanc 
praescribere possum ut reeta procedat nee in dextram sinistramve 
evagetur, si salutem suam amat; huic praeeepto poterit ille satisfacere 



SetBntg an DIbenBurg. 103 

magna cura et industria adhibita, sed si raunita utrinque pontis latera 
erunt, aberit pericul.um et sollicitudo. Ömnia ordine instituenda esse, 
nihil nisi darum distinctumque certum admittendum esse, difficultatem 
in partes distribuendam, medium tenenduim finem respiei debere, rectam 
rationem semper . exaudiendam: baec sunt praecepta philosophornm, 
egregia quidem illa, sed quibus fere non nisi a magnis viris quadam 
potius naturae et institutionis bonitate, quam vi metbodi paretur. Filnm 
autem meditandi semel datum efficiet ut determinata ratione in pleris- 
que progredi possimus, adeoque bomines a magna anxietatis parte 
liberabit et dabit homini quibus ingenia torqueri solent. Quantae autem 
in sapientiae studio hinc secuturae sint mutaliones, prudentibus judi- 
candum relinquo. Tum demum enim vere evigil abunt bomines, cum 
non difficilius videbitur ratiocinari quam loqui, cum recta ratione uti 
ludus, cum ordine procedere consuetudo ac velut formula erit, cum 
inter loquendum ipsa phrasium vi, lingua mentem praecurrente praeclaras 
sententias effutient imprudentes et suam ipsi scientiam mirantes, cum 
ineptiae sese ipsae prodent, nudo vultu ab ignarissimo quoque depre- 
hendentur. Quantam nunc fore putas felicitatem ? si centum abbinc 
annis talis lingua coepisset. Mira enim celeritate succrevissent artes 
et aucta in immensum humani ingenii facultate anni pro seculis fuissent. 
Non tubi, non microscopia tantum oculis adjecere, quantum istucl cogi- 
tandi instrumentum capacitatis dedisset. Dedisset vero, dabit si volu- 
mus; nam neque tu neque ego adeo aetate provecti sumus, ut neque- 
amus ipsi forte primitiis tantae artis frui, si velint egregii viri collatis 
studiis in rem incimibere, quae una omnium maxime seculum nobilitabit. 
Nam post inventa pro visu, pro auditu Organa, menti ipsi age novum 
Telescopium construamus ? quod non sideribus tantum, sed et ipsis in- 
telligentiis nos propiores reddet, nee tantum corporum superficies reprap- 
sentabit, sed et interiores rerum formas deteget. Quam multa ignoramus 
ac adhuc diu ignorabimus quae jam tum in potestate essent, si possent 
electorum causa dies abbreviari, id est si tantum ratio cinandi compen- 
dium innotesceret, quod nobis omnem nostro ingenio suppellectilem cum 
acquisitione in conspectu locaret, ut frui jam tum liceat opibus nostris 
et velocissimo scientiae foenore mox in immensum ditescere, cum alioqui 
tantum posteritati materiam praeparaturi simus, qua frui nobis non licebit. 
Hab es hie, Vir Cl me , qualecunque meum sive consilium sive si 
mavis votum ; quod finiam, ubi hoc unum denique monuero. Quidquid 
etiam agent, ferent, molientur eruditi, id alio seculo, aliis hominibus 
profore, posteritati nos tantum materiam praeparaturos, nisi casu pro- 
dituram, qua frui ipsimet non possimus, donec aut hoc de quo dixi, 
aut simile aliquod institutum facile reeipietur. Sed non est cur des- 



104 SetBttt§ an DIbenburg. 

peremus; non regalibus thesauris, non maximis sumtibus, non gentium 
consensu opus est ad eruendam veritatem: sunt pauci satis, et paucis 
licet esse beatis. Ita enim judico decem homines lectos et consentientes 
et necessariis scientiis instructos plus aliquot lustris facturos, quam 
totum genus humanuni sparsis et tumultuariis multorum seculorum mo- 
litionibus possit. Haec Tibi liberius scripsi. Vir Cl me , quae nolim nisi 
illis innotescere quos talium capaces putas. Vale.*) 



XXVIII. 



€etbnt3 an (Dlbenbuvg. 

9tad) einer OTfdjrift in ber (Sammlung n. SPhtrr'g. 

Diu est quod nullas a me habuisti literas, sed ejus rei causam ali- 
quando coram rectius dicam Nunc vero non potui quin amicum ad 
vos euntem, cum aliter nequeam, saltem Epistola comitarer. Ingenium 
ejus et eruditionem variam, nee vulgarem, primo congressu tute obser- 
vabis, nisi forte eum nosti dudum; nam si bene memini, nunc tertia 
vice Angliam videt. 

De me illud habeto. Instrumentum Arithmeticum tandem ali- 
quando post maximas difficultates sumptusque non parvos feliciter abso- 
lutum esse. Effectum qui videre admirati sunt omnes. Dato enim v. 
g. numero multiplicando Decem Notarum sive Ciphrarum, et alio Multi- 
plicante Notarum (si ita vis) quatuor, Productum Multiplicationis Rotae 
cujusdam Conversionibus quatuor nullo animi labore, nulla additione 
interveniere haberi posse. Breviter, Numerum Multiplicandum quantum- 
eunque aeque cito et facile multiplicari posse per Multiplicantem datum, 
ac Multiplicandum alium quantulumcunque , nemo facile credidisset. 
Id vero maehina jam perfecta, in exiguo quidem, cum quatuor notas 
nondum exeat ? ostendit tarnen. Exemplum ejus non nisi unicum nunc 
quidem habeo, idque vix nuper absolutum. Antea enim, quanquam 
effectum dudum, nonnihil tarnen claudicabat. Lassari aliquot opificum 
patientiam, atque aegre tandem hominem inveni, qui honorem lucro 
praeferret. 



*) D§ue Drt unb Saturn. 



SeiBnig an DIbenBurg. 105 

Respirat ille nunc nonnihil aliisque laboribus vacat, ne exteris 
notitiis excidat. Sed promisit opus mox iterum aggredi, pluresque 
eadem opera elaborare, ex quibus unam ego Illustri Societati Regiae 
servabo, ejusque ad vos ipse lator ero, ubi primum alia permittent, quae 
me multis modis distrahunt. Incunibunt enim mihi labores quidem inter 
se plane diversi, quos partim Principes a me exigunt, partim Amici. 
Unde parum temporis restat, quod inquisitioni naturae et contemplatio- 
nibus Mathematicis impendere possim. Suffuror tarnen, quantum licet, 
et saepe animum ad ista propendentem explere, quam commodis meis 
velificare malo. 

In Geometria quaedam detexi, felicitate singulari potius quam 
studio multo. Ex multis tibi unum memorabo Theorema perelegans nee 
quantum scio antea notum, saltem non illis quibus locutus sum Geome- 
tris sane maximis. 

Semicirculo ABC in piano CD ^ 
provoluto, Semicycloeides linea AED 
descripta intelligatur. Ex F centro 
Semicirculi volvi ineipientis, reeta jp 
FBG, basi CU parallela, educatur, 
Semicycloeidi oecurrens in G. Jun- 
gantur Rectae AB f AG. Ajo AGEA 
segmentum Semicycloeidis aequari 
Triangulo APB, seu semiquadrato a Radio Circuli generatoris. 

Hoc primum est segmentum Obliquum, cujus habetur Quadratura; 
Secundum autem Segmentorum ejus in Universum, cognitae mensurae, 
ne Circuli quidem dimensione supposita. Primum enim quadravit Illust. 
Hugenius diversae plane ab hoc naturae spatium scilicet AJEA, quarta 
Radii*) parte AJ, reeta basi parallela JE et portione Cycloeidis EA 
comprehensum. 

Alia mihi Theoremata sunt momenti non paulo majoris. Ex 
quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area Circuli vel sectoris 
ejus dati exaete exprimi potest per Seriem quandam Numerorum ratio- 
nalium continue produetam in infinitum. Sed et Methodos quasdam 
Analyticas habeo, generales admodum et latefusas, quas majoris facio 
quam Theoremata particularia et exquisita. 

Illustri Boylio rogo me data occasione commendes. Nolim virum 
eximium scriptis eorum quos nuperrime ejus Pneumatica Experimenta 
ac Ratio cination es aggressos audio, diverti ab illis, quibus multo melius 
mereri de publico potest, Chymicis experimentis : quae utinam ne diu- 




*) Lege Axis vel Diametri. Bemerkung von Wallis. 



106 SeiBrtta an Dtbenöurg. 

tius publicis precibus neget. Intactum est hoc doctrinae genus saltem 
Philosophis. Primus est Boylius qui non dicam nugari desiit, sed de- 
monstrare coepit. A quo si corpus quoddam Chymicum impetrare po- 
teris, obligabis profecto genus humanuni Dici enim non potest, quanti 
ad omnem vitam momenti sit Chymia. Ego certe pro valetudine Viri 
vota facio , nam vereor ne aliquando jacturam irreparabilem faciamus, 
culpa quorundam obtrectatorum, qui saepe viros, publico bono natos, a 
suis publicandis absterrent. Vale ? ac nominis tui virtutunique Cultori fave. 

Dabam Lutetiae Parisiorum, XV. Jul. J674. 



XXIX. 

ieibnt3 an (Dlbmbmq. 

92ctd) einer Slfcfcljrifi in ber Sammlung v. 9#nrr'&. 

Non dubito quin literas a me Duo. Waltero ad yos eunti datas 
acceperis, quamquam Dn. Vernon negaverit, ex relatu tuo, literas a 
me tibi redditas. Sed hoc ita interpretor, Vernonem ante adventum 
Walteri a vobis discessisse. 

Utor commoditate euntis ad vos amici, potius ne non scribam, 
quam ut scriptu digna habeam, Adjicio Tubae Stentoreae Explicationem, 
a Gallo quodam factam, sed quae vix quicquam satisfacit. 

Edetur hie Algebra quaedam, cujus Autor Eegulam Cartesii de 
Aequationibus Quadrato-quadraticis ad Cubicas revocandis negat esse 
Universalem : sed quantum ex seruionibus, quos ea de re mecum habuit 
judicare possum, labitur ipse. Cartesii enim Regula, e Vieta transumta, 
a Beaunio et Huddenio etiam demonstratione confirmata est, et mihi 
ipsi aliquando alia quaerenti, ea ipsa Regula exiit. 

Jacobus Osanna, de quo tibi aliquando locutus sum, et cujus P. 
Billy in scriptis suis cum elogio meininit, monstravit mihi nuper Dio- 
phantum suum, mox prelo co inmitten dum, ad Symbola revocatum. Ad- 
jicit passim Quaestiones a Diophanto et Bacheto praetermissas. Sed et 
librum septimum addet, refertum quaestionibus Paralipomenum. Is 
Problema publice proposuerat, jam anno abhinc et ultra: Invenire 
tres numeros, ita ut differentiae duorum quorumlibet qua- 



Setbttij an DIbenBurg. 107 

dratorum sint quadrati, et differentiae duorum quorumlibet 
quadratorum ab ipsis sint etiam quadrati. Ejus Problematis 
solutionem curaverat edi Petrus Mengolus, credens demonstratam a se 
ejus inipossibilitateni. In quo eum lapsum esse ostendit Osanna, editis 
mox ipsis numeris. 

Ab eo tempore idem Osanna aliud proposuit Problema, schedula 
impressa et distributa, quod ita habebat: Mathematicis Problema 
unicum: Invenire tres numer os , q uorum summa, Quadratus, 
et summa Quadratorum ab ipsis sit Quadrat o-quadratus. 

Forte cum colloqueremur, dixi ei, non videri haec Problemata 
tanti, et esse quodammodo in nostra potestate, si quis laborem subire 
velit. Hoc ille accipiens, provocavit me ad solutionem per amicos, qui- 
bus dixerat, me talium facilitatem jactare, nullo specimine edito. Ego 
ita coactus sum aggredi solutionem, quae successit mirifice. Nam cum 
ipsius Osannae ingentes sint numeri, ego exiguos inveni, admodum 
proposito satisfacientes. Et quod est ampliiis, solutionem reperi inde- 
finitam, quam fassus est se non haber-e. Possum enim efficere, ut summa 
numerorum sit Quadratus datus, sed et possum efficere, ut summa 
quadratorum sit Quadrato-quadratus datus. Haec tanti non puta- 
rem ut Vobis scriberem, nisi apud Mathematicos nostros strepitum 
fecissent, 

Certe alii quidam his oris insignes, ut ipsi se appellari amaat, 
Analytici, etiam nunc solutionem ejus Problematis frustra quaerunt. 

Diophantum ipsius Osannae puto fore lectu dignum. Dat enim 
operam ut Lemmata omnia ex numerorum natura petita expurget, et ut 
semper ostendat ipsum inveniendi modnm Analyticum. Sed haec qui- 
dem vel ideo scriptu digna putavi. quia Diopbantum Symbolicum apud 
vos quoque edi editumve esse intelligo. Majoris ad usum vitae mo- 
menti est profectus Greometriae, et inprimis Dimensio Curvilineorum, 
unde saepe praeclara Problemata Mechanica pendent. 

Porro, in ea Geometriae parte rem memorabilem mihi evenisse 
nuntio. Scis Dnum. Vicecomitem Brounkerum et Cl. virum Nie. Mer- 
catorem exhibuisse Infinitam Seriem numerorum rationalium, spatio 
Hyperbolico aequalem. Sed hoc in Circulo efficere hactenus potuit 
nemo. Etsi enim 111. Brounkerus et Wallisius dederint numeros ratio- 
nales magis magisque appropinquantes, nemo tarnen dedit progressio- 
nem numerorum rationalium, cujus in infinitum continuatae summa sit 
exaete aequalis Circulo. Id vero mihi tandem feliciter successit: inveni 
enim seriem numerorum valde simplicem, cujus summa exaete aequatur 
Circumferentiae Circuli, posito Diametrum esse Unitatem. Et habet ea 
series id quoque praeclari, quod miras quasdam Circuli et Hyperbolae 



108 DIbenBnrg an SetBntg. 

exhibet harmonias. Itaque Tetragonismi Circularis Problema jam a 
Geometria traductum est ad Arithmetieam Infinitorum, quod hactenus 
frustra quaerebatur. Restat ergo tantum ut Doctrina de Serierum seu 
Progressionum numericarum summis perficiatur. Quieunque hactenus 
Quadraturam Circuli exactarn quaesivere, ne viam quideru aperuere, per 
quam eo pervenire posse spes sit, quod nunc primum a me factum di- 
cere ausim. Ratio Diametri ad Circumferentiam exacte a me exhiberi 
potest per rationem non quidem Numeri ad Numerum (id enim foret ? 
absolute invenisse) sed per rationem Numeri ad totam quandam Seriem 
numerorum rationalium valde simplicem et regulärem. Eadem methodo 
etiam Arcus cujuslibet, cujus Sinus datur Geometrice, exhiberi per 
ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integrae Circumferentiae dimen- 
sionem recursu: ut adeo necesse non sit, arcus rationem ad circumferen- 
tiam nosse. 

Quid apud vos agatur, vicissim ubi vacaverit indicabis, inprimis 
de re Medica et Chymica. Illustrem Boylium et Clarissimos Viros Walli- 
sium et Hookium a me quaeso saluta. Et hunc sfcimula, ut promissam 
nobis Microscopiorum et Telescopiorum perficiendorum rationem urgeat, 
quo nihil utilius praestare potest. 

Vale faveque etc. 

Paris. 16. Octob. 1674. 



XXX. 

(Dlbenbuvq an €cibnt3. 

Wad) einer OTfcfjrift in bex (Sammlung u. SJhtrr'g. 

Idem qui tuas antehac rite mihi tradidit, hasce meas Tibi quoque 
citra omne dubium fideliter reddet. Machinulam tuam Arithmetieam, 
quam perfecisse Te antehac jam significasti, lubentes equidem lustrare- 
mus 7 si promissi tui Soc Regiae in publico congressu facti memor, 
occasione commoda transmittere eam velles. 

Gratias interim ago pro Diatriba, Tubae Stentorophonicae expiica- 
tionem moliente, quae tarnen vix magis nostratibus quam Gallis satis- 
fecit. 



DlbenBurg an SeiBtug. 109 

Ad ea quae de Jacobi Osannae consilio memoras, Diophantum 
suum Synibolicum praelo committendi, scire te velim Kerseyum nostrum, 
quidquid difficile in Authore illo oocurrit, permultaque alia Problemata 
gemina, Analytice resoluta, sermone Angiico jam evulgasse, p artern que 
System atis sui Algebraici tertiam soli isti argumento pertractando im- 
pendisse. Quod vero spectat duplicatam Diophanti aequalitatem (quae 
novuin illud inventum Fermati constituit) eam a Jacobo Gregorio Seoto, 
e Soc. Regia, magnopere provectam esse intelligo. Quod de profectu 
in Curvilineorum dimensione memoras, bene se habet; sed ignorare te 
nolim, Curvarum dimetiendarum rationem et methodum a laudato Gre- 
gorio, nee non ab Jsaaco Newtono, ad curvas quaslibet tum Mechanicas 
tum Geometricas, quin et eirculum ipsum se extendere, ita scilicet ut 
si in ali qua curva ordinatam dederis, istius methodi beneficio possis 
lineae curvae longitudinem, areain figurae, ejusdem centrum gravitatis, 
solidum rotundum, ejusque superficiem ? sive ereetam, sive inclinatam, 
solidique rotundi segmenta seeunda, horumque omnium conversa inve- 
nire; quin et, dato quolibet arcu in quadrato, Logarithmicum sinum ? 
tangentem vel secantem, non cognito naturali, et conversim computare. 
Quod vero ais, neminem hactenus dedisse progressionem numerorum 
rationalium, cujus in infinitum continuatae summa sit exäcte aequalis 
circulo, id vero Tibi tandem feliciter successisse, de eo quidem Tibi 
gratulor ? sed adjungam, quod nuper a viro de rebus hisce sollicito 
aeeepi: Supra dictum nempe Gregorium in eo jäm esse ? ut scripto probet 
exaetitudinem illam obtineri non posse. Quod tarnen minime a me 
dictum velim, ut ingenium studiumque tuum sufflaminem ? sed pro meo 
in Te affectu cautum reddam ? ut talia seil, probe tecum volvas revolvas- 
que priusquam praelo divulges. 

De caetero ? cum scire aveas 7 quae apud nos agantur, paucis dicam. 
Doctor quidem Medicus, Danielis Coxi nomine, e Soc. Regia, modum 
edidit perfacilem, e quibusvis Vegetabilibus spiritus volatiles eliciendi, 
probavitque porro ? nullum sal Aleali seu Fixum in ullo prae-existere 
subjecto ? priusquam actioni ignis expositum id fuerit: Ad haec ? evicisse 
se putat, omnes spiritus volatiles et vinosos probe depuratos ab oleis- 
que suis penitus immunes redditos, plane homogeneos esse. Extant 
haec omnia in nuperis quibusdam Transactionibus philosophicis, quas 
una cum caeteris omnibus in amici gratiam, Dn Walterus Parisios se 
transportare mihi affirmavit. Illustris Boylius nova quaedam ? ni fallor, 
mox praelo exitura composuit ; de Latentibus seil, nonnullis Qualitati- 
bus Aeris, nee non de Corporum in Vacuo Boyliano conservatione ? 
deque Metallorum Accretione: Cui diatribam annectit geminam ? quarum 
una suetionis indolem enucleatius explicat, altera Dni. Hobbii proble- 



HO Setfmiä an Olbenontg,. 

mata de Vacuo sub examen vocat.*) Quae Du. Hookius molitur circa 
novum quendam Quadrantem Astronomicum insignissimi, ut ipse vult, 
usus, harum lator, vel etiam ipsum scriptum Authoris, sub praelo nunc 
Sudans, fusius exponet. Oninia haec serniorie Anglico quae tarnen brevi, 
putem, in Latinum vertentur. Vale, et si vacat ocius rescribe. 

Dabam Londini d. 8. Decebr. 1674. 



XXXI. 



£eibnt3 an (Dlbenbur^. 



9lad) einer 2(bfc£)rift »on bem original im Söefüj ber atonal @ocietn in Sonbon 
(Letter -book, VII, 213—5). 

Scribere distuli de die in diem, quod maturius absolutum iri 
crederem, quae nunc mitto. Sed ne'que vobis mittere, neque hie pu- 
blicare v^olui, antequam reapse executus essem; saepe enim plurimum 
cogitationes ab eventu distant, et praxis a Theoria tumultuaria nee satis 
digesta valde discrepat. 

Inventi ratio in eo breviter posita est: Ajo machinam a me ex- 
hiberi motus cujusdam aequabilis, ac tempus in intervalla pauca, inter 
se aequalia atque continuata, dividentis. Aequabilitatem autem ex ipsa 
maebinae construetione (quamdiu scilicet materia non alteratur aut cor- 
rumpitur) necessario demonstravi, nee ullis observationibus physieis niti 7 
sed ex ipsa construetione constare ac proinde aliorum motuum explo- 
randorum certam infallibilemque mensuram dare posse. Principium autem 
maebinae ita facillime pereipies. Finge disposita esse in orbem exigua 
quaedam elateria tensa. A primo manu liberato atque ita disploso liberari 
seeundum, ab hoc disploso tertium ? ab hoc quartum etc.: donec ultimum 
rursus veniat ad liberandum primum, quod plane, quemadmodum ante, 
tensum jam dudumque iterum paratum invenit, vi scilicet ordinaria 
prirni mobilis horologii continue agente, et quaecumque displosa invenit 
elateria, in priorem statum re-tendente, antequam absoluta periodo ordo 
rursus unumquodque attingat. Quo posito, facile intelligitur, periodos 
has sive circulationes continuo ac sine interruptione duraturas, quamdiu 



*) £)ie SSötie Quae Dn. Hookius big fusius exponet fehlen in ber ^Ifcfdjrtfi". 



SetBnig an DlbenBurg. 111 

durabit primi mobilis horologii motus, et periodos omnes inter se fore 
aequales. etsi exiguorum elateriorum vires sint inaequales, et inaequa- 
litatem, quae in ipso horologii corpore et motu primi mobilis contingere 
potest, periodos non variare. Porro in executione quam publicavi atque 
impressam mitto, duobus tantum exiguis elateriis usus sum. Et habeo 
aliam adhuc constructionem , longe simpliciorem et exiguis horologiolis 
aptissimam. Sed nondum sum executus, quod mature tarnen facturus 
sum, Deo volente. Interea machinam jam absolutam, etsi rudiorem et 
majusculani, effectui tarnen demonstrando sufficientem, plusculis diebus 
cum pendulo aliquo comparabo. Quanquam facile ostendi possit in 
pendulo, qualia -hactenus habuimus, non veram et ex constructione ma- 
chin ae exactam, sed vero sie satis pro communi usu propinquam mo- 
tus aequabilitatem haberi: mea autem machina tantae sit capax certitu- 
dinis, quanta ab hominibus expeetari potest, ut facile ex responsione ad 
objeetiones judicabis, ubi legeris. 

Venio ad epistolam tuam: Scribis Jacobum Gregorium vestrum 
nescio quid demonstraturum se minari, quod Tu meae de quadratura 
circuli Arithmetica demonstrationi adversum putas. Sed Gregorius 
hoc tantum demonstrare pollicitus est, rationem Diametri ad cir- 
cumferentiam nulla aequatione sive relatione analytica exaete exprimi 
posse, quod mihi non est adversum, qui seriem infinitam, sed numero- 
rum rationalium, eamque valde simplicem afFero, cujus summa exaete 
aequalis circulo, posito diametrum esse unitatem. Sentiunt insignes 
quidam mathematici, vix quiequam in eo genere mirabilius visum* eaque 
et Hugenii sententia est ? inventum hoc valde memorabile esse. Si seriem 
finitam numerorum, cujus summa circulo aequalis, me habere dicerem, 
Grregorius mihi obstaret. 

Scribis, Cl. Newtonum vestrum habere methodum exhibendi qua- 
draturas omnes, omniumque curvarum superficierum et solidorum ex 
revolutione genitorum dimensiones, et centrorum gravitatis inventiones, 
per appropinquationes scilicet, ita enim interpretor. Quae methodus 
si est universalis et commoda, meretur aestimari, nee dubito fore inge- 
niosissimo Autore dignam. Addis, tale quid et Gregorio innotuisse. 
Sed quoniam Gregorius in suo libro Geometriae Universalis fatetur, non- 
dum sibi rationem innotuisse dimetiendi curvas Hyperbolae et Ellipseos, 
indicabis mihi, si placet, an vel ipse vel Neutonius ab eo tempore in- 
venerint, et si habent, an absolute habeant, quod vix putem, an ex sup- 
posita Circuli aut hyperbolae quadratura. 

Memini, Te aliquando mihi scribere, Collinium vestrum, ingenio- 
sissimum virum, habere rationem ineundi summas serierum finitarum 
numericarum, quarum termini sint primanis, seeundanis, tertianis etc. 



112 Seibntg an DIbenBurg. 

reciproci; invitasti me, ut in eam rem inquirerem : visa est mihi satis 
difficilis et pulchra; sed quod intelligerem a Collinio jam publicatam 
esse libello de ejus quod interest calculo, aliaque prae manibus habe- 
rem ? eam inquisitionem omisi; quod si mihi eam consensu Autoris mise- 
ris, vicissim vobis simplicissimam illam numerorum rationalium seriem, 
cujus summa (si in infinitum continuetur series) circulo aequalis est, 
mittam cum demonstratione, quemadmodum et a Collinio demonstratio- 
nem suae regulae expeeto. Quadratura autem illa Circuli Arithmetica 
latissime porrigitur, et ad alia multa et nova viam operit, quod et vos 
facile judicabitis; itaque non dubito quin in methodis Neutonionis et 
Gregorianis mihi communicandis vos non difficiles sitis , praestituri ; ego 
certe occasiones omittere non soleo, egregiorum inventorum Autores cum 
multa honoris praefatione nominandi. 

Vidi Hookianam Diatribam de apparatu Heveliano •, non sum satis 
in observando exercitatus, ut Judicium meum interponere audeam. Dnus. 
Bullialdus pro Hevelio stare mihi videtur; Cassinus et Picardus Tele- 
scopia non negligenda censent. Vale. 

Parisiis 30. Mart. 1675. 

3n einem erften (Sntourf be§ norftetjenben @d)teiben3 ttwdfjt Seibnij fot* 
genbe SWittljeilnng über ba£ projectterte Uljrtüerl: Distuli scribere de die in 
diem, quod remnovam et mox hie quoque publicandam TIBI mittere vellem: 
idque nunc quoque facio, postquam de successu satis securus sum. 
Mitto igitur TIBI quam vides descriptionem prineipii aequalitatis in 
Horologio a me invento futurae, nihil cum isochronismo vibrantium pen- 
dulorum aut elateriorum commune habentis, quo tarnen uno hactenus 
omnes usi sunt. Ipse Hugenius. qui nuper ut nosti elegantem illam 
oscillantis elaterii ad horologia applicationem publicavit, plurimum appro- 
bavit meam ut novani, et pure mechanicam et a nullo experimento 
physico aut demonstratione Geometrica pendentem, ut mirum sit artifices 
in eam non ineidisse dudum Mihi certe jam a quadriennio nota fuit, 
cujus testes in Germania Galliaque habeo : sed in controversiam vocat 
nemo. Plerumque ita evenit, ut uno egr'egio invento publicato, quäle 
Horologii oscillatorii fuit, aliorum meditationes velut sideratae et in 
hanc unam defixae habeant aliquid imitationis non facile exuendae: raro 
animus hac velut praeoecupatione deposita ad diversum quoddam in- 
veniendi prineipium attolitur Inventum ipsum quäle sit, ex descrip- 
tione et figura judicabis, et si mereri videbitur Transactionibus 
tuis inseres. Alii atque aüi bic in dies naseuntur, qui Horologia 



DIbenBurg an Seumt§. 113 

novis illis Hugenianis similia, certe ex eodem principio pendentia, pro- 
ferunt. 

Sed cum ipsa Hugenii methodus sit onmium quas viderim facile 
simplicissima, credo non magnam rationem habitum iri tot variationum 
non difficilium Sed ex alio rem principio confici Reipublicae interest 
et Scientiarum, ut alterum alteri testimonium praebeat et aerarium in- 
ventionuni locupletetur. Cum sit praeterea aliquid in meo peeuliare, ut 
scilicet Elateria spissa et solida (massifs) et quantum übet fortia ad- 
hibere liceat, qua ratione fieri potest ut ratio errorum atque impedimen- 
torum ex medii et materiae imperfectione orientium ad vires quantum- 
libet exigua reddi possit: ut taceam esse qui in dubium revocent Iso- 
chronismum vibrationum Elasticarum, mihi tarnen persuasum est, Huge- 
nium hoc suae constructionis principium experimentis sufficientibus sta- 
biliisse, antequam publicaret et Isochronismum si non perfectum saltem 
usui sufFecturum deprehendisse, 

$n einet ,3ufd)Ttft an ben ^etait^gebex be£ Journal des Scavans unter 
bem 1 + 9Mtj 1675 f)ctt Setbntj eine Beitreibung feinet llijrmerfe£ gegeben. 
@te ift in bem Journal neröff entließt nntet bem Stiel: Lettre touchant le prin- 
cipe de justesse des Horloges portatives de son invention. 



XXXII. 



(DIbenburg an ieibni]. 

yta&) bem Original in ber S^öntgl. 33tBItot^ef §u £>annot)er. 

Accepi litteras tuas, quae Machinam tuam novam describunt et 
Algebraica quaedam rariora indigitant. Prius quod attinet, Nostratium 
nonnulli, augendis rebus Mechanicis addictiores, in ea videntur esse 
sententia, objeetionibus a temet ipso formatis, generali ista responsione 
remedioque a te assignato minus esse satisfactum. Optant interim, Ex- 
perimento rem totam committi, idque navigatione quadam ad Tropicos 
et Aequinoctialem instituenda, eamque rationem dubiis quae supersunt 
omnibus exuendis quam maxime aecommodatam esse censent. Ingenium 
interim tuum in exeogitanda machina tarn artificiosa abunde elucere 
fassi, pro ejus communicatione debitas tibi gratias referunt. 



114 



DlbertBurg cm Öeibnig. 



Posterius quod attinet, Dn. Collinius praemissa salute 7 quae sequun- 
tur remittit. Primo, Cl. Gregorium in postrema sua ad Illustrem Huge- 
nium responsione seriem suppeditasse ad semicircumferentiam eirculi 
inveniendain, quae talis est: Pone radium = r, dimidium latus quadrati 
inscripti circulo = d, et differentiam inter radium et illud latus qua- 
drati == e ; Semicircumferentia aequalis est = 

4 r r 



2 d — 



23e* 



263e5 



etc. in infin. 



3 90 d 756d 2 113400d» 7484400d* 
Quae series adeo produci potest, ut a semicircumferentia minus differat, 
quam ulla quantitas assignabilis. 

Editum hoc fuit a Dn. Gregorio, postquam Dni. Mercatoris Loga- 
rithmotechnia jam extabat; quae quamprimum viderat lucem, ad Dnum. 
Barrovium a me fuit transmissa, qui observato in ea infinitae seriei usu 
ad Logarithmos construendos rescribebat ; methodum illam jam aliquam- 
diu ante excogitatam fuisse a successore suo Newtono, omnibusque cur- 
vis earumque portionibus Geometricis aeque ac Mechanicis universim 
applicatam. Cujus rei specimina quaedam subjecit viz. 

Posita pro radio unitate, datoque x pro sinu, ad 
inveniendum z Arcum series haec est: 




Z = X+ 6 + 40 x5 



35 



x 9 etc. in infinit. 



112 ' 1152 
Et extraota hujus aequationis radice, methodo 
symbolica, si dederis z pro arcu, ad inveniendum x 



sinum series haec est : 



1 



x = z 



.7.8 



1 



1 



6 " ' 120 " 5040 " + 36288Ö ?J ^ M ^ e hae S6rieS 
facile continuantur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30 graduum, 
Ceulenii numeri facile struuntur. 

Consimiliter si ponas radium 
E, et B sinum arcus, Zona inter 
diametrum et chordam illi paralle- 
lam est, 

B 3 B 5 

==UB "3l~ 2CTR^ — 

56 R* _ 576 W ~ 1408 E» ete " AtqU6 6adem SerieS ' mutatis signis 
termini secundi, 4ü et 6ti etc. inservit assignandae areae Zonae Aequi- 
lateralis Hyperbolae, 




DIbetiBurg cm SeiBntg. 



115 



■03 T)5 "D7 



56R 5 



5B9_ 
"576R'" 



7B 11 



1408R9 



etc. 



Rursum, dato radio R et sinu verso 
sive sagitta a, ad inveniendam aream seg- 
menti resecti & chorda, pone b 2 pro 2 Ra, 
et segmentum 




_ 4ba _ 2a? 
~~ "3 ~5b~ 

Et arcus integer 

4b ■ 



= 2b + 



a° 
T4P 

3a* 



36bs 



5 a " 
352M 



7 a 1 1 
832P 



etc. 



+ 



+ 



35a8 



+ 



63a» 
14Ö8b9 



etc. 



20b3 "•" 56b r > ^ 576bf 
Duae hae series Dno. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo 
tempore quo usus est hac methodo: quod ab ipso aliquot post annos 
factum, postquam seil, intellexerat, Dn. Newtonuni generatim eam ap- 
plicasse. Exinde quoque ad nos misit series similes ad Tangentes na- 
turales ex earundem Arcu inveniendum et conversim. E. g. pone ra- 
dium = r. arcum = a et Tangentem t, erit 



+ 



_2as_ 
15r^~ 



17a^ 



+ 



62a9 



etc. 



~ ' 3r 2 ' 15r* 315r« ' 2835r8 

Et conversim, ex Tangente invenire Arcum ejus, 
t 3 t 5 f ts 

a = t- 3^2+5^-7^+9^ «*«»• 

Atque hoc factum cum vieles, facile credideris, posse eadem me- 
thodo aeque facile ex Arcu inveniri Sinum vel Tangentem Logarith- 
micum, absque inventione Naturalis, et conversim. Pronum quoque 
tibi fuerit credere, methodum hanc applicari posse ad rectiflcationem 
quarumlibet Curvarum, particulatim vero ad lineam Quadratricem, adque 
inveniendam Aream illius figurae: id quod antehac, nulla demum cum- 
que methodo, fuerat praestitum. Atque ulteriori calculationis labore 
extendi potest ad inveniendas Areas superficierum in rotundis solidis 
inclinantibus, nee non ad inveniendas soliditates Segmentorum seeundo- 
rum in solidis rotundis. E. g. si Conoides aliqua secetur a piano trans- 
eunte per basin ejus, poterit id vocari Segmentum primum ; et si haec 
portio iterum secetur a piano erecto ad prius planum secans, Portio 
eum in modum seeta hoc ipso intenditur ut sit Segmentum. 

Porro, applicatur ea methodus inveniendis radieibus purarum pote- 
statum Aequationumque valde arFectarum, ita ut ex quolibet numero, 
absque Logarithmorum ope, quamlibet excitare possis potestatem per 

8* 



116 Dlbenfiurg cm öetfmtj. 

saltum, et ex quavis potestate, utut affecta, invenire radicem ejus, vel 
quodvis Medium, illud inter et unitatem assignatum. 

Dn. Gregorius magno labore paravit seriem infinitam, generatim 
respectivis Potestatibus affectis cujuslibet aequationis propositae adap- 
ta'ndam, ita ut quivis Algebrae cultor, ipsius penu instructus, mox ap- 
tare valeat seriem aliquam ad inveniendam quamlibet radicem cujus vis 
aequationis propositae, postquam ipsi innotuit, ad quod latus noti limitis 
Radix ceciderit. Verum id hactenus nobis non communicavit, uti nee 
nos eum ad id faciendum sollicitavimus, imprimis cum ipse lubens per- 
mittat Dn. Newtono, ut ille primus novae hujus methodi de infinita serie 
inventionem orbi Mathematico patefaciat. 

Et cum uterque animum hujusmodi doctrinae applicuerint hactenus, 
nunc eum applicant communi aequationum doctrinae perficiendae. In- 
terim quibus augmentis alii quoque Algebram locupletaverint, nunc 
commemorabo. 

In ea sumus sententia ? postquam Gl. Pellius consecutus est limites 
alieujus aequationis, in proelivi ipsi esse, Logarithmorum adminiculo 
directe assequendi Logarithmuni cujuslibet radicis oblati cujusvis resol- 
vendi sive Homogenei; uti etiam ? facile tunc eum posse, clictorum limi- 
tum ope 7 Aequationem frangere quam propinquissinie, quando Aequatio 
est reapse solida ? et Cartesii sensu infrangibilis. Verum possumus 
polliceri , nos id praestare posse magna facilitate in Cubicis et 
Biquadraticis, idqae tum citra opem limitum, tum Cartesii malleum 
Cubicum. 

Praeterea in aequatione completa ? puta ßti gradus ? ubi intra certos 
limites aequatio habet radices possibiles, nil novi est, si referam ex Lau- 
rentio, quemvis terminum (afTectum) generatim posse tolli: sed intra 
certos limites aequatio illa habere potest quatuor tantum radices possi- 
biles ? quo casu duo termini medii tolli possunt. Interdum habere ea 
potest duas tantum radices possibiles : quo casu quatuor termini 
medii possunt revelli. Scio, Huddenium multa loqui de frangendis, non 
vero tollendis terminis mediis, et Laurentium aliquanto nimium esse hac 
de re promissorem. Spes nos favet, Gl. Malbranchium in libro suo 
Algebraico. quem sub praelo versari intelleximus, praestitisse quiequid 
in eo genere praestari potest ? dum Pellius rem illam nimium proerasti- 
nat, qui et multa pollicetur circa aequationes in genere, amplissimi Ca- 
nonis sinuum beneficio. 

Dictus Dn. Malbranchius non ita dudum Nobilissimo Dno. Vaug- 
hano scripsit ? quodsi superare obstaculum unum posset in regulis Car- 
dani, ubi trium radicum capax est aequatio Cubica, multo ulterius doc- 



DIbettBittg an SeiBnig. 



117 




trinam a se propositam exporrectum iri. De hoc obstaculo conjecturain 
meani in medium nunc afferam. 

In qualibet aequatione assumere potes Radicem vel Radices, ad- 
que eas Eesolvenda sive Homogenea comparationis excitare. 

Duc basin OP ? ad eamque 
erige QON. Pone Homogenea com- 
parationis affirmativa sursum, ab 
ad DBN, et negativa deorsum, 
super haec Homogenea excita ra- 
dices DE, BC, NA tanquam or- 
dinatas ; et mutatis omnium potes - 
tatum imparium signis similiter 
operare circa partem alter am pro 
radicibus negativis: et supposito, 
Curvam transire per extremitates 
radicum sie inventarum, erit ille 
locus inventionis Äequationis ejusmodi, cujus Homogeneum Comparationis 
est variabile, sed omnes termini ejus reliqui sunt constantes. Curva 
hie dueta exhibet locum Äequationis , quae interdum nonnisi unicam 
habet radicem possibilem, puta quando Homogeneum Compar. majus 
est quam OB; tres vero, quando minus est: uti vera radix DE, et ra- 
dices negativae DF, DG. Hujus Curvae limites Dioristici sunt VT, WX, 
et Basis limites OP, OS. Quando nonnisi unicam radicem habet Ae- 
quatio, puta NA ? Cardani regulae eam invenient vel exaete, si Binomia 
habuerint exaetas radices cubicas ? vel si secus, quam propinquissime. At 
si tres habuerit radices aequatio, ut ante dictum, tum Cardani regulae 
nullam earum invenient. In hoc statu negotium hoc reliquere Au- 
thores. 

Cl. Wallisius illas regulas insigniter correxit hoc modo: Si ad 
quamlibet radicem verain, puta DE, erigas Homogeneum comparationis 
OD, et id ipsum proponas ad radicem pro eo inveniendam, hoc casu 
ita auxit Cardani regulas Wallisius ? ut radicem certo consequaris: At 
nequit regulas illas applicare Homogeneo Comparationis casu oblato, 
quamquam illae possint ad Homogeneum quoddam paulo majus vel paulo 
minus certo applicari. 

Hie vero locus est de obstaculo illo verba faciendi. Dico itaque, 
in Cubicis illis quae destituuntur termino secundo ? Radicum Coefficien- 
tem reduci posse ad Unitatem ? et Homogeneum Comparationis ad Frac- 
tionem communem vel decimalem in casu de quo quaeritur, divisionem 
seil, instituendo ope seriei continue proportionalium, cujus cum unitas 
sit terminus primus, radicum Coefficiens est tertius: At casu altero, 



118 OlbertBurg cm Seumtg. 

ubi Cardani regulae obtinent, novum Heterogeneum Comparationis sem- 
per erit unitate majus, resque eo reducetur, ut' consultis Guldini Ta- 
bulis Cuborum et Radicum, mox experiri possis, quaenam radix suo 
Cubo addita, vel ab eo subtracta, pro signorum aequationis ratione, reddi- 
tura sit novum Heterogeneum Comparationis; atque Radice hunc in 
modum acquisita, eam multiplica tantum, quantum eam prius diviseras, 
habebisque Aequationis primo propositae radicem. 

Jam vero manticae illud quod in tergo, hoc est: Quando Homo- 
geneum comparationis novum majus est anitate, cubus radicis major est 
radice ipsa : At si Homogeneum illud fuerit fractio propria vel decima- 
lis, radix excedit cubum. Utcunque sit, in utroque casu inveniri Radix 
potest dictarum Tabularum beneficio. Atque hoc probe expenso argui 
inde posse videtur, Cardani regulas reddi posse Universales: Et quando 
nobis suppetent Tabulae impressae radicum Quadraticarum Cubicarum- 
que, quemadmodum nunc instructi sumus Tabulis Quadratorum Cubico- 
rumque in numeris ab 1 ad 10000, illae Cardani regulae terriculamen- 
tum ejusmodi futurae non sunt, quäle hactenus habitae fuerunt. Spera- 
musque istius modi Tabulas brevi a Dno. Joh. Smith in lucem emissum iri. 
Sed de his satis : Ad alia nunc pergamus. Dn. Newtonus et Dn. 
Gregorius Problema sequens considerarunt, a Dn. Collinio ideo propo- 
situm, quod reperisset, Intersectiones Sectionum Conicarum, a Sphaera 
projectarum, ad calculum revocari posse Trigonometriae Sphaericae 
beneficio, vel inveniri Constructionum Sphaericarum ope, citra alterutrius 
figurarum descriptionem, viz. Duabus quibuslibet Geometricis Curvis 
vel Sectionibus Conicis determinatae speciei ductis in qualibet positione 

casuali, puta Hyperbolae, cujus axis 
est BLK, atque Ellipsis, cujus longior 
Axis est HLG, invenire, quaenam ae- 
quatio solvatur ope ordinatarum, caden- 
tium a punctis Tntersectionis DCFE 
ad alterutrum Axiuin, vel quamlibet 
ex diametris alterutrius datarum figu- 
arum. 

Quae adeo generalis est propositio, 
ut dubio p r ocul octavum Apollonii li- 
brum, nee non magnam partem doctri- 
nae de Locis in utero gerat: de qua posteriore spes nobis facta est, 
doctuin quendam Tractatum ex Gallia oriundum esse, a Cl. seil. Fermato 
compositum, viz. de Locis planis, solidis, linearibus et ad superficiem. 
Cujus generis nonnulla habentur in Kinkhusii, Algebrae in Belgio doc- 
toris, libro postremo Geometriae. 




DIbetiburg an Eeibnig. 



119 



Ad haec intelleximus , Celeberrimum Robervallium bene ea de re 
scripsisse, nee pauca illius scripti Apographa circumferri. Praeterquani 
quod credimus, Doctrinam hanc ? et Huddenii annexa Geometriae Car- 
tesianae eluciclata esse a Malbranchio in Opere suo Algebraico, quod 
avide expeetamus, 

Dubium non est, Newtonum et Gregorium Problema hoc dudum 
expendisse. Et quidem factum id esse a Newtono, ex chartis ipsius 
ad nos missis, eo tendentibus, colli gi potest, suppetente seil, constanti 
Parabola cubica, omnes Aequationes a 3 ad 8 gradum solvi posse, illius 
et Sectionum Conicarum beneficio; aequationes vero noni gradus, duarum 
ejusmodi Parabolarum ope; omnes vero aequationes a 4 t0 ad 15 tum 
graduim Parabolastri Biquadratici et Sectionum Conicarum adminiculo, 
aequationes denique 16 graduum, duorum ejusmodi Parabolastrorum ope. 
Et quoad Sectiones Conicas, opus haud fuerit, eas per puneta descri- 
bere ? cum Puneta Intersectionis prompte inveniantur duorum mobilium 
angulorum proprie applicatorum ope; qua de re audi Authorem ipsum: 



Descriptio Sectionis Conicae 

per 5 puneta transeuntis : 

In sequenti schemate 
puneta sint A, ß, C, D, E. 
Junge horum tria quaelibet 
e. g. A, B, C, ad Triangulum 
rectilineare ABC constituen- 
dum ? cujus duobus quibus- 
libet angulis, puta A et B, 
duos sectores vel angulos 
mobiles applica, Polis ip- 
sorum ad puneta angularia 
eorundemque cruribus ad la- 
tera Triangulorum positis, 
dictosque angulos sie dis- 
pone, ut libere circumagan- 
tur circa polos suos A et 
B, citra angulorum, quibus 
apponuntur, Variationen!. Quo facto, reliquis duobus punetis D et E succes- 
sive applica duo ipsorum crura PQ et RS, quae prius applicata fuerant 
ad C (quae crura distinetionis ergo vocari possunt crura describentia, uti 
reliqua duo MN et TV, quae applicabantur ad A, B, crura eorum diri- 
gentia appellari queunt) ; quas intersectiones supponas esse F, facta 




120 Dlbettfmrg cmßetfmtä. 

ad D applicatione, et G 7 ea facta ad E. Duc lineam rectara FG. 
eamque produc sufficienter utrimque: Et tunc si ita moveris Angulos, 
ut crura ipsorum diligentia continuo se invicem intersecent ad lineam 
GF, reliquorum crurum intersectio describet Sectionem illam Conicam, 
quae per omnia. quae dixi, data puncta transibit. 

Si tria ex datis punctis sint in eadem recta linea, impossibile est, 
uliam Sectionem Conicam transire ea omnia posse ? eoque casu habebis 
illius loco duas lineas rectas. 

Juxta eundem fere modum describi potest sectio Conica, quae per 
4 data puncta transeat tangatque lineam clatam; vel quae transeat 
per 3 data puncta tangatque duas lineas datas ? sive rectae illae fuerint 
sive curvae etc. 

Author existimat, non injucundam fore speculationem Mathematum 
studiosis, hujus Tbeorematis demonstratio nein invenire, nee non deter- 
minare Centra, Diametros, Axes ? Vertices et Asymptotos Sectionum Co» 
nicarum ita descriptarum, vel describere parabolam per 4 data puncta 
transeuntem. 

Caeterum, degit apud nos Veteranus quidam Algebrae doctor, cui 
Davenantii nomen, qui multa penes se habet MSS Algebram speetantia. 
Is rure ad nos transmisit hoc Problema solvendum: 

Sint A, B, C ? D quatuor continue Proportionalia, Summa quadra- 
torum ex his terminis data est aequalis N, et summa cuborum ex 
iisclem aequalis 0; postulatur, ut invenias quatuor respective Proportio- 
nalia. Hujus problematis solutio ? ait Author, explorabit peritiam, et 
forte non parum augebit cognitionem solventis: id quod probabilitate 
non caret, quia, si recte memini 7 quidam Albertus Gerardus (in libro, 
cui titulus Invention nouvelle) methodum habet ex Aeqnationum 
Coefficientibus et Homogeneo Comparationis summam dare Quadratorum, 
Cubornm et Biquadratorum Eadicum incognitarum etc. 

Quod spectat Additionem Progressionis Musicae ? h. e. Arithmeticae 
Progressionis Reciproca, scripserat Dn. Collinius Exercitationem de ea 
re diversimode praestanda ? quae periit Ami eis eam commodando. Una 
ex Methodis illis ab ipso adhibitis haec erat Numerator semper sit 
Unitas, et pro medio termino in serie ponatur b, et pro crescente aut 
decrescente differentia in Denominatore ponatur + vel — c respective, 
et pro duabus differentiis ponatur 2 c 7 pro tribus differentiis 3 c. Tunc 
quotae unitatis per dieta binomia divisae, simul additae dant seriem in- 
servientem additioni similis numeri Terminorum. Ex Paradigmate se- 
quenti patebit Quotarum respectivarum genius, et in quanam progressi- 
one exurgant: 



DIbenburg an ßeiBiitg. 



121 



1 



b— c 

1 
b— 2c 
_1_ 
b=-3c 

1 
~b~ 

1 
b+c 

1 
b+2c 

1 
b-(-3c 



b 
1 



+ 



+ 



+ 



+ 



+ 



+ — i 



+ 



+ 



bb 
2c 
bb 
3c 
bb 



bb 
_2c_ 

"BF 

3c 
bb 



+ 



+ 



+ 



cc 

4cc 

_9cc_ 

b3 



cc 

~b^~ 

4cc 

~F~ 

_9cc_ 

~b3 



+ 



+ 



+ 



b* 

8c3 

_27c3_ 
b* 



b* 
_8o3_ 



+ 



+ 



+ 



+ 



+ 



b5 

16c^ 

~W 

Jilc^ 

b 5 



b5 

16c* 
~bB 
81c* 



b& 



Summa 
horum 7 

terminorum = 



+ 



+ 



_28cc_ 
~b^~ 



+ 



196c* 

b* 






Coefficientes sunt summae duplae Quadratorum et Biquadratorum 
etc. progressionis Arithmeticae numerorum ab Unitate, possuntque illae 
excitari pro quolibet numero terminorum ex Aequationibus illi rei ac- 
commodatis, quae non difficulter obtinentur. 

Verum his missis, sciscitatus antehac fui, quando Dn. Piccardus 
praelo daturus esset Dni. de Beaune Tractatum de Angulo solido, 
adjeceramque Tractatus Dni. Paschalis et Dni. Desargues penes biblio- 
polam de Prez adhuc ineditos delitescentes , de demonstranda deri- 
vandaque doctrina Coniea ex minoribus circulis Sphaerae projectae in 
piano sphaeram tangente, oculo constituto in centro, eos, inquam, 
tractatus mereri ut in lucem emittantur, quippe qui sine dubio varias 
contineant speculationes novas utilesque, Trigonometriam tum planam 
tum sphaericam in Doctrinam conieam introducendo. Unius solummodo 
Propositionis mentionem hie injiciam, inquit Collinius, quae sine illa 
scientifice solvi nequit, viz. 

In Ellipsi Tel Hyperbola datae cujusdam speciei proponitur, ut ei 
adaptetur data diameter, citra descriptionem figurae: Quem angulum faciet 
dieta diameter cum alterutro Axium, et quis est Angulus inter illos 
contentus, ejusdemque conjugatum? 



122 Seibnig an Dlbenfcuxg. 

Ignoseas, vir Clarisshne, huic prolixitati, et sinas te rogem, nt per 
amicum mihi transmittas Elementa Geometriae planae Dni. de Gottignies, 
impressa Romae in 12. A. 1669, quae sex priores libros Euclidis expli- 
cant. Siinili officiorum genere haue gratiam conipensare annitar. 

Si visum fuerit Dni. Thevenotii Libellam transmittere, conabor ipsi 
suum tribuere, quod studere per omnia, sine partium dubio ? annitor. 

Illustres illi viri ? quos salutaveras, plurimum Te resalutant : 
Dominus Boylius prae eeteris amplissimam sui erga te affectus testi- 
fieationem edebat. Toti nunc- sumus in edendo insignissimo scripto 
Malpighiano de Anatomia Plantarum : cui succenturiabit traetatum ge- 
minum Doetissimus Grevius. Vidisti sine dubio, quae nuper edidit 
Boylius: brevi visurus, quae nunc edenda de Motuum languidorum 
effectis etc. Willisius molitur librum de Pumionibus, eorumque affecti- 
bus ? qui reliquis jam editis non cedet. Vale. Dabam Londini die 12 
Aprilis 1675 et mox, si placet, rescribe. 



XXXIII. 

€cibnt3 an (Dlbenbuvg. 

Üad) bem Original in ber .fönigl. SBi&Iiotfjef gn §amtot>er. 

Literas tuas multa fruge Algebraica refertas aeeepi, pro quibus 
tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc praeter ordinarias 
curas Mechanicis imprimis negotiis distrahar, non potui examinare series 
quas misistis ? ac cum meis comparare. Ubi fecero ? perscribam tibi 
sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via 
quadam sie satis singulari. Collinium ipsum magni facio, quoniam omnes 
purae Matheseos partes ab ipso egregie eultas video. Multa habeo 
destinata, a quibus me deterrent calculi tantum/ qui nee suseipi facile ab 
homine oecupato, nee alteri nisi doctissimo ac sincerissimo tuto credi 
possunt. De modo quo tolli possint plerique termini intermedii ex aequa- 
tionibus ? item de ratione qua aequationes etiam affeetae ope Logarith- 
morum solvi possint, fac quaeso ut Collinius, si vacat, mihi scribat 
distinetius. Ego enim in hoc negotio, item circa ea quae speetant qua- 
draturas vix ac ne vix quidem multa a Juvene illo expecto, qui sub 
Dn. Malbranchii auspieiis laborat. Huddeniana inventa ab eo in nu- 
cleum ac compendium non male contractum iri credo. In Geometria 



8etfmt& an DIbenfcurg. 123 

nondum laboravit, sed nee in numeris et Diophanto; calculo aequationum 
Cartesii methodo et Huddenii ineubuit unice. Dicit, se errorem invenisse 
quendam in methodo qua Cartesius (aut potius Vieta ? ab eo enim sumsit 
Cartesius) aequationes quadrato- quadraticas reducit ad cubicas; Ego 
vereor ne erret ipse. Nam praeterquam quod Beaunius et alii eam de- 
monstrare suseepere, mihi etiam aliquando alia quaerenti haec eadem 
methodus provenit, atque origo ejus (quae ad multa alia aditum praebere 
potest) patuit, quae nisi fallor eadem fuit cum Cartesiana, nee spero 
minutias quasdam loquendi captaturum. In problematis seu geometrieis 
sive numericis et multo minus mechanicis nondum se exereuit. Hor- 
tatus sum, quoniam calculi labor ei nullus, ut saltem quintum et sextum 
gradam nobis absolutum dare velit, quemadmodum Vieta et Seipio 
Ferreus dedere quartum et tertium, exhibendo scilicet talium aequati- 
onum generaliter coneeptarum* radices irrationales. Ita enim dicerem 
uno gradu promotam esse hanc Algebrae partem; sed nondum id mihi 
liquido satis promittere visus est. Itaque duos adhuc tresve menses ex- 
peetabimus, donec prodeat liber. Si autor nobis nihil aliud promitteret 
quam elegans atque utile Algebrae aequationum compendium, non dubi- 
tarem promisso satisfacturum* Dn. Osanna, qui in Huddeniana illa, ut 
sie dieam, Algebrae parte minus versatus est, contra in problematis Geo- 
metrieis solvendis sie satis est versatus, in numericis autem et Diophanto 
omnino excellit, ubi non nisi Analytico calculo utitur. Cum contra 
Freniclius et Dn. Billius crebrius utantur numerorum proprietatibus. 

Quamquam sint fortasse problemata aliqua quae ex solo analytico 
calculo vix possint solvi: ex gr. datum Numerum dividere in duos qua- 
dratos, Problema est quod qui analysi subjicere posset, et solvere semper 
aut ostendere impossibilitatem, eum ego dicerem novam Algebrae nume- 
ricae portam aperuisse. Quaeso vestrates ea de re consule; vellem 
enim nosse ? quae eis de eo problemate spes. P. Gottignii Geometrica 
nondum apud librarios invenio ; dabo operam, ut saltem librum reperiam, 
si forte est apud Jesuitas Claremontanos, ut judicem an mereatur ex 
Italia peti. De Pascalii reliquiis scripsi tibi dudum, eas esse apud Pere- 
rium, ex sorore nepotem, in Claramontana Arverniae subsidiorum curia 
eonsiliarium, amicum meum ; sed vix nisi fragmenta sunt. 

Additio numerorum qui sunt primariorum etc. reeiproei, Colli- 
niana etsi perutilis, alia est tarnen quam expeetabam; est enim non nisi 
per appropinquationes. Ego eredebam summam numeri finiti horum ter- 
minorum -y -^ y -4- etc. exaete daturum. Nam hanc quidem appropin- 
quatoriam ex Mercatore sequi apparet. Sed quando non possumus 
quae volumus, velimus quae possumus. 

De machina mea chronometrica Doctissimi viri, Hugenius, Cassi- 



124 Dlbenbutg, an Seibntj. 

nus, aliique optime sentiunt. Scribis Vestrates doctissimos viro>s credere 
generali illa responsione mea non esse satisfactum diffieultatibus a me 
ipso formatis. Beneficium in nie conferes, si quid potissime objiciunt, 
perscribas distinctius, atque illud interim admoneas, si quas fomient 
difficnltates a libramentorum moderando motui adhibitorum concusione 
frictioneque, eas ideo concidere, quia in machina ipsa maritimis usibus 
destinata, nulla erunt ejusmodi libramenta, sed major elateriolorum dis- 
plodendorum numerus quae nee dentes agent, nee quiequam aliud quam 
alia liberabunt. Ut minore forma res exhibeatur pro horologiis 
gestabilibus, complura in machina aliter construenda sunt eodem prineipio 
servato. Duo hactenus prineipia aequalitatis habentur, oscillationes ab 
ipsa natura faetae a Galilaeo et Hugenio observatae et adhibitae, et 
tensiones atque displosiones alternantes, quibus ego utor. 

Ajunt ingeniosissimum Hookium nescio quid novum in hoc genere 
moliri, quod quäle sit docebis, si vacat occasione data. Celeberrimi 
Thevenotii libella jam olim Diario Eruditorum Gallico inserta est, non- 
dum quod sciam Translationibus vestris. 

Illustri Boylio, quaeso, ut officiosam a me salutem nunties ; ego id 
unum opto imprimis, ut Philosophiam Chyrnicam, quod unus potest 
(quantum ab uno homine expeetari licet) perficiat. Qui cum eo in eo 
genere comparari possit, scio neminem. Quaeso eum aliquaudo impensius 
hortare, ac saltem quae ejus super eo negotio consilia sint ? scribas 
distinete atque aperte. Interest enim reipublicae, praeclara adeo experi- 
menta ac destinata non interire. 

Ego nuper (nam saepe Geometriam in re Mechanica exerceo) usum 
mirabilem reperi Logarithmorum in re Mechanica, quem Ordinate con- 
scriptum demonstratumque aliquando dabo. Quod superest, vale et 
eultori virtutis tuae fave. 

Dabam Paris. 20. Maji 1675. 



XXXIV. 



(DIbenburg an Seibrti^ 

9la$ bem Original in ber ^öntgl. 2HBItotfjef gn Jpannonet. 

Quamvis nuperrime litteris sat prolixis studia tua interrupi, cohibere 
me tarnen non potui, etiam priusquam responsum a te aeeiperem, quin 



Seibnij an Dlbenbutg. 125 

Tibi ea significarem, quae ante biduum a Dno. Collinio, me invisente, 
^accepi, cum ea Tibi, gnavissimo Logistices cultori, grata fore existimem. 
Retulit ille mihi, Londinensem quendam, Michaelem Darium, hominem 
plebejum, invenisse, beneficio aeqnationis Quädraticae, radiees Cubicas 
Binomiorum Cardani, quando ea accuratae radicis Cubicae non sunt ca- 
pacia, proindeque frangere eum omnes aequationes Cubicas et Biqua- 
draticas, adeoque omnia Problemata solida ? Greometriae planae bene- 
ficio resolvere: Atque hoc ipsum non modo demonstrasse, sed et plu- 
rimis Exemplis jam actu illustrasse. 

Res ingens, si certa. Certam autem esse, Dictus Collinius vehe- 
menter asseveravit*). Quid Tibi ea de re videatur, edocere me ne gra- 
veris, quando prioribus meis responsum paras. 

Caetera, praeio nostro jam exiere Barrovii Archimedes et Apol- 
lonii 4 libri priores, nee non Theodosius, ad eandem seil, methodum 
redueti, qua Euclides Barrovianus prodiit. 

Idem bibliopola, cujus impensis hi Authores typis mandati fuere. 
paratus est ad imprimendum Pappuni, Serenum de Sectione Cylindri, et 
tres libros posteriores Apollonii, dummodo viri docti laborem suseipere 
vellent hos Authores ad eandem Methodum Barrovianam reducendi, 
Barrovio jam ad aliam provinciam, **) 

Haec sunt, quae paucis hac vice scire Te volui. Vale et 
salve etc. 



XXXV. 



£dbni3 an (Dlhmbuvg* 

9laä) einer StBfd^rift ®uljrauer% bie berfelBe nom Original (Dn. Pells Lettres, Mus. 
Brit. Bibl. Birch. 4279) genommen. 

Rem mihi scribis miram, invenisse apud vos Michaelem quendam 
Parium***), methodum resolvendi problemata solida omnia per Greome- 



*) ÖetBnil fyat gerbet bemerfi: nihil erat. 
**) ©in 28ort nnleferlid). 

***) DIbenBnrg fdrreibt btefen Tanten fetjr beutlidj: Darium. @§ tft rcctfjrfdjeittltdj 
berfelbe, ber non üftemton in ber Recensio be§ Commercium epist. nnter bem tarnen 
Dary ermähnt roirb (Commerc. epist. 'Rem 2In£gabe non Biot.unb Lefort. @. 10). 



126 £eumi§ cm DIbenbuxg. 

triam planam. Equideni fateor nullain mihi notam esse demonstrationem, 
qua propositi impossibilitas evincatur, imo contra rem reduxi aliquando 
ad aliquam Aequationem Numericam, quam qui numeris rationalibus 
generaliter exhibere potuerit, is omnem aequationem solidam planam 
reddiderit. Eademque opera comperi usum admirabilem Arithmeticae 
Diophanteae, si quis enim proposito quocunque problemate Diophanteo 
possit invenire solutionem in numeris, quando id possibile est, poterit 
etiam eadem opera problemata solida, imo et sursolida, reddere plana, 
modo id sit possibile. Sed ab eo labore tum calculi me deterruit pro- 
lixitas, tum imprimis rem quam impossibilem verebar inveniendi de- 
speratio. Quam si Parius vester detexit, felicitati ejus atque ingenio 
gratulor. Doctissimus Collinius, harum rerum judex acer, si de veritate 
inventi persuasus est, ut scribis, ego vix putem relictum dubitandi 
locum. 

Satisne ab eo tempore quo literas dedisti, discussa sint omnia, fac 
quaeso ut sciam. Et si per autorem licet, aut regulam ipsam, aut 
exemplum aliquod illustre, ut cubi duplicationem aut heptagoni regularis 
descriptionem, ejus methodo absolutam, aut analyticis saltem terminis 
expressam mitte, ut incredulitas nostra ipsis rerum documentis 
convincatur. 

Ego rem molior, et satis credo in uumerato habeo, qua nescio an 
ad usum major possit sperari in Algebra, metliodum scilicet, per quam 
omnium Aequationum radices instrumento quodam, sine ullo calculo 
(post aequationum praeparationem non difficilem) in numeris pro instru- 
menti magnitudine quantumlibet veritati propinquis, haberi possint. 
Si Collinius aut Parius inventum supradictum communicare voluerint, 
ego meum inventum, nemini hactenus a me monstratum, vicissim ipsis 
patefaciam. 

Clarissimus Perrerius, Pascalis ex sorore nepos, misit mihi ex 
Arvernia per suos fratres Ms. quaedam fragmenta Pascaliana. Ex quibus 
nunc penes me habeo elementa Geometrica singulari quadam ratione ab 
eo tractata, quanquam non integra. Quae ubi reddidero, etiam Conica 
mihi legenda dabunt. Repertum est inter scripta ejus quoddam dedi- 
cationis genus, quo opera sua Geometrica et Numerica Academiae 
nescio cui Parisinae (id est conventui Geometrarum privato, illo tempore 
celebri) inscribit, et scripta sua in eo genere absoluta aut affecta me- 
morat, quod credo non illubenter leges, inde enim destinata viri liqui- 
dius disces. Mittam descriptum, si Tibi non ingratum fore signiflcabis. 
Mitterem statim si e vestigio describi posset. Finio per Parium a quo 
incepi, et rogo, ut quantum licet per autorem, ea de re mihi perscribas. 
Barrovium Geometrica missa fecisse doleo, nam multa ab eo praeclara 



Dlbenburg an SeiBnig. 



127 



adhuc expectabam. Collinium quaeso a me saluta. Perscribe item, si 
placet, quid sit illud, quod Vestrates iu machina mea chronometra po- 
tissirnum desiderant. Hie enim plerique sunt persuasi, rem quousque 
sperare fas est, produci posse. Quod superest, vale faveque etc. 
Paris. 12. Jun, 1675. 



XXXVI. 



(Dlbenburg an €cibni3* 

$lad) einer ^CBfc^xift in ber @cumnum$ v. SÄurr'g. 

Ad novissimas tuas, 12. junii mihi scriptas, Dn. Collinius, qui 
eas legit resolvitque, haec cum salute officio sissiina Tibi reseribit. 

1. Solutio aequationis cubicae (nisi in casibus quibusdam particu- 
laribus larvatisve) sua natura est Problema solidum, nee potest per 
Geometriam plan am confici, quin et, nisi in paucis quibusdam casibus, 
ne quidem reduci potest ad simplicem cubum: Id quod magis liquebit 
considerando flexuras duplices, quae fiunt in Loco dietae aequationis, ut 
n exemplo sequenti, 

x 3 — 21xx + 120 x = N. 



Radices 


N sive Resolvenda 


1 


100 


2 


164 


3 


198 


4 


225 


5 


200 


6 


180 


7 


154 


8 


128 


9 


108 


10 


100 


11 


110 




In annexa hie Curva intellige respectiva N sive Resolvenda posita 
esse sursum versus ab O ad E radicesque excitari ceu ordinatas ad ipsa 
et eurvam flexuosam per dietarum ordinatarum summitates transire: 
Atque hoc repraesentat Locum prioris aequationis. 



128 DIbenb utg cm SeiBniä- 

2. Nihilominus tarnen vir quidem doctus e nostratibus asserit, na- 
turam Problematis ejusque Concomitantia suppeditare communiter ad- 
minicula ad id resolvendum per aequationem uno gradu inferiorem quam 
aequatio adhibita suggerit. 

3. Haec assertio considerandum nobis praebet, Annon Concomi- 
tantia aequationis Cubicae, irrespective ad ullum Problema, similia 
auxilia sint suggestura? Atque hie jam expiieandi locus est, quibus 
methodis probabilibus res illa vel suseepta fuerit, vel sit suseipienda. Et 

Primo quidem Aequatio Cubica simplex vel affeeta a Dario nostro 
considerata fuit ut Biquadratica sine Resolvendo, fraetaque in suas com- 
ponentes i. e. in duas aequationes Quadraticas, sie ut pro Resolvendo re- 
linquatur illud, quodeunque casus obtulerit. Atque hoc ipsum ille 
praestitit, nullo respectu habito ad Malleum Cubicum Cartesii, nulloque 
auxilio inde adscito. Hinc prodire ait methodum inveniendi omnia ejus- 
modi Resolvenda Biquadratica in numeris integris, quae rationabiliter in 
duo Quadratica frangantur , nee non talia inveniendi Resolvenda mixta, 
quae similiter se habeant. Me quod attinet (ait Collinius) needum 
exanimavi diversas Progressiones respectivas ; probabile interim existimat 7 
si quidem radix vel radices aequationis cubicae non absolute invenian- 
tur captivae faetae per hanc methodum, eas tarnen aretissimis detineri 
cippis per aequationes quadraticas ? quae majus et minus tarn praecise 
dabunt ac quis postulaverit. Estque haec doctrina insignis usus ad 
aequationis Locum describendum. 

Secundo, quae vis aequatio cubica considerari potest ut relativa ad 
Biquadraticam, inde derivabilem, cujus limites inveniuntur propositae 
cubicae radicum adminiculo: Limites vero cujusvis aequationis Biqua- 
draticae inveniuntur a Bartholin o in Tractatu Dioristices, aequationis 
Quadraticae beneficio, proindeque Huddenii aequatio Cubica evitatur, 

Tertio, cum alius quidem vir praeclarus ex eo tempore affirmarit ? 
omnium aequationum Limites (tum basis tum verticis) quae termino 2 do 
carent ? inveniri posse per aequationes duobus minimum gradibus inferio- 
res aequatione proposita ? suspicionem id parit, ipsum juxta methodum 
Dni. de Beaune c. 14. de natura Aequationum, terminum penultimum 
in locum seeundi transferre. Atque tunc sane mutatae hujus aequa- 
tionis limites inveniri per aequationem Quadraticam possunt. At vero, 
num acquisiti fuerint limites Biquadraticae aequationis primo propositae ? 
atque hac ratione evitata methodus Huddeniana, considerandum 
super est. 

Quarto, Dn.Darius cum invenisset, unamex Cardani radieibus Binomia- 
libus radicem esse in aequatione Quadratica, alteram quoque talem essecen- 
suit. At difficultatibus implexum se cernens, inpraesentiarum suspensus 



ölbenfcurg an Seibni^. 129 

haeret. At in Cardani aequatione cubica triradicali reperit, sat multa 
exempla formari posse, in quibus Cardani regulae radicem aliquam re- 
cuperabunt; quin imo omnes tres radices ex iisdem regulis recupera- 
buntur sive invenientur, exiguo duntaxat labore accedente, viz. 

Exemplum: in hac aequatione x 3 ■ — 21 x = 20 Radices cubicae 
Binomiorum 

t i_ <2— 4- ^~^^ ) Muta signa partis rationalis, ut et partis 

r y- radicalis, multplicans eam per 3, et infe- 

""*" ^"2" T j rioris Quadraticae radices quaesitae sunt 

radix + 5 = x I x = _ 2| + V + 2± 

Adeo ut 7 si illae Cardani radices excolerentur (ex considerationibus 
in priori epistola indicatis) similesque aptarentur quibusvis duabus po- 
testatibus aliarum aequationum, insigne id augmentum foret Algebrae, 
eo quod Tabulae multum de labore minuunt. Quae hie ideo comme- 
morantur, ut Algebristae vestrates excitentur ad eandem rem ex simi- 
libus vel etiam melioribus fundamentis expendendam ; particulatim vero, 
ut vel fallacias harum probabilitatum detegant, vel eventurn desidera- 
tum attingant. 

Quinto subindicatum fuit in literis praegressis Tabulam Sinuum 
et Tangentium utilem futuram circa Aequationes; qua de re haec notio 
suecurrit : 

Si Polygonum aliquod inscribatur Circulo, et a quibusvis duobus plu- 
ribusve punetis in circumferentia, intra cujusvis lateris Polygoni ex- 
trema, lineae ducantur ad omnia Polygoni puneta angularia, lineae 
istae semper radices erunt ejusdem aequationis, Resolvendo duntaxat 
Variante, prout asserit Cl. Wallisius in Tractatu suo de Sectionibus an- 
gularibus, typis destinato. Atque ita in aequatione pro Trisectione An- 
guli, Sinus -tj- partis Arcus, ad quem pertinebat Resolvenduni , unam 
Tibi radicem suppeditat. Atque ex eadem Tabula Sinuum duae radices 
negativae sumi possunt, eo quod habitudines areuum ad se invicem sunt 
cognitae: Simile fleri potest pro aliis aequationibus ad Sinus speetantes. 
Tale quid cognitum esse asseritur viro cuidam docto nostrati quoad 
Tangentes et Secantes. Hinc omnes aequationes, derivativae a primis, 
Tabularum illarum ope solvuntur; quin et doctrina tradita valde hoc 
nomine extenditur. Suppone duas Quadraticas generatrices duetas in 
se invicem: unam earum serva tibi constantem, al terms vero radices 
gradatim augeantur additione, multiplieatione etc. rursumque aequatio 
constans atque hae aequationes posteriores invicem multiplicentur ; affir- 
matur ejusmodi Progressionum naturam probe esse cognitam; nee non 



130 DIbenBurg an SetBntg. 

simile fieri posse de data quavis aequatione Biquadratica, cujus incog- 
nitae sint radices; duas nempe ex radicibus illius posse augeri, mul- 
tiplicari etc. reliquis remanentibus fixis et con stantibus ; posseque illius 
adminiculo plurimas aequationes reduci ad Tabulas, quae secus per eas 
resolvi non poterant. Et forte, si Locus aequationis ita aptetur, ut 
omnes radices ejus sint in circumferentia circuli, cujus Radius est ße- 
solvendum (qui intelligi potest multas habere revolutiones), conferre id 
posset ad notionem illam excolendam, aequationes scilicet per Tabulas 
Sinuum etc. solvendi. 

Sexto , Vir quidam eruditus in Anglia scribit, tollere se posse 
omnes potestates Intermediatas in quavis aequatione arbitraria inter ter- 
minum supremum et penultimum, at non sine aequationis exaltatione, 
sine qua impossibile est tollere duos terminos in aequatione arbitraria; 
ac interdum unus aliquis terminorum non potest semper tolli, ex g. ter- 
minus secundus in Biquadraticis, quando quadratica aequatio, quae con- 
ficere id debebat, est impossibilis. 

Dn. Newtonus (ut hoc ex occasione litterarum suarum addam) be- 
neficio Logarithrnorum graduatorum in scalis TcaqaXXsXodQ locandis ad 
distantias aequales, vel Circulorum Concentricorum eo modo graduato- 
rum adminiculo, invenit aequationum radices. Tres regulae rem con- 
ficiunt pro Cubicis-, quatuor pro Biquadraticis: In harum dispositione 
respectivae coefficientes omnes jacent in eadem linea recta, a cujus 
puncto, tarn remoto a regula prima ac graduatae scalae sunt ab invicem ? 
linea recta iis super extenditur, una cum praescriptis consentaneis genio 
aequationis, qua in regularum una potestas pura datur radicis quaesitae. 
Lubentes equidem cognosceremus, num Tu, Vir Doctissime, et Newtonus 
noster in artificium idem incideritis. 

Sed tempus monet, ut ad finem properem. Hoc solummodo adjicere 
fas fuerit, existimare nos operae pretium, ut Tractatus Conicus, derivan- 
dus a Projectionibus Sphaerae, concinnetar ex libro Dni. Desargues, cui 
titulus Legons des Tenebres, nee non ex Reliquiis Pascalianis: 
Spesque nos fovet, Parisiis id confectum iri. Optamusque insuper, ut 
Paralipomena Fermati de Cocis planis, Solidis, Linearibus et ad Super- 
ficiem, de Porismatibus et Contactibus Sphaerarum, nee non Paralipomena 
Laloverae imprimantur. De Manuscriptis Dni Robervallii scire avemus, 
possimusne eorum consequi apographum, soluto pretio transcriptionis. 

Vale, et prolixitati meae ignosce. 

Dab. Londini d. 24. Junii 1675. 



SeiBnij an Dlbenbntg. 131 



XXXVII. 

£eibni3 an (Dlbenbuvg. 

9laü) einer $&fd)rift in ber (Sammlung x>. SJhtrr'S. 

Paris. 12 Jul. 1675.*) 

Literae tuae, multiplici seinper fruge refertae, non possunt non 
esse gratissimae. Facile crediderim problema solidum non posse reddi 
planum; id tarnen demonstrare, quaemadmodum Euclides demonstravit 
Incommensurabilitates, magni res momenti fuerit, nee video, quod a flexu 
curvae aequationi propriae ad eam rem duci possit. 

Ais Parium vestratem observasse, quod una ex Cardanicis sit 
radix aequationis Quadraticae. Hoe fateor non capio, et rogo explices. 

Malleus (quem vocatis) Cubicus, quo aequationes Quadrato- quadra- 
ticae resolvuntur, non est Cartesii inventum, ac ne Vietae quidem, sed 
jam repertum secolo superiore. Etiam extractio illa Eadicis Cubicae 
ex Cardanicis fit ut quantitas Imaginaria evanescat, et inveniatur radix 
rationalis Aequationis Cubicae regulas Cardani respuentis. Ejus exem- 
plum a Pario datum in literis tuis novissimis habetur: superioris jam 
seculi inventum est. Nimirum primus omnium Aequationem Quadrato- 
quadraticam ad Cubicam revocare doeuit Ludovicus Ferrariensis. Primus 
Eadices Rationales ex Binomiis Cardanicis , in speciem Imaginariis, ex- 
trahere doeuit Raphael Bombelli. 

Tollere terminos omnes intermedios ex Aequatione Arbitraria 
eujuseunque gradus, non video cur sit difficile. Nain cum sit Arbi- 
traria, potest reddi divisibilis. Si divisibilis reddi potest per Aequa- 
tionem Simplicem aut Quadraticam, reddi potest Pura. 

Per Tabulas Sinuum Logarithmicorum explicare Aequationes, res 
foret utilissima, si modo non sit opus tot praeparationibus, ut fruetus 
compendii pereat. 

Methodum Celeberrimi Newtoni, radices Aequationum inveniendi 
per Instrum en tum, credo differre a mea. Neque enim video in mea ? quid 
aut Logarithmi aut Circuli Concentrici conferant. Quoniam tarnen rem 
vobis non ingratam video/ conabor absolvere, ac tibi communicare, 
quamprimum otii satis erit. 



*) liefet 93rief ift gnerft in ben ä&erlen von SBaHtS (Tom. III) gebrutft. $>erfelbe 
fe&t tf)n „anno circiter ■ 1674 exeunte, vel ineunte 1675". %n ber 6ammlnng v. ^nrr'3 
ftnbet fidj eine Stöfdjrift, naä) melier ba% Original batixt ift: Paris. 12. Jul. 1675. 
$)ieä ledere Saturn ift richtig. 

9* 



132 ßetönts an Dlben&utg. 

Incidi nuper in methodum perelegantem, qua Superioribus Aequa* 
tionibus omnium graduum (ad certani tamen formam redactis) accom- 
modari possunt Radices Cardanicis similes Idque sine sublatione om- 
nium terminorum inter primum et penultimum mediorum ? imo nullo ter- 
mino sublato, modo certa sit inter terminos intermedios relatio. Id cum 
novam quandam lucem dare videatur huic negotio, vobis mox com- 
municabo. 

Scripsisti aliquoties, Vestrates omnium curvarum dimensiones per 
Appropinquationem dare. Velim nosse, an possint dare Geometrice 
Dimensionem Curvae Ellipseos vel Hyperbolae ex data Circuli aut 
Hyperbolae quadratura. 

Robervallius nunc sua quae MS. circumferebantur edit. Fragmen- 
torum Pascalianorum spem mihi facit Doctissimus Perrerius, Consiliarius 
Regius in Avemica subsidiorum curia, Autoris ex sorore nepos. Quid- 
quid ex illis comperero, vobis coinmunicabo.*) 

Scripseras alibi, Ccleberrimum Wallisium methodum habere, qua 
Radici datae accomodet Homogeneum Comparationis tale, ut Aequatione 
Cubica triradicali inde constructa, per ipsas Cardani Regulas correctas 
inveniri vicissim' possit haec radix. Quaero, an id pössit etiam tum 
cum Aequatio illa non est Plana Palliata, sed reapse Cubica triradi- 
calis, ita tarnen ut Radix ejus sit pro arbitrio sumta. Si methodus illa 
differt ab ea quam dixi, per quam extrahendo Radicem Cubicam ex sin- 
gulis Binomiis Cardanicis evanescit quantitas imaginaria, rogo ut eam 
primis literis communicetis. Ego interim et rnea de altioribus Aequati- 
onibus aliquando extrahendis parabo. 

Unum praeterea discere velim, quauam ratione per Logarithmos 
explicatis Aequationes, nonnisi summo atque imo gradu incognitae 
affectas. 

Desideraveram aliqaando ut indicares, de quo potissimum Vestra- 
tes circa Chronometrum meum dubitaverint. 

Xtcüaac 

ßetfoiij erhielt bie nacfjgelaffenen madjematifdjen Sftanufctipte Wtöcal'S, 
batunter bie tneläje in einem großen Sßetfe (opus completum) übet bie 
Äegelfdjnitte Jjanbelten, fcon beffen @r6cn in (Sktmont^gettanb in bet Slufcetgne 
jugefanbt. ©t Ijielt bie Rapiere langete Qtxt jurücf, unb untetttmtf fie in 
©emetnfdjaft mit XjdfjtrnljauS, bet im ©eptemfier 1675 nad§ Sßatig fam, einet 
genauen 25urc§ftd)t. ®a ben engtifdjen DWatljematifetn gattj 6efonbet£ batan 
gelegen tvax, ju feljeit, tote Sßa^cal bie ©ntftefjung bet $egelfdjmtte unb bie betrau» 

*) Stdje bie Beilage. 



Öet&ntj cm DIben&utg. 133 

fjetöotgefjenbe Söefjcmbtung berfetben aufgefaßt ^atte, fo lieft et öon ber etften 
©ectiott, tt>eld^e bie Generatio Coniseetionum enthielt, eine Sl6jd^tift nehmen, 
bie unter feinen 9Kcmufctipten nod) fcotfjanben ift. SBenige Sßodjen oot feinem 
Sßeggange öon 5ßati3 fanbte Seibnij bie ^aScalfcljen äKcmufctipte an ^erriet 
äUTücf, gugteid^ mit einem 93tiefe, in tneldjem et ftcfj übet ben $nf)alt betfelben 
auSffUjrlidj auSfptidjt unb namentlich ba£ Urteil abgiebt, ba$ fte btucffä()ig 
feien. 2)a feitbem biefe äWanufctipte tyaStaVi oetfdjoHen finb, fo bilben bet 
Seibni^ifd^e SBricf unb bie Slbfdjtift bet etften ©ection übet bie Generatio Coni- 
seetionum foftbate SDocumente übet bie Seiftungen SßaScaPS at3 Sttatlje* 
matifet.*) 

Ma lettre ä Mons. Perrier Conseiller du Roy ä la Cour 
des aides de Clermont-ferrand. 

Monsieur 

Vous m'avez oblige sensiblement en me communiquant les Ms. 
qui restent de feu Mons. Pascal touchant les Coniques. Car outre 
les marques de' vostre bienveillance , que j'estime beaueoup , vous me 
donnez moyen de profiter par la lecture des meditations d'un des 
meilleurs esprits du siecle. Je souhaiterois pourtant de les avoir pu 
lire avec un peu plus d'application, mais le grand nombre des distrac- 
tions qui ne me laissent pas disposer entierement de mon temps ne 
Tont pas permis. Neantmoins je croy les avoir lues assez pour pouvoir 
satisfaire ä vostre demande, et pour vous dire ? que je les tiens assez 
entieres et finies, pour pouvoir paroistre ä la veue du public. Et ä fin 
que vous puissiez juger si je parle avec fondement, je veux vous faire 
un recit des pieces dont elles sont composees ? et de la maniere que je 
croy qu'on les peut ranger. 

I. Je croy qu'il faut commencer par la piece dont Tinscription 
est: Generatio Coni sectionum, tangentium et secantium, 
seu projeetio peripheri ae ? tangentium et secantium circuli 
in quibuseunque oculi, plani ac tabellae positionibus. Car 
c'est le fondement de tout le reste; les figures y sont inserees. 

II. Apres avoir explique la generation des sections du Cone, faite 
optiquement par la projeetion d'un cercle sur un plan qui coupe le 
cone des rayons, il explique les proprietez remarquables d'une certaine 
figure composee de six lignes droites, qu'il appelle Hexagramme Mysti- 
que, et il fait voir par le moyen des projeetions que tout Hexagramme 



*) SScrgl. meine 2lBf)anbIung: £>e§argue3 unb 9fia%cal übet bie tegeZfcfjnttte, tn 
ben <Stfc.ungg&ertc&iett ber tönigl. ^fetbemte ber SBiffenf haften ju Berlin 1892. 



134 ßetbntä an ötbenburg,. 

Mystique convient ä une section conique, et que toute la section conique 
donne un Hexagramme Mystique. J'ay mis au devant ces mots: de 
Hexagramm o mystico et conico. Une partie de cette piece se 
trouve repetee et inseree mot a mot dans une autre, sgavoir les defi- 
nitions (avec leur corollaires) et les propositions (mais sans les demon- 
strations) se trouvent repetees dans le traite de loco solido dont je 
parleray ey dessous. Je croy meme que les figures du traite de loco 
solido suppleeront au defaut de quelques unes qui manquent dans 
celuy cy: de Hexagrammo. 

Le III me traite doit estre ä mon avis celuy qui porte cette inserip- 
tion: De quatuor tangentibus et rectis puncta tactuum tangen- 
tibus, unde rectarum harmonice sectarum et diametrorum 
Proprietät es oriuntur. Car c'est lä dedans que Fusage de F Hexa- 
gramme paroist, et que les proprietez des Centres et des diametres des 
sections Coniques sont expliquees. Je croy qu'il n'y manque rien. 

Le IV me traite est de proportionibus segmentorum, secantium 
et tangentium. Car les proprietez fondamentales de sections Coni- 
ques, qui dependent de la connaissance du Centre et des diametres 
estant expliquees dans le traite precedent, il falloit donner quelques 
belies proprietez universellemont conceues, touchant les proportions des 
droites menees ä la section Conique, et c'est de lä que depend tout 
ce qu'on peut dire des ordonnees. Les figures y sont aussi, et je ne 
voy rien qui manque. J'ay mis apres ce traite une feuille qui porte 
pour titre ces mots: de correspondentibus diametrorum, et dont 
la 3 me page traite de summa et differentia laterum seu de focis. 

Le V me traite est de Tactionibus Conieis, c'est ä dire (a 
fin que le titre ne trompe pas) de punctis et rectis quas sectio 
Conica attingit, mais je n'en trouve pas toutes les figures. 

Le VI me traite sera de Loco Solido. J'y ay mis ce titre, parce 
qu'il n'y en a point. C'est sur le meme sujet que Messieurs des Cartes 
et Fermat ont travaille, quand ils ont donn6 la composition du lieu 
solide, chacun ä sa mode, Pappus leur en ayant donne l'occasion. C'est 
lä le fruit de la doctrine des sections Coniques ? car les lieux solides 
servent ä la resolution des problemes solides. Or je croy que Mons. 
Pascal a voulu donner ce traite ä part, ou le communiquer au moins 
ä ces amis, parcequ'il y repete beaucoup des choses du deuxieme 
traite mot ä mot ? et assez au long. C'est pour quoy il commence par 
cecy: definitiones excerptae ex Conicis, scavoir du 2 traite 
susdit oü il explique ce qu'il entend par ces mots: Hexagrammum 
Conicum, Mysticum etc. On peut juger par lä que les I. IL III. 
IV et peutestre V. traites devoient faire proprement les Coniques, et ce 



2eUmi$ an DlbenBurg. 135 

mot se trouve aussi au dos du premier traite. Les grandes figures co- 
lorees appartierment ä ce VI me traite. 

J'ay mis ensemble quelques fragments. II y a un papier imprime 
dont le titre est Essay des Coniques, et comme il s'y trouve deux fois 
tout de meme, j'espere que vous permettrez, Monsieur, que j'en retienne 
un. II y a un fragment de restitutione Coni, scavoir les diametres 
et parametres estant donnes, retrouver les sections coniques; ce discours 
paroist entier, et a ses figures. II y a un autre fragment, oii se trou- 
vent ces mots au devant: magnum problema, et je eroy que c'est 
celuy cy qui est compris: dato puncto in sublim i et solid o co- 
nico ex eo descripto solidum ita secare, ut exhibeat sectio- 
nem Conicam dätae similem. Mais cela n'est pas mis au net. II 
y a quelques problemes sur une autre feuille qui sont contez, mais il 
en manque le premier. Ori en tirera ce qu'on pourra, en forme d'ap- 
pendix, mais le corps de l'ouvrage compose des VI* traitez est assez 
net et acheve. 

Je conclus que cet ouvrage est en estat d'estre imprime, et il ne 
faut pas demander s'il le merite : je croy meme qu'il est bon de ne 
pas tarder davantage , parceque je voy paroistre des traitez qui ont 
quelque rapport a ce qui est dit'dans celuy cy. C'est pourquoy je croy 
qu il est bon de le donner au plustost, avant qu'il perde la grace de la 
nouveaute. 

J'en &y parle plus amplement ä Messieurs vos freres, dont je 
vous dois la connaissance et que j'ay prie de nie conserver l'honneur 
de vostre bienveillance. J'avois esper e de vous revoir un jour icy, 
mais je voy que vos affaires ne Tont pas encor permis, et j'ay peu 
d'esperance de passer par Clermont. Je souhaiterois de Vous pouvoir 
donner des marques plus convainquantes de l'estime que j'ay pour Vous 
et de la passion que j'ay pour tout ce qui regarde feu Mons. Pascal. 
Mais je vous supplie de vous contenter cependant de celles cy. Je suis 
Monsieur, vostre tres humble etc.*). 



Greneratio Conisectioiium. 

D efinitiones. 
Si a puncto, extra planum circuli sumpto, ad punctum in peri- 
pheria sumptum ducta recta linea utrimque infinita circa peripheriam 



*) $>ct§ unter ben SeiBnij'f^en papieren tJorfjcmbene Original fjat rt>eber Drt ttotf) 
Saturn. Sn ber gebrucfieu SXuSgaBc finbet fiel) ba§ Saturn: A Paris, le 30 Aoüt 1676. 



136 Öetbni^ an DIbenburg. 

feratur, manenfce puncto illo immobili, superficies quam in sua circum- 
volutione describit infinita haec recta, dicetur superficies conica; 
spatiurn infiniturn intra superficiem conicara comprehensum vocabitur 
conus; circulus vero dicetur basis coni; punctum immobile vertex; pars 
superficiei quae a vertice versus basim in infiniturn ad alteras partes 
protenditur, dicetur semi superficies conica; recta illa modo assumpta, 
in quocunque circumvolutionis suae situ constituta, verticalis dicetur. 

Corollarium 1. 
Hinc patet, si a puncto verticis ad quodlibet punctum in peripheria 
vel in superficie conica ubicumque sumptum ducatur recta linea infinita, 
totam hanc rectam infinitam esse in superficie conica, seu verticali. 

Corollarium 2. 
Si sumantur in superficie conica duo puncta , quae recta linea 
jungantur, et ipsa in infiniturn producta ad verticem perveniat, tota haec 
superficiei conicae incumbit, seu verticalis erit; si vero ad verticem 
non perveniat, nullum erit punctum in recta praeter duo assumpta, quod 
sit in superficie conica; tota vero linea erit partim intra partim extra. 

Corollarium 3. 
Hinc patet 3 verticales non existere in eodem piano, eo quod tria 
puncta in peripheria circuli sumpta non possunt esse in eadem recta. 

Corollarium 4. 
Igitur planum infiniturn ubicumque positum necessario occurret 
superficiei conicae ubicumque positae, quia ex tribus quibuscumque 
verticalibus una necessario occurret et huic piano ; hie autem coneursus 
dicetur Sectio coni, seu uno verbo conisectio. 

Scholium. 
Occurrere autem sex modis possunt planum et superficies conica, 
vel enim planum occurret conicae superficiei in solo verticis puncto, 
tunc conisectio est punctum; vel planum per verticem transiens tangit 

superficiem conicam *) unam ex verticalibus, talis conisectio 

est recta linea; vel per verticem transiens dividit totam superficiem in 
duas partes aequales, talis conisectio est ang. rectilineus; vel per ver- 
ticem non transiens, nulli ex verticalibus parallelum est, talis conisectio 
est Antobola, eo quod in se ipsam redit; vel rursus per verticem non 
transiens, uni tantum e verticalibus parallelum est, talis conisectio di- 



Sütfe be§ aJltmuffctptS. 



Seibntj an DIbenbutg. 137 

cetur Parabola; vel adhuc non transiens per verticem duabus e vertica- 
libus parallelum est, et dicetur sectio haec hyperbola. Sunt ergo sex 
conisectionum species : Punctum, Recta linea, Ang. rectilineus, Antobola, 
Parabola, hyperbola. 

Definitio 2. 
Recta ad punctum tendere dicitur, quae ad illud, si opus est pro- 
ducta pervenit, et recta ad punctum in alia recta ad distantiam infini- 
tam datum, duci seu tendere dicitur qua ipsi parallela est. 

Definitio 3. 
Duae Rectae aut plures quomodocumque sint positae, dicuntur 
semper concurrere, et quidem ad distantiam vel finitam, si se in eodem 
puncto intersecent, vel infinitam, si sunt parallelae. 

Definitio 4. 
Recta infinita in piano conisectionis ducta, quae conisectionem 
secat in uno tantum puncto, dicitur monosecans. 

Definitio 5. 
Recta infinita in piano conisectionis ducta, quae ipsam conisectio- 
nem non nisi ad distantiam infinitam attingit, et quibusdam Monosecan- 
tibus parallela est, dicitur asymptotos. 

Definitio 6. 
Recta infinita in piano Circuli ducta, quae ipsius peripheriam tan- 
git vel secat, dicitur ad Circulum. 

Cor ollarium. 
Hinc patet, quod si oculus sit in vertice coni, sitque objectum pe- Coroii. de 
ripheria circuli qui est coni basis, et tabella sit planum utrimque oc- pU nctorum 
currens superficiei conicae, tunc conisectio quae ab ipso piano in super- periphere, 
ficie conica producetur, sive sit punctum sive sit Recta, sive Angulus, 
sive Antobola, sive Parabola, sive hyperbola, erit apparentia ipsius 
Peripheriae circuli. 

Cor ollarium. 
Iisdem positis, si planum tabellae non per verticem transiens nulli 
e verticalibus seu nulli radio sit parallelum, atque ideo efficiat antobo- 
lam, manifestum est, omnia puncta peripheriae projicere suas appa- 
rentias in planum tabellae conisectionis ad distantiam finitam. 



138 Setä'nta an DIbenBurg. 

Scholium. 

Inde fit, ut Antobola in se ipsam redeat et spatium finitum coin- 
plectatur. 

Corollarium. 
Iisdem positis, si planum tabellae uni tantum e verticalibus sen 
uni e radiis sit parallelum, ideoque efficiat parabolam, manifestum est, 
omnia puncta peripheriae Circuli projicere suas apparentias in planum 
conisectionis ad distantiam finitam, dempto uno puncto quod non apparet 
nisi ad distantiam infinitam. 

Scholium. 
Inde fit,- ut Parabola in infinitum extensa infinitum spatium susci- 
piat, quamvis sit apparentia peripheiiae circuli quae finita est, et spatium 
finitum complectatur. 

Corollarium. 
Iisdem positis , si planum tabellae duabus e verticalibus paralle- 
lum sit, adeoque efficiat hyperbolaru, manifestum est, omnia puncta ejus 
peripheriae suas apparentias projicere in piano visionis tanquam tabella 
ad distantiam finitam, demptis duobus punctis quorum apparentia propter 
parallelismum non nisi ad distantiam infinitam reperientur, ideoque vo- 
cabuntur puncta non apparentia circuli, et respectu hyperbolae puncta 
deficientia. 

Scholium 1. 
Inde fit ut hyperbola sit in infinitum extensa et duabus constet par- 
tibus, quarum quaelibet infinitum spatium suscipit; una ex semihyper- 
bolis est apparentia partis unius Peripheriae, altera alterius. Sic sin- 
gula puncta peripheriae dant suas apparentias in alterutra semihyper- 
bolarum, demptis duobus pnnctis quae in neutra semihyperbola reperi- 
untur nisi ad distantiam infinitam. 

Scholium 2. 
Ex tribus praecedentibus corollariis patet, duo esse puncta de- 
ficientia in hyperbola, unicum in Parabola, nullum in Antobola. 

Corollarium. 
rentüs se- Iisdem positis, si planum secans superficiem conicam, Antobolam 

cantium. efficiat, omnes rectae quae circuli peripheriam secant, projicient in 
planum conisectionis apparentias suas, quae quidem secabunt Antobolam 
in duobus punctis. 



SeiBnig an DIbeuBurg. 139 

C orollarium. 
Si planum superficiem conicam secans, omnes rectae quae circuli 
peripheriam secant, projicient suas apparentias in planum conisectionis ; 
quod si recta secans peripheriam ad punctum quod apparentia caret, non 
pertineat, ipsius apparentia in piano tabellae seeabit parabolam in duobus 
punctis; si vero recta ipsa peripheriam secans ad ipsum punctum ap- 
parentia carens pertineat, ipsius rectae apparentia erit parallela radio 
et Parabolam in uno tantum puncto seeabit. 

C orollarium. 
Si planum conicam superficiem secans efficiat hyperbolam, omnis 
recta quae circuli peripheriam secat et ad neutrum punetorum apparen- 
tia carentium pertineat, projicit in planum conisectionis apparentiam 
suam, quae secat conisectionem in duobus punctis; si vero recta ipsa 
ad alterutrum punetorum apparentia carentium pertineat, ipsius appa- 
rentia seeabit hyperbolam, et in uno tantum puncto seeabit triangulum; 
denique ipsa recta jungat ambo puneta quae carent apparentia, ipsius 
rectae apparentia in piano conisectionis non erit nisi ad distantiam 
iufinitam. 

Corollarium. 
Iisdem adhuc positis quae supra, si planum tabellae efficiat de appa " 

x ..... . . rentnstan- 

Antobolam, omnes tangentes peripheriam projicient suas apparentias in gentium, 
planum tabellae tangentes Antobolam in puncto ad distantiam finitam. 

Corollarium. 
Si planum tabellae efficiat parabolam, omnes tangentes peripheriam, 
una tantum dempta quae ad punctum non apparens pertinet, projicient 
suas apparentias in planum tabellae, quae quidem tangent parabolam 
in puncto ad distantiam finitam, quod erit puneti contactus in peripheria 
apparentia. 

Scholium. 
Est ergo in parabola recta deficiens, quae quidem vice fungitur 
tangentis, cum tangentis sit apparentia. 

Corollarium. 
Si planum tabellae efficiat hyperbolam, omnes tangentes periphe- 
riam projicient suas apparentias in planum tabellae, etiamsi ad puneta 
non apparentia. pertineant, et quidem si ipsae tangentes peripheriam ad 
puneta non apparentia non pertineant, ipsarum apparentiae tangent hyper- 



140 



DlbenBurg cm ßeiBntg. 



bolam in puncto ad distantiani finitam; si vero ducantur tangentes ad 
puncta non apparentia, ipsarum apparentiae non nisi ad distantiam in- 
finitam hyperbolam attingent, et parallelae erunt alterutri radiorum. 

Scholiuml. 
Colligendum hinc, asymptotos censeri et sumi pro tangentibus ad 
distantiam infinitam. 

Scholium 2. 
Colligitur quoque ex praecedentibus, in parabola esse unam seriem 
rectarum inter se parallelarum, secantium parabolam in uno tantum 
puncto. 

S cholium 3. 
Colligitur quoque, in hyperbola esse duas series rectarum inter se 
parallelarum ? quarum in utraque una recta est, quae non nisi ad di- 
stantiam infinitam hyperbolam attingit, seu quae est asymptotos. De- 
nique patet, Parabolam tenere medium inter Antobolam et hyperbolam 
nam 

Parabola 
una est parallela, unum 
est punctum deficiens. 



in Antobola 
verticalis parallela ne 
quideni una, punctum 
deficiens ne quidem 
unum. 

Constat finita linea 
una, comprehendit spa- 
tium finitum unum, se- 
ries parallelarum nulla. 



Una linea infinita, 
unum spatium infini- 
tum, una series mo- 
no secantium 



hyperbola 

duae verticales sunt 
parallelae, 

duo sunt puncta de- 
ficientia, 

constat duabus lineis 
infinitis, 

spatia duo infinita, 
duae sunt series mono- 
secantium. 



XXXVIII. 

(Dlbenburg an- €ribnt3. 

9latf) einer ^IBfcfyrift in ber (Sammlung n. äJhttr'3. 

Scriptum quoddam lingua Belgica concinnatnm Belga quidam Ge- 
orgius Moor vocatus, Algebrae et Mechanices probe peritus, et Parisios 
nuper profectus apud Collinium nostrum reliquit, cujus Apographum 



Olbenbuxg an SeiBnig. 141 

hie insertum Tibi communicare libuit, eam quidem ob causam, quod 
dictus Moor, Collinio teste, affirmaverit, scriptum hoc bene intellectuni 
Cardani regulas, ubi illae deficiunt, perficere, et ejusmodi Aequationum 
radices, quae per surdos exprimuntur, quando sc. non mentiuntur qua- 
draticas, supplere. Adjectam ibi quoque reperies illani Wallisii episto- 
lam , quae eam continet methodum , de qua ultimae tuae litterae lo- 
quebantur. 

Caeterum, quae de Darii nostri observato non capere te ais 7 ea 
brevi se elueidaturum, Collinio affirmante, pollicetur. Extractionem 
illam Radicis Cubicae ex binomiis Cardanicis (qua fit, ut quantitas ima- 
ginaria evanescat inveniaturque radix rationalis Aequationis Cubicae, 
regulas Cardani respuentis) superioris jam seculi inventum esse ; ad 
haec ? Ludovicum Ferrariensem primum omnium revocare doeuisse 
Aequationem quadrato-quadraticam ad Cubicam; Raphaelem Borelli*) in- 
super primum extrahere doeuisse radices rationales ex binomiis Carda- 
nicis in speciem imaginariis: nostrates, quibus seil, ea ostendi, non 
diffitentur. 

Difficile Tibi non videri ais , tollere terminos omnes intermedios 
ex aequatione arbitraria eujuseunque gradus, idque propterea, quod 
Arbitraria cum sit, reddi possit divisibilis. Hanc in rem scire te cupit 
Collinius, per arbitrariam Dnum. Gregorium intelligere aequationem 
quameunque, non talem ? quam quis ad libitum suum peculiariter ele- 
gerit. Praeterea, quoad Aequationes in genere ? binam pro solertia sua 
Gregorius noster methodum nactus est. Earum una omnes radices, dum- 
modo possibiles ? exprimit per surdos , Canone seil., qui reperit unam 
radicem ? reliquis omnibus reperiendis, sola signorum quantitatibus Ulis 
additorum variatione ? inserviente: altera vero priorem perficit ? dum omnia 
signa radicalia tollit, ad superiores purarum potestatum dimensiones 
ascendendo. Canonum illorum per quam taediosa erit calculatio : Interim 
si quem invenire possimus, qui laborem illum subire et devorare tae- 
dium non renuat ? communicaturum se Gregorius pollicetur methodum 
illam demonstratione comitatam. 

Quod Aequationum per sinuum et logarithmorum Tabulas expli- 
cationem speetat, Pellius noster, ut audio, se id praestiturum pollicitus 
est Ut datam fidem liberet, quam maxime optamus. 

Q.uando Methodum tuam absolveris, radices aequationum per in- 
strumentum inveniendi ? si eam mihi communicare tunc temporis volueris, 
rem p ergrat am praestabis. 

Dicis ineidisse Te nuper in elegantem methodum, qua superiori- 



*) 3}ht^ offenbar Bombelli ^eifeen. 



142 DIbenBurg an Sei&tti$. 

bus aequationibus omnium graduum (ad certam tarnen formam redactis) 
accommodari radices Cardanicis similes possint, idque sine sublatione 
omnium terminorum inter primum et penultimum mediorum, imo nullo 
termino sublato, modo certa sit inter terminos intermedios relatio. Hoc 
quod attinet, putat Collinius, affine id quodam modo esse Gregorii et 
Tschirnhausii (qui nuper Parisios hine abiit, et Te sine dubio jam 
salutavit) methodo generali. Utrumque quippe hunc in eandem circa 
hoc methodum incidisse existimat speratque Collinius. 

Scire cupis, an dare Nostrates Geometrice possint dimensionem 
Curvae Ellipseos aut Hyperbolae ex data Circuli aut Hyperbolae 
quadratura. Respondet Collinius , illos id praestare non posse Geo- 
metrica praecisione, sed dare eos posse ejusmodi approximationes, 
quae quacunque quantitate data minus a scopo aberrabunt. Et spe- 
ciatim quod attinet alicujus arcus Circuli rectificationem, impertiri Tibi 
poterit laudatus Tscliirnhausius methodum a Gregorio nostro inventam, 
quam, cum ille apud nos esset, Collinius ipsi communieavit. 

Num Experientia ipsa omnes circa Chronometrum tuum dubitationes 
solverit, scire pervelim. Hookii nostri Chronometrum a Rege nostro 
hactenus valde laudatur; nee dubito quin horologium Hugenii, quod 
indies ab ipso exspecto, pari sit passu ambulaturum. 

Denique, ut pauca adjiciam de iis, quae apud nos nunc agitantur, 
paueos intra dies videbitis Malpighii de Plantarum Anatome Tractatum 
curiosissimum pereleganter hie editum, cujus Exemplar ad Justellum 
meum perferendum Dominico Italo tradidi, quod ille reliquisj meis amicis 
Parisiensibus pro humanitate sua lubenter ostendet. Illustrissimus 
Boylius, qui plurimum tibi salutem dicit ? suas de Qualitatum sensibilium 
origine mechanica Diatribas ? qua potest diligentia, typis mandari nunc 
curat. Accedit iis Grevii nostri de Argumento Malpighiano libellus, 
nee non Evelini nostri de Agricultura dissertatio, in Soc. Regiae con- 
sessu publico habita, ut et Willisii Pharmaceutices pars secunda ? insig- 
nissimiSj ni fallor ? observationibus et iconismis Anatomicis locupletata. 
Hisce vale ? et me Tuum ex asse crede. 

Dab. Londini d. 30. Septembr. 1675. 



Dlbenburg an 2eibni§. — Seift nij an Dlbenfcurg. 143 



XXXIX. 

(DlbmbuvQ an ieibni$. 

yiaü) bem Original in ber Röntgt. SSiMiotfjef $u §annot)er. 

Hae lineolae hoc tantum vohmt, ut inquiram, nura epistola mea 
30. Sept. novissimi ad te data, reddita tibi fuerit, cui et Gteorgii Mori 
Belgae scriptum aliquod Algebraicum, et Wallisii nostri epistolani a Te 
desideratain inseruerain. De redditione mearuni addubito, cum nihil ex 
eo tempore litterarum a Te acceperim. Miror quoque, Dn. Tschirnhau- 
sium, nobilem Lusatum, quem Tibi comrnendaveram, adeo penitus silere, 
ut, num vivos inter an mortuos degat, ignoremus. Si vivit et valet, pro- 
missi sui plane est immemor. Vale ? vir clarissime, et nie Tui cultorem 
porro ama. 

Dabam Londini d. 20. Decembris 1675. 



XL. 

€ctbnt3 an (Dlbenbuvg. 

9laä) einer OTfdjrift in ber (Sammlung v. ^urr'3. 

Duarum tibi Literarum debitor, rogo ne sequius interpreteris silen- 
tium meum. Soleo enim interrumpi nonnunquam, et haec studia per 
intervalla tractare. 

Quod Tschirnhausium ad nos misisti , fecisti pro amico : multum 
enim ejus consuetudine delector, et ingenium agnosco in Juvene prae- 
clarum, et magna promittens Inventa mihi ostendit non pauca, Analytica 
et geometrica, sane perelegantia. Unde facile judico, quid ab eo ex- 
pectari possit. 

Jam diu est quod petiit, ut tibi scribens rogarem pro ipso veniam 
silentii: adderemque ejus nomine diligentiam ipsi in quaerendis Rober- 
vallianis, Pascalianis et Fermatianis non defuisse; defuisse ex parte 
successum. 



144 SeiBnig an DIbcrtButg. 

Elementa Robervalliana a me ipsi impetrata sunt Manuscripta. 
Legit, sed mihi assentit, qui tanti esse non puto ut debeant excudi. Sed 
nescio annon mors Autoris operam sufflaminavit. Jactura certe fuerit 
non magna. Alia longe utiliora puto exstare ejus Manuscripta, quae ab 
ipso legata sunt Aeademiae Scientiarum Eegiae. Et executores ab eo 
nominati Blondellus, Picardus, Brotius. 

Professionem Kobervallii Regiam (quae et ipsa ejus morte vacat) 
obtinuit idem Picardus. Nescio an tibi notum sit institutum. Petrus 
Ramus hanc fundavit Cathedram, et pecunia apud Urbanum Magistratum 
(ä, la maison de ville) deposita, Testamento cavit, ut dignissimo peten- 
tium conferretur, liceretque, velut praemio proposito, certare. Judices 
instituit Principem Senatus, Advocatum Regium, Praefectum rei Merca- 
toriae (cujus munus Consulari simile est) et nescio quos alios. Itaque 
schedis tota urbe affixis publicatum est, proximo mense Martio adjudi- 
catum iri hoc munus merenti. Addidit Ramus, ne diligentia Professoris, 
semel recepti, frigesceret, quovis triennio cuivis cum eo certandi pote- 
statem fore. Quod institutum mihi non illepidum videtur, ipsumque 
spectaculum hujus ingeniorum certaminis erit credo non injucundum. 
Haec de Robervallianis. 

Pascalianorum quorundam Manuscriptorum facta mihi spes est. 

Frenicli Triangulum Rectangulum Numeri cum prelo paratur, cura 
Mariotti, qui non paucas proprias Observation es adjiciet. 

Elementa Mathematica Johannis Prestet (qui apud Malebranchium 
agit egitve) prodiere tandem, magno satis volumine in 4 t0 . Intus vero 
nonnisi Arithmeticam et Algebram reperies. Probo Arithmeticam per 
literas expositam ; id enim poterit Arithmeticis reddere Symbolicam 
familiariorem. Probo etiam Casus Aequationum Quadrato-quadraticarum 
particulares ? secundum Cartesii Regulam ab eo calculatos. Caetera 
omnia pervulgata, et eorum quae vos expectastis nihil. Praeterea nullum 
Problema difficile solutum videbis. At quod miror ? ne exemplum quidem 
Geometricum ullum allatum. Ita non est quod putes quicquam Vestra- 
tibus praereptum, Pellioque et Newtono et Gregorio integra manebunt, 
quae de Resolutione Aequationum per sinus aut Logarithmos, aut Series 
numerorum Infinitas pollicentur, quae aliquando videre valde velim. 

Illustrissimo Boylio rogo me commendes ? quandocunque occasio 
dabitur. Virum in tantum aestimo ? in quantum virtus et doctrina in 
homine possunt. Legi nuper Diatribam ejus de Studio Theologico non 
contemnendo, quae me irrire afFecit et in illa voluntate confirmavit, quae 
mihi, ut nostij jam dudum fuit, Scientiam de Mente tractandi per Greo- 
metricas Demonstrationes. Multa in hoc genere mira a me sunt obser- 
vata, quae aliquando, quo par est rigore, exposita dabo. 



SetBntg an DIberröurg. 145 

Cartesianis quibusdam in hoc argumento non acquiesco. Multa 
inaedificantur Ideis, quae mihi Sophismatis suspecta sunt. Sed et in 
Corpore necessarium aliud quiddam ab Exten sione. Quare Discrimen 
Mentis a Materia nondum patet ex Discrimine Cogitationis et Extensionis. 
Aliud nobis dedit principiuin Natura rerum ? ex quo patet Perennitas 
Mentis directa Demonstratione. Quaecunque a Scholasticis, a Valeriano 
Magno, a Cartesio, aliisque ex Entis illius notione ducuntur, cujus 
Essentia est Existere, ea tamdiu vacillant, quam diu non constat an 
Tale Ens possibile sit, si intelligi possit. Pronunciare talia, facile est; 
intelligere, non aeque. Posito, tale Ens esse possibile , sive aliquam 
esse Ideam respondentem his Vocabulis, utique sequitur, Existere tale 
Ens. Multa videmur nobis Cogitare (confuse scilicet) quae tarnen impli- 
eant: exempli gratia, Numerus omnium numerorum. Valde suspectum 
esse debet nobis Notio Infiniti, et Miniini, et Maximi, et Perfectissinri, 
et ipsius Omnitatis. Neque fidendum his notionibus, antequarn ad illud 
Criterion exigantur, quod mihi agnoscere videor, et quod velut Mechanica 
ratione fixam et visibilem et (ut ita dicam) irresistibilem reddit veri- 
tatem. Quäle nobis inexplicabili beneficio tributum est a Natura. 

Haec Algebra ? quam tanti facimus merito ? generalis illius artificii 
non nisi pars est. Id tarnen praestat, Errare ne possumus quidem si 
velimus. Et, ut Veritas quasi picta, velut Machinae ope in charta ex- 
pressa, deprehendafur. Ego vero agnosco, quidquid in genere probet 
Algebra, non nisi superioris scientiae beneficium esse ? quam nur c Com- 
binatoriam Characteristicam appellare soleo, longe diversam ab illa ? quae ? 
auditis his vocabulis , statim alicui in mentem venire posset. Hujus 
mirabilem vim ac potestatem praeceptis aliquando et speciminibus me 
explicaturum spero, si sanitas atque otium fuerit. Non possum paucis 
verbis rei naturam complecti. Illud tarnen dicere ausim, Nihil facile 
ad humanae mentis perfectionem efficacius concipi posse ? ac ? recepta 
hac philo sophandi ratione , fore tempus 7 et mox fore ? quo de Deo ac 
Mente non minus certa ? quam de Figuris Numerisque habeamus ? et quo 
Machinarum Inventio non difficilior, quam Constructio Problematum 
Geometricorum : exhaustisque his studiis (nisi quod semper Infinitorum 
Theorematum elegantissimae supererunt harmoniae, indies observandae 
tunc magis quam eruendae) ad solam homines redibunt naturae inda- 
gationem ? quae nunquam in potestate futura est. Nam in Experimentis ? 
Ingenii et Industriae Fortuna miscetur. 

Boyliano itaque more semper philosophabuntur homines , nostrum 
aliquando ad finem perducent, nisi quatenus ipsa quoque Natura rerum, 
in quantum cognita est, calculis subjici potest, et novis detectis et ad 
Mechanismum redactis qualitatibus, novam applicandi materiam Geometris 

10 



146 ÖeiBnig an DIbenBurg. 

dabit. Sed impetus scribendi effert me longius quam constituerani, facit- 
que ut non satis cohaerentia dicam. 

Superest ut ad tuarum literarum Algebraica respondeam. Plurimum 
tibi debeo doctissimoque Collinio, quod conrmunicare mihi voluistis non 
pauca nee contemnenda, qualia Epistola Wallisii continet, et quae ei 
adjunxistis. 

Sed (ut tibi dicam quod res est) in illa (nescio cujus) de Regulis 
Cardani Diatriba non invenio, quin Regulam Cardani ille longe alias 
quam nos sumit. Cartesius aliique per Regulam Cardani intelligunt 
Methodum qua ille expressit quasdam Radices cubicas per Irrationales. 
Autor Diatribae intelligit per Regulam Methodum qua ille ex illis Bino- 
miis Irrationalibus denique Rationales Radices extrahit. 

Id vero Cardanus facit quibusdam tentamentis adhibitis, qualia 
plurima dari possunt, et mihi quoque non ignota sunt. Ergo nee 
Autor Diatribae aliud quam ejusmodi determinationes loquitur quibus 
Radices facilius determinantur. Ego vero has determinationes non 
curo, quoniam Schotenius (vel quisquis est Autor Regulae circa Binomia 
a Schotenio adjeetae) regulam dedit perfeetam, et nulli tentamento 
obnoxiam, in numeris extrahendis. Binomiorum Cubicorum Radices 
tunc absunt imaginariae. Sed cum adhuc adsunt imaginariae (ut 
j/zrf), cessat Regula Schoteniana, ut facile per ejus rationem insti- 
tuti patebit. Fateor eas Regulas quae per Tentamenta et Determi- 
nationes procedunt, facile posse extendi ad Imaginarias continentia. Sed 
qui Regulam tentamentis car entern, qualis Schotenii est, etiam imagina- 
riis commune dederit, mihi notus non est. Eam vero jamdudum est 
quod mihi videor reeepisse, quam aliquando distinete expositam vobis 
communicabo. Adjiciamque alia, ut opinor, curiosa de Imaginariis in 
speciem traetandis et dignoscendis, Geometrice pariter Analyticeque. Mittam 
et viam meam perveniendi ad Radices Irrationales altiorum gradnum, cujus 
perelegans habeo speeimen. Sed, quominus perficiam, deterret calculns, 
praesertim cum alii in ea re feliciter laborent: sufficiat aditum aperuisse. 

Habebis et a me Instrumentum Aequationes omnes Geometrice 
construendi unicum; et meam Quadraturarn Circuli ejusque partium per 
seriem Numerorum Rationalium infinitam, de qua aliquoties scripsi, et 
quam jam plusquam biennio abhinc geometris hie communieavi. 

Sed et ad aliud Problema Geometricum, hactenus pene desperatum, 
nuper aditum reperi felicem. De quo pluribus loquar, ubi otium erit 
absolvendi.*) 

*) @§ ift rooljl sroeifeltoS, bafc SeiBnis an biefer ©teile auf bie SDtanufcripte f)in= 
raeift, in melden er guerft ben $IgoritIjmu§ ber fjö'Ijeren 21nalt)fi§ gur 2lntt)enbung Bradjie. 
@te folgen in ber Beilage. 



SetBntg an DlbenBuxg. 147 

Haec vero omnia ubi ita in ordinem redegero ut ruitti possint, sin- 
gulatim tibi spondeo. Ex quibus agnoscetis, credo, non tantum soluta 
a me Probleinata, sed et nova methodo (hoc enim ego unice aestimo) 
detecta esse. 

Nunc vero in eo sum, ut iter suscipiam aliquot septinianaruni. 
Nani ante exitum Januarii rursus Parisiis ero. Quare non est ut 
rescribas, donec per secundas literas reditus te inei admonuero. Vale 
et fave etc. 

Paris. 28 Decernb. 1675. 



A. 

Analysis Tetragonistica ex Centrobaryeis.*) 

25 Oktober 1675. 

Sit curva quaelibet AEC referenda ad angu- . 
lum rectum BAD, sit Aß n DG n x ; et ultima 
x n b, et BC n AD n y, et ultima y n c. Pa- 

(l) b 2 c ^2 

. orl tt l\l o m tti t\ _ 




tet omn. y x ad x n — ^ oinn, — ^— ad y. Nain mo- 

mentum spatii ABCEA ex AD sit ex rectangulis 

ex BC n y in AB n x. At vero momentan spatii ADCEA ex AD seu 

x 2 
complementi prioris sit ex summa quadratorum DC, sive -ö-, dimidiata 

quod momentum ? si auferatur a momento totius rectanguli ABCD ex 

cb 2 
AD, id est a ein omn. x, sive a —— , restabit momentum spatii ABCEA. 

Unde habetur aequatio quam dixi. Qua reformata sequitur omn yx ad x + 

x 2 (2) b 2 c 

omn. y ady n — y- , adeoque harum duarum figurarum in unum junetarum 

semper haberi quadraturam. Qui est centrobarycae apex. 

Sit aequatio curvae naturam exprimens ay 2 -f bx 2 + cxy -f dx + ey 

(3) (4) (5) z 

+ f n o. Ponatur yx n z, fiet yn-; quo valore in aequatione 3. inserto 



*) ©iefe Sn^altSangaBe ift auf beut erften SBIatt be£ S^anufcriptS, ba% au% brei 
golioblättexn Befielt, am Stabe Bemexft. $luf ben Beibert folgenben Släitexn fitibet fie 
fid) al§ Slufftfjrift. 

10* 



148 SetBtttg an Dlbenöutg. 

z 2 z z ®) 

fiet: a-ij + bx 2 + ex — + dx + e — f-fno, sive sublatis fraetionibus fiet 

X z X X 

az 2 + bx 4 + ex 2 z + dx 3 + ezx + fx 2 n o. 

(8) 

Sit rursus x 2 n 2w, eumque valorem inserendo in aequ. 3 fiet 

o oi i ^ (9) , • a0) -ay 2 -2ba)-ey-f 

ay^ + 2 bco + cxy + dx + ey + t n o, adeoque erit x n -r^ 

J x + cy -f d 

dl) 

n V2co, et quadrando utrobique fiet: a 2 y 4 + 4bay 2 w + 2aey 2 + 2afy 2 

+ 4b 2 o) 2 + 4be w y + 4bfw + e 2 y 2 + 2efy + f 2 - 2c 2 y 2 o) 2 - 4cdyco 

(12) 

- 2d 2 w n o. 

Quod si jam curva describatur seeundum aequationeni 7. itemque 
alia seeundum aequationeni 12, ajo, quadraturam figurae unius pendere 
ex quadratura figurae alterius, et contra. Quod si jam loeo aequationis 
3. aliani sumamus altiorem, seu tertii gradus, rursus duas alias habe- 
bimus loco 7. et 12, et ita eontinuando dubium non est, quin certam 
quandam progressioneni ipsarum 7 et ipsarum J2 habituri sirnus, ut 
sine calculo continuari possit in infinituui, non difficili opera. Ex data 
autem una alieujus curvae aequatione omnes aliae generali expressione 
exliiberi possunt, ex quibus compendiosissima eligi potest. 

Datis figurae cujusdam nionientis ex duabus quibusdam rectis. 
dataque figurae ejusdem area, habetur ejus centrum gravitatis. Dato 
autem figurae cujusdam (aut etiam lineae] centro gravitatis et magnitu- 
dine habetur ejus momentum ex aliis quibuseunque rectis. Itaque data 
figurae cujusdam magnitudine et momento ex duabus quibusdam rectis, 
datur ejus momentum ex qualibet reeta data. Hinc etiam multae qua- 
draturae ex quibusdam datis. Momentum autem cujusdam figurae ex 
reeta qualibet etiam generali calculo exprimi potest. 

Momentum divisum per magnitudinem dat distantiam centri gravi- 
tatis ab axe librationis. Sint in eodem piano reetae positione datae, 
sive parallelae sint sive produetae coneurrant in F, Momentum ex BC in- 
ventum sit ba 2 , Momentum ex DE inventum sit ca 2 . Area figurae sit 

ba 2 
Vj erit distantiä centri gravitatis a reeta BC, nempe CG n , et distan- 

ca 
tia ejus a reeta DE, nempe EH n , ergo CG ad EH est ut b ad c, 

sive rationem habent datam. Ponatur jam reetam EH in eodem piano 
manentem percurrere normaliter ipsam DE, et reetam CG percurrere 
normaliter ipsam BC, et apicem G reetam G(N), apicem vero H ree- 
tam HN , vestigium scilicet suum relinquere. Necesse est si BC et DE 



SetBntg an DlbettBurg. 149 

n alicubi concurrunt, etiam G(N) et HN 

y /s \ alicubi concurrere, sive intra sive extra 

/ >q F; concurrant in L ? erit angulus HLG 

(iß)/ / aequalis angulo EFC ? et angulus PLQ 

Q/\ /" (ponendo PL n EH et LQ n CG) erit 

■y£$\ / ^\ *r\ tt supplementum ipsius anguli EFC ad 

^/- V/|V ""? j duos rectos, adeoque erit datus. Iuncta 

/ / \\ i j PQ, habebitur Triangulnm PQL ? cujus 

* s i_ ^ — j Abitur angulus verticis L ad rationem 

laterum ad verticem QL ad LP. Cum 
ergo sumta BL vel (B)(L) quantacunque, angulus BLP semper maneat 
idem, ac praeterea sit ut BL ad LP ita (B)(L) ad (C)(P) ? erit etiam 
ut BL ad (B)(L) ita LP ad (L)(P), quod contingere patet si etiam FL 
ipsis proportionalis ? seu recta transit per FL (L) etc. Unde cum non 
dentur plura hie loca ? sequitur locum esse reetam. Datis ergo duobus 
momentis figurae ex duabus rectis non parallelis ? dabitur linea recta 
transiens per centrum gravitatis. Quare datis tribus figurae momentis 
ex tribus axibus librationis qui non sint omnes paralleli inter se, dabi- 
tur figurae area et centrum gravitatis. Ecce apicem Centrobarycae. 
Si dentur duo ejusdem figurae momenta ex duabus rectis inter se 
parallelis, dabitur figurae area, sed non centrum gravitatis. 

Cum sit finis Centrobarycae, ex datis momentis invenire dimen- 
siones, hinc habemus duo theoremata generalia: si dentur ejusdem fi- 
gurae momenta duo ex duabus rectis sive axibus librationis parallelis 
inter se, dabitur ejus magnitudo; item si ex tribus licet non parallelis. 
Hinc jam videtur methodus patere ad inveniendas curvas Ellipticam et 
Hyperbolieam ex datis Circuli et Hyperbolae quadraturis. De quo 
schediasmate peculiari. 

26. Octobr. 1675. 

Alia Analysis Tetragonistica haberi potest ope curvarum. Scilicet 
eadem curva in diversa resolvetur Elementa, prout ad diversas reetas 
ordinatae referuntur. Unde diversae quoque oriuntur figurae planae, cur- 
vae propositae Elementis homogeneae, cumque ex data curvae dimen- 
sione inveniantur omnes, sequitur ex data unius figurarum hujusmodi 
dimensione etiam caeteras haberi. 

Aliis modis inveniri possunt figurae quae ex alia pendent, si ordi- 
natae figurarum quarum quadratura habetur aut quarum quadratura ex 
data habetur, adduntur datae. Quemadmodum traetabiliora sunt spatia 
quam curvae, quoniam pluribus modis secari ac resolvi possunt, ita 
traetabiliora sunt solida planis et generatim superficiebus. Itaque ubi 



150 SetBmg an DIbenBurg. 

methodum qua superficies exaniinamus, ad solida transferemus , niulta 
nova detegemus, et facile saepe demonstrabimus de superficiebus per 
solida, quae in ipsis superficiebus difficulter habentur. Eleganterque 
observavit Tschirnhausius pleraque ab Archimede demonstrata, ut qua- 
draturam parabolae, et quae ab his pendent circa sphaeram, conum, 
cylindrum, ex sola solidoruni rectilineorum sectioue ac compositione 
manifesta ac palpabilia reddi posse. 

Modi varii describendi nova solida: Si ex puncto in sublimi posito 
recta rigida descendens circa planum ducatur, cujuscunque illud sit figu- 
rae, coniibrmium genera producentur. Nam si planum circuli circum- 
ferentia terminatum sit, orietur conus rectus vel scalenus. Ita si figura 
quae pro basi est, seu planum, aliquod centrum habeat, ut Ellipsis, 
orietur coniforme Ellipticum rectum, si punctum datum centro immineat, 
sin minus, scalenum. Aliud conoeides, aliud coniforme Ellipticum. Si 
linea rigida ex puncto descendens sit circularis aliave curva, tunc aut 
puncto vel polo illi ita affixa est, ut non nisi unius in eo motus 
libertatem habeat, scilicet circa quendam axem, et tunc necesse est 
ut basis seu planum sit circulus, et ut centro ejus immineat punctum 
vel polus. Sin aliter, necesse est ut linea rigida aliorum habeat mo- 
tuum libertatem nempe sursum et deorsum, aliterve secundum quandam 
rectam; et tunc semper ubi opus erit, ascendet descendetve ut semper 
planum datum sua circumrotatione circa axem attingat. Et hoc est 
secundum Coniformium genus. Tertium genus est eorum, ubi praeter 
motum illum duplicem gyrationis cum axe , et axaltationis , et descen- 
sionis, curva sola vel axis solus vel etiam figura cum axe rursus alios 
interim motus exercent, vel ipsum etiam punctum interim movetur. 

Aliud: Differentiarum momenta ex perpen- 
diculari ad axem aequantur complemento summae 
terminorum, sive Momenta Terminorum aequan- 
tur complemento summae summarum, sive omn. xco 
n ult. x, omn. co„ — omn. omn. co. Sit xco n az 7 fiet: 

az t äz äz &z 

co n — , fiet omn. az n ult. x omn. omn. omn. — , ergo omn. — n 

x X XX 



ult. x. omn. -4 — omn. omn. -^. Quo valore in aeq. praecedenti inserto 



X* 



, az u az 

fiet: omn. az n ult. x 2 omn. — ^ — ult. x, omn. omn. —^ 

x x 



, , az az 

— omn. ult. x. omn. — ^ — omn. omn. — s-, 

x 2 x z 

Et ita iri potest in infinitum. 



Seibtiis an DtbeuBurg, 151 



Omn. — n ult. x. omn. — — omn. omn. -7: ; Et omn. a n ult. x. omn. — 
x x 2 x 2 x 



— omn. omn. — , quod postremum theorema exhibet summam logarith- 

morum ex data Hyperbolae quadratura. 

Numeros abseissas repraesentantes soleo appellare ordinales, quia 
ordinem terminorum sive ordinatarum exhibent. Si quadrato ordinatae 
figurae quadrabilis addas quadratum rectae constantis, radices sum- 
mae duorum quadratorum repraesentabunt curvam quadratricis. Quod si 
radices summae duorum quadratorum dent figuram quadrabilem. etiam 
curva erit rectificabilis. Datae progressionis curvam describere: a Ter- 
min progressionis quadrato auferatur quadratum quantitatis constantis-, 
Radicum ex duobus quadratis figura quadratrix descripta curvam habebit 
quaesitam. Gurva rectificabilis non ideo est descriptibilis. Descriptae 
curvae elementa pluribus diversis modis enuntiari possunt. Comparentur 
diversi modi enuntiandi elementa curvae cum diversis modis enuntiandi 
figuram ei homogeneam, prout ad diversa refertur. Imo et solidum 
curvae homogeneum adhuc pluribus modis enuntiari potest-, et superficies 
homogenea curvae vel figurae. 

Analyseos Tetragonisticae pars 2 da.*) 

29 Octobr. 1675 

Credo nos tandem dare posse methodum, qua cujuslibet figurae 
Analyticae figura analytica quadratrix inveniri potest, quando idpossibile, aut 
quando id fieri non potest, poterit tarnen semper figura describi analytica, 
fungens vice quadratricis quam proxime. Hoc ita concipio: Proposita sit 
aequatio figurae cujus quaeritur quadratrix, cujus incognitae x et v. 

(i) 
Sumatur aequatio ad curvam indeterminatam : n b + ex + dy + ex 2 + 

fy 2 + gyx + hy 3 + lx 3 + mxyy -f yxx etc. Ordinetur ad tangentes hoc 

(2) 

modo : — - dy — 2fy 2 — gyx — 3hy 3 — 2mxy 2 — x 2 y etc. n et -f 2 ext + gyt 

t $) a t a 

+ 31x 2 1 + my 2 t + 2yxt etc. Jam — n — . Ergo ex aequatio ne — n — tol- 
lende ipsas t et y ope aequationum 1. et 2. debet prodire aequatio illa 
ipsa, quae est figurae curvilineae ad quadrandum propositae, et con- 
ferendo terminos produetae terminis datae, si nulla est in conferendo 
impossibilitas, habemus quadraturam. Sin oritur impossibilitas, certum 
est figuram analyticam propositam non habere analyticam quadratricem. 



*) SeiBnig fyat Bemerft: refertur ad praeced entern 25. Octobr. 1675. 



152 Seifmig an DIbenBurg. 

Facile autem apparebit, si quae ei addantur quae eam insensibiliter 
inmiutent, posse inde figuram fieri quadrabilem, ob aliani plane aequa- 
tionem prodeuntem. Caeterum ut impossibilitas appareat, considerandae 
sunt difficultates. Ninlirum obstat quod aequatio producta est prolixi- 
tatis infinitae ? data autem definita. Respondeo : eo ipso dum compa- 
rantnr, videbitur quousque maximae potestates incognitarum indefinitae 
excurrere possint. Eegeri potest, fieri posse ut producta aequatio inde- 
finita plures habeat terminos quam finita data, et tarnen ad eam reduci 
possit, quod scilicet per aliam vel finitam vel indefinitam dividi possit. 
Haec difficultas me diu jam anno abhinc tenuit. Sed nunc video, non 
debere nos ea deterreri. Nam nunc fieri potest, ut methodo tangentium 
ex figura quadam determinata (cujus aequatio sjt indivisibilis per ra- 
tionalem) oriatur figura ambigua, quia non potest ad unum punctum 
figura quaelibet nisi unam habere tangentem, ergo aequatio producta 
neque per finitam dividi potest, neque etiam per indefinitam, nam etiam 
figurae indefinitae revera seu quarum ordinatae exprimuntur aequatione 
infinita, habent ordinatas , easque aliquando finitas quae deberent satis- 
facere. Tametsi difficultatem adhuc exiguam praevideam, quod scilicet 
videatur fieri aliquando ut radices aequationum omnes non serviant ad 
problematis solutionem. Ego tarnen, ut verum fatear, credo. Alia est 
difficultas satis magna , quod scilicet fieri possit ; ut aequatio finita ex- 
primatur etiam per indefinitam, adeo ut aequatio producta coincidere 

x 

possit cum data, etsi id non appareat, v. g. y 2 n n x — x 2 + x 3 — 

1 -f- x 

x 4 + x 5 — x 6 etc., et ita infinitae aliae possunt formari variis compositio- 

nibus et divisionibus. Hie fateor difficilis nodus. Sed responderi 

sie potest: Si quam habet figura quadratricem analyticam, utique ipsa 

sub indefinita intelligi potest. et tunc non dabit utique iudefinitam , 

sed finitam datae aequivalentem. Eodem modo certum est etiam, 

quadratricem datae ordinarie traetatam, si qua est, datam solam non 

ambiguam daturam, adeoque et illa quae ab ea non nisi nomine differt. 

Una superest difficultas, non videri judicari posse quis sit ultimus vel 

primus terminus produetae indefinitae 7 quia potest fieri ut termini 

inferiores destruantur, et tunc ipsa sit divisibilis vel per y vel per x, 

vel per yx, aut horum potestates. Et hoc non video quid prohibeat. 

Eademque manet difficultas, sive a minimo sive maximo gradu ineipias 

assumtam initio aequationem indefinitam. Pone ergo in aequatione 

producta dividi posse, necesse est absit quantitas cognita, item absint 

omnes termini, ubi sola x, vel si mavis, omnes termini, ubi sola abest 

y. Quod si id examinando continue ineiditur in impossibilitatem , in 

calculo hoc generali, tunc pro certo habere poterimus solutam esse hanc 



Seifmiä an DIbettöttrg. 



153 



difficultatem ? nee unquam posse evenire talem divisionem post calculum. 
Sin fieri potest, tunc alii post alios destruentur , ut deprimi possit 
aequatio producta, et instituenda eomparatio, et tunc videndum an non 
generaliter evinci possit , procedere non posse comparationeni uteunque 
procedamus destruendo. Forte si figurae quadrandae redigantur antea 
ad simplicissinias aequatio nes ? facilius detegentur inipossibilitates Nani 
et quadratrix praesumitur fore simplicior. Succurrit adhuc aliud auxilium, 
quod scilicet varii ad idem ducentes plane diversi inter se calculi institui 
possunt quorum produeti coxnparabiles. 

BL ny,WLn 1, BP n p, TB n t, AB n x, 
GW n a,-y n omn. 1 (+*). Ut obiter dicam, sunt nu- 
nieri compositi qui sibi addi non possunt vel demi 
per partes, nempe denominati a potestatibus seu sub- 
potestatibus sive surdi. Sunt alii numeri denominati 
qui nee in se multiplicari possunt per partes ? et tales 
sunt numeri summarii, v. g. omn. 1 non possunt multi- 
plicari in omn. p, nee enim fieret y 8 n 2 omn. omn. pl. 
Ut tarnen multiplicatio illa fieri in rebus intelligatur, 
sie agendum: Volumus spatium quod repraesentet 
omnes p in omnes 1, non poterunt servire duetus 
Gregorii a S. Vincentio , quibus figurae in figuras dieuntur, sie enim 
non ducitur una ordinata in alias omnes ? sed una ordinata in unam. 
At inquies, si una ordinata ducenda in alias omnes ? prodibit spatium sur- 
solidum, summa nimirum infinitorum solidorum. Huic malo remedium 
reperi sane admirabile. Repraesententur omnes 1 per lineam infinite par- 
vam WL, id est, opus est linea quadratrice omn. 1. Erit linea BL n 
omn. 1, quae ducatur in omnes p figura plana repraesentatas , fiet so- 
lidum. Si omn.l sint reeta et omnes p curva ? fiet superficies curvi- 
linea duetui homogenea. Sed haec vetera. Ecce jam novuin. Si ipsis 
WL ? MG seu omnibus 1 imponatur singulis eadem curva repraesentans 
omnes p, debet autem eurva p esse ejusdem plani, et sibi semper pa- 
rallelo ejus piano existente per curvam AGL ferri, et habebitur quod 
desideramus. Loco curvae et planum variis modis terminatum ita ferri 
potest per curvam, et fiet solidum, priore modo superficies curvilinea, 
et superficiei sive solidi sectio semper eadem. Si possumus tarnen fin- 
gere quod decrescant interim inter ferendum, videndum an certus sit 
numerus superficierum analyticarum , ut linearum analyticarum. Sed haec 
obiter. Nota: superficies curvilinea facta motu curvae sibi parallelae 




*) S)iefe£ geilen gebremst Sei&nij, um cmjujeigen, baj3 ex eine SBemerfung 
einhaltet 



154 Seibmj an DIbenburg. 

per curvam aequabitur cylindro curvae sub BL, summa omnium 1. Sed 

haec obiter. rorro — n -, . Ü*rffo p n 1. ltaque omn. — 

a omn. lny a a 

non vult dicere omn. y in omn. 1, nee y omn. 1. Quare, cum sit pn 

— 1 sive p n *— 1, hoc vult dicere, omn. 1 duetas in unum illud quod 

a a 



. .,,. -, , -r. omn. 1 
um Uli p respondet. Ergo omn. p n omn — - \ t Atqui aliunde de- 



y 2 . omn. 1 _ - . .. 1 

monstravi omn. p n —■ sive n ö . Ergo habemus theorema quod 

mihi videtur admirabile, et novo huic calculo magni adjumenti loco fu- 

, . omn. 1 dj 1 1 ,. .,i-i 

turum, nempe quod sit n omn. omn. 1 — , quaiiscunque Sit 1, id. 

u a 

est si omnes 1 ducantur in ultiniam, et aliae omnes 1 rursus in suam 

lütimam, et ita quoties id fieri potest, summa horum omnium aequabitur 

dimidiae summae quadratorum quoium latera sunt summae ipsorum 1, 

seu omnes ]. Pulcherrimum ac minime obvium Theorema. Tale est etiam 



Theorema: omn xlnx omn. 1 — omn. omn. ] , ponendo 1 esse terminum 
progressionis et x esse numerum qui exprimit locum seu ordinem ipsius 
1 ei respondentis, seu x esse numerum ordinalem, ] rem ordinatam. Nota: 
in his calculis observari potest lex homogeneorum, nam si omn. prae- 
figatur numero seu ratio ni ? vel infinite parvo, fit linea; si lineae, fit super- 
ficies; si superficiei, fit corpus , et ita in infinitum etiam ad dimensiones. 
Utile erit scribi f pro omn., ut /l pro omn. 1 ? id est summa ipsorum 1. 

ltaque fiet J — - n J — et /"xl n xfl — /Jl- Et ita apparebit semper 

observari legem homogeneorum, quod utile est ut calculi errores viten- 
tur. Nota: si analytice detur A, dabitur etiam 1. Ergo si detur ff], 

dabitur etiam l, sed non si datur 1, dabitur et j\. Semper /x n -~-. 

Nota: omnia haec theoremata vera de seriebus, in quibus differentiae 
terminorum ad terminos rationem habent minorem qualibet assignabili. 

f x - ^ 

fx 2 n -ö". Nota jam ? si termini summandi affecti sint, quomodo hinc 

afficiatur summa, regulam generalem talem: v. g. 1^- 1 n t- x 1 1-, scilicet 
si r- sit terminus constans, ducendus est in maximum ordinalem*, quod 



Setfmtg an DIbenBurg. 155 

si sit terminus inconstans, tunc tractari non potest nisi ad ipsum 1 re- 
duci possit vel utrurnque ad quantitatem communem nempe ordinalem. 
Nota: quotiescunque in aequatione Tetragonistica non nisi una est 
litera varians ut 1, tunc potest poni esse terminus constans, et ipsa 

f . . .. f p n=~ X 2 

Jl erit n x. Et huic fundamento inititur theorema -^- n II 1, id est -^- 
n /x. Eodem ergo modo statim innumera similia possunt solvi, ut 



/l 2 + ba 2 4- /l 3 + /l 3 n e a 3 ? quaeritur qualis sit e; fiet a 3 e 

( 1 2 3 4~ ) 

n + b a 2 x H hxa 3 . Nimirum /l 3 n x, quia 1 n a suppo- 

( i . 2 3 4 ) 

afl r~T- ex 3 . C A 3 r 

nitur calculi causa. — — n x. /c /l 2 n — -jr- , id est n —. — ä- ba 2 n 
a J j 3 6 a, J 

\\ b a. Intelligitur autem a esse unitatem. Satis haec nova et nota- 
bilia, cum novum genus calculi inducant. Pono ut ad priora redeamus. 
Üatur 1 ? relatio ad x, quaeritur fl. Quod fiet jam contrario calculo, 

scilicet si sit /l n ya, ponemus 1 n —?-. Nempe ut f augebit, ita d 

minuet dimensiones. f autem significat summam, d differentiam. Ex 

dato y semper invenitur ^- ? sive 1 7 sive differentia ipsarum y. Hinc 

aequatio una mutari potest in aliam, sublatio ut ex aequatione: 



f~7= c A 3 r- c A 3 

/c Jl 2 n -0 — 3 facere possumus c /l 2 n q 3 j - Nota 



¥ + y- e - n 



x w a 

+ 



±1 + ±1±. Eodem modo ±1 + ^ n b _JL - Sed ut ad supe- 
J b e db de d 

riora redeamus. Investigare possumus /l bis, primum sumendo y et 

a z 2 

quaerendo y -=- n 1 datae. Deinde aliter sumendo ^- n y sive sumendo 

"K 2 a y n z et inde — n p n 1 n ^-. Quare si in aequatione inde- 

Z 2 

finita , in qua y et x, tollamus y, substituendo in ejus locum <r— , et in- 

u a 

vestigemus ipsam t hujus novae aequationis indefinitae ut ante prioris; 

z 2 
denique ope valoris — n 1 et novi valoris t ex indefinita z, continente 

b 



156 Setbnt§ an Dlbenöutg. 

ipsas z et t, tollamus, restabit sola ex istis (tribus) y, z, t, 1 litera 1 
et debet rursus aequatio prodire quae eadein esse debet tum cum data, 
tum cum paulo ante producta. Unde cum habeamus duas aequationes 
indefinitas earundem non tantum capitalium sed et arbitrariarum , nonnihil 
tarnen dissmriles, quae coincidere debent ? facile apparebit an aliqui ter- 
mini possint tolli; an possibilis sit ista comparatio; aliaqne id genus , 
et quod caput est, qui termini vere maximi et minimi seu numerus ter- 
minorum aequationis. Sed quoniam in Triangula similia TBL, GWL, 
LBP nondum intravit abscissa x ? seu punctum fixum A, nimirum ex 
puncto quodam fixo A ducatur AIQ indefinita ipsi LB parallela, occur- 
rens tangenti LT in I, et sit AQ n BL; bisecetur AI in N; ajo suramam 
omnium QN aequari semper Triangulo ABL, ut facile demonstrari potest 
ex alibi a me dictis ? quae rursus novum dant calculi fundamentum. 

Nimirum — n y, ponendo BL n v et QN n 1 et y n fl. — n — — 
(signa ambigua). Ergo AI n — —— v, et QI n v — AI n v — — v + — - ? 

T tj L 

^ T XV J „_ T __ AI XV V XV XV + tv , ^ 

QI n T et QN n QI + ^- n T + 2 - ^ n —^ n 1. Et ope 

, . ,. . xv + tv . xv 

nujus aequationis — — n 1 et nujus y n -^-, et üla ipsa prima aequa- 

tione indefinita seu generali, jam tertium resumta, tollendo primo y, 
deinde t ope inventi valoris ipsius t ad x in aeq. ex x ? v indefinita, ac 

denique v ope aeq. — — n 1 habebitur rursus aequatio ? in qua solae 

capitalium restabunt x et 1, ut ante, quae coincidere debet iterum 
datae. Habemus ergo tres aequationes productas diversis viis inventas, 
quae inter se et cum data coincidere debent, et hae quidem tres non 
tantum sunt coincidentes , sed et iisdem constare debent literis et voca- 
bulis , quod an fieri possit analytice profecto ? mox apparebit. 

De figuris secundariis multa *)posse inventis pri- 

mariarum areis et centris gravitatis. Hinc enim et momenta habebuntur 
ex rectis quibusdam minus principalibus ? quae momenta plerumque in 
figuras secundarias cadere solere arbitror. Operae pretium erit pro eo 
instituere calculum generalem. 



*) ©trüge SBoxte imlefexltc^. 



ßetBntg an DIbenBurg. 



157 



Analyseos Tetragonisticae Pars III. 

1. November 1675.*) 

Diu est quod observavi, dato eurvae ABC vel figurae curvilineae 
DABCE moniento ex duabus rectis inter se parallelis ut GrF, LH (vel 
MN , PQ) haberi aream figurae 7 quoniani duo momenta different inter 

se cylindro figurae, cujus altitudo distantia 
parallelarum. Hoc verum est in omnibus 
progressionibus , sive Numericis sive lineari- 
bus. Id est etiamsi non adhibeantur figurae 
cnrvilineae, sed polygona ordinata, id est tam- 
etsi differentiae inter terminos non sint in- 
finite parvae. Sit quaelibet quantitas ordi- 
nata ut z, sit numerus ordinalis x, erit 




b omn. z n + omn zx + omn. z^x + b ? idque 
per se patet ex solo calculo. Ope hujus regulae inveniuntur summae 
terminorum progressionis Arithmeticae replicatae reciprocae. Et haec 
multiplicatio locum habet, cum quaeritur momentum ordinatarnm ex 
recta ad axem perpendiculari. Sed si quaeratur momentum ex alia 
recta ? regula generalis liaec est : Ex quantitatum quarum summae 
momentum quaeritur , singularum centris gravitatis ducatur perpendi- 
cularis ad rectam librationis, summa rectangulorum sub distantiis sive 
perpendicularibus et quantitatibus aequabitur momento ex recta data. Unde 
si sit recta aequilibrii axi eadem, statim sequitur momentum figurae ex 
axe aequari summae quadratorum dimidiatorum. Et cum axi parallela 
est. ab eo difFerre data quantitate. Sed sumamus aliam rectam in cir- 
culo exempli causa flg. 2. Sit quadrans ABCD, vertex B 7 centrum D. 
Detur alia recta EF, ita scilicet ut datae sint X)F perpendicularis , et 
FE quo diameter ei occurrit, adeoque et 
DE. Sit ordinata circuli HB, cujus dimi- 
dium punctum L. Ducatur LM perpendi- 
cularis ad FE, patet triangula EFD et EMN 
(N punctum intersectionis ML, AD) et LHN 

esse similia. Sit AD n x, erit HL n — n 

2 

^ £ — x 2 . NH 

~ . Jam ob triangula similia ~— 

4 HL 




*) Setfmij Ijat Bewerft: prima erat 25. DctoBr., 2da 29. DctBr.; fexner: Usus 
centrobaiycae. Im 9tonbe be§ SWanitfcriptS tff von i§m offenBat fpäter gefd)xicBett : 
Scheda 2da notanda de differentiali calculo tunc mihi rudius cognito, et satis .... 
quantum ad scopura. 



158 ßetfmtä an DIbenBurg. 

n ü^, ergo NH n - V^T~^ n -|*, ergo EN n DE (n e) - 

HD(nx)— NH(n^y),ergoENne — x — |^. JamNL n ^NH 2 + HÜ* 

n V 4P 7 2 + X n 2 ^ F^ + * ; et EN n iL' Slve MN n ~NL" 

y d ~ a _ . _ d y 



e 



,,„ zf 2 f d dy , , 1T 

adeoque MN n ; — n e — x — -—., et ML n 



d „ „ d y , y 



1/S+i 



KS 



MN + NL n -^=== e-x-ff+jl/ ^ + l (e n ^ f=— a") 

L 1 

f2 



f l r] 2 I f 2 f 

sive ML n Jt — n - 4_. 

j/ d 2 + £2 V d 2 + f 2 

Qui calculus cuilibet curvae communis est, sunita semper x pro ab- 
scissa et y pro ordinata. Rectanguluni ergo sub ML et HB (n y) sive 
momentan cujusque ordinatae ex recta EF ponderatae sive wa erit n 

f. 



dT/f2_d 2 y — xy + \t. 

Ergo omn. w habebuntur ex datis omn. y 7 

V"d 2 + f 2 
omn. xy ? et omn. y 2 , vel etiam si ex his quatuor dentur tres. dabi- 
tur quartum. Jam omn. xy aequantur momento figurae ex vertice, 
omn. y 2 aequantur momento figurae ex axe. Ergo datis tribus figurae 
momentis , ex duabus scilicet rectis inter se perpendicularibus , et 
tertia qualibet, datur ejus area. Sed hoc tarnen theorema minus 
generale est, quam prius in prima hujus Schediasmatis pagina, ubi 
nihil refert ? quis sit angulus rectarum, modo dentur tria momenta. 
Intelligitur autem semper in eodem piano. (Hoc interim tlieorema suf- 
ficit ad curvam Hyperbolae primariae. Si*) f sit infinita seu si FE et 

y 2 

ED parallelae, fiet dy + —— n w a, quod dudum constat). Notandum, 

u 

diversis calculis hac schediasmatis plagula et prima aream quantitatis 
cujus centrum gravitatis (+ etsi NB. non ipsa tota) in piano dato po- 
situm est, ex datis tribus momentis ex tribus ejusdem plani rectis in- 
veniri. Unde videndum , annon comparati inter se eventus quiddam 



%m 9tartbe fyat Seibmg bemerfi: NB. ista ad curvam si applicentur. 



SetBntg an OlbenBurg. 1 59 

novum praebeant. Si non figurae. sed curvae ut omnium BP, PC etc. 
inomenta quaerantur, ex punctis B, P ? C tantum ad reetani demitten- 
dae perpendiculares sive ordinatae , nihil enim refert , ex extrenao an 
inedio ipsius BP v. g. ducantur, differentiae enim infinite parvae inter 
duas ejnsinodi perpendiculares. Ergo curvae elementuni appellando z , 

^ n dVI^—T^z — dxz + fyz 
momentuni curvae ex recta ihr net -— . 

Pleraque theorernata Geometriae indivisibiliuni quae apud Cavale- 
riuni, Vincentiuni , Wallisiuin , G-regoritim, Barroviuni extant, statim ex 
calculo patent, ut v. g. perpendiculares ad axem aequari superficiei seu 
mornento curvae ex axe ? patet calculo, narn invenies perpendicularern 
aequari rectangulo ex curvae eiern ento in ordinatam. Talia igitur theo- 
remeta non ' aestimo, quem admo dum illa quoque de applicationibus inter- 
ceptarum in axe (inter tangentes et ordinatas) ad basin. Talia ergo 
theorernata nihil novi detegunt, nee nisi calculi compendia praebent. 
At meum theorema de dimensione segmentorum rem detegit novam, 
quia spatium cujus quaeritur dimensio aliter resolvit, nempe non tantum 
in ordinates, sed in triangula. Centrobaryca etiam forte aliquid dete- 
gunt novum; poterit forte facilis methodus tradi, qua sine figuris cal- 
culo deducantur ex figura quae ex ea pendent. Gregorii theorema 
de duetibus parabolarum subalternis aequalibus cylindro patet statim 
ex calculo, nam circuli ordinata y n V&. 2 — x 2 ? id est n V a + x 
in V a — x ; eodem modo V 2 &v — v 2 n y 7 ergo y n l^v^in V 2 a — v 
quae duo eodem redeunt. Si eadem ordinata y per quandam quantita- 
tem z multiplicetur, et postea per eandem z + cognita sive constante 
b*), erit differentia summarum produetorum aequalis cylindro figurae, 
ut zy„ — zy -f by n by. Hoc etsi per se manifeste pateat in genere, 

x 2 

applicationes tarnen non semper manifestae. Sit v. g. ^ id est 

ax — D 

(0) 

o 

n y; multiplicando per V ax + b fiet 



V" ax + b , / ax — b l^ax— b 



x- 



et multiplicando per V ax — b, fiet —-=— (J)). Quoniam autem 

V ax + b 

ix b x 

pro — - — r-^- fieri potest x -f r-^-, quae pendet ex quadratura hy- 

ax D ** ax D 

perbolae, itaque una ex his duabus data, 3) et 0, dabitur et altera, 
supposita hyperbolae quadratura. — n x V ax 



Vax+b V 



ax 



*) SeiBniä Ijat am Sftanbe bemerft: Idem est si sit z — b et z + 



160 



ßeiBnig an DIbenBurg. 




Suppone curvae cuidam in aliquo piano positae BCDE in punctis 
C, D, E imponi alterius curvae FGH ordinatas perpendiculares*) ad pla- 
num, et ita ut medium ordinatae punctum incidat in planum, patet 
ipsas LC, MD. NE ductas in FL, 
GM, HN, id est in C, D, E impositas 
curvae BCDE seu rectangula FLC , 
GMD, HNE sive ductum duorum pla- 
norum in se invicem aequari momento 
omnium LC, MD, NE etc. Unde si 
PR sit alius axis et intervallum a QL 
recta PQ, momentum ex PR differet a 
momento ex QL cylindro ipsarum LC, 
MD etc. in PQ. Quod si jam tum ex 
recta PQ, tum alias ex alia recta ut TS 
aliud haberetur momentum ejusdem figurae ordinatarum LF in C imposi- 
tarum, tunc haberetur etiam cylinder omnium LF, quod probo: quia 

f ff 

appellando QL, x, CL, y ? erit TC n — x -(- — y -|- h, quae ducta in 

a a 

f ff 

ipsam z**) dabit — zx -| yz -f liz. Jam zx datur, supposito momento 

a a 

ex PQ, quod semper idem sive sint ipsae z, ubi erant in LF, MG 
etc. sive sint positae in C, D, E. Datur et yz sive rectangulum pro 
FLC, sive ductus ex hypothesi. Ergo si detur adhuc unum momen- 
tum ordinatarum curvae in C, D, E impositarum, sit ipsum aequale 

f ff 

— zx -] yz -|- hz, dabitur hz, seu cylinder quaesitus. Hinc eligendae 

a a 

curvae BCDE tales, ut per diversas earum ordinatas vel in axem QL 

vel in axem TS multiplicari possint ordinatae curvae datae cum utilitate 

quadam seu simplicitate. Ad quod eae curvae utiles, quae plures habent 

axes utiles, ut Hyperbola circularis seu primaria quae duas habet 

asymptotos, et axem, et axem conjugatum. 



*) SetBnig l)at barüBex gefdjrieBen: imo et aliter. 
**) SeiBnift f)at am SKcmbe be§ aJtanufcrtptS Bewerft: LF vel MG n z. 



Settmtg cm ÖlbenÜurcj. 



161 



B. 
Methodi tangentium myersae exempla. 

11. Novembr. 1673.*) 

Jam superiore anno mihi proposueram quaestionem, quae inter 
difficillimas totius Greometriae haberi potest, vel ideo quod nihil con- 
ferunt methodi hactenus vulgatae. Ejus hodie solutionem reperi cujus 
analysin dabo: Nimirum quaeritur curva C (C) in qua ipsae BP, 
intervalla ordinatarum BC et perpendicularium ad curvam 
P C ? in axe AB(B) sumta, sint ipsis ordinatis BC reciproce 
proportionalia. Sit alia recta AD(D) ad 
ipsam AB(B) axem normalis, in quam ducantur 
ordinatae CD 7 ita ut ipsae AD abscissae ex axe 
AD(D) sint ipsis BC ordinatae ad axem AD(D) 
aequales ipsis A B abscissis ex AB(B). Ap, 
pellemus AD = BC =y, et A B = D C = x;. ipsam 
BP vocemus w et ipsam B (B) vocemus z. Constat 

ex alibi a me clemonstratis, esse wz=J- , sive 



v 2**) 



esse wz 



esse* 



2d 



2d 
= y. Ergo wz 



At ex quadratura Trianguli patet 



y. Jam ex hypothesi 




est w= — , ita enim erunt ipsae w ipsis y reciproce proportionales. Ergo 

bz y'^ r /y^ /y^ y^ 

fiet — = y, adeoque z = ~~ . Jam J z =* x. Ergo x = /—. At j- = ^— - ex 

quae est aequatio explicans rela- 



3ba' 



quadratura Parabolae; ergo x 

tionem inter ordinatas y et abscissas x curvae quaesitae C(C). Inventarn 
ergo habemus curvam quae est Analytica, et uno verbo Parabola Cubica, 
cujus vertex A. 

Videbimus ergo, an verum sit hoc Theorema sane memorabile : 
„In Parabola Cubica C(C) sunt B P intervalla perpendicularium ad 
„curvam PC et ordinatarum BC ad axem, in axe ABP sumta ipsis 
„ordinatis BC reciproce proportionalia". Hoc calculus tangentium facile 



*) Wlu$ 1675 Ijeißen. @£ ift mit biefer StrfjreSacrtjl eine gdlf^ung üerfudjt würben. 
£>te ©puren bat) cm finb beutlidj gu feljen; ber obere Qn$ ber 6 ift roegrabtrt unb bafür 
mit fd)ttmraerer £inte ber obere 3ug Don 3 gefefct. 

**) Seibnij §at am Sftanbe be§ Söianufcriptg fcemerü: f summa, d differentia. 

11 



162 Sei&ntä an Dtbettfcurg. 

ostendet. Aequatio Parabolae Cubicae: xc 2 = y 3 ; ponendo c latere 
recto, sive pro c 2 ponendo 3 b a sive c = l/3ba, fiet 3xb a = y 3 . Ergo 

ex inethodo tangentium Slusii erit t==-^— , ponendo BT = t ? . intervallo 

Da 

y 2 

inter tangentem et ordinatam in axe. Jam BP = w est = ^-. Ergo 

w=^ = — . Sunt ergo ipsae w ipsis y reciproce proportionales, quod 

t/ j 

ba 
desiderabatur. 

Analyseos hujus artificium in eo fuit, quod ex ordinata abscissam 
fecimus, cujus stratageniatis antea non venerat in nienteni. Non est 
difficiliorquaestio ? si quaeratur curva,inquaipsaeBP, intervalla ordinatarum 
et perpendicularium , sint ipsis AB abscissis reciproce proportionales. 

Nempe w = — ; jsmxijw = ~ 7 ergoy= |/ 2/w V el \/2j~ Jam ^w non 

potest inveniri nisi ope curvae logarithmicae. Ergo et figura quae satis- 
faciat, est in qua ordinatae sunt in subduplicata ratione logarithniorum 
ab abscissis; quae figura est ex numero Transcendentium. 

At revera difficilior est quaestio, cum quaeritur ut ipsae AP sint ipsis 

B C ordinatis reciproce proportionales. Nempe x + w = — et wz = ^ , et 



X X V "V X V X 

z = x sive z =- - T , sive fiet w-^- ^si^^^^^ti et fiet x + —r- ^^ ~ 
&' d 2d 2d d' 2d d 



z!' 

2d 



= — . Ponendo ipsas x arithmeticas, erit — = z constans et fiet: x + 

7 _ _ 

q 2 I n 2 -y2 "X V I PL 2a 

= — et / x = / ^ et -TT- + ^ ==■ / — sive d x 2 + y 2 = . Jam iunctae 

y ' J 7 2 2_ 2 J y J J ■ 

AC, A(C) sunt = Vx 2 + y 2 . Centro A radio AC describatur arcus CE, 

ita ut E cadat in rectam A E (C) , erunt ipsae E(C) differentiae inter 

2 a 2 

AC et A(C), sive EC = e= V x 2 -+- y 2 . Ergo e = . Si ergo liceret 

y sumere Aritbmeticae progressionis, haberemus quaesitum ; videtur tarnen 
nihil referre, etsi x progressionis arithmeticae sumserimus. Sumtis enim 
x progressionis Arithmeticae, sequitur ipsis AD sive y esse ipsas EC 
sive e reciproce proportionales. Quod si autem sunt semel, erunt semper. 
Summae autem infinitarum reciproce proportionalium habentur, quacunque 
sint progressione, ex quibus reciproce proportionales sumuntur, neque 
enim hie reetangulorum ulla ratio habetur, ubi aequali altitudine opus 
est, sed summa linearum, omnium scilicet E(C), initur. Sed jam video 



ÖetBmj cm Ölbenfiurg. 



163 



2a 2 
difficultatem, ipsam omnium e summam sive omnes , sive ipsas A(C) 

non haberi, nisi sciatur cujus progressionis sint ipsae y. Quod hoc loco 
ignoratur, quoniam ipsas x necesse est esse progressionis Arithmeticae, 

y 2 x _a 2 
2d w d~~y 



non ipsas y. Sin jam in aequatione superiore x + 



faciamus 



y progressionis Arithmeticae, fiet: x + 



a 



dx" 



y *)etxy+^ 

y 2 

dx " 



= «2. 



imö 



(0). 



generaliter neutri assignando progressionein, fiet xy + y 

Sed nondum quicquam praestitimus ; considerandum ergo ex doctrina in- 
divisibiliuin, producta PCS dum ipsi AD occurrat in S, esse summam 
omnium AP applicatarum ad AB aequalem summae omnium A S appli- 
catarum ad A D, id est vocando DS-=v ; fiet dy/y + dy/v = dx/x -f dx/w, 

sive dy/y + dy/y = dx / — ex hypothesi quaestionis. Ponendo jam y 

•* J 

v x 
progressionis Arithmeticae fiet: ~ + — = dxLogy. At paulo ante ea- 

U Li 

dem facta suppositione ipsarum y progressionis Arithmeticae fuit 



xy + -T- = a 2 fiet: dx = 
^ dx 



■yx' 



et nunc: dx 



■ + X 2 



2 Logy 



; ergohabemus 



denique aequationem, in qua solae supersunt x et y extra vincula nempe: 
y 2 + x 2 , a 2 - yx = 2y 2 Logy, quae aequatio, cum sit determinata, locum 
dabit quaesitum. Et valde memorabilis est haec methodus, cum enim non 
sit hie in nostra potestate tot aequationes habere quot incognitas, po- 
terimus tarnen saepe plusculas obtinere aequationes, et earum ope quosdam 
terminos elidere, ut hoc loco dx, quae sola nobis obstabat. Singulae 
aequationes totam includebant aequationis naturam, tarnen ex iis erui 
poterat solutio; quod media facilia hactenus desint, eonjunetio duarum 
aequationum rem compendio dedit. Videor idem aliter obtinere potuisse 
per momenta. Ubi in mentem venit consideratio iiova non inelegans. 
In Fig. 2 est BC = y, FC = dy. Sit punctum Fig ' 2 * 

S medium ipsius FC, patet momentum ipsius 
FC esse rectangulum sub FC et BS, id est 
rectangulum B F C; nam cum sit BFC 
+ SFC, posterius quippe prioris ratione infinite 

f - y 2 

parvum negligi potest, adeoque erit / ydy =^ 

id est differentia inter duas x proximas. 




*) Idem est dx et 



£et6ni$ett£. 



d' 



SBemerfung 



11* 



arithmeticam fuit yd^- — a 2 — xy sive c&- = — - 7 at idem = y dy; 



164 SeiBrnj an Olbenfcurg* 

sive momentum omnium differentiarum FC aequabitur ultimi termini 

y 2 ydy ^ 

momento, et ydy = df et y 2 dy — —w—- Porro supra in aeq. (0) faciendo x 

i.2. 

_ y 

o u "5T v / / a 2 ~\T ^ 

fiet ergo y dy = — , et erit y &y= — — — . At jam invenimus esse 

2 r 9^ o 2 

fydj= ^-, fiet ergo y« 2 + x 2 = 2 / — , ut ante, vel d y 2 -{- x 2 = — -. Ubi 

patet res notabilis, in[ his aequationibus, in quibus reperiuntur / et d ? 

ubi jam una, v. g. hie x pro arithmetice procedente sumta est, non posse 

2a 2 
jam inverti, nee dici nos habere valorem ipsius x ? nempe x — < dy2 ; 

quia dy 2 non potest intelligi nisi determinata progressionis natura ipsius 

y; ipsius y autem progressio, ut dy2 serviat, talis sumi debet ut sint x 

progressionis Arithmeticae, ergo ipsae dy supponunt ipsas x, non ergo 

per ipsas invenietur x. Caeterum hac arte multa poterunt praeclara 

haberi theoremata de curvis alias intraetabilibus, jungendo scilicet plures 

ejusmodi aequationes. 

Ut in hujus modi quaestionibus sane diffleiilimis simus exercita- 

tiores ? utile erit unam experiri, ut scilicet ipsae AP sint ipsis AB re- 

a 2 

ciproce proportionales; fiet x + w — — et zw = dy2 et z = dx, adeoque 

d t d t . d |- 2 a 2 

fiet: w = — -T—, et denique x + A ~= — . Cujus jam non difficilis 

Z QX QX X 

f y 2 /a 2 
solutio est, nam ponendo x arithmeticas, fiet ix + ^-==/ — ? sive fiet 

X 2 y2 ■ _ . .__ 

9~ + %— Logy sive Vx 2 + y 2 ~ AC — V 2 Log AD ? quae expressio cur- 

vae satis est simplex. Requiruntur autem ipsae AP progressionis arith- 

methicae. Contra si sint y progressionis arithmeticae, fieret: x + -j- 

a 2 
«* — , sed hinc non facile habebitur natura curvae. 
x 7 

Yideamus an possit esse curva, in qua ipsae AC ipsis BP aequales; 

r\ 2 

fiet l^x 2 + y 2 — w et w = ^y- . Sit x progressionis arithmeticae , fiet: 



2dx' 



|]/ x 2_|_y2== /AC^y 2 , sed non hoc sufficit ad cuevam mecli 



lanice 



SeiBnig an DIbenBurg. 165 

describendam, per puncta scilicet proxime accedentia. Ut sit x = l, sit 
BC = (y), erit VT+Cy 2 ) = (y 2 ) sive 1 + (y 2 ) - (y 4 ). Unde habetur (y), 

nempe y 4 — y 2 + ~ = 1 +-j sive (y 2 ) = et (y) = _ . Porro eodem modo 

2 Y2 

V4t + ((j*f) + V 1 + — = ((y 2 )), ita rursus poterit inveniri ((y)). Et 
AC A(C) 2 

hujus ope reperietur tertia AC, et ita reperietur polygonuin aliquod 
curvilineo quaesito eo similius, quo minor assumta est unitas. 

x esse progressionis Arithmeticae significat motum (inter descri- 
bendum) in axe AB esse uniformem. Descriptiones autem, quae supponunt 
motum aliquem esse uniformem, non sunt prorsus in nostra potestate. 
Neque enim possumus producere motum uniformem nisi continue inter- 
ruptum. 

Videndum an dxdy idem sit quod dxy, et an -=- idem quod d- ? 

et videtur, ut sit y = z 2 + bz, et x sit cz + d, fiet dy = ,z 2 + 2 ßz + ß 2 , 
+ bz+bß ? — z 2 — bz ? et fiet dy — 2z + bß. Eodem modo dx + cß ? et 
ita erit dy dx — 2z + bcß 2 . At idem produces, si statim facias dxy. Nam 
in singulis factoribus separatim destructio fit, altero in alterum non in- 
fluente; idem est de divisoribus. Sed jam cum earum summae quaeruntur, 
discrimen an sit, videndum est. |dx = x, JAj = J, ^dxy = xy*). Si 

x 2 

jam sit aequatio v. g. dxdy — x ? erit j dxdy = y x. Jam Jx=-^~, ergo 



/ 



X z . X z . X 



dxdy=-^, sive xy— -^-, sive -^ = y, quod satisfacit aequatiorii 

Li Ci U 

dx dx 

dx dy — x ; nam pro y ponendo ejus valorem fiet : dx — = x sive —~- — x, 

quod verum esse constat. In summis haec non procedunt ? nam /x/y 
non est idem quod /"xy; ratio est, quod differentia est quantitas unica, 
at summa est quantitatum plurium aggregatum. Summa differentiarum est 
terminus novissimus. At ex summis facientium invenire summas productorum, 
nondum analytice eerta ratione possumus, et quae in eo genere fecit 
Wallisius, non demonstratione, sed felici inductione nituntur. Demon- 
stration em tarnen eorum invenire, magni res foret momenti. Sint j zy, ( l uae 

T' /» T 

quaeruntur. Ponaturjzy = w, erit zy = dw; et y = — - et jy = / — . Eodem 



*) Error, vide infra. Söemexfimg t>on SeiBntg. 



166 SetBntg cm QlbenBurg. 

modo /z = / . Ponatur jj nota = v ? et ' /z nota — ^, fiet y = dv = -— 

et z= dcj> — — et j- = — .Unde sequi videtur d— ■= — , adeoque ~- — /— . Ergo 

/*v fy • /dv v 

foret/ — = -—, quod est absurdum. Unde sequitur /j— non esse —. Quid ergo 

erit? Differentia ipsarum v, divisa per differentiam ipsarum ty, summanda 
est. Non ergo quaelibet differentiarum, adeoque et tota V, dividenda 
erit per singulas ipsius <j>; non, inquam, quia singulae tantum per sin" 
gulas respondentes sibi dividuntur, non quaelibet per omnes. Ergo aliud 

est /-j— quam ~- — — -. Ergone aliud erit d— quam -=— ?. Si idem est, 

/v . f dv . v /dv /dv 
d— erit = / -5— ? sive — = /tt = ttt» quod .absurdum est. Eodem 

modo, an dv4> — dvd^u Ergo (dvtjj sive vt|> = /dv d^. Jam v<]> — /dv (&.% 

ergo f dv üty — /dv /d^ ? quod est absurdum. Ergo absurdum esse videtur 

dv v 
dv dtj> id esse quod dvtjj, itemque -=— = d— , quod tarnen paulo ante asse- 

rueram, et quod videtur demonstrativum. Difficilis nodus. Sed jam 

v 
distinguendum video: Si sit v et <]> et faciant vcj> vel — quantitatem aliquam 

v 

v. g. tf — vty vel — 7 sintqvfe valores tarn ipsius v quam ipsius <J> rationales 

per unam quandam v. g. abscissam x expressi, tunc calculus semper 

docebit eandem produci differentiam, sive idem fore dK et dv dd> vel T - 

7 dcjj 

Sed jam video ista nunquam procedere, nee per partes in his iri posse, 
nam v. g. sit x + ß, ^x + ^-x, x, fiet 2ßx, quod longe aliud est quam 
x -f- ß, — x„ /— nx + ß,~- x, quod daret ß 2 . Concludendum ergo aliud esse 

äv<p quam dv d<j>, aliudque d— quam-j—. Sit primus gradus a + bx -f-cy=0; 

Dn = @, AB = x, BC^y^TB = t; ordinando et aecommodando ad tan- 

gentes fiet: bt = - cy ? et t — ~r~- Eodem modo © = . Sit WC = w 

et WS ===ß,patet esse :—==£, et fiet: w — -— £-. Eodem modo ß = — ^?-* 
r r y w c ^ b 

Secundus gradus: 



Sei&ntä an OlbenButg. 



167 



a + bx + cy + dx 2 + ey 2 + fyx = 0; ordinando ad tan 
gentes fiet : bt + 2 dxt + fyt — — -cy — 2ey 2 — fyx> f\ 
- cy — 2 ey 2 — fyx 



adeoque t ; 



Unde facile patet, 



b + 2dx + fy 
semper t per y (et © per x) dividi posse, et quoniam A 



w 



ßy -j xx , i.. ßb + 2dx + fy , . , 

= —-, ldeo net nie w = r ^ £-, adeoque net 

t — c — 2ey — fe' n 

— a— bx— dx 2 B 



wc+fx-ßb+2dx 



2we + fß 



-,atpaulo antey= 



c + ey + fx 




et fiet^ 



___ w , c + fg, - (3b + 2dx,^ c + fx„, +fß + 2we^a + bx + dx 



__ -wo + fx,-ßb + 2dx 
~~ 2we + fß 

Habemus ergo aequationem, in qua nulla est amplius y. Et omnes 
figurae, quarum aequatio ex hac aequatione pro varia explicatione lite- 
rarum constantium formari potest, quadrari possunt; illae item, quae 
ipsi per methodos alias ostendi possunt cjöyvcötoi. 



XLI. 



€ctbni3 an (Dibmbuxg. 



föati) einer $töfd)tift non bem Original im SSeftfc bex Royal Society in Sonbon 

(Ms. LXXXI, No. 44.) 

Paris. 12 Maji 1676. 
Cum Georgius Mohr Danus, in Geometria et Analysi versatissimus, 
nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem 
relationis inter arcum et sinum per infinitas seri.es sequentes: Posito 
sinu x, arcu z 7 radio 1 



znx + 6 x3 + 4Ö x5 + 



xn z -i z +I L. 



5_ . 



112 
1 



x 7 + 



35 

1152 
1 



x 9 etc, 
z 9 etc. 



5040 ' 362880 

Haec, inquam, cum nobis attulerit ille, quae mihi valde ingeniosa vi- 
dentur, posterior imprimis series elegantiam quandam aingularem habeat 
ideo rem gratam mihi feceris, vir Cl me , si demonstrationem transmiseris, 



168 Setfcma an DIbcnBurg. 

Habebis vicissim mea, ab his longe diversa circa hanc rem meditata ? de 
quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione 
tarnen non addita, quam nunc polio. Oro ut Cl mo Collinio multam a 
me salutem dicas: is facile Tibi materiam suppeditabit satisfaciendi de- 
siderio meo. 

Phaenomenon singulare paucis abhinc diebus Picardo accidit. Is 
Barometrum aliquot annorum perpetua experientia cognitum, cum de 
Musaeo in Musaeum transferri jussisset, famulus agitatione scintillas in 
tenebris emicare vidit; quod ubi Picardo nuntiatum est, idem expertus 
verum deprehendit. Scintillae erant quales maris agitati, aut saccari dum 
fricando in tenebris comminuitur. Experimentum repetere potest, quoties 
lubet. Certum est , in aere Mercurium utcunque inclusum id non 
praestare, 

Nob mus Tschirnhusius Tibi ac Collinio multam salutem dicit, 
ereditque suas ad Te literas dudum scriptas tibi fuisse redditas. Is 
nuper circa Anguli sectionem et Polygona circuli multa elegantia theo- 
remata aliud agendo observavit, aliaque ingenio suo digna, ubi otium 
erit, molietur. 

Claudius Hardus, Geometra et scis praestantissimus et jam olim 
Mersenni et Cartesii temporibus clarus, praeterea orientalium linguarum 
cognitione excellens, rogavit ut quaererem, verumne sit quod ad ipsum 
fama pertulit, apud Vos in nova restitutorum Apollonii ex Arabico li- 
brorum versione laborari. Scis Florentiae prodiisse cura loh. Alph 4 
Borelli. Christianus Eävius eadem pollicebatur ex Mss quae habebat 
Arabicis: et nescio qui mihi dixit (nam ipse non satis memini) etiam 
Ravium suam versionem edidisse, quod si verum est, Tibi haud dubie 
notum est, idque ipsum etiam scire pervelim. Ebertus quidam ? homo ut 
videtur non indoctus neque aspernandus ? Robervallio in cathedra Ramea 
successit. 

Frenicli tractatum de Triangulo Arithmetico vobis visum non dubito. 
Pleraque ejus theoremata (quäle illud: omnis quadratus est ternarius 
aut ternario major unitate) non tantum alia plane via dudum demon- 
stravi, sed et multo longius extendi, ut amicis hie constat. Unum tarnen 
theorema magni facio 7 quod scilicet area Trianguli Rectänguli in Numeris 
non possit esse Quadratus , cujus aliam a Frenicliana demonstrationem 
nondum observavi. 

Curate quaeso, ne quae Gregorius circa Diophantum et numeros 
molitus est, intereidant; mihi enim videtur in hoc argumento nos omnes 
a vera quadam perfeetaque methodo adhuc longe abesse. A Gregorü 
autem ingenio poterat sperari aliquid non vulgare. Qua ratione aequa- 
tionum radices per infinitas series , possint exhiberi; item quomodo Ta- 



DIbenöurg cm Seibui^. 169 

bulae sinuuni et Logarithmorum ad resolvendas aequationes utcunque 
affectas serviant, nosse pervelim, neque enim mihi hie satisfacio. P. 
Pardies pollieebatur omnium aequationum utcunque affeetarum reso- 
lutionem ope lineae logarithmicae : ego id fieri posse valde dubito . 
Quod ad series infinitas attinet ? equidem radicum irrationalium omnium 
purarum pariter et affeetarum et in genere omnium quantitatum, ad quas 
accedi potest appropinquando ad distantiam assignata minorem, valores 
per series infinitas habere possum, sed plerumque nimis prolixe; vestra- 
tibus autem, qui multam in ea re operam posuere, elegantia quaedem 
compendia atque artin cia nota esse non dubito. 

Ill m0 Boylio rogo me commendes, virumque egregium perpetuo 
horteris, ne diutius tot praeclara sua chymica observata publico neget. 
Solum illum de rebus chymicis praeclare, recte philosophice scripsisse 
constat, reliqui aut tabulas pro experimentis, aut chimaeras pro hypo- 
thesibus dedere. 

Nosse velim an adhuc in vivis sit Drebelii gener, Kieflerus', item 
quousque producta sint praeclara Serenissimi Principis Ruperti Palatini 
circa ferri traetationem experimenta. Quod superest, vale ac mihi tibi 
deditissimo fave. 



XLIL 

(Dlbenburg an ieibni$.- 

9lati) bem Original in ber ^öntgl. Söiölioifjef gu §annoüer. 

Impense laetabar, ami.ee plurimum colende, conspeeta de novo 
doeta tua quam diu subduxeras manu, maturiusque responsum parassem, 
ni id ab amicis ? Newtono imprimis et Collinio (qui nee ipsi semper sui 
juris sunt) parte longe maxima dependisset. Dum prioris meditationes 
parantur, en tibi varia et aecumulata Collinii nostri communicata, menti 
ad tempus satis forsan distinendae aecommoda, donec scilicet alia a Dno. 
Newtono succenturientur. 

Principio igitur ait Collinius: Quod attinet primam illam Seriem, 

1 3 5 35 
cujus coefficientes sunt — , -^r, zttki tt^t* » illi hoc modo formantur 
J 6 40 ? 112* 1152 ? 

nempe : 



170 



DIbenßurg an SeiBni^. 



lxl 

2x3 : 

, 35 
et 



et 



1 x3 



6 x4x5 
x 9 x flT 63 



= -tk, et 



5x5 



40 ? 



40 x 6 x 7 
et sie in infinitum: 



112' et 112x 



5 x7x7 35 



x9 1152' 
unde intelligere est, 



1152x10x11 2816' 
Seriem illam elegantia sua inferiorem non esse conversa, quam tu potius 
commendas. Tuas de eodem argumento contemplationes, quas ab istis 
longe diversas innuis, pergratas nobis fore credideris, optantibus equidem, 
ut eae fidem nostram superent quoad methodi hujus praestantiam, quae 
tarn late patet ut averruncare omnes difficultates videatur, adeo ut Col- 
linius pereeperit, Dn. Gregorium sensisse, quaeeunque ante eam fuissent 
cognita, haud aliter se habere ac auroram meridianae luci comparatam, 
quamvis Dn. Gregorius alia fuerit egregia methodo instruetus pro cir- 
culo, priusquam haec ipsi perspeeta erat, quam hie impertiri libet. In 
litteris igitur ipsius 15. Feb. 1669 datis, ita scribit: Approximationes 
meae ad perimetros p. 8. et 5. Exercitat. Geometricarum , Londini 
impressarum, nonnihil illustrantur nupera mea ad Dn. Hugenium respon- 
sione. Ut ut sit, in tui gratiam eas alia methodo explico, nempe: 

Sit arcus quilibet Semicireulo minor HKL, cujus chorda HL, du- 
catur reeta HA tangens arcum in puncto H, 
sitque angulus ALH reetus; deinde reeta HG 
dividat arcum HKL bifariam in K , sitque 
angulus HGF rectus, et ita de caeteris in infi- 
nitum: arcus HKL erit major quam HL, et 
minor quam HB, item major quam HF, et minor 
quam HC, item major quam HE et minor quam 
HD etc. in infinitum: 
erit quoque arcus minor j 96 HG — 22 HL + HA 

quam | 75 

item minor quam 16 HG— 3 HL + 2HB. 

15 
Et major quam 320 HG + 52 HB-56 AL - AB. 

315 
Et major quam 64 HF - 20 HG + HL 




Et major quam 4096 HE - 



45 
1344HF + 84HG 



HL 



2835. 

Et major quam 1048576 HN -348160 HE + 22848 HF — 340 HG + HL. 
Non credimus, meliorem circuli quadraturam linearem, quam haec est, 
unquam datum iri. Et quod nos induxit ad eam vobis impertiendam, 
potissimum hoc est, quod Dominus Gregorius similem Methodum ad 
alias curvas rectificandas applieavit. 



DlbenButg an SeiBtttj. 171 

Impertiar tibi hac occasione Solutionem Problematis Kepleriani de 
dividendo Semicirculo in ratione data per rectam pertranseuntem pun- 
ctum in diametro datum, hoc pacto: 

Sit*) semicirculus AHC, cujus centrnm B 7 dividendus e puncto D 
in ratione p ad q. Sint BD, BC, BE continue proportionales, sitque 
BD ad BC, sicut Semiperipheria AHC ad m. 

Fiat -£5- = a,AB = r, AE = b, 

p+q 

AF _ra2 , r2a* ra^ ra 6 13r 2 a 6 7 r 3 a 6 

et sumatur A_ - ^ 2 + ^ 2 ^ 4 + ^^ 3ß()b7 + .^ 

, 19r 4 a 8 173r 2 a 8 199r 3 a 8 113ra 8 , , 

^ 630 b 11 ^ 107520 b 9 13440 b 10 1290240 b 8 

Denique ex F erigatur Diametro AC perpendieularis FG, peripheriae 
occurrens in G, et ducatur recta DG ; dico GD A : GHCD : : p : q. 
Hujus seriei prolixitas provenit duntaxat a puncto D indefinite sumpto; 
nam posita recta BD determinata, viz. -^ 3**) = D B, Series haec evane- 
scit in simplicissimam, erit namque 

kT , a 2 a 4 a 6 799 a 8 

A T^ . 

200r 300000r 3 800000000t 5 1792000000000000r 7 
Dn. Gregorius supponit, Seriem hanc in omnibus usibus Astronomicis 
qualibet Sinuum tabula exactiorem: verum tarnen , puncto D cadente 
prope C, et ratione p ad q existente majoris inaequalitatis, Series quae 
sequitur, fuerit, ipso Judice, expeditior: 
Reliquis manentibus ut supra, 

m 2 + r - a ~ e, et BE = d, 

. re r 2 e 2 r 3 e 3 re 3 7 r 2 e 4 5r 4 e 4 7r 5 e 5 r 3 e 5 

erit B_ - -- — T + — F - g-p+ — ^p _ T + - : _. ----- - 

re 5 



■ + etc. 



1 120d 5 

Si contingit e notari cum — , tum et BF eandem notam habebit, 
inque eo casu F capitur inter B et C. Infinitae hae series eodem 
gaudent successu in aequationum radicibus , quem sortiuntur in aliis 
problematibus, nisi quod, cum in aequationibus multae sunt quantitates 
indeterminatae, earum Series grave pariunt taedium; at vero, quando 
determinatae illae sunt, series perquam sunt simplices. 

Hactenus Gregorius: cui subnectam, pro alia instantia seriem 
accommodatam inveniendae naturali tangenti ex arcu dato. 
Sit radius = r 
Arcus — a 

tangens — t, 

*) Die gtßut fc^Ö int SUtamtfcripi. ;**) äftufe wljl Reiften; JLr # 



172 DtbenBurg an SetBiüj. 

, , , a 3 , 2a 5 17a 7 62 a 9 . 

t ^ t = a + -ä^+lB? + -8ife?T + 288fe5- et0 - 

Et ad inveniendam tangentem logarithmicam non cognita Naturali, 
pone q pro toto quadrante, et sit 2a — q = e, et tunc voca t Tangentem 
artificialem, tuncjerit 

^ j^ 61 e 7 2 77 e 9 

+ 6r* + 24r 4 + 5040r6 72576r 8 etC * 

Dn. Gregorius Collinio mediante in hanc methoduni incidit, visa non 
nisi una ex seriebus Domini Newtoni, ejusque de ea haec est sententia, 
Eem omnem non nisi corollarium esse seriei generalis , accommodatae 
inveniendo cuilibet ex quotlibet mediis proportionalibus, ut libuerit, inter 
quosvis duos nunieros extremos datos, vel inter alia quaelibet extrema, 
in eadem ratione licet remota, cum inveniendo ullo ejusmodi termino 
remoto. 

Defuncto Gregorio, congess.it Collinius amplum illud commercium 
litterarium, quod ipsi inter se coluerant, in quo habetur argumenti 
hujus de seriebus historia: cui Dn. Newtonus pollicitus est se adjecturum 
suam methodum inventionis illius, prima quaque occasione commoda 
edendam, de qua inter ea temporis hoc scire praeter rem non fuerit, 
quod scilicet Dn. Newtonus cum in litteris suis Dcbr. 10. 1672 com- 
municaret nobis methodum ducendi tangentes ad curvas geometricas ex 
aequatione exprimente relationem ordinatarum ad Basin ? subjicit hoc 
esse unum particulare 7 vel corollarium potius, methodi generalis, quae 
extendit se absque molesto calculo, non modo ad ducendas tangentes 
accommodatas omnibus curvis sive Geometricis sive Mechanicis, vel 
quomodocunque spectantes lineas rectas aliasve lineas curvas; sie 
etiam ad resolvenda alia abstrusiora problematum genera de curvarum 
flexu, areis, longitudinibus, centris gravitatis etc. Neque (sie pergit) ut 
Huddenii methodus de maximis et minimis, proindeque Slusii nova Me- 
thodus de tangentibus (ut arbitror) restrieta est ad aequationes surdarum 
quantitatum immunes. Hanc methodum se intertexuisse ? ait Nowtonus, 
alteri illi, quae aequationes expedit reducendo eas ad infinitas series 7 
adjicitque, se recordari, aliquando data occasione, se significasse Doctori 
Barrovio lectiones suas jamjam edituro, instruetum se esse tali methodo 
ducendi tangentes, sed avocamentis quibusdam se praepeditum, quominus 
eam ipsi describeret. 

Quod spectat series infinitas pro aequationum radieibus, ait Colli- 
nius, putare se, Dn. Gregorium ei rei insudasse mediante alia methodo, 
extrahendo eas symbolice ; qua de re haec sunt ipsissima verba Gregorii, 
litteris ipsius 17, Maji 1671 ad Collinium datis inserta: Invenio ejus- 



DlbenBurg an SeiBtitj. 173 

modi serierum continuationem, immane quantum! prolixam. 
Et irfalia ejusdem epistola 17. Jan. 1672 scripta, haec habet: Dari 
posse unam seriem, accommodatam omnibus aequationibus cubicis, aliam 
omnibus biquadraticis, aliam omnibus sursolidis; quin imo pro quavis 
radice dari posse numeros serierum infinitos, et industria quaedam re- 
quiritur seriem ingrediendi noscendique ad quam radicem referatur. 

Quoad vero aequationum resolutionem ope logarithmorum, vel po- 
testatum omnium intermediatarum amotione, dixit idem Gregorius epistola 
sua 17. Jan. 1672 ad Collinium data, praestare se id posse; sed aequa- 
tionem sursolidam (quam constat esse 5 dimensionum) priusquam re- 
duci possit ad puram, ascendere oportere ad 20 am potestatem. Et 
litteris suis 26. Maji 1675 exaratis ait, Facile esse ita constituere aequa-v 
tiones, ut vel 2, 3 etc. vel omnes intermedii termini sine difficultate 
tollantur, at vero tollere duos terminos intermedios in aequatione ar- 
bitraria, citra elevationem, penitus esse impossibile, seque ipsum posse, 
illam elevando, tollere omnes terminos intermedios, quod (quantum ipsi 
eonstaret) orbem eruditum hactenus latuerit. 

Disquisitionis hujus occasionem suppeditatam fuisse ait a Dno. du 
Laurens, in praeloquio suo asserente, se praestare id posse. Erat ille 
Dno. Freniclio familiaris. Scire avemus, num inter Freniclii et du Lau- 
rentii Schediasmata aliquid ea de re inveniatur. Rev. Dnum. Pardies 
quod attinet, nescimus quomodo tale quid de eo expectare licuerit. 

Quod attinet radicum exhibitionem omnium aequationum in surdis, 
haec dicenda habet Collinius. 

Laudato Gregorio significatum cum fuisset Dnum. Tschirnhausium 
in talem methodum incidisse , aliquotque instantias de ea exhibuisse 
in casibus quibusdam particularibus ad Dn. Gregorium missis, hunc in 
responsione sua 20. Aug. 1675 dixisse, se nullum videre nexum inter suam 
ipsius methodum generalem exhibendi omnium aequationum radices surdas, 
et regulas illas particulares nobilis illius Germani ad se transmissas, quando- 
quidem in sua(Gregoriana)Methodofrequentius occurrant casus impossibiles. 

Atque in epistola sua Sept. 11. 1675 ex occasione regularum 
illarum quas diximus particulearium ait, In quavis aequatione habente 
ejusmodi relationem inter radices suas, ut data una reliquae omnes 
ope ejus possint inveniri , 1. Regulam constitui posse, qua ipsa redu- 
catur ad simplicem aequationem lateralem; 2. vel, si duarum Radicum 
adminiculo ceterae omnes inveniri queant, earum beneficio reduci eam 
posse ad aequationem quadraticam, radicibus istis duabus inveniendis 
accommodam; 3. veb si trium radicum ope reliquae omnes possint in- 
veniri, reduci eam posse ad aequationem cubicam pro istis tribus radi- 
cibus in infinitum; 4. datis aequationibus duabus tribusve, novam aequa- 



174 DIbenBurg an Seimig. 

tionem inveniri posse, cujus radix sit radicum aequatiormin datarum 
summa vel earum differentia, vel productum, vel (verbo dicam) quodlibet 
quod constitui potest ex radicibus vel per radices aequationum priorum. 

In litteris suis 20. Aug. 1675 datis porro addit de methodo sua, 
aequationum surdis radicibus accommodata , probabile scilicet esse, 
laudati Germani metbodum universalem, quando vulgata fuerit, magis 
esse compendiosam sua, cum (ut verum fateatur) inventio particularium 
canonum (unus namque canon semper inservit omnibus aequationibus 
eodem numero dimensionem constantibus) sit admodum laboriosa, 
quin et excedens quicquid hactenus in praxin abierit: atque 
(sie pergit) si ipsius methodus non compendifaciat rrieam, dubito, 
num integri anni spatium suffecerit ineundo calculo canonum 
aequationum pro 10 prioribus dimensionibus, attamen meae methodi ratio 
fere me persuasum tenet non dari aliam compendiosiorem 5 quin in aequa- 
tionibus Cubicis et Biquadraticis majus habet compendium ulla mihi 
unquam visa : verum in immensum augetur labor auetis dimensionibus, 
et si quis laborem subire vellet calculandi canones, lubens ipsi commu- 
nicarem methodum meam demonstratione munitam, cum, ut quod res est 
dicam, in opere tarn taedioso me destituat patientia. 

Idem in epistola Octobr. 2. 1675 scripta ait, Variando signa quan- 
titatura, radicem unam comp onentium (pro unaquaque dimensioner espectiva) 
omnes alias radices componi, et Methodum canones hosce inveniendi in 
eo consistere ut deprimatur semper aequatio a gradu superiore ad gradum 
inferiorem. 

Si de aliis Gregorii Scoti inventionibus scire aves, haec porro habet 
Collinius : 

1. Illum ex Italia reducem factum Londini A. 1668 ostendisse ma- 
nuscriptum quoddam de Astronomia, Planetarum Theorias ad Methodum 
Geometricam reducens, quod dicebat aliquando forte in lucem emissum 
iri: ostendisse eodem tempore aliud scriptum suum Dioptricum; sed 
Doct. Barrovii lectiones, de eo argumento deineeps editas, in causa fuisse 
quod illud supprimere statuerit, saltem donec videret, quid Hugenius et 
Newtonus ea de re commentati essent. 

2. In litteris suis 5. Sept. 1670 sie scribit: Perlegi utrumque 
Barrovii librum, praelectionibus Opticis et Greometricis constantem, idque 
magna cum voluptate et attentione, deprehendique illum multis parasangis 
post se reliquisse omnes, qui ante ipsum de istis argumentis fuere com- 
mentati. Detexi ex ipsius methodo ducendi tangentes, nonnullis meis ? 
meditamentis sociata, generalem methodum Geometricam, absque calculo 
tangentes ducendi ad quasvis curvas, comprehendentem non modo Dni. 
Barrovii Methodos particulares, sed et generalem ejus methodum analyticam, 



DlbenBurg an Seibntg. 175 

sub lectionis ipsius 10 mae finem traditam. Mea Methodus non continet 
ultra propositiones 12. 

Una mittebat exempluin praxeos ejus, ducendo tangentem ad spi- 
ralem arcuum rectificatricem, supposita Circuli quadratura: cujus curvae 
haec est indoles. Describe circulum, et per centrum ejus duc aliquot 
radios seeantes; intellige, arcus interceptos inter radios illos et unum 
diametri terminum extendi in chordas, et adaptatos intra extreniitatem 
diametri et radios illos secantes ; curva transiens per puncta sie inventa 
vocatur spiralis areuum rectificatrix. 

3. Idem in litteris scriptis 23. Novembr. 1670 haec habet: Prope 
jam paratam habeo typis edendani aliam editionem meae quadraturae 
circuli et hyperbolae, in qua (ni fallor) multis et variis modis institutum 
meuni deinonstro. 

Erat ilhid probare, utranique figuram incapacem esse exaetae ullius 
quadraturae, sive in lineis, sive in numeris, nee aliquam inter ullas 
alterutrius portiones assignari posse aequalitatem. 

4. Quoad duplicatas aequalitates Diophanti et similia earum aug- 
menta et explicationes testatus est aliquot epistolis, posse ea plurimum 
exeoli et provehi: quod idem et affirmatur a Pellio. 

5. Quoad spectat construetiones aequationibus idoneas, cum mentio 
fieret apud Gregorium, methodum deesse inveniendi, quaenam aequationes 
solvantur per ordinatas cadentes ab intersectionibus duarum quarumvis 
Sectionum Conicarum aliarumve curvarum Geometricarum in axes vel 
lineas ipsis parallelas alterutrius figurae, si figurae illae sint determinatae 
et ex suppositione in quovis positu ad libitum duetae: Respondit, cum 
hie ageret Londini A. 1673 ? se rem illam considerasse^ et labore aliquo 
conseetatum esse. 

6. Difficile Problema cum ipsi proponeretur, viz. Summa quadra- 
torum et summa Cuborum quatuor continue proportionalium datis, in- 
venire proportionales, ajebat coram eodem anno 1673 ? se non dubitare 
quin resolvere id posset, tollendo omnes potestates inferiores in unaquaque 
aequatione proposita, atque ita tandem reduetionum ope perveniendo 
ad duas potestates puras sublimiorum dimensionumj quarum unius radix 
daret primam Proportionalem quaesitam ? alterius vero rationem, proindeque 
problema solutum esse. 

Sed ex eo tempore in epistola data 28. Julii 1675 scripsit, se de 
hoc Problemate meditatum esse, et magnum sibi Apollinem fore, qui id 
solveret per aequationem 30 dimensionibus inferiorem. Adjicit, aequationes 
equidem illas, ad quas ipse rem deduxerat adeo fuisse taediosas ? ut pa- 
tientia ipsi deficeret ? reduetionum regulas applicandi; verum tot tamque 



176 DIbenbnrg an Seümis» 

diversas aequationes se explorasse, ut si capaces reductionis fuissent, 
reductionum illarum nonnullas fuisse obvias futuras crederet. 

Propositi hujus Problematis ratio erat, quod, cum praesumatur jam 
cognitum quoad progressionem quamvis Arithmeticam, quod datis duabus 
quibuslibet summis, viz. vel ipsius progressionis, vel ejus quadratorum, 
cuborum etc. una cum numero terminorum, progressio possit inveniri, 
disquisitione dignum foret simile dari respectu Progressionis geometricae. 
Res spinosa implexaque videtur. Interim Dn. Collinius de Methodo 
cogitavit quaestionem propositam solvendi , quae probabiliter (necdum 
enim vacavit ipsi calculos ea de re inire) non ascendet ad dimensiones 
adeo sublimes ut putatur: eaque hunc in modum se habet. 

Pone quantitatem ignotam pro summa proportionalium, et juxta 
Doetrinam Billii, nactus summam 4 Proportionalium summamque qua- 
dratorum ex iis emergentium, extunde 4 proportionales, quod fieri po- 
test, vel omni modo per species, vel (brevitatis causa ad solvendum illud in 
particulari) partim per species, partim per numeros: easque hoc modo 
consecutus, cuba omnes, easque simul additas, aequales redde datae 
summae cuborum. Hac ratione obtinetur aequatio, qua valor ignoti 
Symboli primo positi inveniri potest , qaem postquam consecutus et 
interpretatus fueris, in proportionalibus speciosis vel mixtis, per Billii 
Doetrinam inventis, 4 Proportionales quaesitae habentur. 

Quod attinet omnium Aequationum per Sinuum tabulas solvendarum 
rationem, Dn. Pellius id fieri posse saepius asseruit, et nuper me praesente 
rogatus, possetne aequationes omnes sex vel octo dimensionum Canonis 
Sinuum beneficio solvere, affirmavit sese sublimiorum adhuc dimensionum 
aequationes ad dictum canonem reduxisse. 

1. Ait laudatus Pellius, Sectionum angularium doetrinam posse in 
immensum ampliari; id quod verum esse videtur ex speeimine ad calcem 
Algebrae Germanicae, a diseipulo ipsius Rhonio*) concinnatae, adjeeto, 
ubi habentur 105 theoremata de Sinubus, Chordis, Tangentibus et Seean- 
tibus, quae in editione Anglica non habentur. 

2. Praecipuus finis et usus hujus Doctrinae est, non tarn confectio 
tabularum (quippe quae facilius peragi alia ratione potest) quam aequa- 
tionum resolutio. 

3. Circulus et Ellipsis una cum suis inscriptis adscriptisque magis 
sunt hanc in rem idonea, quam ullae figurae aliae. e. g. in Dni. Grregorii 
Greometriae parte universali haec oecurrit propositio p. 128 : 

*) @oH tDctfjrfdjeinltd) Reiften : Rahnio. g. §. mafyx ift SScrfaffcx von: 
$)eutf<$e Algebra ober algefcratfdje 9ied)ertlunft $ufcmtt tljrem (Bevtaud), Befte^enb 1. in 
ber Stupf ung nexrootrener matf)emattfdjen Aufgaben; 2. in $erJjcmbftmg allex^anb alge= 
braifdjer Stequationen; 3. in (Srfinbung unietfdjieblttfjer nüj^Iidjer theorematum. Qixxi^ 
1659. 4. 



Olbettöurg an SetBntj. 177 

„Si circuli circumferentia dividatur in partes quotcunque aequales 
„et numero impares, et a quolibet peripheriae puncto ad omnes ejusdem 
„divisiones rectae ducantur, si circulus dividatur in partes aequales, erit 
„summa primarum aequalis ultimae; si in quinque, erit summa pri- 
marum et ultimae aequalis summae secundarum; si in Septem, erit 
„summa primarum et tertiarum aequalis secundarum et ultimae; si in 
„novem, erit summa primarum, tertiarum et ultimae aequalis summae se- 
„cundarum et quartarum, atque ita deinceps in infinitum. Dicimtis 
„autem, rectas primas esse illas, quae ducuntur ad divisiones. ex utraque 
„parte puncto assignato proximas; secundas illas rectas ? quae ducuntur 
„ad divisiones, primis ex utraque parte succedentes; tertias, quae se- 
„cundis succedunt etc; rectam vero ultimam illam quae ducitur ad di- 
„visionem a puncto assignato remotissimam," 

4. Consimile quid Wallisius noster praestitit, quando Peripheria 
dividitur in quemlibet numerum partium aequalium, deditque aequationes 
divisionibus tarn paribus quam imparibus idoneas, in tractatu de Sectio- 
nibus angularibus, qui nunc penes Collinium est, typis mandandus. 

5. Hae chordae, repraesentantes aequationum radices, transferri 
possunt a circulo, tamquam ordinatae, propriis suis resolvendis insi- 
stentes, per quarum summitates ducta curva erit flexuosa, uti sunt om- 
nium aequationum loca ? prout saepius antehac innuimus, ac evidenter 
jam cognitum est in cubicis : atque hinc lucem faenerari possumus Me- 
tbodo transferendi vicissim a loco ad circulum. 

6. Affirmat Pellius, constituere se posse problemata, abitura in 
aequationem ejusdem formae cum quavis proposita: ad haec, posse se 
in istius modi constitutionibus pertingere ad limites ascendendo : Porro 
Doctrinam limitum hactenus etiam a praestantissimis ejus scriptoribus 
perquam imperfecte esse traditam: insuper copmarando et accommodando 
invicem limites aequationum et problemata Cardani, regulas innumeras 
alias ipsis consimiles inveniri posse ? atque Regulam illam et Doctrinam 
Huddenii de aequationum omnium tumnumeralium tum litteralium inveniendis 
Radicibus Surdis attingi et obtineri. Limitibus obtentis ad evitandam implexam 
illam surdorum complicationem, canone illo se uti ait idem Pellius, quod et 
fieri similiter potest in limitum ipsorum consecutione, quos postquam obtinu- 
erimus, inveniuntur omnes ad quodvis Resolvendutn propositum Radices, 
beneficio facilis methodi applicandi illud uni circulo, vel plura Resol- 
venda pluribus circulis, quorum quilibet intelligi potest diversas revo- 
utiones habere. [Denique affirmat Pellius, conscripsisse se dudum de 
hac doctrina exercitationes, quarum titulus : Tractatus de habitudinibus 
repetitis, et usu Canonis mathematici; sed Schediasmata illa ruri, [ubi 
antehac commoratus est, asservari. 

12 



178 DlbenBuxg an ßeUmi&. 

Assertiones hae Pellianae parere in Philomathematici mente posr 
sent cogitationem, 1. Annon detur possibilitas augendi, minuendi, multi- 
plicandi et dividendi quasdani ex aequationum radicibus, reliquis in eo 
quo sunt statu servatis; 2. Si duae aequationes habeant eosdem plane 
limites, sive paria radicum aequalium, excepto tantum uno par, in utrisque 
eommunia, quaenam habitudines variationesque dentur inter quot radices 
in singulis, et inter quot radices ex illis? 3. Probabile videri, quod- 
libet radicum par in qualibet sublimiori aequatione habere posse diversos 
ad eas inveniendas canones. Ex. g. Regulae Oardani idoneae sunt in- 
veniendae radici aequationis cubicae, quando nonnisi una radix est possi- 
bilis, et post novam aequationis efformationem diminuendo radices limi- 
tum alii possunt strui canones ad inveniendas radices, quando tres sunt 
possibiles. 

7. Hamm rerum notitia fretus Pellius dudum in Idea sua mathe- 
matica typis edita A. 1657 proposuit sive promisit p. 43: Juxta Me- 
thodum suam descriptam deducere non solum quicquid invenire est in 
praedecessorum nostrorum scriptis, et quicquid illis in mentem venisse 
videri potest, sed etiam omnia inventa, Theoremata, Problemata et prae- 
cepta Mathematica quae foecunda successorum nostrorum ingenia ex- 
cogitare poterunt, idque uno certo et immutato ordine, inde a primis 
Mathematum principiis usque ad summas nobilissimasque eorum appli- 
cationes, aeque ac imas maximeque vulgares, non tradendo eas tumul- 
tuarie prout mentem subeunt, uti factitarunt majores nostri, qui in pro- 
blemata sua eorumque solutiones casu, non vero una constante et in- 
variata methodo scientifica incidisse videntui\ Cui subjungit p. 45. 
quo vis argumento proposito determinare numerum omnium Pro- 
blematum, quae de eo concipi possunt; et quovis problemate 
proposito , ostendere demonstrative vel omnia media iis solvendis 
idonea vel solvendi impossibilitatem; et, si posterius, utrum necdum, vel 
plane non sit solutu possibile; qua de re exercitationem scripsit, Cribrum 
Eratostenis dictum, quam Dn. Boylius perlustravit. 

Has assertiones Dn. Descartes censura sua aliquot litteris perstrinxit, 
quae si obtineri possent a Dno. Clerselier, si quidem penes ipsum sint, 
magni beneficii loco poneremus. 

8, Ad majorem dictis fidem astruendam, in nonnullorum fide dignorum 
praesentia, chartam aliquoties deprompsit ex loculis, ulnae longitudine, 
diversis columnis notatam, in qua e regione 400 resolvendorum Arith- 
metice creseentium, aequationis sex dimensionum (si rite memini) tra- 
debantur, in diversis columnis, diversae series radicum ad ea pertinentes, 
quas e tabula sinuum desumptas afferebat, nee tarnen aequatio illa Sectio- 
nibus angularibus erat aecommoda. Adjiciebat ille, ad opus hoc melius 



OlbenBurg an Seifin^. 179 

conficiendum necessum esse , ampliorem strui canonem , dividentem 
quemlibet arcus gradum in 1000 partes. Cui respondebatur, utilitate 
hujus rei intellecta, forsan non defore viros, qui canonem illum struen- 
dum susciperent; cujus tabulae radicum ope ipsa aceurate descripserat 
locum aequationis una cum omnibns flexuris, ostendentem ubinam radices 
lucrabantur vel omittebant possibilitatem suam per paria ; banc radicum 
seriem aeque fere facile strui posse ac transscribi, velleque eam susci- 
pere Methodo Vietae, esse laborem, quem humeri humani ferre recusent, 
nee nisi ut Warnerus dictitabat, ei possibilem, qui Alpibus Italis in An- 
gliam transferendis locare operam suam vellet. 

9. Ex sermone cum Pellio habito non patet, ipsum studio doctrinae 
infinitarum serierum adeo multum ineubuisse, et quamvis agnoscat, posse 
eas esse usui in Theorematibus vel potius habitudinibus per eas inventis, 
attamen quoad partem calculativam vel applicativam, ait, posse eam vel 
plane amoveri, vel plurimum facilitari Methodorum suarum beneflcio, 
quas evulgare recusat, nisi prius viderit, quid Gregorii vel Newtoni me- 
thodi praestare valeant, quorum posterior lectiones ea de re et de Al- 
gebra habuitj quas publicae Bibliothecae Cantabrigensi commisit. 

Digna sane haec videntur Mathematicorum Parisiensium meditatione, 
et spes nos fovet, ipsos communicaturos esse suos hac in re labores et 
conatus. Vale, et cito si placet rescribe. 

Datam Londini d. 26 Julii 1676. 



XLIIL 

(Dlbmbmg an ieibni$.*) 

yiafy htm äJtanufcrtpt in ber ^öntaL SBifcliotljef gu §cmnot)er. 

Quamquam Dni. Leibnitii modestia in excerptis, quae ex Epistola 
ejus ad me nuper misisti, nostratibus multum tribuat circa speculationem 
quandam infinitarum serierum, de qua jam coepit esse rumor: nullus 
dubito tarnen, quin ille non tantum quod asserit methodum reducendi 
quantitates quaseunque in ejusmodi series, sed et varia eompendia, forte 
nostris similia, si non et meliora, adinvenerit. Quoniam tarnen ea scire 



*) DlbenButg fyat Bewerft: Apographmn literarum a Dno. Newtono scriptarum 
ad H. Oldenburgium, Cantabrigia d. 13. Junii 1676. 

12* 



180 ÖlbenBuxg an Setbnig. 

pervelit, quae ab Anglis ea in re inventa sunt, et ipse ante annos 
aliquot in hanc speculationem inciderim, ut votis ejus aliqua saltem ex 
parte satisfacerem, nonnulla eorum, quae mihi oocurrerunt, ad te transmisi. 
Fractiones in infinitas series reducuntur per divisionem, et quan- 
titates radicales per extractionem radicum, perinde instituendo operationes 
istas in speciebus istis ac institui solent in decimalibus numeris. Haec 
sunt fundamenta harum reductionum; sed extraetiones radicum multum 
abbreviantur per hoc theorema: 

P + PQ n - P n + - AQ + -5— BQ + -^ — CQ + — - — DQ=eto*),ubi 
1 n zn on 4n 

P + PQ significat quantitatem, cujus radix vel etiam dimensio quae vis. 

vel radix dimensionis investiganda est, P primum terminum quantitatis 

m 
ejus, Qreliquos terminos divisos per primum, et — numeralem indi- 

cem dimensionis ipsius P+PQ, sive dimensio illa integra sit, 
sive (ut ita loquar) fracta, sive affirmativa sive negativa. Nam siout 

**) Setfmta §at üBex bte ein^eltten ©lieber btefeg $u3brudfö bte SButfjfta&en A, B. 
C, D, E geftfjtieften unb am Stetbe beg SBrtefeS goIgenbe§ bemerlt: Conferenduni cum 
extractione mea radicis quad. cub. 

ABC ■ D 

Pn+n QPh +-];2^Q"Pn + 1, 2 , Ztf Q d PnetC Hf+ ^H 

Numerator in B est m, in C est m, m— n, in D est m, m — n, m — 2n et ita porro, arith- 
meticis continue in se ductis. Nominator fit ex arithmeticis crescentibus, numerator 
ex decrescentibus. Numerator per m divisus foret formula serviens pro aequatione, 
cujus radices progressionis Arithmeticae, posito m pro incognita et n, In, 2n etc. 
pro radicibus veris. Hinc facile condetur tabula pro continuanda hac serie in in- 

m ....... . HL . 

finitum. Pn potest esse rationalis vel irrationalis ; divisa serie per Pn reliquum 

rationale; imo prorsus evanescet x n vel ipsa P. Hinc semper fieri potest commode, 

m_ 
ut P sit 1, erit P n etiam 1. 

Si m r~i n, et tarn m quam n integer, series non ibit in infinitum, sed aliquis 
terminus fiet n adeoque omnes quoque sequentes. Potest m vel n etiam esse fractus 
vel irrationalis, quod magni est momenti. Quin et potest esse litera. (Vicissim 
*-£- potest inveniri ex P + PQ, logarithmus ex numero; denique et numerus ex logarithmo, 
Methodis alibi a me traditis). Eadem quantitas infinitis modis hinc haberi potest, 
faciendo m, n alias atque alias, eadem semper manente — . 

Quaerenda et theoremata pro extractione radicum inaequalium, ut si sint 
progressionis arithmeticae, exemplum est, dato numero extrahere radicem quam vocant 

pronicam, ut y T" y nb invenire y, aut y 3 -f by 2 + cy n d seu y in y 2 -f by + c n d. 

Unde non tantum y, sed et y 2 + by + c sunt divisores ipsius d. Si pro n ponatur 

— , fiet *— p] *u q, et nulla erit litera in fr actione ; etiam pro Q potest poni ~ . 



Dlbenfcurg an SeiBtttg. 181 

Analystae pro aa, aaa etc. scribere solent a 2 , a 3 , sie ego pro 
V% Va^ T^c~a*" etc. scribo a * ? a * i af > et P ro ~> — » r^ 



a' aa' a° scribo 
1 
aa 



Et sie pro scribo aa x a 3 + bbx| * 

!/ c. a 3 + bbx 

aab . ~ r" - "3" . 

et pro / — : scribo aab x a d + bbx| 7 in quo ul- 

l/c: a 3 + bbx x a 3 + bbx 



timo casu, si a 3 +bbx| 3 coneipiatur esse P + PQ| n in Regula , erit 

P — a 3 ? Q = — 3— ? m = — 2 et n = 3. Denique pro terminis inter operandum 
a* 

inventis in quoto, usurpo A, B 7 C, D etc. nempe A pro primo termino 

Pü~ ? B pro seeundo ^-AQ, et sie deineeps. Geterum usus Regulae patebit 

exempl is. 

Exempl. 1. Est Vcc + xx seu cc-fxxl ' 2 ) = c + — — ~-^ 4- ttt -e 

V ' 7 2c 8c rf ' 16 c ö 

OX 1 IX . .. . _ ~ XX . 

— -.CIO 7 H — am 7T+ etc - nam m boc casu est P = cc, H = — , m — 1, 
128c ' 256 c y cc 7 7 



n = 2,A = F== cc|* =c, B =^AQ =^,C =^"BQ 



m . _ \ xx ^ / m— n _> ~ \ — x 



n ^7 2c' V 2n 7 8c 3 



r4 



et sie deineeps. 

/ _L\ c 4 x — x 5 

Exempl. 2. Est ]/5 : c 5 + c 4 x-x 5 1 i. e. c 5 + c 4 x-x 5 | 5 Wc-l - 4 

2c 8 xx + 4c 4 x 6 — 2x 10 
or h etc. ut patebit substituendo in allatam Kegulam, 

25 e y x 

c 4 x -4- c^ 
1 pro m, [5 pro n ? c 5 pro P*), et — pro Q et tunc evadet 

c 4 x + c 5 2c 8 xx + 4c 9 x + 2 c 10 



V 5 : c 5 + c 4 x — x 5 = - x + — pr - I T 1 oK—* + etc * Prior 

ö X* Ciö X 

modus eligendus est, si x valde parvum sit; posterior ? si valde 
magnum. 



*) @o Ijeifct btefe ©teile in ber Sü&fdjrift, bte öeibnts srtgeftfjitft nmxbe. Offenbar 
tft fjier etttmS aufgefallen; in bett Opusc. Newt. ed. Castillon Tom. I. pag. 109 folgt 

itctdj ben SBorten „pro P" : et — X 7" pro Q. Potest etiam — x 5 substitui pro P, 

et c x + ÜL pro Q, et tunc etc. @&enfo lautet biefe «Stelle im Oommercium Episto- 
licum J. Collins et aliorum de Analysi promota. 



182 ÖlbeuBxirg cm Seiöntg. 

N / f _l\ 

Exempl. 3. Est - f ■ — — hoc est N x y 3 — aay 3 =' 
r Vc:y 3 — aay \ j j\ j 

_ T 1 aa 2a 4 14a 6 , , T ^ Q ~ aa . n 

=Nx- + ^- 3 + g^ + öi p + eto.NamP = y«,Q = --,m = -l,n = 3, 

A( = P»=y«x- i )= y - 1 > hoc est ^,B( = ^AQ = - 5 *£ ~ =^f) 
aa 

= ^ 

Exempl. 4. Radix cubica ex quadrato - quadrato ipsius d + e 

, a\ 4 4 edlT 2ee 4c 3 

hoc est d + e 8 J est d 3 + — - 1 - r + etc. Nam P = d, 

1 6 9d ¥ 81d* 

Q = ^,m = 4,n==3, A ( = P n j = d 3 etc. 

Eodem modo simplices etiam potestates eliciuntur. Ut si quadrato- 

/ .5 A\ 

cubus ipsius d -(- e I hoc est d-j- e| seud-t-el 1 ! desideretur, erit juxta 

RegulamP = d, Q= -^-, m = 5 et n = 1, adeoque A f = Pf )= d 5 , B(=-AQ^ 

= 5d* e, et sie C = 10 d^ ee, D = 10 dde3, E = 5de 4 , P = e», et 

Qt( = m ~ bn FQ) = 0. Hocestd + e[ = d* + Bd* e -f 10d 3 ee + lOdd e^ 

-f- 5de" + e». 

Quin etiam Divisio, sive simplex sit, sive repetita, per eandem 

Regulam perficitur. Ut si (hoc est A-\-e\ sive d-j- e| 1 jinse- 

riem simplicium terminorum resolvendum sit , erit juxta regulam 

P = d,Q= j,m=-l,n=letA/=Pn=d-TJ=d~ ! seu i'BY = -^AQ) 

1 p — — e ee — — p3 i i 

— -— 1 x — x — = -— -1, et sie C — — , D = — r- — etc. Hoc est ■= = - T - 

d d dd d 3 d 4 d + e d 

e ee e 3 

-M + *r-di + etc - 

.-3 



Sic et d + e[ (hoc est unitas ter divisa par d + e vel semel per 

1 3e 6 ee 10 e 3 

cubum ejus) evadit -=-= — — H — r— -f- etc. 

J d 3 d 4 d 5 d 6 



DftenBurg an ÖetBnij. 



183 



Et N xd + e 



d + e evadit N x ' 



1 



3 hoc est N divisum per radicem cubicain ipsius 
e 2ee 14 e 3 



+ 
3d* 9d* 81 d 1 



10 



etc.*) 



Et Nxd + e[ 
ex cubo ipsius d + e sive 
52 e» 



(hoc est N divisum per radicem quadrato-cubicam 

N n 1 

evadit N x - — -r- 

]/ 5 : d3 + 3dde + 3dee + e'V d 1 



3e 12ee 

8 ' 13 

Bd 5 25d~ 5 



125d' 



etc. 



Per eandem Regulam Greneses potestatuin, Divisiones per Potestates 
aut per Quantitates Radicales, et Extractiones Eadicum altioruni in 
Numeris etiain commode instituuntur. 

Extrationes Radicum Aequationum affectarum in Speciebus 
imitantur earum Extractiones iu numeris. Sed methodus Vietae et 
Oughtredi nostri huic negotio minus idonea est. Quapropter aliam ex- 
cogitare adactus sum, cujus specimen exhibent sequentia Diagrammata, 
ubi dextra columna prodit substituendo in media columna valores 
ipsorum p 7 q, r etc. in sinistra columna expressos. Pxius Diagramma 
exhibet resolutionem hujus numeralis aequationis y 3 — 2y — 5 — et hie 
in supremis numeris pars negativa Radicis. subdueta de parte affirmativa, 
relinquit absolutam Radicem 2,09455148, et posterius Diagramma exhibet 
resolutionem hujus literariae aequationis y 3 + axy + aay — x 3 — 2a 3 = 0. 



y 3 -^ 


r--ö = 


+ 2, 10000000 
- 0,00544852 




2,09455148 = y 


2 + P = y 


y 3 
-2y 
-5 


+ 8 + 12p + 6pp + p 3 

- 4 - 2p 

-5 




Summa 


- 1 + 10p + 6pp + p 3 


+ 0,l + q = p 


+ p 3 
+ 6pp 
+ I0p 

-n 


+ 0,001 + 0,03q + 0,3qq + q 3 
+ 0,06 +1,2 +6 
+ 1 +10 
-1 




Summa 


0,061 + ll,23q + 6,3qq + q 3 



*) SeiBmj §at fjier bemerft : Hoc pulchrum, et hinc etiam elegantissimum com- 
pendium pro mea eirculi dimensione ope transformationis facta. Et pro aliis trans- 
formationibus. 



184 



DlbenBurg an SetBrnj. 



- 0,0054 + r = q 


+ q 3 
+ 6,3qq 
+ ll,23q 
+ 0,061 


-0,0000001+ 0,000reto. 

+ 0,0001837- 0,68 
-0,060642 +11,23 
+ 0,061 




Summa 


+ 0,0005416 + 11, I62r 


- 0,00004854 + s = r 






y 3 + axy + aay — x3 — 2a 3 = 


/ x , xx , . 131x 3 L 509x 4 

V ~ 4 + 64a + 5 1 2 aa *" 16384a 3 6tC ' 


+a+p=y 


y 3 

+ axy 
+ aay 

-2a 3 


a 3 + 3aap + 3app + p 3 
+ aax + axp 
+ a 3 + aap 

-X 3 

-2a 3 


1 

- -^-x + q^p 


+ p 3 
+ 3 app 

+ axp 

+4 aap 
+ aax 

_ X 3 


- 64 x3 + l6 Xxq et °- 

3 3 
+ j^ axx — -^- axq + 3aqq 

1 , 
-j-axx + axq 

— axx -4- 4 aaq 
+ aax 

-X3 


-L XX J_ 

+ _+ P = q 


— 3aqq 
, 3 

+ ygXXq 

1 

+ 2 ax( l 

+ 4 aaq 

65 , 
64 X 

-^axx 


3x 4 
+ 4096a et °- 

3x 4 

+ 1024 a etC " 

1 , 1 
128 x' 2 axi 

1 
+ — axx + 4 aar 

65 , 
64 

-laxx 


+ 4 aa — jj-ax) 


131 rS 15x V, !31x 3 509x* 
+ 128 X 4096al' 512aa ' 16384a 3 



In priori Diagrammate primus terminus valoris ipsorum p, q, r 
in prima columna invenitur dividendo primum terminum summae proxime 
superioris per eoefficientem secundi termini ejus dem summae (ut — 1 per 10, 



OlbenBurg an Seibnig. 185 

aut 0,061 per 11,23) et mutando signum quoti. Et idem terminus 
eodem fere modo invenitur in secundo Diagrammate. Sed hie praeeipua 
difficultas est in inventione primi termini radicis: id quod methodo ge- 
nerali perficitur. Sed hoc brevitatis gratia jam praetereo, ut et alia 
quaedam, quae ad concinnandam operationem speetant: neque enim hie 
eompendia tradere vacat. Sed dicam tantum in genere, quod radix 
cujus vis aequationis semel extraeta pro regula resolvendi eonsimiles aequa- 
tioncs asservari possit, quodque ex pluribus ejusmodi regulis regulam gene- 
raliorem plerumque efformare liceat, et quod radices omnes, sive sim- 
plices sint sive affeetae, modis infinitis extrahi possint, de quorum sim- 
plicioribus itaque semper consulendum est. 

Quomodo ex aequationibus sie ad infinitas series reduetis, areae 
et longitudines curvarum, contenta et superficies solidorum vel quorum- 
libet segmentorum figurarum quarumvis eorumque centra gravitatis de- 
terminantur, et quommodo etiam curvae omnes mechanieae ad ejus- 
modi aequationes infmitarum serierum reduci possint, indeque problemata 
circa illas resolvi perinde ac si geometricae essent, nimis longum foret 
describere. Suffieiat speeimina quaedam talium Problematum reeen- 
suisse, inque iis brevitatis gratia literas A, B ? 0, D etc. pro terminis 
serici, sicut ab initio, nonnunquam usurpabo. 

1. Si ex dato sinu recto vel sinu verso arcus desideretur: sit radix 

' . x 3 3x 5 5x 7 

r et sinus rectus x entque arcus — x + 7; h ttt^ + tttt-ä + e tc. noc 

^ 6rr 40r 4 112 r 6 

1 x 1 x xx . 3 x 3xx T , 5 x 5xx ^ , 7 x 7xx ^ , 

est = x + -Tj ^ A + ~. zr — Bi + 7^ =— + -^ — ^— D + etc. 

2 x 3 x rr 4 x 5rr 6 x 7rr 8 x 9rr 

1 1 
Vel sit d diameter ac x sinus versus et erit arcus = d x 

x f 3X 1 öx 1 ' ! ± 1 /~ . , , x 3xx , 5x3 



dx ' inl+ 6d + 4Ödd + Il2ddd 



6d T 40d T 112dT 
+ etc. 

2. Si vicissim ex dato arcu desideretur sinus, sit radius r et arcus 

z, eritque sinus rectus = z - £ + ^ - J^ +^3—3^ - etc. hoc 

. zz A zz zz n . _ zz 

est =z — k — 77— A — -; — = — B — -x — = — C — etc; et smus versus — • 



2x 3rr 4x 5rr 6 x 7rr ' 2r 

z 4 z 6 z 8 , ___ zz zz A zz R 

24^ + 72Öl^ ~ ~4Ö32Ö^ + etC * 6St " T~^2v " 3~^~4^ A ' 5^ftS 

ZZ C-etc. 



7x8rr 



186 



Dlbenfcurg an Öetfmtä. 



3. Si arcus capiendus sit in ratione data ad alium arcum: esto 
diameter d, chorda arcus dati = x, et arcus quaesitus ad arcum illum 

datum ut n ad 1, eritque arcus quaesiti chorda = nx + ~ ^^ xxA 



9 



nn _ 25 — nn ~ 
xxB + „ , „ rr xxU 



36 -nn 



xxD 



49 



nn 



n xxE + etc. ubi 



4 x 5dd r 6 x 7dd ' 8 x 9dd ' 10 x lldd 

nota, quod cum n est numerus impar ? series desinet esse infinita, et 
evadet eadem, quae prodit per vulgarem Algebram ad multiplicandum 
datum angulum per istum numerum n. 

4. Si in axe alterutro AB Ellipseos 
ADB(cujus centrum C et axis alter DH) 
detur punctum aliquod E, circa quod recta 
EGr occurrens Ellipsi in Gr motu angulari 
feratur, et ex data area sectoris Elliptici 
BEGr quaeratur recta GrF quae a puncto 
Q- ad axem AB normaliter demittitur: esto 
B = q, DC — r, EB = t, ac duplum areae 
lOqq-^q* K 280q 3 + 504qqt-225qtt 
120r*t 7 Z 540r6t 1 « Z ' 




BEG-z:eteritGF=- 



9z3 



• + : 



t 6rrt* 
+ etc. Sic itaque Astronomicum illud Kepleri pröblema resolvi potest. 

OB 

5. In eadem Ellipsi, si statuatur CD = r, T^*==cetCF==x,eritarcus 

Ellipticus 



DG 



: X + X 3 + 

bcc 



10rc 3 

1 
40c* 



x 5 + 



+ 



14rrc 4 

1 
28rc5 

1 



x 7 + 



18r3c 5 
1 



x* + 



22r*c 6 
1 



+ etc. 



112 c 6 



+ 



24rrc 6 
1 



■22rV 
3 



48rc 7 

5 
1152 c» 



+ 



88rrc8 

5 
352re 9 

7 
2816c 10 



/l 1 f l 
Hie numerales coefficientes supremorum terminorum ( ^, j^r, TT^ 0, 

sunt in musica progressione, et numerales coefficientes omnium inferiorum 



*) 9ta§ ^orglet) (Newton, op. omn. Tom. I. p. 310) muft btefeä ©lieb Reiften: 
280q 3 + 225t 2 q — 504q 2 t 



5040r e t 10 



Dlbenfcürg cm SetBntj. 



187 



in unaquaque columna prodeunt multiplicando continuo numeralem coeffi- 

. , . . . . , . . . in - 1 In - 3, 

cientem supremi termini per termmos nujus progressioms — ö - ' — \ — 

in -5 in- 7 In - 9 x . . . ., ^ ,. 

— ä — > — 5 — ? — Tn — e ^ c * n ® 1 n signincat numerum dimensionum 
b 8 10 

ipsius c in denominatore istius supremi termini. E. g. ut terminorum 
infra 6 numerales coefficientes inveniantur, pono n = 6, ducoque 

^ (numeralem coefficientem ipsius j in 2 — - — , hoc est in 1, et prodit 

— (numeralis coefficiens termini proximi inferioris), dein duco hune ^ 

^ n 3 n 3 3 3 

i n — — g iy e i n — — noc es t in — , et prodit — numeralis coefficiens 
4 4 4 ? r 88 

tertii termini in ista columna. Atque ita -^ x — ^ — facit 77^7; num. coeff. 

1 88 o ööz 



au + • ■ + 5 *n-7 7 

41 termlm > et 352 X ~8~ faClt 2816 



numeralem coefficientem infimi 



termini. Idem in aliis ad infinitum usque columnis praestari potest, 
adeoque valor ipsius DG per hanc Regulam pro lubitu produci. 

Ad haec, si BF dicatur x, sitque r latus rectum Ellipseos et 

r 



e = y=t, erit arcus Ellipticus 



= Vre:inl+2jx, -2 

3 +3e 

-2 e 5 

/ — -ee 

3r 8 


XX, 

> 


+ 4 1 

- 9e 

23 

+ T ee 

16 e 


X 3 , 

> 


_ 10 
+ 30e 

123 

-— ee 


5rr 


+ 91e3 
8 




7r 3 


45 
128° 



x 4 , + etc. 



9r* 



Quare si ambitus totius Ellipseos desideretur, biseca CB in F, et quaere 
arcum DG per prius theorema, et arcum GB per posterius. 

6. Si vice versa ex dato arcu Elliptico DG quaeratur sinus ejus 

CF ? tum dicto CD = r, nT ^ — c et arcu illa DG = z erit 



188 



DIbenBurg an Seibntj. 



CP=z~ ~z* 
occ 



+ 



10rc 3 ' 

13 
120 e 4 



etc. 



14rrc 4 

Tl 

" 420rc* 
493 
5040 c^ 

Quae autem de Ellipsi dicta sunt, omnia faeile accommodantur ad 
Hyperbolam, mutatis tantum signis ipsorum c et e, ubi sunt imparium 
dimensionum. 

7. Praeterea, si sit CE Hyperbola, cujus 
Asyniptoti AD, AP rectum angulum FAD Con- 
stituante et ad AD erigantur uteunqne perpen- 
dieula BC, DE, occurrentia hyperbolae in C et E ? 
et AB dicatur a, BC, b, et area BCED, z ? erit 

7 rrn rrß r*4 7;5 




BD; 



■ + ■ 



--— etc. 



b ' 2abb ' 6aab 3 ' 24a 3 b 4 ' 120a 4 b* 
ubi coefficientes denoniinatoruniprodeunt niultipli- 
cando terminos hujus arithineticae progressionis 1, 2, 3 ? 4, 5 etc. in 
se continuo; et liinc ex Logarithmo dato potest numerus ei competens 
inveniri. 

8. Esto VDE Quadratrix, cujus vertex 
V, existente A centro, et AE semidiametro 
circuli, ad quem aptatur, et angulo VAE 
recto, demissoque ad AE perpendiculo quovis 
DB et acta Quadraticis tangente DT occurrente 
axi ejus AV in T : die AV = a ? et AB = x, eritque 

xx x 4 2x 6 

3a 




BD = a - ±± 



45a 1 



945a 5 



etc. et 



3a 



2x6 



15a 3 ' 189a* 



2x7 



— ax 



+ 



9a 
604x7 



— etc. 



+ etc. et arca AVDB 



14x5 



2x 3 
EtarCUsVD==X+ 27aa' 2025a 4 



225a 3 6615 a5 
+ etc. Unde vicissim ex dato BD ; vel VT 7 aut area AVDB 



893025a« 

areuve VD per resolutionem affeetarum aequationum erui potest x 
seu AB, 

9. Esto denique AEB Sphaeroides revolutione Elipseos AEB circa 
axeni AB genita, et seeta planis quatuor, AB per axem transeunte, DG 



DIbenBurg an SetBnt^. 



189 



parallelo AB, CDE perpendiculariter 
bisecante axeni et FGr parallelo CE: 
sitque recta OB = a, CE — c, CF = x et 
FG — y ; et Sphaeroideos segmentum CDFGr 
dictis quatuor planis comprehensum erit: 



+ 2cxy 

ex 3 

3aa 

ex 5 
~ 2Öä> 

ex 7 
" 56a" 6 

5cx 9 
"" 576 a* 
— etc. 



x 



"3?y c 



18caa 

' 40ca* 

5x^ 



20 c 37 

x 3 
40c 3 aa 

3x5 



5 _ 



336ca6 
— etc. 



160c 3 a« 
etc. 




Ubi numerales coefffeientes supremorum terminorum (2, 

1_ _ J&_ 

56' 576 

cientem 2 continuo per terminos hujus progressionis 
3x5 5x7 7x9 



1 
3' 



_1_ 
20' 



etc. in infinitum) produeuntur multiplicando primum coeffi.- 

1x1 1x3 



etc. 



2 x 3' 4 x 5' 
Et numerales coefficientes terminorum in 



6 x 7' 8 x 9' 10 x 11 

unaquaque columna descendentium in infinitum produeuntur multiplicando 

continuo coefficientem supremi termini in prima columnalfper eandem 

a ♦ ♦ • ,.1x13x3 
progressionem , m seeunda autem per terminos nujus ^, -r ?, 

5x5 7x7 



6 x 7' 8 x 9 
9x7 



3x1 5x3 7x5 

etc., in tertia per terminos hujus K ~, - F , ^ -, 

? r J 2 x 3' 4 x 5' 6 x T 



8x9 



5x17x39x5 
etc., in quarta per terminos hujus ^, -j =, ^ = etc., in quinta 



7x1 9x3 11x5 



etc., et sie in infinitum. 



per terminos hujus - _, , r , _ _ 

* J 2 x 3' 4 x 5' 6x7 

Et eodem modo segmenta aliorum solidorum designari, et valores 
eorum aliquando commode per series quasdam numerales in infinitum 
produci possunt. 

Ex his videre est, quantum fines Analyseos per hujusmodi in- 
finitas aequationes ampliantur: quippe quae, earum beneficio, ad omnia 
paene dixerim Problemata (si Numeralia Diophanti et similia excipias) 
sese extendit. 



190 



DIbenBurg an SetBnij. 



Non tarnen omnino universalis evadit, nisi per ulteriores quasdam 
methodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quaedam Problemata, in 
quibus non liceat ad series infinitas per divisionem vel extractionem 
radicum simplicium affectarumve pervenire. Sed quomodo in istis casibus 
procedendum sit ? jam non vacat dicere, ut neque alia quaedam tradere, 
quae circa reductionem infinitarum serierum in finitas, ubi rei natura 
tulerit, excogitavi. Nam parcius scribo, quod hae speculationes diu mihi 
fastidio esse coeperunt, adeo ut ab iisdem jam per quinque fere annos 
abstinuerim. 

Unum tarnen addam : quod postquam Problema aliquod ad infinitam 
aequationem deducitur, possint inde variae approximationes in usum Me- 
chanicae nullo fere negotio formari, quae per alias methodos quaesitae, 
multo labore temporisque dispendio constare solent. Cujus rei exemplo 
esse possunt Tractatus Hugenii aliorumque de Quadratura Circuli. Nam 
ut ex data arcus chorda A et dimidii arcus chorda B arcum illum 
proxime assequaris, finge arcum illum esse z, et circuli radium r; juxtaque 

z 3 

superiora erit A (nempe duplum sinus dimidii z) = z — j p— 



+ 



-etc. etB= ^-z 



+■; 



etc. 



4x4xl20r* ~ 2" 2xl6x6rr' 2x 16xl6xl20r4 

Duc jam B in numerum fictitium n et a prodi cto aufer A, et residui se 

nz 3 z , , 

eo ut evanescat, 

3z5 



cundum terminum nempe _ H „ „ 
\ ^ 2 x 16 x 6rr 

pone = 0, indeque emerget n = 8, et erit 8B — 

8B- A 



4 x 6rr, 
A = 3z- 



64 x 120r* 



+ etc, 



hoc est 



z, errore tantum 



existente 



7680r* 



— etc. in excessu. 



Quod est Theorema Hugenianum. 




Insuper si in arcus Bb sagitta 
AD indefinite producta quaeratur 
punctum G ? a quo actae rectae GB ? 
Gb abscindant tangentem Ee ? quam 
proxime aequalem arcui isti: esto 
circuli centrum C, diameter Ak = d et 



= dix 



= x 


et erit DB 


1= Vdx — xx 


X* 


X* 




2d* 


8d f 


5 tt0 M ° 

16d T 



DIbenButg an Setötttj. 191 

AE (=AB) = d* x* +^ + -^-+ — - + etc. Et AE - DB : AD 
6<F 40d* 112d* 

3 1 12xx 
: : AE :AGr, quareAG = H-d — ^-x— -=^-r — vel + etc. Finge ergo AG 

q -| /q & \ 

= x- d — p- x, et vicissim erit DG I -d — ^-x l : DB : : DA : AE — DB. Quare 

AE - DB + — + ^V + — ^- + etc. Adde DB, et prodit AE = d* x* 
3d T 5d f 300d ¥ 

8 S J 

x* 3x 2 17x 2 

H H — = - + etc. Hoc aufer de valore ipsius AE supra 

6d T 40d 2 1200d T 

16x 2 
habito, et restabit error — + vel - etc. Quare in AG cape AH 

525d 2 

quintam partem AD et KG =■ HC, et actae GBE, Gbe abscindent tan- 

gentem Ee, quam proxime aequalem arcui BAb, errore tantum existente 

2 x 16 x 3 — 

- _^ K - — — x/dx + vel — etc., multo minore scilicet quam in Theoremate 
525d 3 

Hugenii. Quod si fiat 7 AK : 3 AH : : DH : n, et capiatur KG = CH — n, 
erit error adhuc multo minor. 

Atque ita si circuli segmentum aliquod BAb per Mechanicam de- 
signandum esset: primo reducerem aream istam in infinitam seriem, 

ö 1_ 9. 

4 i j 2x 2 x 2 x 2 
puta hanc BbA = ^-d 2 x 2 - — etc.; dein quarerem 

6 5d 2 14 d v 36d 2 

constructiones mechanicas, quibus hanc seriem proxime assequerer: 

2 4 

cujus modi sunt hae : Age rectam AB, et erit segm. Bb A= ^AB + BD x -AD 

X 3 — 

proxime, existente scilicet errore tantum - jAlx + etc. in defectu : vel 

proximius, erit segmentum illud (bisecto AD in P et acta recta BP) 

4BF + AB . x 3 

= x 4 AD, existente errore solummodo K _. ., .. i/dx + etc.: 

15 560dd 

qui semper minor est quam ^ totius segmenti, etiamsi segmentum 

llud ad usque semicirculum augeatur. 

Sic et in Ellipsi BAb, cujus vertex A, axis alteruter AK et latus 

rectum AP, cape PG = ^AP -| in AK x AD ; in Hyperbolavero 



192 



ölben&urg an Seibn ig. 



cape PGr =: - AP + 



19 AK + 21 AP 



x AD ? et acta recta GBE abscindet 



10 AK 

tangentern AE, quam proxime aequalem arcui Elliptico vel Hyperbolico 
AB, dummodo arcus ille non sit nimis magnus. 

Et pro area segmenti Hyper- 

bolici BbA: in DP cape DM-^Ä 
r 4AK 

et ad D et M erige perpendicula 

Dß, MN occurrentia semicirculo super 

diametro AP descripto , eritque 

4 AN +.A/J. 




15 



vel proximius erit 



x 4 AD z=z BbA proxime ; 

21AN + 4 Aß 



75 



DM 



5ADq : 
7AK. 



x 4 AD = BbA , si modo capitur 



Hactenus Dn. Newtonus, quae ipsi mihi non vacabat transcribere. 
Vereor autem, ne Amanuensis meus saepicule fuerit hallucinatus, cum 
nonnisi perfunctorie et valde cursim relegere mihi licuerit. Tua sagacitas 
ipsius errores emendabit. Quando visum tibi fuerit respondere (quod ut 
ocyus fiat, precor) more solito literas mihi destinatas inscribi velim, 
nempe etc. Devincies me ? si Nobilissimum Dn. Tschirnhause meo et 
Dn. Collinii nomine officio sissime salutes, ipsique dicas, has duas epistolas 
vos ambos spectare, et ab utroque vestrum responsionem expetere. 
Valete, et rem Mathematicam Philosophicamque augere pergite. Dabam 
Londini d. 26. Julii 1677. 

P. S. 
Ut Germanum hunc, Vratislaviensem, consiliis tuis juvare velis, impense 
oro< Nomen ipsius est Samuel Regius ; vir videtur ob doctrinam et 
modestiam amore et omni officiorum genere dignus. 

Sinas, Te moneam tui, quo Sc. Regiae obstrictus es ? promissi de 
Machina tua Arithmetica ipsi mittenda. Velim profecto, Te Germanum, 
et dictae Societatis membrum, fidem datam liberare, et me isthac solli- 
citudine 7 quae, concivis nomine, non parum me augit, quantocius v levare. 
Iterum vale, et huie libertati meae ignosce. 

*) Kornett ift ber 23rtef von entern ^[Bfd^reiBer gefdjrteöett ; ba% golgcnbe Bett 
DIbenburg eigenfjänbig hinzugefügt. 



Sei&ntg an DIbert&urg. 193 

XLIV. 

€ctbnt3 an (Dlbenhuxg. 

$lad) bem äftannffrtpt in ber $önigl. SSiBItot^e! 51t §annot)er. 

27. Aug. 1676. 

Literae tuae, die 26. Julii datae, plura ac niemorabiliora circa rem 
Analyticam continent, quam multa volumina spissa de his rebus edita. 
Quare Tibi pariter ac Clarissimis Viris, Newtono ac Collinio, gratias ago, 
qui nos participes tot meditationum egregiarum esse voluistis. 

Xnventa Newtoni ejus ingenio digna sunt, quod ex Opticis Experi- 
mentis et Tubo Catadioptrico abunde eluxit. 

Ejusque methodus inveniendi Radices Aequationum et Areas figu- 
rarum per Series infinitas prorsus differt a mea : Ut mirari libeat diversi- 
tatem itinerum per quae eodem pertingere licet. 

Mercator Figuras Rationales, seu in quibus Ordinatarum valor ex 
datis Abscissis rationaliter exprimi potest (ut scilicet Indeterminata 
Quantitas in vinculum non ingrediatur) quadravif, et ad Infinitas Series 
reducere docuit per Divisiones: Newtonus autem per Radicum Extrac- 
tiones. Mea methodus Corollarium est tantum doctrinae generalis de 
Transformationibus, cujus ope Figura proposita quaelibet, quacunque 
Aequatione explicabilis, transmutatur in aliam analyticam aequipollentem, 
talem ut in ejus Aequatione ordinatae dimensio non ascendat ultra Cu- 
bum aut Quadratum, aut etiam simplicem Dignitatem seu Infimum 
gradum. Ita fiet, ut quaelibet Figura vel per Extractionem radicis 
Cubicae vel Quadraticae, Newtoni more, vel etiam, methodo Mercatoris, 
per simplicem Divisionem, ad Series Infinitas reduci queat. 

Ego vero ex his Transmutationibus simplicissimam ad rem prae- 
sentem delegi. Per quam scilicet unaquaeque Figura transformatur in 
aliam aequipollentem rationalem, in cujus aequatione Ordinata in nullam 
prorsus ascendit Potestatem : Ac proinde sola Mercatoris Divisione per 
Infinitam Seriem exprimi potest. 

Ipsa porro generalis Transmutationum methodus mihi inter po- 
tissima Analyseos censenda videtur. Neque enim tantum ad Series In- 
finitas et ad Approximationes, sed et ad solutiones Geometricas aliaque 
innumera vix alioqui tractabilia inservit. Ejus vero Fundamentum vobis 
candide libereque scribo, persuasus quae apud vos habentur praeclara 
mihi quoque non denegatum iri. 

Transformationis fundamentum hoc est; Ut figura proposita rectis 
innumeris utcunque, modo secundum aliquam regulam sive legem ductis, 
resolvatur in partes; quae partes, aut aliae ipsis aequales, alio situ 
aliave forma reconjunctae, aliam componant figuram priori aequipollentem ? 

13 



194 



SetBnig an OlbenBurg. 




seu ejusdem areae, etsi alia longe figura constantem. Unde ad Quadra- 
turas absolutas, vel bypotheticas Greometricas, vel serie infinita expressas 
Aritbmeticas, jamjam multis modis perveniri potest. 

Ut intelligatur, 
sit AQCDA. Ea ? 
ductis rectis BD pa- 
rallelis, resolvi po- 
test in Trapezia, 
!B 2 D, 2 B 3 D ? etc. 
Sed ? ductis rectis 
convergentibus ED, 
resolvi potest in 
Triangula EiD 2 D, 
E 2 D 3 D etc. Si jam 
alia sit curva A ]F 2 F 3 F, cujus Trapezia iB 2 F ? 2 B 3 F sint Triangulis E iD 2 D, 
E 2 D 3 D ordine respondentibus aequalia, tota figura AE 3 D 2 DjDA toti 
figurae AiF 2 F 3 F 3 BA erit aequalis. 

Quin etiam Trapezia Trapeziis conferendo fieri potest ut ]N 2 P vel quod 
eodem redit, Rectangulum iN 2 N 2 P sit aequale Trapezio respondenti iB 2 D, 
sive Rectaugulo iB 2 B 2 D, tametsi recta iN iP non sit aequalis rectae iB ]D, 
modo sit iN 2 N ad iB 2 B ut 1B1D ad iN iP, quod infinitis modis fieri potest. 
Quae omnia talia sunt ut cuivis statim ordine progredient^ ipsa 
natura duce ; in mentem veniant, contineantque Indivisibilium Metbodum 
generalissime conceptam, nee (quod sciam) bactenus satis universaliter 
explicatam. Non tantum enim Parallelae et Convergentes, sed et aliae 
quaeeunque certa lege duetae, rectae vel curvae, adbiberi possunt ad 
resolutionem. Quanta autem et quam abstrusa binc duci possint, judicabit 
qui methodi universalitatem animo erit complexus. Certum enim est 
omnes Quadraturas bactenus notas, absolutas vel bypotbeticas, nonnisi 
exigua ejus speeimina esse 

Sed nunc quidem suffecerit applicationem ostendere ad id ? de quo 
agitur, Series scilicet Infinitas, et modum Transformandi figuram datam 
in aliam aequipollentem rationalem, Mercatoris methodo traetandam. 
AQCA sit Quadrans Circuli, Radius AQ = r, Abscissa AiB=x ? Or- 
dinata jB t D = y ? Aequatio pro Circulo 2rx — x 2 =y 2 . Ducatur recta 
AD, producaturque donec ipsi QC etiam produetae oecurrat in jN. 



Et Q iN vocetur z. Et erit A iB seu x 



2r3 
1 r 2 +z s 



et iP iD sive y = 



r 2 + z 2 



Eodem modo, dueta A 2 D 2 N, si Q 2 N = z — ß (posita scilicet ^N—ß) 

2r 3 
erit A 2 B = -=-. — — ^ — s~teö et A 2 B — A iB sive recta iB 2 B erit 

v 2 -t z z ~2z p -rp z l 



Set&tria an DIbenBurg. 195 

2r 3 2r 3 
o , n a — ^ ö ö-. Sive posita Ä infinite parva (post destruc- 

r z +z*—2zß + ß2 r 2 +z 2 r * ± 

4r 3 z# 
tiones et divisiones) erit iB 2 B = — 2 , 2 - Habita ergo recta iB iD 



2 r*+z* 



et recta iB 2 B habebitur valor Rectanguli iD iB 2B, multiplicatis eorum 

8r 5 zz# 
valoribus in se invicem; habebitur, inquam, Q 2 2 pro valor e Rectan- 



r 2 +z 2 

guli iDJB 2 B. 

Sit jam Curvae 1P2P3P etc. natura pro arbitrio assumpta talis, ut 

8r 5 z 2 
Ordinata ejus iNxP (ex data abscissa QiN sive z) sit 10 1 2 , 2 * Ideo, 

8r 5 z 2 A . , 

quomam 1 "i>f.^S=ß ) erit rectangulum 1P1N2N etiam -^ Acproinde 

o r -j- z 



aequale Rectangulo iDiB^B, et spatium iPiN3N3P 2 PiP aequale spatio 
Circulari respondenti xDiBsBsD^iD. Est autem quaelibet Ordinata 
NP rationalis , ex data abscissa QN, quia posita QN = z, ordinata NP est 

8r5 z 3 . 8r 5 z 2 _ a . 

\3\ Y 2 +Z 2> Siye r 6 + 3r4z 2 + 3r 2 ^ + z6- Erg0 2 P sa ? er mfimtam Senem 

Integrorum exprimi potest dividendo. Et Spatium talibus Ordinatis com- 
prehensum, aequipollens Circulari, infinita Serie numerorum Rationalium,: 
Metbodo Mercatoris quadrari potest. Quod cum facillimum sit, facere 
bic omitto. Neque enim elegantiae suae, sed Methodi Generalis expli- 
candae causa, hoc exemplum assumpsi. 

Ita si quis loco Circuli mihi dedisset Curvam, in qua ordinata 
ascendisset ad gradum Cubicum, potuissem eam reducere ad Curvam, in 
qua ordinata non assurrexisset ultra Quadratum, vel etiam ne quidem 
ad Quadratum. 

Itaque semper sive Extractionibus Radicum Newtonianis (gradus 
cujuslibet dati) vel Divisionibus Mercatoris poterit cujuslibet Figurae 
spatium inveniri, interventu alterius Aequipollentis. Multum autem ad 
simplicitatem interest quid eligas. 

Omnium vero possibilium Circuli et Sectoris Conici Centrum ha- 
bentis cujuslibet per Series Infinitas quadraturarum simplicissimam hanc 
esse dicere ausim, quam nunc subjicio. 

Sit QAiF Sector, duabus rectis in Centro Q concurrentibus, et 
Curva Conica AiF ad Verticem A sive Axis extremum perveniente com- 
prehensus. Tangenti Verticis AT occurrat Tangens iFT. Ipsam AT 
vocemus t ? et Rectangulum sub Semilatere Recto in Semilatus Trans- 
versum sit Unitas. Erit sector Hyperbolae, Circuli, vel Ellipseos, per 



13 



;* 



196 



SetBnij an Dlbentmrg. 



t t 3 t 5 t 7 
Semilatus Transversum divisus, =-y" + "q" + ~r" + ~7" etc - s ig no ambigno 

+ valente + in Hyperbola, — in Circnlo vel Ellipsi. Unde, posito 

Quadrato Circumscripto 1, erit Circulus — ö~ + ~^ 7-. etc. Quae 

expressio, jam Triennio abhinc et ultra a nie communicata amicis, haud 
dubie omnium possibilium simplicissima et maximeque affieiens mentem. 
Unde duco Harmoniam sequentem: 




1 

3 


1 

8 


1111111 1 
15 24 35 48 63 80 99 120 


etc. 


3 

- 4 






1 
3 




1 
15 


1 
35 


1 
63 


1 
99 


etc. 


2 

_ 4 






1 

8 




1 1 

24 48 




1 1 
80 120 


etc. 


1 

- 4 




1 
3 






1 
35 




1 
99 


etc. 


exprimit 
arcum 


' Oirculi 
AßCD 
Hyper- 


1 Quadra- 
[tum in 




1 

8 




1 

48 




1 
120 


etc. 


buJae 

aequi- 

laterae 

^CBEFC 


> scrip- 
tum est 
1 

' 4 



Numeri 3 ? 8 ? 15, 24 etc. sunt Quadrati Unitate minuti. 
Vicissim, ex Seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni. Si 
sit numerus aliquis Unitate minor 1 — m, ejusque Logarithmus Hyper- 

bolicus 1 , erit » = -L - J^ + ^^ - lx ^ 8>< 1 etc. 

Si numerus sit major Unitate, ut 1 + n ? tunc pro eo inveniendo 
mihi etiam prodiit Regula, quae in Newtoni Epistola expressa est- 

scilicet erit n = -| + ^ + j^g + 1^3^ etc - 

Prior tarnen celerius appropinquat. Ideoque efficio ut ea possim 
uti, etiam cum major est Unitate numerus 1+n" Nam idem est Lo- 
garithmus pro 1+n et pro . Unde si 1 + n major Unitate, erit 



1 + n 



minor Unitate. Fiat ergo 1 — m : 



1 



1+n 



, ac inventa m, habebitur 



et 1 + n, numerus quaesitus. 

Quod regressum ex Arcubus attinet, incideram ego directe in Regulam, 
quae ex dato Aren Sinum Complementi exhibet. Nempe Sinus Complementi 

a *\ ^ 

— 1_ ^ _|_ — — — e t c> g e( j postea quoque deprehendi ex ea illam 

nobis communicatam pro inveniendo Sinu Reeto qui est — 

^ 1 1x2x3 



SeiBnij an ClbenBurg. 197 

+ — . — — - etc., posse demonstrari. Quod tribus verbis sie fit. 

Ix^xox4xo 

a 2 a 4 

Summa Sinuum Complementi ad Arcum, seuomniuml— z ~ + 1 ^q — a 

etc. est z s s + q s ö — 1 etc - Porro, Summa 

1 1 x 2 x 3 1 x2x 3 x4xo 

Sinuum Complementi ad Arcum (seu Arcui in locis debitis 

insistentium) aequatur Sinui Recto, dueto in Radium, ut notum est 

Geometris. Id est, aequatur ipsi Sinui Recto, quia Radius hie est Uni- 

tas. Ergo Sinus Eectus = ^ - 37^-^3 + ^2x3x4x5 et °- Hin ° 
etiam ex dato Arcu et Radio sine ulla prorsus aliorum notitia, haberi 

a 3 
potest Area Segmenti Circularis duplicati: quae est — ^ ~ 

J_ X et X O 
a 5 a 7 

-z ~ — TT -. F + ^ ^ ö a e n — n etc - Unde optime Seg- 

1x2x3x4x5 1x2x3x4x5x6x7.. r & 

mentorum Tabula ad Gradus et Minuta etc. calculabitur. 

Pro Trigonometricis autem operationibus percommoda mihi videtur 

a 2 a 4 

haec expressio : Ut Sinus Complementi c ponatur = 1 — — — - + - — - — — — -' 

J. X u JL X a XOXi 

quoniam, sola memoria retenta, omnibus casibus et operationibus, directis 
scilicet simul et reeiprocis , sufficit , quod ideo fit, quoniam Aequatio 

a 2 a 4 
c — 1 — + — est Plana. Unde si vicissim quaeras Arcum, ex Sinu 



Complementi radixextrahi potest, ade oquefiet Arcus a=|/ 6 — 1^24 c + 12 

exaete satis ad usum eorum qui in itineribus Tabularum commoditate 

a 6 
carent, quia error aequationis non est =^r. 

Innumera alia possent dici, quae his fortasse elegantia et exaeti- 
tudine non cederent. Sed ego ita sum comparatus ut plerumque, Me- 
thodis generalibus detectis, rem in potestate habere contentus, reliqua 
libenter aliis relinquam. Neque enim ista omnia magnopere aestimanda 
sunt, nisi quod artem Inveniendi perficiunt, mentemque exeolunt. Si 
quae obscuriora videbuntur, ea libenter elueidabo : Et illud quoque ex- 
plicabo, quomodo hac methodo Aequationum quoque uteunque affeetarum 
Radices per Infmitam Seriem dari possint, sine ulla Extractione, quod 
mirum fortasse videbitur. 

Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quoque am- 



198 SetBnis an Dtbetiburg. 

plius explicet: ut, Originem Theorematis quod initio ponit: Item, Mo- 
dum quo quantitates p, q, r in suis Operationibu-. invenit: Ac denique, 
Quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut, cum ex Logarithmo quaerit 
numerum. Neque enim explicat quomodo id ex Methodo sua derivetur, 

Nondum mihi licuit ejus Literas qua merentur diligentia legere, 
quoniam tibi e vestigio respondere volui. Unde non satis nunc quidem 
affirmare ausim, an nonnulla eorum quae suppressit, ex sola earum 
lectione consequi possum. Sed optandum tarnen foret, ipsum ea potius 
supplere Newtonum, quia credibile est, non posse eum scribere, quin 
aliquid semper praeclari nos doceat Vir (ut apparet) egregiarum medi- 
tationum plenus. 

Ad alia tuarum literarum venio, quae Doctissimus Collinius com- 
municare gravatus non est. Vellem adjecisset appropinquationis Gre- 
gorianae linearis Demonstration em. Credo tarnen aliam haberi simpli- 
eiorem, etiam in infinitum euntem, quae fiat sine ulla Bisectione Anguli, 
imo sine supposita Circuli Constructione, solo Rectarum duetu. 

Vellem Gregoriana omnia conservari. Fuit enim his certe studiis 
promovendis aptissimus. Caeterum ejus Demonstration! editae de Im- 
possibilitate Quadraturae Absolutae Circuli et Hyperbolae multa haud 
dubie desunt. 

De Aequationum Radicibus Surdis Generalibus inveniendis, sive ? 
quod idem est, tollendis Aequationum potestatibus intermediis, multa et 
ego meditatus sum, et jam Vere anni superioris Specimina Hugenio 
communicaveram Regularum Cardanicis similium. Seriem enim habebam 
ejusmodi Regularum in infinitum euntem, in quibus et Cardanica con- 
tinebatur. Sed ultra gradum Cubicum non erant Generales : Perspexi 
tarnen inde veram Methodum progrediendi longius. Quam quam multis 
adhuc opus sit artibus, quas excutiendas libentur ingeniosissimo Tschirn- 
hausio relinquo, qui hie ad eadem quae ego habebam Specimina, imo et 
alia praeterea, etiam de suo pervenit. 

Ex iis quae Collinius ait de Gregoriana Methodo, difiieile non fuit 
nobis certo divinare in quo consistat ejus substantia. 

Imaginariarum quantitatum in Realium Radicum expressiones in- 
gredientiuni sublationem frustra puto sperari, imo quaeri. Neque enim 
illae ullo modo vel Calculis vel Constructionibus obsunt: Et ver.ae Rea- 
lesque sunt Quantitates, si inter se conjunguntur, ob destruetiones vir- 
tuales. Quod multis elegantibus Exemplis et Argumentis deprehendi 

Exempli gratia l/l +VZT3 + 1/ 1 — j/'^3"= 1/ 6. Tametsi 



enim neque ex Binomio 1/ 1 + v — 3 neque ex Binomio 1/ 1 



V-3 



Seibmj an DlbenburQ. 199 

radix extrahetur, nee proinde sie destruetur imaginaria V—3, suppo- 
nenda tarnen est destrueta esse virtualiter, quod actu appareret si fieri 
posset Extraetio. Alia tarnen via haec summa reperitur esse Vß. Unde 
in Cubicis Binomiis ubi realitas ejusmodi formularum (tum cum Ex- 
traetio ex singulis Binomiis fieri nequit) ad oculum ostendi non potest, 
mente tarnen intelligitar. Quare frustra Cartesius aliique expressiones 
Cardanicas pro particularibus habuere. Si quis posset invenire Quadratnram 
Circuli, et ejus Partium, ex data Hyperbolae et ejus partium quadratura, 
is posset eas tollere, modo in ipsam Quadraturam Imaginariae illae non 
rursus ingrediantur. 

Caeterum ex illis quas habeo meditationibus circa Eadices aequa- 
tionum Irrationales , necessario sequitur res satis paradoxa : Scilieet 
omnes Aequationes gradus Octavi, Noni, Decimi posse ad gradum 
Septimum reduci. Itaque et omnia Problemata ad Decimum gradum 
usque oecurrentia possunt ad Septimum deprimi. 

Horribiles Calculi subeundi erunt illi ? qui in hoc Argumentum velut 
per vim irrumpet; sed facillimi ipsi ? qui ante meditabitur: cum, ut prae- 
video, ipsa natura rei ducat ad compendia quaedam, per quae spes est 
Calculi magnam partem abscindi, remque elegantibus artifieiis, Ingenii 
potius vi quam Calculi labore, transigi posse. 

Sed si quis laborem non subterfugeret, eum docere possumMetbodum 
Analyticam generalem infallibilem, per quam omnium Aequationum ra- 
dices generales invenire liceret. 

Verum meliora illis proponerem agenda 7 qui Calculo delectarentur. 
Consilium enim habeo Tabularum Analyticarum, quae non minoris futurae 
essent usus in Analysi, quam Tabulae Sinuum in Geometria Practica; 
imo, arbitror, qui paulum in iis calculandis versatus sit, eum progressiones 
reperturum in infinitum, quarum ope magna Tabulae pars sine labore 
continuari possit. Nihil est quod norim in tota Analysi momenti majoris. 
Nam in his Tabulis pleraque Problemata statim soluta haberentur, aut 
levi opera possent inde deduci. 

Pendet negotium ex re longe majore, Arte scilieet Combinatoria 
generali ac vera, cujus vim ac potestatem nescio an quisquam hactenus 
sit consecutus. Ea vero nihil differt ab Analysi illa suprema^ ad cujus 
intima ? quantam judicare possum, Cartesius non pervenit. Est enim ad 
eam constituendam opus Alphab eto Cogitationum humanarum. Et ad 
inventionem ejus Alphabeti opus est Analysi Axiomatum. Sed non 
miror ista nemini satis considerata : quia plerumque facilia negligimus ? 
etmulta, quae claravidentur ? assumimus. Quod quam diu faciemus,nunquam 
ad illud perveniemus, quod mihi videtur in rebus intellectualibus summum, 
nee genus Calculi, etiam non - Mathematicis aecommodati obtinebimus. 



200 ÖeiBniä cm Olbenfiurcj. 

Optarim Ol. Pellium generalia sua Meditata, et illud speciatim quod 
memoras Cribrum Eratosthenis, non supprimere. Nam etsi ouinia 
forte, quae destinarat, non absolverit, Meditata tarnen ipsa, et consilia 
egregiorum Virorum non perire, publici interest. Utilia quoque futura 
sunt, quae de Sinuum Tabula ad Aequationes aecommodanda habet. Item 
de Limitibus et Kadicibus. 

Quod dicere videmini, plerasque difficultates (exceptis Problematibus 
Diophanteis) ad Series Infinitas reduci , id mihi non videtur. Sunt 
enim multa usque adeo mira et implexa, ut neque ab Aequationibus 
pendeant, neque ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis aliis) Proble- 
mata methodi Tangentium inversae, quae etiam Cartesius in potestate 
non esse fassus est. 

In tomo 3. Epistolarum una habetur ad Beaunium, in qua ad pro- 
positas a Beaunio, Curvas quasdam invenire conatur, quarum una est 
Ludus*) naturae, ut intervallum inter Tangentem ad (axem) directricem 
usque productam, et ordinatim applicatam ex Curva ad directricem sit 
semper idem, recta scilicet constans. Hanc curvam nee Cartesius 
nee Beaunius nee quisquam alius (quod sciam) invenit. Ego 
vero qua primum die, imo hora, coepi quaerere, statim certa Analysi 
solvi**). Fateor tarnen nondum me quiequid in hoc genere desiderari 
potest consecutum, quamquam maximi momenti esse sciam. Ac de his 
quidem nunc satis. 

Ego id agere constitui, ubi primum otium nactus ero, ut rem om- 
nem Mechanicam reducam ad puram Geometriam, Problemataque circa 
Elateria et Aquas et Pendula et Projecta et Solidorum Kesistentiam et 
Frictiones etc. definiam. Quae hactenus attigit nemo. Credo autem 
rem onmeni nunc esse in potestate, ex quo circa Eegulas Motuum mihi 
penitus perfectis demonstrationibus satisfeci ; neque quiequam amplius 
in eo genere desidero. Tota autem res, quod mireris, pendet ex Axio- 
mate Metaphysico pulcherrimo, quod non minoris est momenti circa 
Motum, quam hoc, Totum esse majus parte, circa Magnitudinem. 

De Centro-barycis quoque singularem quendam aditum reperi ad 
novas ac plane a prioribus diversas contemplationes, in Geometria pariter 
ac Mechanica magno usui futuras. Haec ubi (Deo volente) absolvero, 
reliquum temporis, quod scilicet Philosophicis meditationibus destinare 
fas erit, Naturae indagationi debeo. 

Tschirnhausius proximo Tabellione scribet. 

*) 9ftuJ3 Reiften „hujus". Skrgl. ben 23rtef £eibnt3ert§ an (£ontt üüiu 9. 2tprtl 1716. 
**; @ie^e bte Beilage. 



SeUmty an DIbenBurg. 



201 



Jul. 1676. Methodus tangentium inversa.*) 

In Tertio Tomo literarum Cartesii video eum credidisse methodum 
Fermatii de maximis et minimis non esse universalem, putat enim 
(pag. 362 epist* 63) non servire ad inveniendam tangentem curvae, 
cujus natura sit ut ex quovis puncto ejus ductae rectae ad quatuor 
puncta data aequentur rectae datae* 

Mons. des Cartes lettre 71 partie 3 pag. 409 aMons. de Beaune. 
Je ne croy pas qu'il soit possible de trouver generalement la converse 
de ma regle pour les touchantes, ny de celle dont se sert Mons. de 
Fermat, bienque la practique y soit en plusieurs cas plus aisee que la 
mienne, mais on en peut deduire a posteriori des theoremes qui s'etendent 
a toutes les lignes courbes qui s'experiment par une equation, en la 
quelle l'une des quantitez x ou y n'ait point plus de deux dimensions. encor 
que l'autre en eust mille. Ily a bien une autre facon qui est plus 
generale et a priori, a scavoir par l'intersection de deux tangentes, la 
quelle se doit tousjours faire entre les deux points, oü elles touchent la 
coarbe, tant proches qu'on les puisse imaginer, car en considerant quelle 
doit estre cette courbe ; a fin que cette intersection se fasse tousjours 
entre ceux points et non au deca ny au dela, on en peut trouver la 
construction. Mais il y a tout de divers chemins a tenir, et je les 
ay si peu practiquez que je n'en scaurois encor faire un bon conte. 

Mons. des Cartes parle avec un peu trop de presomtion de la 
posterite; il dit pag. 449 lettre 77, que sa regle pour resoudre gene- 
ralement tous les problemes sursolides a este sans comparaison la diffi- 
cile a trouver de toutes les choses qui ont este inventees jusqu'a pre- 
sent en Geometrie et qui le sera peut estre encor cy apres en plusieurs 
siecles, si ce n'est que je prenne moy meme la peine d'en chercher 
d'autres (comme si plusieurs siecles n'estoient capables de produire 
homme qui püt faire une chose qui ne paroist pas des plus considerables). 
pag. 459 la qnestion des quatre globes propre a examiner si un homme 
scait le calcul. (Test donc de Mons. des Cartes, mais comme eile est 
dans le livre, eile paroist bien prolixe. 

Probleme de la methode in- 
verse des toucbantes, que Mons. des 
Cartes dit avoir resolu Tom 3. Ep. 
lettre 79 pag. 460. EAD angulus 
45 grad. ABO curva, BL tangens, 
BC ordinata ad CL ? ut linea N ad 

*) Solvi una die duo problemata methodi tangentium inversac, quorum alternm 
nee solus solvit Cartesius, alterum ne ipse quidem fassus non posse. Semer!, üon Setbnig. 




202 



SeiBnij an DIbenBurg. 

y- 



= 1 - 



X X 

y' y 



y y y t 

= , dx y — xd x — dy n. Ergo/dx y — /xdx = n /dy, 



curva, in 



BJ.OL ^^ -.CL^t^^-,- 

BJ — y — x y — x t 

t dx ' dx 

- = T -. Ergo -^ 
y dy dy 

2 

xdx = — -, et/dxy est area ACBA et quaeritur 

x 2 AC 2 

qua area ABGA sit -^r- + nyseu— + nBC. Eescindatur ab area hoc 

X 2 

-^-, id est triangulum ACI, debet reliquum AIBA aequari rectan- 

u 

gulo ny. 

Linea quam Beaunius Cartesio quaerendam proposuit, quae huc 

redibat, ut sit BC asymptotos curvae, BA axis, A vertex, AB, BC con- 

stantes, nam BAC est ad angulos rectos. 
Sit ordinata EX, tangens XN, debetque 
esse EN semper constans seu aequalis 
ipsi BC, quaeritur natura curvae. Hie 
ita procedendum ego putem; sit alia 
ordinata PV, differens a prior e EX 
reeta SV, ducendo scilicet ipsi RN pa- 
rallelam XS, erunt triangula SVX et 
RXN siniilia, EN — t = c constanti, PE 
= SX = j» = di",BE=x ; EX=y,SV = dy, 

fiet -—=,——-. Ergo ey ~f ydx sive cdy =ydx . 

UX L^^C J 

AP -f TE 
Sit AQ vel TE = z et sit AC = f, cum. fuerit BC = a, fiet=— ^= — ~^5 

x>0 a JjK 




z 
x 



T — a 



Ergo x = -^. Si dx constans, erit et dz constans. Ergo cdy =— ydz 
vel cy — -xl ydz , cy dy = — y 2 dz, ergo c ~- = -» jj 2 dz"; habetur ergo et area 



figurae et momentum quodammodo (addendum enim aliquid ob obliqui- 

cdy & 

J — - dz. Ergo c 



T _ a 



tatem) et cz dy =. — yz dz, ergo erit c / z dy = ~ j yz dz 



"<*y 



/T 
— semper in potei 



y f 

state. Ees tota eo redit 



ut inveniamus curvam, in qua redeat ordinata, flat differentiis ordinatarum 

per abscissas divisis, ejusque figurae quadraturam. dVVy = — j=^. Quae- 

2Vay 



^eiüton an DlbenBurg. 203 

rendae ejusmodi figurae -quarum ordinatae: — , -~ ? -^-,quemadmodumeas 

habeo quarum ordinatae ydy, y 2 dy etc. — — — , quoniam dy potest in- 

a y^ 

telligi constans — ß, hinc curva, in qua — = — ? dabit coj = &ß, quae foret 

a y 

hyperbola. Figura ergo, in qua — — z, est hyperbola, quomodoeunque 
explices y, at si y explices per y 2 , fiet dy — 2(f et — ^ = — . Jam c/— — -^-z, 

ergo - / — = z y quae est ad logarithmicam. 

& J y 

Ita solvimus omnia problemata methodi tangentium inversae, quae 
extant in tomo 3. Epistolarum Cartesii, quorum unum solvit ipse, ut ait 
pag. 460 Epist. 79 Tom 3; sed solutio non extat; alterum solvere ten- 
tavit, sed non potuit, fassus irregulärem esse lineam et descriptione 
utendum esse, quae utique non est in humana potestate, imo nee angelica 
nisi aliunde constet ars describendi. 



XLV. 

Ztewton an (Dibmbuvg*) 

Hflaä) bem Sftcmufcript in ber ftonigl. föibliotfef §u §annot)er. 

Cantabr. Oct. 24. 1676. 
Quanta cum voluptate legi Epistolas clarissimorum virorum D. 
Leibnitii et , D. Tsehirnhausii, vix dixerim. Perelegans sane est Leibnitii 
Methodus perveniendi ad Series. Convergentes, et satis ostendisset in- 
genium Authoris, etsi nihil aliud scripsisset. Sed quae alibi per Epistolam 
sparsit suo nomine dignissima, efficiunt etiam ut ab eo speremus maxima. 
Diversitas modorum quibus eodem tenditur, eo magis placuit, quod mihi 
tres methodi perveniendi ad ejusmodi Series innotuerant, adeo ut novam 
nobis communicandam vix expeetarem. Unam e meis prius descripsi; jam 
addo aliam, illam scilicet qua primum ineidi in has Series; nam ineidi 
in eas antequam scirem Divisiones et Extractiones radicum quibus jam 
utor. Et hujus explicatione pandendum est fundamentum Theorematis 
sub iuitio Epistolae prioris positi, quod D. Leibnitius a me desiderat. 

*) Dtbenburg fjat bemerft: Copied Nov. 4. 1676. 



204 Newton an DIbcnBurg. 

Sub initio studiorum meorum Mathematicorum, ubi inciderain in 
opera celeberrimi Wallisii nostri , considerando Series , quarum inter- 
calatione exhibet arcam Circuli et Hyperbolae, utpote quod in Serie Cur- 
varum, quarum Basis sive Axis communis sit x, et ordinatim applicatae 



1 — xx [ , 1 — xx| ? 1 — xx I , 1 — xx I , 1 — xx I , 1 — xx| etc. si areae 
alternarum, quae sunt x, x — -^ x 3 , x — — x 3 + ■=- x 5 ? x — ■$■ x 3 + -=- x 5 ~ =- x 7 
etc. interpolari possent, haberemus areas intermediarum, quarum prima 



1 — xx I est Circulus. Ad has interpolandas notabam, quod in omnibus 
primus terminus esset x, quodque secundi termini — x 3 , ^- x 3 ,^- x 3 , — x 3 etc. 

O O O ö 

essent in Arithmetica progressione; et proinde quod duo primi termini 

ix 1 Ix 3 Ix 5 

serierum intercalandarum deberent esse x ^-, x ~-, x — ^- etc. 

ö O ö 

Ad reliquas intercalandas considerabam, quod denominatores 1, 3, 
5, 7 etc. erant in Arithmetica progressione, adeoque solae Numeratorum 
Coefficientes numerales restabant investigandae. Hae autem in alternis 

datis areis erant figurae potestatum numeri 11, nempe harum ll| , 11 1 

11 1 , 11 1 , ll| y hoc est, primo 1, dein 1, 1 5 tertio 1, 2, 1 ; quarto 1, 3, 
3, 1 ; quinto 1 ? 4, 6, 4 ? 1 etc. 

Quaerebam itaque, quomodo in his Seriebus ex datis duabus primis 

figuris reliquae dirivari possent, et inveni, quod posita secunda figura, 

m, reliquae producerentur per continuam multiplicationem terminorum 

1 . . . m—o m— 1 m — 2 in — 3 m — 4 „ tl r 

hujus senei —z — x — ~— x — ^— x ~~T~ x r etc. hj. gr. sit (ter- 

ni — 1 
minus secundus) m = 4, et erit 4 x — - — , hoc est 6, tertius 

Li 

terminus, et 6 x — - — hoc est 4, quartus, et 4 x — - — hoc est 1, 

hi 4 

quintus 5 et 1 x — ^— hoc est 0, sextus, quo series in hoc casu termi- 

natur. Hanc Regulam itaque applicui ad Series Interserendas, et cum 

ix* 1 

pro Circulo secundus terminus esset -^-, posui m = ^etprodieruntter- 

. . 1 1-1 . 1 1 1-2 . 1 1 i-3 .5 ± 

mlm _x__ Slve __,--x_ slve -,-x- r slV e -_, et 



JJerotoit an DlbenBurg. 205 

sie in infinitum. Unde cognovi, desideratara Aream segmenti Circularis esse : 

| X 3 | X 5 T Vx7 T f ¥ x9 4 

x -^"-T-^ 9~ etC - 

Et eadem ratione prodierunt etiam interserendae areae aliquarum 
curvarum, ut et area Hyperbolae et ceterarum alternaruni in hac Serie: 



1 + xx| , 1 + xx I , 1 + xx I ", 1 + xx I etc. Et eadem est ratio inter- 
calandi alias series, idque per intervalla duorum pluriumve terminorum 
simul deficientium. 

Hie fuit primus mens ingressus in has meditationes, qui e memoria 
sane exciderat, nisi oculos in adversaria quaedam ante paucas septi- 
manas retulissem. 



Ubi vero haec dediceram, mox considerabam terminos 1 



1 — xx I , 1 — xx I , 1 — xx I etc. hoc est 1, 1 — xx, 1 — 2xx + x 4 , 1 — 3xx 
-h 3x 4 — x 6 etc. eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis generatas : 
et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem denominatorum 1, 3 ? 
5, 7 etc. in terminis exprimentibus areas, hoc est coefficientes terminorum 



,m 



quantitatis intercalandae, 1 — xx| , vel 1 — xx| ", vel genenaliter 1 — xx| 

prodire per continuam multiplicationem terminorum hujus Seriei 

m — 1 m — 2 m — 3 , -z — . 1 ' , , i 1 „ 

mx — - — x — - — x — - — etc. Adeo e. gr. 1 — xx valeret 1 — — x 2 
2 3 4 . ■ ö ' 2 

- ö" x4 ~~ Tä x6 etc< et 1 — xx [ 2 valeret 1 — — xx + 3- x 4 -f -^ x 6 etc. et 
o lb 2i o lo 



■vs 



1 1.5 



1 — xx valeret 1 — — xx — ^ x 4 — • 5T x 6 etc. 
o U ol 

Sic itaque innotuit mihi generalis Reductio Radicalium in infinitas 
Series per Regulam illam, quam posui initio Epistolae prioris, antequam 
scirem Extractionem Radicum. 

Sed hac cognita non potuit altera me diu latere : nam, ut probarem 

has operationes, multiplieavi 1 — ^ x 2 — — x 4 — — x 6 etc. in se ? et fac- 

tum est 1 _ xx, terminis reliquis in infinitum evanescentibus per conti- 

115 

nuationem seriei Atque ita 1 — jr xx— 77 x 4 — tttX 6 etc. bis in se duc- 
^ 3 9 84 

tum produxit etiam 1 — xx. Quod, ut certa fuerit harum conclusionum 

demonstratio, sie me manuduxit ad tentandum e converso, num hae Series, 

quas sie constitit esse Radices quantitatis 1 — xx, non possent inde extrahi 

more Arithmetico. 

Et res bene successit. Operationis forma in Quadraticis Radici- 

bus haec erat; 



206 



Sheraton an DtbenBurg. 



1- 


/i 1 i 4 ! 

XX ^ - 2 XX - 8 X 16 


1 




o — 


XX 


- 


1 , 

XX + j X* 




-ix* 

4 X 




— — x 4 4- — x 6 -1- — x 8 
4 X + 8 + 64 X 



x 6 etc. 



__ _ x 6 x 8 

8 64 

His perspectis neglexi penitus Interpolationem Seriernm, et has 
operationes tanquam fundamenta magis genuina solummodo adhibui. 
Nee latuit Reductio per Divisionem, res utique facilior. 

Sed et Resolutionen! Affectarum Aequationum mox aggressus sum, 
eamquc obtinui. Unde simul ordinatim applicatae, Segmenta Axium, 
aliaeque quaelibet Rectae ex Areis Curvarum vel Arcubus datis innotuere. 
Nam regressio ad haec nihil indigebat praeter Resolutionen! Aequa- 
tionum, quibus Areae vel Arcus ex datis rectis dabantur. 

Eo tempore Pestis ingruens coegit me hinc fugere, et alia cogi- 
tare: addidi tarnen subinde condituram quandam Logarithmorum 
ex Area Hyperbolae, quam hie subjungo. Sit dFD hyperbola 
cujus Centrum C, Vertex F, et Quadratum interjeetum CAFE = 1. 

In CA cape AB, Ab hinc inde = -r^ sive 

0. 1, et erectis perpendiculis BD, bd ad 
Hyperbolam terminatis, erit semisumma spa- 
rt 1 + - 001 ° 00001 




tiorum AD et Ad 
0.0000001 



+ 



bAD 



+ 



7 
0.0001 



etc. et semidifferentia 



5 
0.01 



reduetae sie se habent, 

0.1000000000000 

3333333333 

20000000 

1428B7 

1111 

9 



0.1003353477310 



0.000001 , 0.00000001 , 
^ 1 g etc. quae 

0.0050000000000 

250000000 

1666666 

12500 

100 

1_ 

0.0050251679267 



Newton an DtbenButg. 207 

Horum summa 0.1053605156577 est Ad, et differentia 0.0953101798043 

est AD. Et eadem ratione positis AB, Ab hinc inde — 0.2, obtinebi- 

tur Ad -0.2231435513142, et AD = 0. 1823215567939. Habitis sie 

Logarithmis Hyperbolicis numerorum quatuor decimalium 0.8, 0.9, 1.1, 1.2, 

1.2 1.2 
cum sit tt^x ttq— 2, et 0.8 et 0.9 sint minores Unitate:adde Logarithmos illo- 

rum ad daplum Logarithmi 1.2 et habebis 0.6931471805597, Logarithmum 

2x2x2 

Hyperbolicum numeri 2. Cujus triplo adde log 0,8, (siquidem sit ^ 

= 10) et habebis 2. 3025850929933, Logarithmum numeri 10: indeque 
per Additionem simul prodeunt Logarithmi numerorum 9 et 11; 
adeoque omnium primorum horum 2, 3, 5, 11 Logarithmi inpromtu sunt. 
Insuper ex sola depressione numerorum superioris computi per loca 
deeimalia, et Additione obtinentur Logarithmi decimalium 0.98, 0.99, 
1.01, 1.02, ut et horum 0.998, 0.999, 1.001, 1.002. Et inde per addi- 
tionem et subtractionem prodeunt Logarithmi primorum 7, 13, 17, 37 
etc. qui una cum superioribus per Logarithmum numeri 10 divisi evadunt 
veri Logarithmi, in Tabulam inserendi. Sed hos postea propius obtinui. 
Pudet dicere ad quot figurarum loca has computationes otiosus 
eo tempore perduxi. Nam tunc sane nimis delectabar inventis hisce. 
Sed ubi prodiit ingeniosa illa N. Mercatoris Logarithmotechnia (quem 
suppono sua primum invenisse) coepi ea minus curare, suspicatus vel 
eum nosse Extractionem Radicum aeque ac Divisionem Fractionum, 
vel alios saltem, divisione patefaeta, inventuros reliqua, priusquam ego 
aetatis essem maturae ad scribendum. Eo ipso tarnen tempore, quo 
liber iste prodiit, communicatum est per amicum D. Barrow (tunc Ma- 
thesos Professorem Cantab.) cum D. Collinio Compendium quoddam 
Methodi harum Serierum*) iu quo signifieaveram, Areas et Longitudines 
Curvarum omnium et Solidorum superficies et Contenta ex datis rectis, 
et vice versa ex his datis reetas determinari posse, et Methodum ibi 
indicatam illustraveram diversis seriebus. Suborta deinde inter nos 
Epistolari consuetudine D. Collinius, vir in rem mathematicam pro- 
vehendam natus, non destitit suggerere, ut haec publici juris facerem: 
Et ante annos quinque cum suadentibus amicis consilium coeperam 
edendi Tractatum de Refractione Lueis et Coloribus, quem tunc in 
promtu habebam, coepi de his Seriebus iterum cogitare, et Tractatum 
de iis etiam conscripsi ut utrumque simul ederem. Sed ex occasione 
Telescopii Catadioptrici Epistola ad Te missa, qua breviter explicui 



*) @3 ift bieg bie 2lfcf)CtnbIung Stotort'^ : De Analysi per aequationes numero 
terminorum infinitas. 



208 Newton an OlbenBurg. 

conceptus meos de Natura Lucis, inopinatum quiddam effecit, ut mei 
interesse sentirem ad te festinanter scribere de Impressione istius Epi- 
stolae. Et subortae statim per diversorum Epistolas (objectionibns 
aliisque refertas) crebrae interpellationes me prorsus a consilio deter- 
rueruut, et effecerunt, ut me arguerem imprudentiae quod umbram 
captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem. 

Sub eo tempore Jacobus Gregorius ex unica quadam Serie e meis 
quam D. Collinius ad eum transmiserat, post multam considerationem 
(ut ad Collinium rescripsit) pervenit ad eandem Methodum, et Tracta- 
tum de ea reliquit, quem speramus ab amicis ejus editum iri. Siquidem 
pro ingenio, quo pollebat, non potuit non adjieere de suo nova multa> 
quae rei mathematicae interest ut non pereant. Ipse autem Tractatum 
meum non penitus absolveram, ubi destiti a proposito; neque in hunc 
usque diem mens rediit ad reliqua adjicienda. Deerat quippe pars illa, 
qua decreveram explieare modum solvendi Problemata, quae ad Quadra- 
turas reduci nequeunt, licet aliquid de Fundamento ejus posuissem. 
Ceterum in Tractatu isto Series Infinitae non magnam partem obtinebant. 

Alia haud pauca congessi, inter quae erat Methodus ducendi 
Tangentes, quam solertissimus Slusius ante annos duos tresve tibi 
communicavit, de qua tu, suggerente Collinio, rescripsisti, eandem mihi 
etiam innotuisse. Diversa ratione in eam incidimus. Nam res non 
eget demonstratione, prout ego operor. Habito meo fundamento nemo 
potuit Tangentes aliter dueere, nisi volens de recta via deviaret. Quin 
etiam non hie haeretur ad Aequationes Radicalibus unam vel utramque 
Indefinitam Quantitatem involventibus uteunque affeetas, sed absque ali- 
qua talium Aequationum Reductione (quae opus plerumque redderet 
immensum) Tangens confestim ducitur. Et eodem modo se res habet 
in qüaestionibus de Maximis et Minimis, aliisque quibusdam, de quibus 
jam non loquor. Fundamentum harum operationum, satis obvium qui- 
dem (quoniam jam non possum explieationem ejus prosequi), sie potius 
celavi : 6 acedae 13 eff 7 i 319 n 40 49 rr 459 1 12 vx. *) Hoc fundamento 
conatus »um etiam reddere speculationes de Quadratura Curvarum 
simpliciores, pervenique ad Theoremata quaedam generalia. Et ut 
candide agam, ecce primum Theorema. Ad**) curvam aliquam sit 

dzfrxe + fz*)| ordinatim applicata, termino abscissaeseubasisznormaliter 



*) Hoc est, Data aequatione quoteunque fluentes quantitates involvente, fluxiones 
invenire, et vice versa. Interpretation t)on 28afli£. 

**) SeiBnig Ijat Ijier am 2tanbe be§ 2ßanufcript§ Bewerft: 

/dz z m I n_| e + fz h, Jdz z m co n = 0, <o = e + fzS, dw = fh. z"^ dz, 



Beratern an DIbenourg. 



209 



insistens, ubi literae d, e, f denotant quaslibet quantitates datas, et ö», yj, 1 
indices Potestatum sive Dignitatum quantitatum, quibus affixae sunt. 

I ac = r, 1 + r = s, — T x e + fzM = Q, et rv) — yi = rc, et Area 

Y) 7)1 ■ 

' ., ^ . z* r— 1 eA r — 2 eB r — 3 eC 

Gurvae erit Q m — — r x «-=- H s x , * — — -^ x TT 

s s — 1 f z T > s — 2 I Z > S 6 17^ 

r 4 e D . . 

-\ j x -^ — etc. literis A, B, C, D etc. denotantibus terminos proxime 

antecedentes, nempe A terminum , B terminum — - x 7^-^- etc. 

7 r s s — 1 f z 7 ! 

Haec Series, ubi r fractio est vel numerus negativus, continuatur in 

infinitiim: ubi vero r integer est et affirmativus, continuatur ad tot 

terminos tantum quot sunt unitates in eodem r, et sie exhibet Geome- 

tricam Quadraturam Curvae. Rem exemplis illustro. 

Exempl. 1. Proponatur Parabola, cujus ordinatim-ap plicata sit 

1/az. Haec in formam Regulae redueta, fit zOxo+az 1 ! 2 : quare est 
d = 1, ö» = 0, e = 0, f = a, Y] = 1, ^ = ö- Adeoque r = 1, s = 1-, Q 



; — o> — e : f 1 1 : h I et dz = doo : f h 



1-h 



et 



- / ^ e 



1-h + m 







10 -- e 


1-h+m 


f 


h 



w n dw (genauer = -^- / ^-y-^ " ' w n dw) 

Ita res redueta ad terminos simpliciores ; itaque si sit 1 — h + m, : h — g, fiet 
@ — / _ M ~ e |"^| . w n . dw, unde si g sit integer, habetur solatio absoluta, quae 

videtur esse theorematis hie scripti origo. Si loco z^ 7 " affuisset z m | |_rj b + dzo, prodiisset 

/■ 



w — e 1 — 1 n I r I -, , -. w — e 
0— g .w ,L_lb + d-— — 



C : h . Ergo si g = rationali, tune 



dz z m . b + dz4-. e + f z h reducitur ad aliquot finitas o> n j b + d. — ^~ l C 



Haec maximi momenti. Si h = 1, fit g integer, posito m integro. Sed hinc 



l:n 



nihil lucramur. Si faciamus v = lÜJ e + f.z h , fiet v — e - f.z et v 



l:n-l 



dv : n f ■ 



h. z ~ dz et z = v~^~ — e, : f ll : hl et dz : 



dv 



1: n — 1 . Un ll — h 

7 - in v • — e, : r h 



et fit /dz. z m e + fz^ fl b + dz c %tdz. z m v e + fz h etc. r=^.v^inv 1:n -e,:f 1 ^ m 



in v in b + d 



l:n 
v • — 


- e lc| 


f 





, ita revera, posito r-^ — esse integrum, obtenta est 



depressio. Si h sit 1, quantitate sub irrationali eontenta resoluta in plures divisores.,, 

et unum ex his irrationalem ponendo v. habetur depressio. 

14 



210 Beratern an ötbenfturg. 



— — xaz| 2 , x -- o. Et Area quaesita — xazf in — ^, hoc est-^z 1/ az. 
a a Xt o ^ 

Et sie in genere, si cz^ ponatur ordinatim-applicata, prodibit Area 



c tH-i 
z 



TQ + 1 



a 4 z 

Exempl. 2. Sit ordinatim-applicata -, ---~ r — ;• Haec per Re- 

r rr c 4 __ 2cezz + z 4 x 



duetionem fit a 4 z x cc — zz| vel etiam a 4 z~~ 3 x — 1 + cez -2 | . In 
priori casu est d = a 4 , 8* — 1, e = cc, f— — 1, y) — 2, X~ — 2, adeoque 

* ^ a 4 1-2 . . — a 4 _, 

r = l, s=-l, ü=— rxec-zz , hoc est = ^ - — , 7c = o. Et 

9 ^ — 2 2 cc — 2zz 

z° a 4 

Area curvae Q in — J -~ , id est — ^—- — — — . In seeundo autem casu est 
— 1 2ec — 2zz 

d = a 4 , & = - 3, e = - 1, f - cc, y] = - 2, X = - 2, r = 1, s = - 1. 

a 4 1 — * — a 4 77 

Q = — -— x - 1 + cc z- 2 id est = ■ Er - Ä s— ^- , rc = o. Et Area = Q in 

— 2cc 2 c 4 — 2cczz 

z^ a 4 zz 

— V^, hoc est — p— - . Area his casibns diversimode exhibetur, qua- 

— 1 2c 4 — 2cczz 

tenus computatur a diversis finibus, quorum assignatio per hos inven- 

tos valores arearum faeilis est. 

Exempl. 3. Sit ordinatim-applicata -g |/:bz+ zz, hoc est, per 



Reductionem ad clebitam form am, vel a 5 z 2 x b + z| 2 , vel a 5 z" 4 x 1+bz"" I 

9 X 

Et erit in priori casu d ~ a 5 , 6 = — — , e — b, f = 1, y] — 1, X = ~-, adeo- 

7 
que r = — ■ ^ etc. Quare cum r non sit numerus affirmativus, pro- 

cedo ad alterum casum: hie est d = a r> , & — — 4, e —■ 1, f = b, 

1 a 5 -l 

Y) = — 1, X — — , adeoque r = 3, s = 31, Q, — — r- xl ■} bz~ r seu — 
Z — u 

a 5 z + a 5 bi / —r- _ _,, . ^ . z~ 2 2 z" 1 1 

z z° .. ± -30bb + 24bz- 16 zz a 5 z + a 5 b i / ~^~ 

21 3ibb lOobbzz bzz *. 

ExempL 4. Sit denique ordinatim-applicata 
bz^ 



1/ 5 : c 3 — 3aecz^ + 3aacz« — a 3 zz. Haec ad formam Regulae redueta, fit 

ß -j O Q 

bz 8 x c — az^j °; indeque est d = b, 9« — ^-. e ~ c, f = — a, yj — h - , ^ = — ^ 



SUerottm an DlbcnBurg. 



211 



r = 2, S = -g, ■ Q - z -^ x c - azB| , tt = g- , Et Area- Qx — 



5 5c 
2^-7a' 



id est - 



30 abz 5 + 75 bc 
28 aa 



xc — az 3 | . Quod si res non suceessisset in hoe 



casu, existente r vel fractione vel numero negativo, tunc tentassem 
alterum casum purgando terminum — az^ in ordinatim-applicata a 
coeffieiente z*, hoe est, reducendo ordinatim-applicatam ad hanc for- 



mam bz"" 1 ^ x — a + cz~~*\ , Et si r in neutro casu fuisset numerus 
integer et aftirniativus, eonclusissem Curvam ex earum numero esse, 
quae non possunt Greometrice quadrari. Nam, quantum animadverto, 
haec Regula exbibet in infinitis Aequationibus Areas omnium Geome- 
trieam Quadraturam admittentium curvarum, quarum ordinatim-appli- 
catae constant ex Potestatibus, Radicibus vel quibuslibet Dignitatibus 
Binomii cujuscunque : licet non directe, ubi index Dignitatis est nume- 
rus integer.*) At quando liujusmodi Curva aliqua non potest Geome- 
trice quadrari, sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus 
cum Conicis Sectionibus, vel saltem cum äliis figuris simplicissimis 
quibuscum potest comparari: Ad quod sufficit etiam hoc ipsum unicum 
jam descriptum Theorema, si debite concinnetur. Pro Trinomiis etiam 
et aliis quibusdam Regulas quasdam concinnavi. Sed in simplicioribus 
vulgoque celebratis Figuris vix aliquid relatu dignum reperi, quod 
evasit aliorum conatus, nisi forte Longitudo Cissoidis ejusmodi cen- 
seatur. Ea sie construitur. 

Sit VD Cissois, AV Diameter 
Circuli, ad quem aptatur, V Vertex, 
AF Assymptotos ejus, ,ac DB perpen- 
diculare quodvis ad AV demissum. Cum 
semiaxe AF = AV et semiparametro 
AG =■-£- AV, describatur Hyperbola 
FkK, et inter AB et AV sumta AC 
media proportionali, erigantur ad C et 
V perpendicula Ck et VK Hyperbolae 
occurrentia in k et K et agantur rectae 
KT et kt tangentes hyperbolam in 
iisdem K et k, et occurrentes AV in ~H 7f Ä 
T et t, et ad AV constituatur rectangulum AVNM aequale spatio 
TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis VN. Demon- 
stratio perbrevis est. Sed ad Infinitas Series redeo. 

*) $ie SSorte licet non directe integer finbett firfj in bem 2töbrutf be£ üfteroton'fdjen 
S8riefe§ im Commerc. epistol. 14* 




212 Beratern an Olbeubutg. 

Qnamvis multa restent investiganda circa modos approximandi 
et diversa Serierum genera, quae possunt ad id eonducere, tarnen vix 
cum Dn. Tsehirnhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis 
generalia fundamenta reducendi Quantitates ad hoc genus Serierum, 
de quo agimus, quam sunt Divisiones et Extractiones Radi cum, quibus 
Leibnitius et ego utimur. Saltem non generaliora, quia pro Quadratura 
et su&üvffst curvarum ac similibus, nullae possunt dari Series ex hisce 
simplieibus terminis Algebraicis (unicam tantum Indefinitam Quantitäten! 
involventibus) constantes, quas non licet hac Methodo colligere. Nam 
non possunt esse plures Imjusmodi convergentes Series ad idem deter- 
minandum, quam sunt Indefinitae Quantitates, ex quarum Pofcestatibus 
Series conflentur; et ego quidem ex adhibita quaeunque indefinita quan- 
titate seriem novi colligere, et idem credo Leibnitio in potestate esse. 
Nam quam vis mea methodo liberum sit eligere pro conflanda serie quan- 
titatem quamlibet indefinitam, a qua quaesitum dependeat, et methodus, 
quam ipse nobiscum communieavit, determinata videatur ad electionem 
talium indefinitarum quantitatum, quibus opus commode deduci potest 
ad Fractiones, quae per solam divisionem evadant Series Infinitae; tarnen 
aliae quaeeunque Indefinitae Quantitates pro Seriebus conflandis adhiberi 
possunt per methodum istam, qua Affectae Aequationes resolvuntur, 
dummodo resolvantur in propriis terminis, hoc est conficiendo seriem 
ex solis terminis, quos aequatio involvit. 

Praeterea non video, cur dicatur his Divisionibus et Extractioni- 
bus problemata resolvi per Accidens, siquidem hae operationes eodem 
modo se babeant ad hoc genus Algebrae ac vulgares operationes Arithme- 
ticae ad Algebram vulgo notam. Quod autem ad Simplicitatem Methodi 
attinet, nolim Fractiones et Radicales absque praevia Reductione 
semper resolvi in Series Infinitas. Sed ubi perplexae quantitates 
oecurrunt, tentandae sunt omnimodae Reductiones, sive id fiat augendo, 
minuendo, multiplicando vel dividendo quantitates indefinitas, sive per 
methodum trahsmutatoriam Leibnitii, aut alio quoeunque modo, qui 
oecurrat. Et tunc Resolutio in series per Divisionem et Extractionem 
optime adhibebitur. Hie autem praeeipue nitendum est, ut Denomi- 
natores Fractionum et Quantitates in Yinculo Radicum reducantur ad 
quam paucissimas et minime compositas, et ad tales etiam, quae in 
seriem abeant citissime convergentem, etsi Radices neque convertantur 
in Fractiones neque deprimantur. Nam per Regulam initio alterius 
epistolae Extractio Altissimarum Radicum aeque simplex et facilis est 
ac Extractio radicis Quadraticae, vel Divisio, et series, quae per Divi- 
sionem eliciuntur, solent minime omnium convergere. Hactenus de 
Seriebus Unicam Indefinitam Quantitäten* involventibus locutus sum: Sed 



SRetüttm cm DlbenBurg. 213 

possunt etiam perspecta Methodo Series ex Duabus vel Pluribus assig- 
natis Indefinitis Quantitatibus pro arbitrio confici. Quin etiam bene- 
licio ejusdem inethodi possunt series ad omnes figuras efformari, Gre- 
gorianis ad Circulum et Hyperbolam editis affines, hoc est, quarum ulti- 
mus terminus exhibebit quaesitam Aream. S.ed ealculum hie onerosiorem 
nolim lubens subire. Possunt denique Series ex Terminis Compositis 

eadem methodo constitui : quemadmodum si Bit |/ : aa — ax -1 ordi- 

natim-applicata curvae alieujus ; pono aa — ax == zz et ex binomio zz + 

— extraeta radice, prodibit z + — ^ etc. cujus Seriei omnes 

a üäz o aaz 

termini quadrari possunt per Theorenla jam ante descriptum. Sed hoc 

minoris facio, quod ubi series simplices non sunt satis tractabiles, aliam 

nondum communicatam methodum habeo, qua pro libitu acceditur ad 

quaesitum. Ejus fundamentum est commoda, expedita, generalis solutio 

hujus Problematis: Curvam Geometricam describere quae per 

data quoteunque puneta transibit. Docuit Euclides descripti- 

onem Circuli per Tria data puneta; pbtest etiam Conica Sectio describi 

per Quinque data puneta, et Curva Trium Dimensionum per Septem 

data puneta (adeo ut in potestate habeam descriptionem omnium Cur- 

varum istius ordinis, quae per Septem tantum Puneta determinantur). 

Haec statim Geometrice fiunt nullo Calculo interposito. Sed superius 

Problema est alterius generis. Et quamvis prima fronte intractabile 

videatur, tarnen res aliter se habet. Est enim fere ex pulcherrimis, 

quae solvere desiderem. 

Seriei a D. Leibnitio pro Quadratura Conicarum Sectionum pro- 

positae affinia sunt Theoremata quaedam, quae pro Comparatione Cur- 

varum cum Conieis Sectionibus in Catalogum dudum retuli. Possum 

utique cum Sectionibus Conieis Geometriee comparare Curvas omnes 

(numero infinities infinitas), quarum ordinatim-applicatae sunt 

dz r '-i 1 dz 2 ^- 1 

vei w-^ ^ etc. 



e + fz^ + gz 2T > e + iz^ + gz 2Y > 

dz-^-i 1 dzjh-i 

ÄUt ^Tfz'^ + gz 2 '< vel e + fz^ + gz 2 ^ 6tC ' 



Aut -]/: e + fz T < + gz 2 " 1 vel dz^- 1 x ]/: e + fe 7 ) + gz 2Y] 

dz^- 1 . dz 2 ^- 1 

Aut — _ ve | — : etc. 

]/: e + fz r ' + gz 2Y > ]/ e + fz 1 ^ + gz 27 » 

v A dz*« 1 xW+M , dz^-Jxl/^+M x 

Aut rl — vel - — — — ri -^ eto. 

g+hz') g + hz' 1 



etc. 



214 9ceroton an Otbcnburg. 

dz 1 !- 1 , dz 2 ^- 1 

Ant ■ — vel === p+e 

AUX j^hzi' x Ve + fei g + hzi x Ve + fei 

Ant * 1/54S vel dzl-i x K^S «*• 
z v g + hz 1 ^ * g + hz^ 

Hie d, e, f, g significant quasvis datas Quantitates cum suis signis + 
et — affeetas; z Axem vel Basim curvae, et y], 2yj, b) — 1, 1y)— -1, tq — 1, 
2y) — 1 Jndices Potestatum vel Dignitatuin z ? sive sint affirmativi vel 
negativi, sive integri vel fracti; et singula Bina Theoremata sunt duo 
Primi termini Seriei in infinitum progredientis. In tertio et quarto 4 eg 
debet esse non ruajus quam ff, nisi e et g sint contrarii signi. In caete- 
ris nulla est limitatio. Horum aliqua (nempe Secundum, Tertium ? 
Quartum, Quintum et Decimum-tertium) ex Areis duarum Coniearum 
Sectionum conjunetis constant. Alia quaedam (ut Novum 7 Deeimum, et 
Duodecimum) sunt aliter satis Composita. Et omnia quidem in eonti- 
nuatione Progressionum cito evadunt compositissima, adeo ut vix per 
transmutationem figurarum, quibus Gregorius et alii usi sunt ? absque 
alio fundamento inveniri posse putem. Ego equidem haud quiequam 
generale in his obtinere potui, ante quam abstraherem a contemplatione 
Figurarum, et rem totam ad simplicem considerationem solarum ordina- 
tim-applicatarum reducerem. Sed cum haee et hisce generaliora sint 
in potestate, non dubitabitur, credo, de Binomialibus longe faeilioribus, 
quae in his continentur, et prodeunt ponendo tantum literam aliquam 
e vel f vel g - 0, et y) — 1 vel 2; etsi series, in quas ista resolvantur, 
non posuerim in Epistola priori, nedum forte computaverim, intentus non 
in omnia particularia enuineranda, sed in illustrandam Methodum per 
unam et alteram in singulis rerum generibus instantiam quae ad osten- 
dendam ejus generalitatem sufficere videbatur. 

Caeterum haec Theoremata dant Series plus quam uno modo. 

Nam primum si ponatur f =0 et yj = 1, evadit — — — — •; unde prodit 
series nobis communicata. Sed si ponatur 2eg — ff et yj = 1, inde tandem 

pro longitudine Quadrantalis Arcus, cujus chorda est Unitas, vel, 

quod perinde est. haue tt + -^ — 7^ + -nn — ~^v^ etc. pro longitudine 
u . ' 2 lo 63 143 25o r ^ 

dimidii ejus. Et has forte, quia aeque simplices sunt ac alterae et 
magis convergunt, non repudiabitis. Sed ego rem aliter aestimo. 
Illud enim melius, quod utilius est, et Problema minori labore sol- 
vit. Sie, quamvis haec aequatio x 3 — x — 1 appareat simplicior 



Newton an ölbenBttrg. 215 

hacce yy — 2y y -— — 1/20 = 1^20, tarnen in confesso est, poste- 
riorem revera simpliciorem esse, propterea quod Radieem ejus y Geo- 
metra facilius eruit. Et ob hanc rationem Series pro obtinendis Arcu- 
bus Circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis Sectoribus Coni- 
carum Sectionuni pro optimis habeo, quae componuntur ex potestatibus 
Sinuimi. Nam si quis vellet per simplex computum hujus Seriei 1 + 

ö- - p- — •=■ + q + etc. eolligere longitudinem Quadrantis ad Viginti figu- 

raruni loca decimalia, opus esset 5000000000 terminis Seriei circiter, ad 
quorum Calculum Milleni Anni requirerentur. Et res tardius obtineretur 
per Tangentem 45 grad. Sed adhibito Sinu recto 45 grad. Quinqua- 

ginta quinque vel Sexaginta termini hujus seriei }/ -^ x 1 + — + 



12 * 160 

5 

+ -ön^- etc. sufficerent, quorum computatio Tribus ut opinor vel Quatuor 

Diebus absolvi posset. Et tarnen hie non est optimus modus compu- 
tandi totam Peripheriam. Nam series ex sinu recto triginta graduum 
vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multo citius dabit Arcum 
suum, cujus sextuplum vel duodecuplum est tota Peripheria. Neque 
majori labore eruitur area totius Circuli ex segmento, cujus sagitta est 
quadrans diametri. Ejus computi speeimen, siquidem ad manus est, vi- 
sum fuit apponere; et una adjungere areain Hyperbolae, quae eodem 
calculo prodit. 

Posito Axe transverso — 1 et sinu verso seu Segmenti sagitta 

— x, erit Semi-segmentum Hyperbolae 1 _ i • 2 xx x 3 x 4 

Circuli /~ x m: 3* ± T~28 ± T2 

etc. Haec autem Series sie in infinitum producitmr, sit 2x"* = a, — = b, 

bx 3cx , 5dx 7ex „ . ., ^ 

-r- — c, —w- = d, — ^— = e, ~^rjr- = i etc. ei erit semi-segmentum 
4 o o 1U 

Hyperbolae ) a , b c , d e , f , . ac 

.,.,. > =w + r- — ^ + ?r — 7T + T^etc. eorumque semi-summa ^ - — -= 

Circuli ; 3~5 7~ 9 11 "13 ^ 37 

e b d f 

— jj etc. et semi-diiferentia ^ + q + tö etc. His ita praeparatis sup- 

ponox = j, quadrantem nempe Axis, et prodit a (=y) = 0.25; 
ax 0.25\ AAQi0 r / bx 0.03125\ Annin , Q1fl , ,/ 3cx 

T-i^r - ^ d (=-6- 

:-J -L J — 0.000244 140625. Et sie procedo usque dum venero 



216 Stoütou an DlbenBurg. 

ad terminum depressissimurn, qui potest ingredi opus. Deinde hos ter- 
minos per 3, 5, 7, 9, 11 etc. respective divisos dispono in duas Tabulas, 
ambiguos cum primo in unam, et negativos in aliam, et addo ut hie 
vides: 



0.0833333333333333 


0.0002790178571429 


62500000000000 


34679066051 


271267361111 


834465027 


5135169396 


26285354 


144628917 


961296 


4954581 


38676 


190948 


1663 


7963 


75 


352 


4 


16 
1 


0.0002825719389575 



0.0896109885646618 
Tunc a priori summa aufero posteriorem et restat 0.0893284166257043 
Area Semi-segmenti Hyperbolici. Addo etiam easdem summas, et aggre- 
gatum aufero a primo termino duplicato 0.1666666666666666 et restat 
0.0767731061630473 Area Semi-segmenti Circularis. Huic addo Trian- 

gulum istud quo completur in Sectorem, hoc est, ^ V3 seu 

0.0541265877365274 et habeo Sectorem Sexaginta graduum 
0.1308996938995747, cujus sextuplum 0.7853981633974482 est Area 

totius Circuli, quae divisa per y, quadrantem Diametri, dat totam Pe- 

ripheriam 3.1415926535897928. Si alias artes adhibuissem, potui per 
eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multo plura loca 
figurarum, puta Viginti quinque aut amplius; sed animus fuit hie 
ostendere, quid per simplex seriei computum praestari posset. Quod 
sane haud difficile est, cum in omni opere multiplicatores ac divisores 
magna ex parte non majores quam 11 et nunquam majores quam 41 
adhibere opus sit. 

Per seriem Leibnitii, etiam si ultimo loco dimidium termini adjicia- 
tur et alia quaedam similia artificia adhibeantur, potest computum pro- 

duci ad multas figuras: ut et ponendo summam terminorum 1 — ■=- + -^ 

-Ä + A-Ä + Ä~i" t "M etc - eSSe ad t0tam Seriem 1 ~ 3 + 5 

— — + — — jj- + etc. ut 1 4- V2 ad % Sed optimus ejus usus videtur 



Beratern an DlbettBurg. 217 

esse, quando vel conjungitur cum duabus aliis persimilibus et citissime 
convergentibus Seriebus, vel sola adhibetur ad computandum arcum 30 

gradiium, posita Tangente Vf". Tunc enim Series illa evadit 1 — 

+ ^ — — + .- q7 etc. quae cito convergit; vel si con junges 

5x9 7 x 27 v x ol 

cum aliis seriebus, pone circuli Diametrum = 1 et a — -^ etc. et area totius 

, x a a 3 a 5 a 7 , aa a 5 a 8 a 11 . a 14 a 17 

circuh ent r - t +g- y +eto. + T + T - -g- - T + -g- + ^ 

a 4 a 10 a 16 a 22 a 28 
— etc. + -: ö~-+ -f «-* + -Q- etc. Hie consideravimus series, qua- 

tenus adhibentur ad computandum totum circulum, Sed quando compu- 
tandae sunt partes ejus, tunc quaelibet series habet proprium usum ; et 
in suo genere optima est. Si datur Tangens satis parva vel satis 
magna, non recurrendum erit ad Sinum aliquem, ut inde computetur 
Arcus, neque vice versa. Series dato congruens est aequatio pro solvendo 
proprio Problemate. 

Credo Cl. Leibnitium, dum posuit seriem pro determinatione 
Cosinus ex Arcu dato, vix animadvertisse Seriem meam pro deter- 
minatione Sinus Versi ex eodem Arcu, siquidem haee idem sunt. Ne- 
que observasse videtur morem meum generaliter usurpandi literas pro 
quantitatibus cum signis + et — affectis, dum dividit hanc seriem 

z zz z 3 z 4 

TT + 7T-TT- + 7» — r^ + ^ i 01 a + etc. Nam cum area Hyperbolica BE hie 

6 2abb oaab 3 24a^b 4 r 

significata per z sit affirmativa vel negativa, 

prout jaceat ex una vel altera parte ordinatim- 

applicatae BC; si area illa in numeris data 

sit 1, et 1 substituatur in serie pro z, orietur 

vel + l + 2Sb " 6SB» + 2OT ete - Vel " K 

+ 2Sb " 65bS + 24SP CtC - pr ° Ut 1 Sit affir - 

mativa vel negativa. Hoc est, posito a — 1 — b, etl logarithmo Hyper- 

1 11 l 3 l 4 
bolico, numerus ei correspondens erit l+-r + H-+-7r+?rr etc. si 1 sit 

1 2 b 24 

1 11 l 3 l 4 
affirmativus, et I — ^+tt — -^ + tti etc. si 1 sit negativus. Hoc modo 
' 1 2 6 24 ö 

fugio multiplicationem Theorematum quae alias in nimiam molem cres- 

cerent. Nam v. g. illud unicum Theorema, quod supra posui pro Qua- 

dratura Curvarum, resolvendum esset in triginta duo Theoremata, si 

pro Signorum varietate multiplicaretur, 




218 Dfarotott an DIbcnBurg. 

Praeterea, quae habet Vir Clarissimus de Xnventione Numeri Unitate 
majoris per datum Logarithmum Hyperbolicum ope Seriei j — 

+ 1^2^ 3 " 1x2x3x4 + etc ' P° tiuS ^ Uam °P e Seriei T + 1^2 

l 3 l 4 

+ -z ~ — -^ + — — g — ^ r + etc. nondum percipio. Nam si unus 

J- x di x o JL x Li x o x 4: 

terminus adjiciatnr amplius ad Seriem posteriorem quam ad priorem, poste- 
rior magis appropinquabit. Et certe minor est labor computare unam vel 
duas primas figurasadjectihujus termini, quam dividere Unitatem per pro- 
deuntem Logarithmum Hyperbolicum ad multa figurarum loca extensum, ut 
inde habeatur Logarithmus Hyperbolicus quaesitus. Utraque igitur Series 

1 13 

(si duas dicere fas sit) officio suo fungatur. Potest tarnen -j + 



+ 



1 ' 1x2x3 

l 5 

— — etc. series ex dimidia parte terminorum constans 

1x2x3x4x5 ^ 

optime adhiberi, siquidem haec dabit semi-differentiam duorum nume- 

rorum, ex qua et rectangulo dato uterque datur. Sic et ex Serie' 1 + 

11 l 4 

^ k + h s ö r etc. datur semi-summanumerorum, indeque etiam 

1x21x2x3x4 * 

Numeri. Unde prodit relatio Serierum inter se, qua ex una data da- 

bitur altera. 

Theorema de Inventione Arcus ex dato Cosinu, ponendo radium 

1, Cosinum c, et arcum 1/6 — 1^24c + 12, minus appropinquat quam 

v 3 v 4 
prima fronte videtur. Posito quidem sinu verso v, error erit 7^ J r-rr^T 

UO 194 

+ etc. Potest fieri ut 120 - 27v ad 120 - 17v, ita chorda (V2v) ad 
Area», et error erit tantu m 61 ^ circiter, q ui semper «rfnor est 

quam b~ minuta seeunda, dum arcus non sit major quam 45 grad., et 
singulis etiam bisectionibus diminuitur 128 vieibus. 

~ . a 3 a 5 a 7 

168 "nT2x3 ~ 1x2 x"3^4^5 + T>T2 xTxTxT^TFx^ 
etc. applicari posset ad computationem tabulae Segmentorum, ut 
observat Vir Clarissimus. Sed res optime absolvitur per Canonem 
Sinuum. Utpote, cognita Quadrantis Area, per continuam Additionem 
nonae partis ejus habebis Sectores ad singulos Decem Gradus in 
Semicirculo; deinde per continuam Additionem deeimae partis partis 
hujus habebis Sectores ad Gradus; et sie ad deeimas partes graduum 
et ultra procedi potest, Tunc radio existente, ab unoquoque Sectore 



SRetrtott an DtbettBurg. 



219 



et ejus complemento ad 180 gradus aufer dimidium communis Sinus 
Recti et relinquentur Segmenta in Tabulam referenda. Caeterum 
quamvis Series hie non prosint, in aliis tarnen locum obtinent; et 
quoniam hoc ad earum usum spectat, non gravabor in aliquibus attingere- 
Constructionem Logarithmorum non aliunde peti debere, credetis 
forte ex hoc simplici processu, qui ab istis pendet. Per methodum 
supra traditam quaerantur Logarithmi Hyperbolici numerorum 10, 
0.98, 0.99, 1.01, 1.02: id quod fit spatio unius et alterius horäe. Dein 
divisis Logarithmis quatuor posteriorum per Logarithmum numeri 10 ? 
et addito Indice 2, prodibunt veri Logarithmi numerorum 98, 99, 100, 
101, 102 in Tabulam inserendi. Hi per dena intervalla interpolandi 
sunt, et exibunt Logarithmi omnium Numerorum inter 980 et 1020, et 
omnibus inter 980 et 1000 iterum per dena intervalla interpolatis, 
habebitur Tabula eatenus construeta. Tunc ex his colligendi erunt 
Logarithmi omnium Primorum Numerorum et eorum multiplicium mi- 
horum quam 100: ad quod nihil requiritur praeter Additionem et Sub- 

J/ 9984 x 1Ö2Ö __ l/S^l^eä 



tractionem. 



= 5 



l/ 98 : 

' V 2 



Siquidem sit 

99 _ 1001 



9945 



984 



998 



= 23 



986 
2x17 
9911 



' 9 
29, 



1 1 ^^ _ i q 10^ __ 1 7 

U '7xll"" ' 6 ~ '4x13 



19, 



11 x 17 
9928 



= 53, 



992 

32 

9971 



= 31, 



999 

27 



13x13 



37,-^ = 41, 

9882 9849 

5y ' 2 x 81 '- ' 3 x 49 



989 
23 



43, 



= 3 ' T 

9936 
16x27 

987 



21 



= 67, 



994 



71, 



73, 



9954 



79, 



996 



83, 



9968 



= 89, 



9894 



14 
= 9l Ethabitis 



8x17 '7x18 '12 '7x16 '6x17 

sie Logarithmis omnium numerorum minorum quam 100, restat tantum hos 
etiam semel atque iterum per dena intervalla interpolare. Constructionis 
Tabulae Sinuum, a qua pendet tota res Trigonometrica, fundamentum 
Optimum est continua Additio dati Anguli ad se ipsum vel ad alium 

R 
D 
B 



Ä E G G Q I S aL V NY.P 

datum. Utpote in Angulo Addendo BAE inscribantur HJ, JK, KL, 
LM, MN, NO, OP etc. aequales radio AB, et ad opposita latera 
demittantur perpendicula BE, HQ, JR, KS, LT, MV, NX, OY 
etc. Et Angulorum HJQ, JKH, KLJ, LMK, etc. differentiae erunt 
angulus A ; Sinus HQ, JR, KS etc. et Cosinus JQ, KR, LS, etc. Detur 




220 SRetüton an £)Ibcttßurg. 

jam aliquis eorum LMK et ceteri sie eruentur. Ad SV et MV demitte 
perpendicula Ta et Kb, et (propter simüia triangula ABE, TLa, KMb, 

ALT, AMV etc.) erit AB . BE : : TL . La U - L ~ LN ) : : KT 
4KM). \ M (=*^*). Et AB. AE : : KT. Sa (=^±^) 

: : TL. Ta L^-lM). Unde dantur Sinus et Cosinus KS, MV, SL ? 

LV. Et simul patet ratio continuandi progressiones. Nempe AB . 
2 AE : : LV. TM + MX : : MX . VN + NY etc. : : MV . TL + XN : : XN . 
MV + OY etc. vel AB . 2BE : : LV. XN -TL : : MV. TM- MX : : MX. 
OY - MV : : XN . VN -NY etc. Et retro AB. 2AE : : LS . KT-j-BK etc. 
Pone ergo AB - 1, et fac BE x TL = La . AE x KT = Sa . Sa-La - 
LV .2xAE x LV-TM = MX etc. Sed nodus est inventio Sinus aut 
Cosinus Anguli A. Et hie subveniunt Series nostrae: Utpote cognita ex 
superioribus Quadrantalis Arcus longitudine 1.57079 etc., et simul 
Quadrato ejus 2. 4694 etc., divide quadratum hoc per quadratum numeri 
exprimentis rationem 90 graduum ad Angulum A: et quoto dicto z, 

tres vel quatuor termini hujus seriei 1 - ^ + ht — if^K — Jaqöä e ^ c - da- 

bunt Cosinum istius anguli A. Sic primo quaeri postest Angulus 5 
graduum et inde Tabula computari ad Quinos gradus 7 ac deinde inter- 
polari ad Gradus vel Dimidios gradus per eandem methodum. Nam 
non convenit progredi per nimios saltus. Duae tertiae partes Tabulae 
sie computatae dant reliquam tertiam partem per Additionem vel Sub- 
tractionem more noto. Siquidem posito KT Cosinu 60 graduum, sit 
AE =-- SV et BE — Mb. Tunc ad deeimas et centesimas partes graduum 
pergendum est per aliam methodum, substitutis tarnen prius Logarith- 
mis Sinuum inventorum, si ejus generis Tabula desideretur. 

Ad computum Tabularum Astronomicarum Kepleri, posui funda- 
mentum quoddam in altera Epistola. Ejus seriei tres primi termini et 
aliquando duo sufficiunt. Sed ad diversas partes Ellipseos diversae 
ejusmodi Series aptari debent: vel potius tales series computandae sunt, 
quae ex data Area Sectoris Elliptici BGE immediate exhibeant aream 
Sectoris Circuli ? cujus Angulus est BEGr, Radius CB. Et habitis 
hisce, computum earum ad duos, tres, vel forte quatuor terminos bene- 
ficio Logarithmorum, haud gravius erit quam solita Resolutio tot Tri- 
angulorum in aliis Hypothesibus: imo forte minus grave, si Series prius 
debite concinnentur, siquidem unus Logarithmus e Tabula petitus 
determinet omnes istos terminos, addendo ipsum et ejus multiplices ad 
Logarithmos datarum Coefficientium in promtu habitos. Quae de hoc 
genere Tabularum dieuntur, ad alias transferri possunt, ubi ratiocinia 



Beratern an DIbenbutg. 



221 



Geometriea locum non obtinent. Sufficit autem per has Series computare 
triginta ve] viginti aut forte pauciores terminos Tabulae in debitis distantiis, 
siquidem termini intermedii facile interseruntur per Methodum quandam, 
quam in usum Calculatorum fere hie descripsissem. Sed pergo ad alia. 
Quae Cl. Leibnitius a me desiderat explicanda, ex parte supra 
descripsi. Quod vero attinet ad Inventionem terminorum p ? q, r in 
Extractione Radicis Affectae, primum p sie eruo. Descripto angulo 
reeta BAC, latera ejus BA, AC divido in partes aequales et inde nor- 
males erigo distribuentes angulare spatium in aequalia parallelogramma 
vel quadrata, quae coneipio denominata esse a dimensionibus duarum 
indelinitarum specierum, puta x et y, regulariter ascendentium a ter- 
mino A, prout vides in Fig. 1 inseriptas: ubi y denotat Radicem extra- 

B 



D 



B 














4 


xhj 


xhß 


x A y* 


x*y 4 


x*y$ 


xhß 


xl 


X*y 


%3y2 


xhß 


tfy* 


x'ty 6 


x^ 


X* 


xhj 


x\f 


xhß 


x 2 y* 


x*y* 


X 2 lß 


X 


XiJ 


Zlß 


Xlß 


xy* 


%yl 


x\ß 





y 


V 2 


y 3 


y 4 


f 


vi 



* 



A A E-0 

hendam et x alteram indefinitam quantitatem, ex cujus potestatibus 
Series conficienda est. Deinde cum Aequatio aliqua proponitur, pa- 
rallelogramma singulis ejus terminis correspondentia insignio nota aliqua: 
et Regula ad cluo vel forte plura ex insignitis parallelogrammis appli- 
cata, quorum unum sit humillimum in columma sinistra juxta AB, et 
alia ad Regulam dextrorsum sita, caeteraque omnia non contingentia 
Regulam supra eam jaceant, selige- terminos Aequationis per parallelo- 
gramma contingentia Regulam designatos, et inde quaero quantitatem 
Quotienti addendam. Sic ad extrahendam Radicem y ex y 6 — 5xy 5 

x 3 

H y 4 — 7a 2 x 2 y 2 + 6a 3 x 3 + bbx 4 = 0, parallelogramma hujus terminis 

a 

respondentia signo nota aliqua * ? ut vides in Figura 2. Dein appli- 
co Regulam DE ad inferiorem e locis signatis in sinistra columma, 
eamque ab inferioribus ad superiora dextrorsum gyrare facio, donec 
alium similiter vel forte plura e reliquis signatis locis coeperit attingere, 
videoque loca sie attaeta esse x 3 , xxyy et y 6 . E terminis itaque y 6 — 
Taaxxyy + 6a 3 x 3 tanquam Nihilo aequalibus (et insuper si placet re- 
duetis ad v 6 — 7 vv + 6 — ponendo y = v Vax) quaero valorem y et 
invenio quadruplicem + Vax, — Vax, + V2ax et — V2ax, quorum quem- 



222 Sfterotou cm DlbenBurg. 

libet pro primo termino Quotientis accipere licet, prout e radicibus 
quampiam extrahere decretum est. Sic Aequatio y 3 + axy + aay — x 3 
— 2a 3 = 0, quam resolvebam in priori Epistola, dat — 2a 3 + aay + y 3 — 
et inde y — a proxime. Cum itaque a sit primus terminus valoris y, 
pono p pro caeteris omnibus iu infinitnm, et substituo a + p pro y. 
(Obvenient hie aliquando difficultates nonnullae, sed ex iis, credo, D. 
Leibnitius se proprio Marte extricabit). Subsequentes vero termini q, 
r, s etc. eodem modo ex aequationibus seeundis, tertiis, caeterisque 
eruuntur, quo primus p e prima, sed cura leviori, quia caeteri valores 
y solent prodire dividendo terminum involventem iufimam potestatem 
indefinitae quantitatis x per Coefficientem radicis p, q, r aut s. 

Intellexisti, credo, ex superioribus Regressionem ab Areis Cur- 
varum ad Lineas Rectas fieri per hanc Extractionem Radicis Affectae. 

Sed duo alii sunt modi, quibus idem perficio. Eorum unus affinis 
est Computationibus quibus colligebam approximationes sub finem alte- 
rius Epistolae, et intelligi potest per hoc exemplam. Proponatur Ae- 



quatio ad Aream Hyperbolae 


z = 


. xx 

= x + T 


4 x3 


+ ixH 


!- F x5 etc. Et 
5 


partibus 


ejus multiplicatis in 


se 


emerget 


zz = 


XX + X 8 


11 , 5 K 
,+ 12 x4 + 6 x5 


etc. z 3 = 


,3,7 

, X 3 + fX4 + i 


x 5 etc. z' 


i — 


x* + 2x 5 


etc. z 5 = x 5 etc. Jam de z 


aufero 77 


zz et restat z -- 


1 
~2 ZZ = 


x - 


-i X 3- 

6 


5 4 

24 X 


13 1 

60 


etc. Huic addo 


— z 3 et fit z — 77 zz + 

6 2 


1 3 
6 Z = X 


: + 


Ä X4 + 


3 5 

40 X 


etc. j 


Aufero — z 4 et 
24 


restat z 


1 ^ x 3 

~2 ZZ + 6 Z 


24 Z " 


= X 


"" I2Ö x5 etC- 


Addo 


t^t z 5 et fit z 


1 , ! 8 1 4 , X 5 

>yy J_ . — 70 74 _L . 7O 

2 T 6 24 ' 120 


= X 


: quam 


proxime, sive 


1 
X — z — — zz 


+ 1«.- 


■ 1 , 1 r 

• — zM z 5 

24 ^ 120 


1 etc. 













Eodem modo Series de unä Indefinita Quantitate in aliam trans- 

ferri possunt. Quemadmodum si posito r radio circuli, x sinu recto 

x 3 3x 5 
arcus z et x + ^ h ^— -f etc. longitudine arcus istius, atque hanc Se-' 

riem a Sinu recto ad Tangentem vellem transferre: quaero longitudinem 

Tangentis _ et redueo in infinitam Seriem x + 77— + tti + e ^ G - 

ö T^rr-xx 2rr 8r* 

3x 5 
Vocetur haec quantitas t. Colligo potestates ejus t 3 — x 3 + ^~ etc., t 5 



Newton txu ötbeufcurg. 223 

x 3 3x 5 

— x 5 + etc. Aufero autera t de z et restat z — t= — -^- — y^- — etc. 

Addo TT t 3 et fitz-t + rt 3 = F x 5 + etc. Aufero F x 5 et restat z — t 
ö o o o 

+ — t 3 — y- 1 5 = quam proxime. Quare est z ~ t -— — t 3 4- _ t 5 — etc. 

Sed si quis in usus Trigonometricos me jussisset exhibere expressionem 
Arcus per Tangentem, eam non hoc circuitu, sed directa methodo quae- 
sivissem. 

Per hoc genus Computi colliguntur etiam Series ex duabus vel 
pluribus indefinitis quantitatibus constantes : et Radices affectarum Aequa- 
tio num magna ex parte extrahuntur. Sed ad hunc posteriorem usum 
adhibeo potius Methodum in altera Epistola descriptam tanquam genera- 
liorem et (Regulis pro Elisione superfluorum terminorum habitis) paulo 
magis expeditam. Pro Regressione vero ab Areis ad Lineas rectas, et 
similibus, possunt hujusmodi Theoremata adhiberi. 

Theorema I. Sit z = ay + byy + cy 3 + dy 4 + ey 5 etc. et vicissem 

z bzz 2bb — ac _ 5abc — 5b 3 — aad . 

ent y = r- H z 3 + ■ ■ z* 

J a a- a 5 a< 

3a 2 c 2 — 21 abbc + 6 aabd -f- 14 b 4 - a 3 e _ 

a 9 

etc. Ex. gr. proponatur Aequatio ad Aream Hyperbolae z — y — i ~ 

y 3 v 4 11 

+ % ~ lJ r + etc. Et substitutis in Regula 1 pro a, — — pro b, ^ pro c, 

— -r pro d et y P ro e > vicissim exsurgit y = z H- — zz + ^ z 3 + -— Z 4 + etc. 

Theorema 2. Sit z — ay + by 3 + cy 5 + dy 7 + ey 9 + etc., et vicissim 

z bz 3 3bb-ac r 8 abc - aad - 12b 3 _ 

nt y = 7 H z 5 + ■ - z 7 

J a a 4 a 7 a 10 

, 55b 4 — 55 abbc + lOaabd + 5 aac 2 — a 3 e n , , 

+ — . z 9 + etc. 

a 13 

y 3 3y 5 
Ex. gr, proponatur Aequatio ad Arcum Circuli z = y + ^- + t^— 4 

+ TT9I e ^ c - ^ substitutis in Regula 1 pro a, — pro b, -^— pro e, 

^- pro d etc. orietor y = z - ^ + ^ - g^ + etc. 

Alterum modum regrediendi ab Areis ad Lineas rectas celare staiui. 



er 



224 Stetrtort an OlbenBurg. 

Ubi dixi omnia pene Problemata solubilia existere, volui de iis 
praesertim intelligi circa quae Mathematici se hactenus occuparunt vel 
saltem in quibus Ratiocinia Mathematica locum aliquem obtinere possunt: 
Nam alia sane adeo perplexis conditionibus implicata excogitare liceat, 
ut non satis comprehendere valeamus, et multo minus tantarum compu- 
tationum onus sustinere quod ista requirerent. Attamen ne nimium 
dixisse videar, inversa de Tangentibus Problemata sunt in potestate, 
aliaque Ulis difficiliora. Ad quae solvenda usus sum duplici Methodo, 
una concinniori, altera generaliori. Utramque visum est impraesentia 
literis transpositis consignare, ne propter alios idem obtinentes, insti- 
tutum in aliquibus mutare cogerer. öaccdae lOeffh 12i 41 3m lOn 
60qqr 7s 11t lOv 3x : Hab 3cdd lOeaeg 10U1 4m 7n 6o 3p 3q 6r 5s 
11t 7vx, 3acae 4egh 6i 41 4m 5n 8oq 4r 3s 6t 4v, aaddaeeeeeeiiimm- 
nnooprrrsssssttuu. *) 

Inversum hoc Problema de Tangentibus, quando Tangens inter 
punctum contactus et axem Figurae est datae longitudinis, non indiget 
his Methodis-, est tarnen Curva illa Mechanica, cujus determinatio pendet 
ab Area Hyperbolae. Ejusdem generis est etiam Problema, quando 
pars Axis inter Tangentem et Ordinatim-applicatam datur longitu- 
dine. Sed hos casus vix numeraverim inter ludos naturae. Nam quando 
in Triangulo Rectangulo**), quod ab illa Axis parte et Tangente ac 
Ordinatim-applicata constituitur, relatio duorum quorumlibet laterum 
per Aequationem quamlibet definitur, Problema solvi potest absque mea 
Methodo generali; sed ubi pars Axis ad punctum aliquod positione da- 
tum terminata ingreditur Vinculum, tunc res aliter se habere solet.***) 



*) 8o finbet ftdj biefe ©teile in bem 2lobrucf be£ 9?en)tonfd)en S3rtefeg int Commerc. 
epist. üftacr) 28ctHi§ fcebeuten biefe 3 e t$ en: U na Methodus consistit in extractione flu- 
entis quantitatis ex aeqnatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assump- 
tione Seriei pro quantitate qualibet incognita, ex qua caetera commode derivari possunt, 
et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis ad eruendos terminos 
assumptae Seriei, 

**) SeiBms Ijctt rjier baannfdjen gefaxter) en : TBC nnb folgenbeg 

dx 
am ^anbe Bemevlt: Tß,t BC,y AB,x, TB aequ. — y. Sit t aequ. 

(V) .— / (V) _— 




(v) fl , ._ y dy~ /y dy TC Vdx*-+ dy~ 2 
y , net dx aequ. seu x aequ. f , — aequ. — — 

y J y y y 

Pone TC aqu. y, succedet ex Quadraturis. 



***' 



) SeiBnig §at rjier Bewerft: lmo tunc etiam succedit, qubd si TB detur ad x 



•x ( y > c x. (y ) i— a— ^ dx dy 

seu Sit x , net x : y : : dx : dy , J^rgo -— aequ. — . 

x J 



yizxvton an DIbenButg. 225 

Communicatio Resolutionis Affectarum Aequationum per Methodum 
Leibnitii pergrata erit, juxta et Explicatio quomodo se gerat, ubi Indi- 

ees potestatum sunt Fractiones, ut in hac Aequatione 20 + x 7 — 

x 5 y B — y 11 = ? aut Surdae Quantitates, ut in hac x + x | = J 

ubi V2 et Vi non designant Coefficientes ipsius x, sed indices Potes- 
tatum seu Dignitatum ejus, et V(ß)i indicem Dignitatis binomii 

1/9" V~l 
x + x . Res, credo, mea methodo patet; aliter descripsissem. 

Sed meta tandem prolixae huic Epistolae ponenda est. Literae 

sane Excellentissimi Leibnitii valde dignae erant, quibus fusius hocce 

Responsum darem. Et volui hac vice copiosior esse, quia credidi amoe- 

niora tua negotia severiori hocce scribendi genere non debere a me 

crebro interpellari. 

Tui studiosissimus 

Js. Newton. 



XLVI. 



(Eolltns an Tlevoton, 

9la§ beut nhbmä in SBaHtS' Op. Tom. III. p. 646 sq. 

Aderat hie D. Leibnitius per unam Septimanam in mense Octo- 
bris, in reditu suo ad Dueem Hannoverae, cujus literis revocatus erat 
in ordine ad quandam Promotionem. 

Dum aderat, impertivit mihi scripta quorum spero me tibi Apo- 
grapha propediem missurum. Allocutus sum eum de duobus assertis D. 
Jacobi Gregorii, quorum prius est in literis suis, 15. Febr. 1671 viz. 
„Quod attinet ad methodum meam pro inveniendis Radicibus omnium 
„Aequationum: una series exhibet nonnisi Unam Radieem. Sed pro 
„quaque Radice possunt esse Series numero infinitae. Est autem indus- 
„triae opus pro inchoanda Serie, et judicando, quam illa respicit Ra- 
dieem." Posterius est in literis suis, 17* Jan. 1672. „Unica (saltem 
„optima) Methodus Universalis, quam hactenus novi, pro inveniendis 
„Radicibus aequationum, est Series infinita, Potest exhiberi una ? quae 
„inserviat Cubicis Aequationibus omnibus. Alia pro omnibus Biqua- 
„draticis. Aiia pro omnibus Supersolidis. Et credo, Tabulas hujusmodi 

15 



226 GoUtnS an Newton. 

„Serierum fore methodum omnium optimam, pro sublevando taedio in ex- 

„quirendo quaesitas Radices." 

Dicit Leibnitius, se posse et velle consilia impertire pro obtinen- 

dis ejusmodi seriebus, absque Speciosa Extractione radicum Aequa- 

tionum Affectarum, modo quis velit laborem iilum obire. Et consequenter 

ad hoc (postquam ego D. Bakerum ipse nominaveram) literis ejus ad 

18 
D. Oldenburgium, datis Amstelodami ^ Novemb. 1676, haec scribit: 

„Rogo a me officiosissime Cl. Newtonum salutes, atque ei significes, 
„Hugeninm mihi asseverasse, captum a se aliquoties Experimentum 
„Duorum Speeulorum planorum Metallicorum, quae rite juncta, etiam 
„exhausto aere in Recipiente non sunt dilapsa, nee proinde ea de re dubi- 
„tari debere. 

„D. Collinio haee quaeso communica. Dixit ille mihi D. Bakerum, 
„doctum admodum et industrium apud vos Analyticum, utilibus consiliis 
„exequendis parem esse. Elegi ego unum prae reliquis utile et facile. 
„Nimirum, Methodus Tangentium a Slusio publicata nondum rei fasti- 
„gium tenet. Potest aliquid amplius praestari in eo genere, quod maxi- 
„mi foret usus ad omnis generis Problemata: etiam ad rneam (sine Ex- 
„traetionibns Aequationum) ad Series reduetionem. Nimirum, posset 
„brevis quaedam calculari circa Tangentes Tabula eousque continuanda, 
„donec progressio Tabulae apparet, ut eam scilicet quisque, quousque 
„libuerit, sine calculo continuare possit. Fundamentum calculi hie 
„exponam, ejusque simul Exemplum dabo. 

„In figura adjeeta sit A t B vel A 2 B aequ. x ? 1B1C vel 
„ 2 B 2 C sit y, quae duae quantitates Indeterminatae. Sint 
„aliae Determinatae a, b, c, d, e, f, et sit Aequatio ex- 
„primens relationem inter x et y talis: ax 2 -f ay 2 + cyx 
„+dx + ey + f aequ. ? quae aequatio in suo gradu 
„(quadratico scilicet) generalissima est, omnibusque Ex- 
„emplis applicari potest pro varia literarum determina- 
„tarum explicatione, cum etiam ipsi (sive nihilo) vel 
„terminis ipso nihilo minoribus (seu negativis) quoque 
„applicari possit. 

„ Jam jj^ vocetur z. Posito TC esse Tangentem, erit (per metho- 
1B 

2sx -4- pv I n 
„dum Tangentium vel Huddenii vel Slusii) — z aeq. ^r — r TT" ' ut 

„exponenti statim patebit. 

„Verum id nondum est ultimum, quod in eo genere fieri potest aut 
„debet. Non ex hoc valore ipsius z invento potest tolli alterutra in- 




(SoflhtS an 0ien>fon. 227 

„determinatarum x vel y et inveniri relatio ipsius z ad solam re- 

„manentem. Tollamus y et quaeramus relationem z ad x. 

„Tollemus autem y ex inventa Aequatione ope datae Aequatioiris. 

ax^ dx i 

„Nam ex data aequatione fiet y aeq. — r • Ponendo (eompendii 

„causa) — ax 2 — dx — f aeq. p ? et ex + e aeq. q, et 2 ax + d — exz — ez 
„aeq. r, et 2bx — c aeq. s, liabebimus duos ipsius y valores, unum y aeq. 



„ , alterum y aeq. — . Quos duos valores inter se aequando, fiet ps 

„aeq. bry + qr, et ex hac aequatione novum liabebimus valorem y aeq. 

„— T- — — , quem aequando praecedenti y aeq. — , habebitur aequatio, in 
br s 

„qua sublata est litera y, nempe ps 2 aeq. br 2 + qrs. Et in locum lite- 

„rarum p, q, r, s, substituendo valores assumptos aequationemque ordi- 

„nando, prodibit 

3bc 2 + 6bce - 12abc § + 4ab 2 t + 3be 2 
x 2 z 2 xz 2 X 2 Z X 2 z 2 

4ab 2 + 4b 2 d - c 3 + 3ac 2 + 4b 2 f 

-8abc +4abd - 4bdc + bd 2 

— 4bed xz + 2ace x — ce 2 z + ede aequ. 

-3c 2 e +2c 2 d -4bcf + & 2 

„Quae est aequatio quaesita, exprimens relationem z ad solam x. 
„Quae novissima est, neque ab ulla litera amplius purgari potest. 

„Idem optarim fieri in sequente gradu, assumpta aequatione gx 3 
„+ hy 5 + lx 2 y + mxy 2 + ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f aeq. eodemque 
„modo quaerendo ipsius z ad x relationem. 

„Quodsi in aliquot gradibus, quousque commodum, continuaretur, 
„haberemus Tabulam Tangentium Analyticam usus maximi, tum ad alia 
„multa, tum ad meam Aequationum per Series resolutionem. 

„Reetius initio scripsissem a + bx + cy + dxy + ex 2 + fy 2 + g = 0, 
„ut servato eodem ordine, postea pergi possit in sequente gradu ad 
„hane formam a + bx + cy + dxy + ex 2 +• fy 2 + gx 2 y + hxy 2 + lx 3 + my 3 
„aeq. 0, et sie porro. 

„Amstelodami cum Huddenio locutus sum, cui negotia civilia tem- 
„pus omne eripiunt. Est enim ex numero 12 urbis Consulum, qui sub- 
„inde imperium obtinent. Nuper consul Regens erat, nunc Thesaurarii 
„munus exercet. Praeclara admodum in ejus Schedis superesse certum 
„est. Methodus Tangentium a Slusio publicata dudum illi fuit nota. 
„Amplior ejus Methodus est, quam quae a Slusio fuit publicata. Sed et 
„Quadratura Hyperbolae Mercatoris ipsi jam Anno 1662 innotuit. Hac- 
„tenus Leibnitius." 

D. Baker est indefatigabilis industriae Vir, qui lubenter in se 

15* 



228 (SoHtn3 an Beratern. 

suspiciet laborem Calculi, qui censebitur utilis. Sed credo eum in Me- 
thodo Tangentium vix satis peritum, quam puto in scriptis hactenus 
editis nondum esse demonstratam. Si itaque tu dignaberis ipsi imper- 
tire Consilia tua hac in re, hoc promovebit opus. 

Bakerus huc imprimendam misit Exercitationem suam de Continue- 
proportionalibus, aliamque cui Titulus: Cardanus Promo tus. 

Narrat mihi D. Loggan (Chalcographus) quod Effigiem tuam de- 
lineavit ille in ordine ad sculpturam, quae praefigenda sit libro tuo de 
Lumine, Coloribus, Dioptricis etc. quem edendum intendis. Qua de re 

desideramus esse certiores. Sum etc. Lond. 5 Martii 167—, 

P. S. Exemplar Epistolae tuae (quatuor schedarum) nondum est 
ad D. Leibnitium missum, sed intra septimanam est quidam hinc pro- 
fecturus Hanoveram, qui tum illud, tum libros quosdam laturus est. 



Beilage* 

Seibniä pflegte, wenn er mit Bebeutenben Scannern äufammengetroffen 
toax, ben 8tu)att bet Unterrebung aufzutreiben. Unter feinen SÄanufcripten 
finbet fief) ein Statt, auf bem ber folgenbe 3nf)att feiner Untertebung mit 
£mbbe angemerlt ift: 

Huddius mihi ostendit se jam anno 1662 habuisse quadraturam 
Hyperbolae, quam deprehendi esse illam ipsam quam Mercator quoque 
de suo invenit et publicavit. Ostendit mihi Epistolam ad quendam van 
Duck ni fallor Leidam ea de re scriptam. Ejus methodus tangentium 
Slusiana in eo est amplior, quod etiam, quemadmodum in simplici 
aequatione, quamlibet progressionem Arithmeticam adhibere potest, cum 
Slusius aliique tantum una uti possint. Hinc possunt construetiones 
reddi simplices, dum pro arbitrio tolluntur termini. Hoc etiam servire 
potest ad facilius tollen dam literam aliquam, ita enim plurimae habentur 
omnigenaeque aequationes ad tollendum aptae. 

x 3 + px 2 + qx r n x 2 + xy + y 2 + x + y + a n 
y y y 2xdx + xdy + 2ydy~+ dF+ dy n 

y2y2 ydx 

y 3 t dx + x + 2y + 1 



3x 2 + 2px + qx y dy y + 2x + 1 

2yx 2 + yx 
+ y 2 x 



1 


.0 - 


-1 


+ x 2 


+ x y + y 2 


+ x 


+ i 




+ a. 









l 


2 


y 2 


yx 


X 2 


y 


1 




a 









1 


2 


rel 2 


1 






<£oIIttt§ ött Newton. 229 

Quod notaveram de Numeris Triangularibus pro tribus radicibus 
aequalibus, et pyramidal ibus pro quatuor, id ipse dudum innotuit, imo 
etiam generalius 

— 10123456 ubi notandum crescere numerum 

— 3 — 1 1 3 6 10 15 ipsorum 0, quod praeclari est 

— 4 — 1 1 4 10 20 usus ad destruendum. 

Habet et regulas multiplicandi aequationes ita ut non determinentur 

tantum ad radices aequales, sed et ad radices arithmetice crescentes, 

vel geometrice vel alia progressione utentes. 

Habet Huddius elegantissimam duarum curvarum extra et intra 
circulum descriptionem, qnae sunt quadrabiles, et per ipsas tarn prope 
invenitur vera eirculi area, ut ope dodecagoni in sex ciphris tantum 

3 

tres desint unitates seu nnn . 

Habet et methodum inveniendi radices reales aequationis partim 
reales partim impossibiles habentis ope alterius aequationis totidem 
habentis radices reales, quot prior habebat ex realibus et imaginariis 
mixtas. 

Elegans habebat specimen inveniendi summas serierum per sub- 
tractiones Geometricae progressionis repetitas. Nimirum subtrahit 
progressiones Geometricas quarum summae sunt etiam progressionis 
Geometricae, atque ita summa summarum haberi potest; atque ita habe- 
tur summa seriei. Praestitit hoc in serie, cujus numeratores sunt 

i O Q A 

Arithmetici et nominatores geometrici, ut j — ^ j^. Tres habet series, 

qualis Wallisiana, pro interpolationibus eirculi. Ait non esse plures, 
illa puto methodo. 

Potest et quadraturas irrationalium statim scribere persaepe, ut 
et Tangentes, non tollendo irrationales aut fractiones etc. 



SBcüjrettb feinet SlufentljaftS in |>ot(attb tnadjte Seifintj bte folgettbe 
gufammenfteftmtg: 

Novembr. 1676. 
Calculus Tangentium differentialis. 
dx = 1 dP = 2x dP = 3x 2 etc. 

x x 2 X2 x 3 X3 x 4 

dl7r=: 2l7? etc - 

Ex his colligitur regula generalis haec pro differentiis ac summis 
simplicium potestatum 



230 (£oHht§ an ^erotott. 



dx e — e, x e 1 et contra x 6 — 



x 



e + 1 

Unde d ~ seu dx - 2 erit — 2x seu - 

x2 x 3 

■ ^^ _ . 1 i 11/1 

et d|/ x seu dx-j- erit — x ^seu-^- |/ — . 

u u X 

Sit y = x 2 , et erit dy = 2xdx , ergo -^L — 2x.*) 

Quae ratiocinatio est generalis, nee refert quae sit progressio 
ipsarnm x. Eodemque modo generalis regula ita stabit: -p=r-~ex e " et 

e + 1 



vieissem /x ax 



jx'di 



= 



e + 1' 

Sit aequatio qnaelibet v. g. 
ay 2 + byx + ex 2 + f 2 x + g 2 y + h 8 = et pro y scribendo y + dy ac pro 
x similiter x + dx**), fiet omissis omittendis alia aequatio: 
ay 2 + byx + ex 2 + f 2 x + g 2 y + h 3 — 
a2dy y -h bydx + 2cxdx + f 2 dx + g 2 dy 
+ bxdy 
a dy 2 + bdxd^ + cdx 2 = 
Quae est regulae a Slusio publieatae origo. Eam vero ita in infinitum 
amplificabimus : Sint literae quoteunque, et ex iis composita formula, 
verbi gratia ex literis tribus sit formula: 

ay 2 bx 2 cz 2 fyx gyz hxz ly mx nz p = 
Unde fiet alia aequatio: 

ay 2 bx 2 cz 2 fyx simi- ]y mx simi- p 

2ady y 2bdx x 2cdz~z fydx liter ldy mdx liter 
fxdy 
"ady 2 bdx~2 c( j z 2 f^dy 
Unde patet eadem methodo haberi tangentia superficierum plana, 
et alioqui nihil referre an non ipsae literae x, y, z aliquam habeant 
cognitam relationem, ea enim postea substitui potest. 

*) 2tm fRanbe be§ $£anufcrtpt§ fyai ßeiBntg Bemerft: Praeclara haec observatio 
est ad calculum meum differentiarum, si sit b, jdT + xdy" -f- ©tc. — 0, fore bxy + 
] etc. = 0, et ita de caeteris. Videndum, quid de h 3 faciendum. Ad istos calculos melius 
faciendos poterit aequatio ay 2 -j- byx + ex 2 -j- etc. transmutari in aliam alia curvae 
relatione, et comparabitur proveniens, alio differentiarum calculo, cum eo quod per 
istum prodit. 

**) SetBni^ Bat am Sftanbe Bern erit: Alterutra ex bis dxTvel dy" pro arbitrio 
explicari potest, adhibita aequatione nova, et aiterutra barum dxTvel dy~sublata^et x 
scilicet vel y aliter per quantitates explicanda. Verum non puto id esse, quia cata- 
logus omnium curvarum quadrabilium prodire clebet, alterutram sumendo constantem. 



£oHht§ an SetBnta. 231 

Hinc praeclare serviet eadem methodus, etsi compositae fractiones 
aut irrationales calculum ingrediantur, nee opus est earum tollendarum 
causa caetera exaltari, cum potius ipsarum differentiae separatim inve- 
niri ac substitui possint: deinde cum methodus tangentium publicata non 
nisi tunc procedat, cum ordinatae parallelae sunt, ista et ad tangentes 
et alias quaseunque, imo illas quoque relationes aecommodari potest, 
quae sunt ordinatarum ad curvarum portiones aut in quibus angulus 
ordinatarum certa lege mutatur. Caeterum speciatim operae pretium 
erit rem ad irrationales ac fractiones compositas aecommodare. 

&Vx = 1 

dz" . _ j\J} ~7^==== b + 2ez 

. = b.+ 2cz : ergo u V a + bz + cz z 



ÜVsl + bz 4- cz 2 , ponatur a + bz + cz 2 = x, et 



jam 



2 



dx ' 2V r a + bz + cz 

Sumta aequatione duarum literarum x, y pro curva, et deter- 
minata aequatione ad tangentes, tolli potest alterutra ipsarum x et y, 
ita ut restet altera tantum una cum dx et dy , quod per omnes casus 
calculari operae pretium est. 

Datis tribus literis, ut x. y, z, et valore ipsius dz~ ope ipsius x 
vel y (vel etiam utriusque) expresso, habebitur denique aequatio tan- 
gentium, in qua erit etiam tantum alterutra harum x et y et duae dy, 
dF; aliquando et ipsa z non poterit tolli. Hoc etiam per omnes casus 
assumti valoris ipsius dz deduci potest, eodem modo plures adhuc lite- 
rae assumi possunt. Et conjunetis in unum calculis universalibus Omni- 
bus, universalissimus ex ipsis fiet. Caeterum assumptio plurimarum 
literarum usum habere potest ad methodi tangentium inversae proble- 

mata ope quadraturarum solvenda. Ut si pro- 
positum sit problema solvere, in quo summa 

reetarum CB, BP sit data seu y + ^~ = xy, 

_ _ „ x 2 

fiet dx + dy = xdx seu x + y = -^. Ita habemus 

curvam, in qua summa earum CB + BP (in eon- 
stantem r) aequatur reetangulo ABC. 




Um bic Scmgentenmetljobe mittelft bet ®ifferentialted£)mntg mit bett Wz* 
tfyoben be ©tuje'3 uttb §ubbe% bie fo oft öon Seiöm§ exttmljtit toerbeu, toet* 
gleiten ju formen, mögen biefe, tote ftc nrfytüngtidj öeröffentltdjt würben, ijter 
mttgetljetft Werben (fiel). Commercium epistol. Joan. Collins et aliorum de 
Analysi promota, Hn3ga6e öon JBtot nnb Sefott, $ari3 1856, pag. 193 ff. 
mtb pag. 272 ff.)- 



232 



(Sotting an Newton. 




Sie SÖJetfjobe be ©tujc'S ift in gtoei Briefen an Olbenfcurg, batirt 

Leodii 167?- 17 Jan. unb Leodii 1673 3 Maij enthalten. 93eibe JBricfc finb 
o 

in ben Philosoph. Transact. öerßffentlttfjt. ©3 ift Don Sntereffe, jugleid) bie 
ftdj baran Inttpfettbeti S3rtefe DIbetiBurg'S unb SRefoton'ä in 83etracf)t ju jtejjen* 
Sn bem erftett SBtief, ber bie ©runbtage feiner äftetfjobe enthält, fdjrei&t be 
©luje: Methodum meam ducendarum ad cnrvas quaslibet Geometricas 
tangentium mitto ad Te, et virorum doctissimorum R. Societatis cen- 
surae submitto. Brevis mihi visa est ac facilis, quippe quam puer 
aysco[jLSTpY)TO(; doceri possit, et quae absque ullo calculi labore ad omnes 
omnino lineas extendatur: malo tarnen aliis talem videri quam mihi, 
cum in rebus nostris caecutire plerumque soleamus. 

Data sit quaelibet eurva DF cujus puncta omnia referantur ad 

rectam quamlibet datam EAB per 
rectam DA ? sive EAB sit diameter 
seu alia quaelibet, sive etiam aliae 
simul lineae datae sint, quae vel qua- 
rum potestates aequationem ingredi- 
antur, parum id refert. 

In aequatione analytiea, facilioris 
explicationis causa, DA perpetuo dicatur v, BA y. EB vero et aliae 
quantitates datae consonantibus exprimantur. Tum supponatur ducta 
DC, tangens curvam in D, et occurrens EB productae, si opus sit, in 
puncto C; et CA perpetuo quoque dicatur a. Ad inveniendam AC vel 
a haec erit Regula generalis: 

1. Rejectis ab aequatione partibus, in quibus y vel v non inveni- 
tur, statuantur ab uno latere omnes in quibus est y, et ab altero illae 
in quibus habetur v, cum suis signis + vel — . Hoc dextrum, illud si- 
nistrum latus facilitatis causa vocabimus. 

2. In latere dextro praefigatur singulis partibus exponens pote- 
statis, quam in illis obtinet v, seu quod idem est, in illam ducantur 
partes. 

3. Fiat idem in latere sinistro, praeponendo scilicet unicuique illius 
parti Exponenten! potestatis quam in illa habet y. Sed et hoc am- 
plius: unum y in singulis partibus vertatur in a. 

Aio aequationem sie reformatam modum ostendere ducendae Tan- 

gentis ad punctum D datum. Cum enim eo dato pariter datae sint y 

et v, et caeterae quantitates, quae consonantibus exprimuntur, a non po- 

terit ignorari. 

2 
Stuf triefen 23rief antwortet Olbenburg ben 29. ganuar 167^: Statu! , 




(SoIItttS an Newton. 233 

Deo dante, prima occasione Methodum ipsam, prout Epistola tua con- 
tinetur, Transactionibus Philosophicis inserere. Non ingratum interea 
fuerit accipere quae Doctissimus noster Newtonus, in Academia Canta- 
brigiensi Mathematum Professor, de eodem argumento ad D. Colliirium 
nostrum, qui te summopere et jugiter colit, nuper perscripsit in haec 
verba : 

„Non parum me juvat intelligere, Mathematicos exteros in ean- 
„dem mecum incidisse ducendi Tangentes methodum. Quälern eam esse 
gf^ „conjiciam, ex hoc exemplo percipies. Pone 
„CB applicatam ad AB in quovis angulo 
„dato terminari ad quamvis Curvam AC, 
„et dicatur AB x et BC y, habitudoque in- 
& A B 55 ter x et y exprimatur qualibet aequatione, 

„puta x 3 — 2xxy + bxx — bbx + byy — y 3 = 0, qua ipsa determinatur Cur- 
„va. Regula ducendi Tangentem haec est: multipliea aequationis ter- 
„minos per quamlibet progressionem arithmeticam juxta dimensiones y, 
„puta x 3 — 2xxy + bxx — bbx + byy — y 3 ; ut et juxta dimensiones x ? 

10 2 3 

„puta x 3 — 2xxy + bxx — bbx + byy — y 3 . Prius productum erit Nume- 

3 2 2 10 

„rator, et posterius divisum per x Denominator Fractionis, quae expri- 
„met longitudinem BD, ad cujus extremitatem D ducenda est Tangens 

„CD: est ergo longitudo BD = ^- 7 A + 2 , b %{ ~ 3 g .*)" 
" & & 3 XX _ 4 X y _j_ 2bx — bb y 

Hactenus Newtonus, quae ideo nunc perscribo, ut cum novissimis 
tuis comp arare possis. 

®te Sltitoott be ©luge'S ift bcittrt Leodii 3. Maij 1673: De clarissi- 
mi viri [Newtoni] Methödo nihil aliud dicere possum, nisi mihi videri 
meam esse, qua nempe tot ante annos usus sim ? et cujus ope flexus 
curvarüm contrarios ac Problematum limites ostendi tum inMiscella- 
neis**) meis, tum etiam in literis, si recte memini, olim ad Te datis. 
Qua via in illam inciderit et quomodo illam demonstret vir doctissimus, 
ab ipso intelligere poteris: ego sane paucis, ut alias ad Te scripsi, et 
vulgo notis Lemmatibus rem absolvo; atque, ut candide Tecum agam, 
ecce ipsa Lemmata: 

1. Differentia duarum dignitatum ejusdem gradus, applicata ad 



*) &orfief)ettbe§ ift wöxttiä) entlehnt ans Sfceroton'S SSrtef an (SoIUnS 10. £)ecetrtBex 1672. 

**) Jüenati Francisci Shisii Mesolabum seu duae mediae proportionales inter ex- 
tremas datas per circuluni et per infinitas hyperbolas, vel ellipses, et per quamlibet 
exhibitae, ac problematum omnium solidorum effectio per easdem curvas. Accessit 
pars altera de Analysi, et Miscellanea. Leodii Eburonum 1668. 4. 



234 ©oUhtS an ^erotott. 

differentiam laterum, dat partes singulares gradus inferioris ex binomio 

y8 y^Z 

laterum, ut — y 2 + yx + x 2 . Legitur hoc apud plerosque et fa- 

y x 

eile ostenditur. 

2. Tot sunt partes singulares ex binomio in gradu quolibet, quot 
unitates habet Exponens dignitatis immediate superioris; tres nimirum 
in Quadrato, quatuor in Cubo etc* Et hoc vulgo notum. 

3. Si quantitas eadem applicatur ad duas alias, quarum ratio da- 
ta sit, Quotientes erunt reeiproce in eadem ratione data. Quod quidem 
evidens est vel cuilibet Arithmetieae candidato. 

His Lemmatibus methodus mea demonstratur : nee multum tem- 
poris Tibi erit impendendum, ut demonstrationem ex illis coneinnes, 
cum eo ordine a me disposita sint, qui ad illam quasi manu ducit. 
Plura scribere me vetat temporis brevitas. Vale, meque ut soles ama. 

SDie Priorität ber Sangentenmetljobe be ©lujc'g ttmrbe öon -Kernten att* 
ertannt, tüte cm3 bem fotgettbett SStiefe Sottütg' an Sftetoton, batttt 18. Sunt 
1673, Ijerttorgeljt. Quod ad Slusii Methodum de Tangentibus spec- 
tat, erat ea ab ipso bene intellecta, cum suum de Mesolabio librum 
edidit. Sed noluit tunc publici juris facere, eo quod nollet Amico suo 
Angelo Kiccio praevenire. Qui tarnen postea (declinans ipse studia 
mathematica) petebat a Slusio ut vellet eam edere. Ille autem, cum 
non vacaret ea de re fuse scribere, pollicitus est eam D. Oldenburgio 
transmittere, ut Transactionibus Philosophicis insereretur. Ante vero 
quam huc appulerit, scribebam ego ad Te, ut intelligerem quid ea de 
re tu noveris. Tuumque responsum cum D. Oldenburgio communica- 
bam, ut ipse D. Slusio transmitteret. Ut sciat ipse, rem eam esse apud 
Anglos cognitam, utut forte non tarn diu nee tarn mature, ut ipsi fu- 
erit. — 

2)te S£angentenmetf)obe $nbbe f % ift enthalten itt einem ©c^tetBett an uan 
©booten, batttt 21. Sftotiemfiet 1659. ®a8 Journal literaire de La Haye, 
Juillet et Aoüt 1713, gießt eine tt6etfe|mtg berfetfien ans bem ^oüänbtf^en. 
£>ubbe fdjjteibt: Je me souviens que nous fumes interrompus dans le temps 
que j'avois commence de vous expliquer ma Methode des Tangentes. Je 
vais vous decrire tonte cette Methode en peu de mots. 

Eig. 1 et 2. Soit D un point dans la 
courbe, ABC une ligne menee ä discretion, B 
un point pris au hasard dans cette ligne, DA 
une ligne faisant un angle quel qu'il soit avec 

~-A — -^—j: la ligne ABC. De plus, soit Bca parallele ä 

AD et Da parallele ä AB. Enfin, soit BA = x 




(£oHm§ an 9£en>ton. 



235 




et AD = y. Voici Toperation pour trouver la 
tangente CD. 

Regle generale. 
Bangez tous les termes de l'equation qui 
B x A C exprime la nature de la courbe, de maniere 

qu'ils soient = et otez de cette equation toutes les fractions qui ont 
x ouy dans leurs diviseurs. Multipliez le terme dans lequel y a le 
plus de dimensions par un nombre pris ä discretion, ou meme par 0, 
et multipliez le terme dans lequel y a une dimension de moins, par le 
meme nombre diminue d'une unite, et continuez de meme ä l'egard des 
autres termes de l'equation. De meme multipliez par un nombre pris 
ä volonte ou par le terme oil x a le plus de dimensions: le terme 
oü x a une dimension de moins, doit etre multiplie par le meme nom- 
bre moins l'unite, et ainsi des autres. Quand on divise le premier de 
ces produits par le second, le quotient multiplie par — x est AC. Au 
contraire, si on divise le second de ces produits par le premier, le quo- 
tient multiplie par — y sera — ac. 

Exemple. 
Soit l'equation qui exprime la nature de la courbe 



ay 3 + xy 3 + b 2 y 2 



■x 2 y 2 



2a 



y 2 * + 2x 4 _ 4 a b3 = 



1. Multip. par l. + l. 0. 

2. Multip. par 0.+ 1. 0. 
1. Produit ay 3 + xy 3 



2. Produit 



par conseq. 



et 



+ xy 3 



0. 0. -1.-2. -2. 

+ 2. +3. +4. 0. 

- 4x 4 +8ab 3 
3x 2 



} 



ou par une 

autreprogr. 

Arith. 



2x 2 y 2 



2a 



y 2 +8x^ 



AC: 



ay° 



xy 3 — 4x 4 + 8ab 3 



+ xy 3 ■ 
+ xy 3 - 



3^ 3 

• 2x 2 y 2 - y~ y 2 + 8x4 



par- 



2x 2 y 2 



3x 3 



y 2 + 8x 4 



ac = 



ay 3 + xy 3 — 4x 4 + 8ab 3 



par - y. 



On voit par cette methode: 

1. Que de mener une tangente par un point donne dans la cour- 
be n'est qu'un probleme simple; 

2. Que non seulement on peut trouver un nombre infini de diffe- 
rentes constructions pour mener une tangente, mais qu'on peut meme 
suivre un nombre infini de routes differentes, qui donnent ehacune un 
nombre infini de constructions pour ce probleme. C'est ce qui paroit 
quand on considere que les deux produits qu'on emploie dependent, 
chacun en particulier, d'une progression arithmetique prise k volonte: 



236 



(£oHht§ cm Beratern. 



et on voit cette verite encore plus clairement quand on fait reflexion 
que la ligne AC, le point B et l'angle A peuvent etre pris ä discre- 
tion. Sans compter combien toutes ces construetions peuvent encore 
en donner d'autres par l'addition, la soustraction, la multiplication, la 
division et l'extraction de racine; 

3. Pour trouver quelqu'une des construetions les plus simples, 
il faut employer une progression arithmetique dans laquelle entre, il 
faut multiplier par le terme qui a le plus de membres, ou qui est le 
plus difficile ä construire. C'est ce qu'on a observe dans l'exemple 
precedent, lorsqu'on a mis premierement sous yy, et, en second lieu, 
sous le terme oü x ne se trouve point; 

4. Quand dans l'equation y n'est que dans un terme, et que ce 
terme n'a qu'un seul membre, on peut exprimer AC et ac par une ex- 
pression dans laquelle y n'entre point; c'est la meme chose ä Tegard 
de x. Pour cet effet, il faut multiplier par dans la progression le 
terme dans lequel y ou x se trouve. 

Exemples. 
Ellipse. 




y 2 a 2 
0. 
0. 



* - 2ab 2 x + b 2 x 2 = 
-1.-2. -2. 
0. +1 +2 



AC- 



+ 4ab 2 x - 2b 2 x 2 



ou bien AC — — — - — _,— par x, c'est ä dire AF — AE 
a — i-X 



2ab a x + 2b 2 x 2 

AB 



par 



AC 



Parabole. 
y 2 — ax = 




0.-2 
0. +1 



) 



AC- 



2ax 



par — 




ax 
AC - - 2x 

On voit dans cet exemple la verite 
de la construetion generale que le Pere 
Mersenne attribue ä M. Fermat, et qui 
regarde les differentes sortes de Paraboles. 
Hyperbole. 

xy — ab — 1 A ~ ab 

o.-i l AC== ^b par ~ x 

0.-1 j AC--x. 

En cinquieme lieu. On voit aisement 
comment on peut trouver sans peine les 
6quations les plus abregees pour mener, 



DIbenBurg an Setfmig. 237 

par un point donne hors d'une courbe, une tangente ou une perpendi- 
culaire ä cette courbe. 

Je vous prie, Monsieur, que ce que je vous envoie reste secret, 
et que vous ne disiez pas, meme ä qui que ce puisse etre, qu'on a 
trouve rien de semblable. II faut que mes meilleures inventions ne soi- 
ent connues que de mes plus intimes amis, ou qu'elles le soient de 
tout le monde. 



XLVIL 

(DlberxbuvQ an ieibni^ 

üftadj bem Original in ber EönigL SSi&Iiotljel $n §annot>er. 

Epistolam tuam utramque, unam Amstelodami, alteram Hannove- 
rae datam, rite accepi. Procrastinavi hactenus ad Te scribere, quod 
nollem ea periclitari, quae ad te transmittenda mihi suppetuut, quorum 
e numero literae sunt Newtonianae, non minus argumento graves quam 
scripto prolixae. Si quidem intellexero, prodromum hunc ad te recte 
delatum esse (quem sub Dni. Scroteri involucro expedio) fidentius, quae 
penes me sunt, curare ad te potero. Qnantocius igitur si placet, re- 
scribas, nee ulla utaris inscriptione alia, quam ad Grubendolium ? ut 
nosti, quoties seil, per tabeilionem ordinarium me invisis. 

Quid causae sit, quod Spinosae non tradidisti literas meas, divi- 
nare equidem non possum. Quas velis demonstrationes Metaphysicas ? 
quae a te leetae et examinatae in literis tuis Amstelodamensibus di- 
euntur, non intelligo ? cum earum Authorem subticueris. 

Dnus. Balduinus, Saxo Dresdensis, dono nuper misit Regi nostro, 
ceu Fundatori Soc. ßegiae, nee non ipsi Societati, Phosphorum suum, 
qui soli vel candelae expositus, lucem ita imbibit, ut eam in tenebris 
reddat. Experimentum tum in Aula nostra, tum apud Societatem Regi- 
am peractum, felicissime sueeessit, induxitque coetum illum Philosophi- 
cum, ut Inventorem in Sociorum suorum altum cooptaverit. Fama fert, 
Kunckelium quendam invenisse aliud quoddam Phosphori genus, quem 
Noctilucam appellat, qui non modo prioris ad instar in obscuro lucet, 
sed et per vices fulgurat, et vim urendi inextinguibilem habet. Disser- 
tationem de eo edidit Kirchmayerus, Professor Witenbergenis, quam 
vidimus, sed cui vix fidem adhibemns, cum manus nostrae in rebus Phy- 
sicis oculatae sint, nee nisi quod viderint, credant. Tu, si quid hujus 



238 DIbetiButg an SeiBmg. 

rei inaudiveris, quid veri subesse putes, significare ne graveris, oro. 
Postquam liisce responderis, fasciculum satis tumentem accipies, qui 
hujus brevitatem levitatemque et prolixitate et niomenlo compensabit. 
Vale et a Dom. Boylio, qui te valde amat, plurimum salve. Dabam 
Londini d. 22 Febr. 1677. 

Aquae Rabelii vulnerariae fama adhuc integra est. lila quam 
vobis oblatam esse scribis, ex eadem forte materia parata est. 

Mons. Scroter dit ? que dans peu de temps il ira en Allemagne, 
et qu'il verra Hannover. Ditez donc, s'il vous plait, si ie dois bailler 
la grande lettre de Newton, et le reste, que i'ay pour vous. 



XLVIII. 

(Dlhmbuxg an ieihni^ 

$laü) bem original in ber Röntgt. 58ibItotr)ef in §annot>er. 
Eumpo tandem moram, quam ex eo nexui, quod verebar, epistolam 
Newtonianam hie inclusam et mihi inscriptam, extra periculi aleam non 
esse, si per tabellionem ordinarium transmitteretur. Nunc demum 
occasio se obtulit, eam cum reculis quibusdam Schroederianis, quae 
navi Anglica Hamburgum, atque in de per ministrum Hanoveranum 
Hanoveram curandae sunt ; transmittendi. Solenniter promisit Guiliel- 
mus Schroederus, se parem hujus fasciculi cum suismet rebus curam 
habiturum. Quamprimum ad manus tuas pervenerit ? certiorem me fieri 
de eo velim, responsionem tuam Amstelodamo vel Antverpia Londinum 
mittendo, eamqae ut soles ad Grrubendolium, citra ullum alium titulum, 
inscribendo. Mitto tibi apographum literarum Newtoni, auto- 
grapham ad memet directum mihi reservans. Tanta id ipsum cura 
relegi, quantam oecupationes meae confertissimae patiebantur. Ad alia 
nunc distrahitur Newtonus ab iis, qui Leodii, Francisco Lino succentu- 
riati, novam ipsius de Lumine et coloribus Theoriam vehementer in- 
seetantur: qua de re brevi plura aeeipies, ni rationes meas male sub- 
duxi. Nihil hac vice de Collinio apud te commemoro, quum Te omnino 
satiatum iri pro tempore prolixa hac Newtoni epistola autumem. Nee 
de aliis a te quaesitis fusius nunc agam, cum id alii scriptioni reser- 
vaverim, quam forte laudatus Schroeterus ipse, intra paucas septimanas 
Hannovera transiturus, secum feret. Verbo duntaxat innuam, Ignivorum 



DIbenBurg an Seibnig. 239 

Anglum, Parisiis nunc commemorantem, certo quodam medicamento os 
et viscera sua munire, cujus virtute retusa, medicinam suam iterare 
toties quoties debet. Bondii de longitudine Tractatus tanti nominis 
mensuram haud implet. De Tschirnhusio nihil omnino accepi, ex quo 
Lutetia Parisiorum discessit. Gaudeo, in re telescopica laborare Grolti- 
nium. Quas lentes, a Parisiensi Borellio elaboratas, exploravimus, sie 
satis probamus. Multa et ingentia nobis promittuntur a Grermanis 
quibusdam circa Phosphoros et Noctilucas, nee spes deest, quin fidem 
datam, saltem quoad rei summam, sint liberaturi. Nuper in Soc. Regiam 
cooptavimus Dn. Balduinum, qui Phosphori sui speeimen pulcherrimum, 
thecae deauratae inclusum, Serenissimo Regi nostro, ceu Soc. Regiae 
Fundatori, nee non Societati ipsi, dono transmiserat, insigni effeetu 
conspieuum. 

Illustris Boylius et doctissimus Collinius plurimam tibi salutem 
dieunt. Prior semper aliquid molitur novi, et j am imprimis circa Porös 
et Figuras corporum oecupatum se videt. Posterior brevi ad te nonnulla 
scribet, quae forte non displicebunt. 

Fere memoria exciderat, me nuper vidisse et appendisse magnetem 
parvulum, qui cum nonnisi 13 grana penderet, suummet pondus centies 
et quadragesies novies me coram sustinere potuit. Thesauro quovis 
hunc lapillum preciosiorem censeo. 

Vale et Tui studiosissimum amare perge. Dabam Londini d, 2. 
Maji 1677. 

P. S. 

Non obstante tarn enormi prolixitate petiit Dn. Collinius, ut se- 
quentia haec prioribus subjicerem, nempe: 

1. Non nisi post sex mensium lapsum seeundum Volumen Algebraicum 
Dni. Kersy praelo commissum iri : sperare se proinde, Clarissimi Freniclii 
opus interea proditurum, quod suppeditaturum nobis credit complures bre- 
ves intermediatasque responsiones in istis inventi novi Fermatiani Proble- 
matibus : quod ipsum licet et hie praestitum a viro quodam docto fuerit, non 
tarnen ipse nos hactenus edoeuit, qua methodo. Addit, nos pereipere, Fer- 
matum, Wallisium et Kersium, omnes (consiliis haud communicatis) in idem 
Theorema ineidisse, dividendi sc. summam duorum Cuborum in duos Cubos, 
neminem vero eorum posse beneficio ejus in venire parvos illos numeros, 
quos Dn. Freniclius nobis dedit in quadam epistola sua in Wallisii 
Commercio Epistolico. 

2. Narrationi illi de Constructione ad dividendum Aequationem 
Biquadraticam in duas Quadraticas, subjungit idem Collinius: Hoc 
praestari citra opem Aequationis Cubicae, quando Biquadratica aequatio 



240 DIbenButg an Seibntg. 

sit per multiplicationem duorum quadraticorum: Subtilitatem eonsistere 
ait in determinando, quando id fieri possit äbsque ope Aequationis ejus- 
modi Cubicae, et quando non item. 

3. Ad Cartesii solutionem Problematis Pappi ait idem Virum 
quendam doctum in Operatione sive Processi! Problematis, semper eam 
continebat intra duas Aequationes quadraticas, quae miütiplicatae per 
se invicem producebant Aequationem illam biquadraticam, quae solve- 
bat Problema, poteratque dividi in duas Aequationes Quadraticas citra 
opem Cubicae. 

Jungo hie summam eorum , quae destinantur seeundo volumini 
Algebraico, quod meditantur Angli lingua vernacula, eamque mitto An- 
gliee, prout aeeeperam ab amico satis compertum habens, Te linguam 
hanc satis callere ad haec intelligendum. 

Vale iterum atque iterum etc. 



XLIX. 

Scibnt3 an (Dlhmhuvg. 

Waü) bem äftannfcxipi in bex ^önigl. 23iMiotf)ef in §annot)er. 
Accepi hodie literas tuas diu expeetatas cum inclusis Newtonianis 
sane pulcberrimis, quas plus semel legam cum cura ac meditatione, qui- 
bus certe non minus dignae sunt quam indigent. Nunc pauca quae 
festinante oculo obeunti ineidere e vestigio annotabo. 

Egregie placet quod descripsit, qua via in nonnulla sua elegantia 
sane Theoremata ineiderit, et quae de Wallisianis Interpolationibus 
habet, vel ideo placent, quia hac ratione obtinetur harum Interpolati- 
onum Demonstratio, cum res antea (quod sciam) sola Inductione nitere- 
tur, tametsi pars eorum per Tangentes sit demonstrata. 

Gl. Slusii methodum Tangentium nondum esse ab- 
solutam Celeberrimo Newtono assentior. Et jam a 
multo tempore rem Tangentium longe generalius trac- 
tavi, scilicet per Differentias Ordinatarum. Nempe TiB 
(intervallum Tangentis ab Ordinata in Axe sumtum) 
est ad 1B1C Ordinatam, ut iCD (difFerentia duarum Ab- 
scissarum AiB, A2B) ad D2C (differentiam duarum Or- 
dinatarum iBiC, 2B2C). Nee refert quem angulum fa- 
ciant Ordinatae ad Axem. Unde patet ; nihil aliud esse 




SetBittä an Dlbenßutcj. 241 

invenire Tangentes, quam invenire Differentias Ordinatarum, positis 
differentiis Abscissarum (seu 1B2B n 1C2D), si placet, aequalibus, Hinc 
nominando imposterum dy differentiam duarum proximarum y (nempe 
AiB et A2B) et dx seu D2C differentiam duarum proximarum x (prio- 
ris 1B1C, posterioris 2B2C) patet dy 2 esse 2ydy et dy* esse 3y 2 dy 
etc. et ita porro. Nam sint duae proximae sibi (id est differentiam ha- 
bentes infinite parvam) scilicet AiB y et A2B y -f- dy. Quoniam po- 
nimus dy* esse differentiam quadratorum ab his duabus rectis, Aequa- 
tio erit dy 2 ny 2 + 2ydy + dy| 2 -~ y 2 , seu omissis y 2 — y 2 , quae se 
destruunt, item omisso quadrato quantitatis infinite parvae (ob rationes 
ex methodo de Maximis et Minimis notas) erit dp n 2ydy . Idemque 
est de caeteris potentiis. Hinc etiam haberi possunt differentiae quan- 
titatnm ex diversis indefinitis in se invicem ductis factarum ut dyx erit 
n ydx + xdy et dy*x n 2xydy + y 2 dx. Hinc si sit aequatio a + by 
+ ex + dyx + ey 2 + fx 2 + gy 2 ^ + hyx 2 etc. n 0, statim habetur Tangens 
Curvae, ad quam est ista Aequatio. Nam ponendo AiB n y et A 2 B n y + dy 
(scilicet quia iB 2 B seu iCD n dy) itemque ponendo 1B1C n x et 2B2C 
n x -f ■ dxf (scilicet quia 2CD n dx) et quia eadem aequatio exprimit 
quoque relationem inter A 2 B et 2620, quae eam exprimebat inter AiB 
et 1B1C, tunc in aequatione illa pro y et x substituendo y + dy et 
x + dx fiet: 

a + by + ex -f dyx + ey 2 + f x 2 + gy 2 x + hyx 2 e tc. 

+ bdy~-f- cdxT-f dydxT + 2eydy" + 2fxdF+ 2gxydy~+ 2hxydF etc. 

+ dxdy" + gy' 2 dx~ + hx 2 dy~ efcc. ^ 

+ ddx~d^4^Fl T +^dxT ¥ "+ gd?l 2 x + bd^| 2 y < n ° 

-|-2gydy~dx + 2hxdx~dy~etc. 

+ gdFdy| 2 + lid^dxl 2 

ubi abjeetis illis quae sunt supra primam lineam, quippe nihilo aequa- 

libus per aequationem praecedentem, et abjeetis illis quae sunt infra se- 

eundam, quia in illis duae indefinite parvae in se invicem ducuntur ? 

1 1 . , i 1 • i bdy + cdx + dy dx , A 

hinc restabit tan tum aequatio naec : . -.— etc. n U, quic- 

quid scilicet reperitur inter lineam primam et seeundam. Et mutata 
aequatione in rationem seu analogiam, fiet 

-d£ e + dy+2fa + gya + 2hxyetc ^ ^ / -_c£ ^ 

dx b + dx 4- 2cy + 2gxy + hx^ etc. \ dx 

-iB 2 Bseu-iCD -TiB\ . e + dyetc. - TiB ^ n . .... 
n —ü-rr) ent v ,Z,^ n -¥7t- Q llod coincidit 



D 2 C ißiC / b + dxetc. iBiC 

cum Regula Slusiana ostenditque eam statim oecurrere hanc methodum 
in t ellig enti. 

Sed metkodus ipsa (priore) nostra longe est amplior. Non tantum 
enim adhiberi potest, cum plures sunt liberae indeterminatae quam y 

16 



242 SeiBnts an DIbenBurg. 

et x (quod saepe fit maximo cum fructu) sed et tunc utilis est, cum 

interveniunt irrationales, quippe quae eam nullo morantur modo, neque 

ullo modo necesse est irrationales tolli, quod in methodo Slusii necesse 

est, et calculi difficultatem in immensum äuget. Quod ut appareat, 

tantum utile erit in irrationalitatibus simplicioribus rem explanare. Et 

primum sit in simplicissimis generaliter. Si sit aliqua potentia, ut ra- 

— _ ~ . .1 . v- . — 

dix x z , erit dx^ n zx] 2 " 1 dx. Si z sit ^ seu si x z sit Vx, erit dx^ seu 

hoc loco öfx n^x T dx seu 7 ut notum aut facile demonstrabile. 

& ^y x 



Sit jam Binomium, ut Va -f by + cy 2 etc., quaeritur U-Va + by + cy 2 , seu 

dx^ posito w n z, et a + by + cy 2 etc. n x. Est autem dx n bdy + 2cydy 
o 

-n. i — dx ., . bdy + 2cy dy etc. _, 1 ,_ 

etc. Ergo dx z seu 9 erit n =_r — . Eadem metho- 

oxt ö x a -f by + cy|f 

dus adhiberi potest, etsi Radices iu Radicibus implicentur. Hinc 
si detur aequatio valde intricata, ut a + bx |/ y 2 + b VI + y -f- 

hyx 2 J/ y 2 + y vi — y n adaliquamCurvam, cujus Abscissa sit y, AB, 
ordinata x ? BC, tunc Aequatio proveniens, utilis ad inveniendam Tan- 
gentem TB, statim sine calculo scribi poterit, et haec erit 

bdx lXy 2 +bflTy 

d ~ 

+ bx ^ 7~Z bdy 

+ -,2 yr ^ 2ydy + t, — =d== w 

2]/ y 2 +bflTy 3xl + y|f 



+ , 2 ,^ yx ^^ = -^ + dyfr3 7+ y-" d y 



2]/y 2 + y^i-y 2^1 



■y 



+ 2hxydx 



seu mutando Quotientem hanc inventam in Analogiam, erit .. ~L id 

ad dx 

m T) 

est .. p ut omnes provenientis aequationis termini per dx multipli- 

cati, ad omnes ejus dem terminos per dy multiplicatos. Ubi sane mi- 
rum et maxime commodum evehit, quod dy et dx semper extant extra 
vinculum irrationale. Methodo autem Slusiana omnes ordine irratio- 



SetBntg an ÖlbenBurg. 243 

nales tollendas esse nemo non videt. Arbitror quae celare voluit Neutonus 
de Tangentibns ducendis, ab bis non abludere. Quod addit, ex hoc eodem 
fundamento quadraturas quoque reddi faciliores, me in ea sententia confirmat ; 
nimirum semper figurae illae sunt quadrabiles quae sunt ad Aequationem 
differentialem. Aequationem Differentialem voco talem qua valor ipsius 
dx exprimitur, quaeque ex alia derivata est, qua valor ipsius x exprimeba- 
n tur. Exempli causa, sit AB n y, EB n co, 
K b + cy + dy 2 + cy 3 etc. 




E 



ponatur co n 



z V 1 + by + |y 2 + g- y 3 + |y 4 etc. 

quaeritur Quadratura figurae ABEA (quam- 
B quam forte saepe tale Trilineum non sit pro- 
diturum, quäle hoc schemate depinximus, sed curva habitura asympto- 
ton). Describatur alia curva AC, talis ut BC sit 

I V " c d e 

V 1 +by + ^-y 2 + ^-y 3 + j-y 4 etc. et Rectangulum sub recta AV re- 

u O 4r 

praesentante Unitatem constructionis, et sub ordinata nova BC aequa- 
bitur figurae ABEA. Ejusmodi Theoremata condi possunt infinita, imo 
pleraque sub generalissimis quibusdam complecti licet, etc. significat ni- 
hil referre sive hae series producantur sive ubilibet finiantur. Unde 
patet hanc unicam Regulam pro infinitis figuris quadrandis servire, 
diversae plane naturae ab iis quae hactenus quadrari solebant. 

Pulcherrimae sunt illae series Neutonianae, quae ex Infinitis in 
finitas degenerant, qualis illa est, quam exhibet pro Extractione Radi- 
cum binomii, aut ejus Quadratura. Quod si id in generali illa Aequa- 
tionis Affectae indefinit ae Extractione, cum sit z n ay + by 2 + cy 3 etc. 

7 117 7 1)7 

et y fit : — — — ^- etc. vel y n — j- etc. idem praestari posset, ut 

a a* a a 

scilicet liceret inter extrahendum radices ex aequationibus vel binomiis 
invenire radices rationales finitas, quando eae insunt, vel etiam irratio- 
nales; tunc dicerem Methodum Serierum infinitarum ad summam per- 
fectionem esse productam. Opus esset tarnen praeterea discerni posse 
varias aequationis ejusdem Radices; item necesse esset ope Serierum 
discerni aequationes Possibiles ab Impossibilibus. Quod si haec nobis 
obtinuerit Vir in his studiis maximus, atque effecerit, scilicet ut possi- 
mus Seriem Infinitam convertere in Finitam, quando id fieri potest, aut 
saltem agnoscere ex quanam finita sit deducta, tunc in methodo Serie- 
rum Infinitarum quae Division e atque Extractione inveniuntur, vix quic- 
quam amplins optandum restabit. Haec si quisquam mortalium, certe 
Neutonus praestare poterit. Eadem credo opera efficietur, ut ex mul- 

16* 




244 ÖetBntä an DIben&urcj. 

tis Seriebus Infinitis possimus deligere maxime naturales, quales haud 
dubie illae erunt, quae ita erunt comparatae, ut cum fieri potest, atque 
opus est, degenerent iu Finitas* Atque ita egregie apparebit Methodum 
Extraetionum per Series Infinitas, minime Indirectam, sed maxime Na- 
turalem esse. Problema est perelegans, cujus meminit, Curvam descri- 
bere, quae per data quaecunque transeat Puncta. Huddenins mihi 
Amstelodami dixit, posse se Curvam describere Analyticam seu certa 
Aequatione uniformi constantem, quae faciei hominis cujusdam noti line- 
amenta designet. Caeterum quaerendum est, an hoc Neutonus intelligat 

de Punctis Infinitis, ut si sit Axis A1B2A2B3A 
etc. in infinitum productus, et duae datae cur- 
vac infinitae Analyticae, una A1C2C3C etc. al- 
tera A2D3D etc. Si ponamus AiB, 1B2A, 2A2B, 
2B3A etc. inter se et datae cuidam quantitati 
F aequales, quaeritur an dari possit Curva A- 
nalytica seu Aequationis capax, quae in infini- 
tum producta transeat (alternis) per puncta 
iC, 2D? 2C, 3D, 3C etc. Fermatius alicubi scri- 
bit se Methodum habere per quam Curva in- 
veniri possit, cujus proprietas specifica data non pertineat ad Unum 
Punctum, ut vulgo fit, cum Ordinatae referuntur ad partes Axis, sed 
ad Duo quaelibet simul, vel etiam ad Tria quaelibet simul etc. 

Quae de variis Seriebus suis ac nostris examinandis atque inter 
se comparandis dicit Clarissimus Neutonus, in ea me immergere non 
audeo, antequam in gratiam cum Analysi rediero, riam harum rerum 
vestigia in animo meo prope nunc obliterata sunt. Agnosco interim 
pulcherrima et utilissima ab eo annotari. Elegantissima et minime ex- 

x. • • t t3 t5 J. 1 1 ', 

pectata est via, qua seriem meam — + -^- etc. deducit ex sua. 

Quod ait, Problemata Methodi Tangentium inversae esse in po- 
testate, hoc arbitror ab eo intelligi per Series scilicet Infinitas. Sed a 
me ita desiderantur, ut Curvae exhibeantur Geometrice, quatenus 
id fieri potest, suppositis (miriimum) quadraturis. Exempli causa 
cycloidem deprehendit Hugenius sui ipsius Evolutione describi; 
difficile autem fuisset, credo, solvere hoc Problema: Invenire Cur- 
vam, quae sui ipsius Evolutione describitur. Nee refert quod istius 
curvae descriptio quadraturam Circuli supponit. Et hoc Problema etiam 
ex eorum est numero, quae voco Methodi Tangentium Inversae. Ita 
inter Methodos Tangentium Inversas Generales est, Invenire Curvam 
Analyticam cujus Longitudines sint Areis datae Figurae, curva Ana- 
lytica comprehensae, proportionales (contrarium enim dudum possumus.) 



Setfmtä an DIbenbxtrg. 245 

Quod Problema arbitror non esse Insolubile, et videtur non contem- 
nendum, facilius enim est Lineam quam Spatium organice metiri. Et 
reducta Spatiorum dimensione ad dimensionem Linearum, solis Filis in 
rectum extensis Meclianica fieri poterit constructio ; et Spatia poterunt 
in data ratione secari instar Linearum rectarum. Cum ait Neutonus, 
inventionem Curvae, quando Tangens vel Intervallum Tangentis et 
Ordinatae in Axe sumtum est recta constans, non indigere his Metliodis, 
innuit credo se intelligere Metliodum Tangentium Inversam generalem 
in potestate esse per Methodos Serierum Appropinquativas; in 
hoc vero casu speciali non opus esse Seriebus. Ego vero Methodum 
quaerebam quae accurate Curvam quaesitam exhibeat (saltem ex sup- 
positis Quadraturis) et cujus ope ejus Aequationem 
si quam habet, aut aliam primariam proprietatem 
possumus invenire. Quod ait Problemata, in quibus 
datur relatio inter duo latera Trianguli TBC, semper 
posse solvi,*) id verum est, at ex meis quoque ar- 
tibus fluit, ac saepe ne quadraturis quidem accitis, 
simplici Analytica Aequatione praestari potest. Ut 
si BC posita x, sit TB n bx + ex 2 +- dx 3 , quaera- 
turque qualisnam sit haec Curva quae hanc tangenti- 
um habet proprietatem, id est quaenam sit Aequatio relationem expri- 

nv2 dx 

mens inter AB seu y et BC seu x, ajo eam fore y n bx + — + -^- . . . 

Si fuisset TB n a + bx + ex 2 + ...., opus fuisset Quadratura Hyper- 
bolae ad inveniendam Curvam quaesitam. Generaliter autem quomodo- 
eunque datur relatio inter duo ex lateribus hujus Trianguli, quod ego 
Characteristicum (ob crebros usus) vocare soleo, semper suppositis 
Quadraturis Figurarum Analyticarum haberi potest Curva quaesita. 
Quod tarnen nescio an praeter Neutonium praestiturus sit quisquam. 
Mea methodo res unius lineoiae calculo peragitur ac demonstratur. 
Sed et infinitis casibus rem praestare possum, tametsi ipsa y ingrediatur 
in ipsius TB expressionem, ut si sit TB n bx + ex 2 + dx 3 + . . . — y**), 




*j 8n beut t)orr)ctnbenen ©ninntrfe fjatte Sciöntg gier cjefdjttcöett: ut si sit TB 

• i . 9 $f a + bx + ex 2 , . _ , ., t— j. j. 

PI a + bx 4- cx^, seu -==. n etc. id verum est, narrt posita dx coustante 

dx x 



/ o I Ky j , P"V" / fl PX 

quod a uobis pendet, fiet y n/ — *- — — — seu / j- bx + — etc. ©tefe, wie bie 

folgenben ©teilen, wo SeiBnig 3ntea,ralre(rjmtng anraenbet, rjat er chigefcgloffen, n)afjr= 
fdjetnltcfj gum fttifyen, bafj fie in ber löfdrrift be£ 23xiefe§ auSgitlaffen nmren. Offenbar 
rooHte er Sterotott in feine Segeicrjnnn greife nietjt einroetfjen. 

**) Wlufy rnelleidjt tjet^en : TB n b + ex + dx 2 + . . . — y. 



246 SetBnts an Dlbertfcuxg. 

fi'et Aequatio Curvae yx n bx + -^- + -~- + • . .*) Itaque si habeatur 
valor ipsius TA ex BC, haberi poterit Curva,**) 

Quod vero addit Clarissimus Neutonus, non aeque rem proeedere, 
si detur relatio ipsius TB ad partem Axis seu ad AB vel y ? ad hoc 
respondeo, mihi aeque facile esse invenire Curvae naturam vel aequati- 
onem, si detur relatio ipsius TB ad AB, quam si, ut ipse requirit, detur 
relatio ad BC. Generalem vero Methodum Tangentium Inversam non- 
dum quod sciam habemus. 

Sunt et alia Problematum genera, quae hactenus in potestate non 
habeo, quorum eece Exemplar Sint duae aequationes x^ + y x n xy et 
x x + y y n x + y ; duae sunt Incognitae x ? y, duaeque ad eas invenien- 
das Aequationes; quaeritur valor tarn unius quam alterius literae. 
Talia Problemata vel in Numeris vel in Lineis solvere difficillimum ar- 
bitror; si tarnen de Appropinquationibus agatur, puto posse iis satis- 
fieri. Si quam huic difnciiltati lucem afferre potest Neutonus, pro ea 
qua pollet ingenii vi, multum Analysin promovebit. Analysis quoque 
Diophantea seu solutio Problematum in Numeris Rationalibus nonclum 
perfectionem nacta videtur. 

Haec annotavi festinans atque inter legendum; ad reliqua majore 

otio opus est. Interea Celeberrimum Neutonum quaeso ofüciosissime a 

me soluta, et post actas maximas gratias eum roga, ut communicet 

continuationem harum Serierum, nempe posita z n ay + bz 2 + cy 3 + dy 4 

17 ry^ 2b ac 

etc. ait fore y n — — b-gH ^ — z 3 etc. vel [si sit z n ay + by 3 



*)' SSie oBen fiefjt fykx: quia /xdy + ydx n yx. 

**) SBie oben fteljt Ijier: si jjJL n a + by + ^ + dy3 et - fiet zäT n adT 
-f- bydxT + cy 2 dx~; scribamus xdy" + yüiT PI adxT -f- bydx~ + cy 2 dx~, fiet xy n x 

+ lydr 

, / bydx" + cy 2 dx~ dx~ 1 T — .. T _ . ... , . 

+ //,_' , — n — r~ü — i 2~T~T*8 d y ' P oslto cTy n 1 seu y anthmetice 

J lydx x a + by + cy 2 + dy 3 

_1 1 __ f 1 

progredientibus fiet dx — n — i—, ; „— ; — t^^-Y seu arca Hyperbol. n / — —^ t—, 

r & x . a + by + cy 2 + dy 3 L J a + by etc. 

Hinc ergo quandocunque valor ipsius TB habetur ex data AB sola, problema semper 

solubile : ^L n — f^r- Ergo =— dy" n — dx", ubi mirabile est, duabus quadra- 

dx x r~| Bu by x 

turis Hyperbolicis hoc loco solvendam esse rem aliunde manifest am, est enim aequa- 
tio ad aliquam paraboloidum, scilicet si b n 1, fiet yfl x, generaliter autem fiet 

7 n xb, si — dy n - dx . 



SetBntg an Dlöenburg. 247 

z bz 3 3b 2 — ac 

+ cy 5 + etc.] yn j- + = — - z 5 etc. Et si qua alia in promtu 

a a a 

habet Theoremata nonnihil generalia, quoniam ad Calculum contrahen- 
dum plurimum serviunt. Quod si eorum Originem sive Demonstratio- 
nen! addet, tanto magis obligabit. Velim etiam nosse an per extrac- 
tiones in seriebus discernere possit Aeqnationes Possibiles ab Impossi- 
bilibus, nam si generalis ejusmodi extractio procederet, sequeretur nul- 
lam Äequationem fore Impossibilem* Item, quomodo inveniat diversas 
ejusdem aequationis Radices, ita ut ex pluribus radicibus eam possit 
invenire quam quaerimus, item an tales habeat Series quarum ope ex- 
trahendo aequationis radices inveniantur valores Finiti quando tales 
insunt. Denique quid sentiat de Resolutione Aequationum, quales pau- 
lo ante posui, ut x? + y x n xy, et x x -fy y nx + y, ubi scilicet Inco- 
gnita ingreditur in Exponenten^ Oblitus eram dicere, pulchram mihi 
videri Cissoidis extensionem in Rectam quam Neutonus invenit, ex sup- 
posita Quadratura Hyperbolae; ego mihi videor eodem modo etiam me- 
tiri posse Curvam Hyperbolae Aequilaterae, sed nondum omnis, neque 
Curvam Ellipseos, quantum memini. 

Antequam finiam, adjiciam usum pulcherrimum Serierum, qui im- 
primis Collinio nostro non erit ingratus. Scis magnam esse difficulta- 
tem circa extrahendas Radices ex Binomiis Cubicis, quando eas ingre- 
ditur quantitas imaginaria orta ex Radice Quadratica Negativae quan- 

titatis ut y a + V — b 2 + y a — V — b 2 , ubi utraque quantitas M 

et N est singulatim impossibilis, summa autem ut alibi ostendi, est 
quantitas possibilis et realis, aequalis cuidam quaesitae z. Ut vero ea 

eruatur et ut extrahatur Radix, nempe ut inveniatur — + ey — b 2 

a 

|3, 



n ]Xa + V- b 2 et ~ - e ]X~ b 2 n |/^a - V - b 2 (unde fit 



y a ~f- V — b 2 + y a — V — b 2 n z) non potest adhiberi methodus 
Schotenii Geometriae Cartesianae subjecta, quia opus est ad eam, ut 

valor ipsius y a + V — b 2 exhibeatur saltem approximando, quod notis 

methodis impossibile est. Quis enim valorem ipsius |/ — b 2 prope ve- 
rum dabit? necesse est enim invenire bV" — 1. Quis autem exprimet 
V — 1 appropinquando ? Scripsi olim Collinio me remedium invenisse, 
quod etiam ad omnes gradus superiores valeat. Id ecce hie uno ver- 

-i3/- rzzzzr 

bo. Ex binomio y a + V — b 2 extraho Radicem per Seriem Infinitam, 



248 Seibntj an Oldenburg. 

sive per Theorema Neutonianum, sive etiam more meo priore, institu- 
endo calculum secundum naturam cujusque gradus, cum scilicet non- 
dum Theorema generale abstraxissem : quae radix ponatur esse 1 + 
m V— b 2 + n + pl/" — b 2 etc. Extrahatur jam et radix ex binomio altero 

(/ a __ V~~W ; fiet illa + 1 - m V~-W + n - p V'^b 2 etc. ut facile de- 
monstrari potest ex caleulo. Ergo addendo haec duo extracta destru- 
untur Imaginariae quantitates, et fiet z n 21 — 2n etc. Quae sunt eae 
seriei portiones in quibus nulla reperitur imaginaria. Invento ergo Va- 
lore ipsius z quantum satis est propinquo, quemadmodum Schotenius 
postulat, reliqua Metliodo Schoteniana, perinde ac in aliis binomiorum 
extrahendorum generibus transigentur. 
21. Junii 1677. 



L. 

icibnt3 an (Dlbenbuxg. 

Sßctdj bem Stfcmufcrtpi in ber ^öntgl. SBiMiotfjef gu §annot>er. 

Nuperas meas credo acceperis. Nunc istas mature summitto, ne 

facilitate Dn. Newtoni abutamur. Rogaveram enim in prioribus, ut 

quaedam suae Epistolae loca explicaret, nempe, quomodo invenisset 

z bz 

Theoremata, quod posito znay-f by 2 -f- cy 3 etc. fit y n g- 

a a 

H g — z 3 , vel [si sit z n ay + by 3 + cy 5 etc.] erit y n ^ 

_j — z 5 e t c . Nunc vero, relectis eius literis, video id facile non 

a 7 ; J 

tantum ex ejus Extractionibus derivari, sed et altera illa methodo sub 

finem literarum ejus exposita inveniri, qua me quoque aliquando usum 

in veteribus meis schedis reperio, sed cum in exemplo, quod forte in 

manus meas sumpseram, nihil prodiisset elegans, solita impatientia eam 

porro adhibere neglexisse. 

Difficultatem moveram in praecedentibus literis circa Aequationes 
Impossibiles, quarum Eadices Possibiles videntur inveniri per series In- 
finitas. Necdum vero illa sublata est, et meretur res excuti diligentius. 

Illud tarnen video, si in Aequatione data z n ay + by 2 + cy 3 etc, 
literae z et y sint indeterminatae, tunc Aequationem semper esse Possi- 



Seibnig an Dlbenburg. 249 

bilem: sed si z esset determinata, rursusque in ipsis a vel b etc. late- 
ret Aequatio, posset esse Impossibilis, et tarnen per seriem generalem 
aliqua prodire videretur Radix possibilis. Cujus difücultatis solutionem, 
re diligenter expensa, reperiri posse arbitror: sed nunc in ista accura- 
tius inquirere non licet. Merötur autem explicari, tum quomodo ex 
seriebus agnosci possit, aequationes esse Impossibiles (quanquam id 
alias satis facile inveniatur), tum quomodo dignoscantur diversae Ra- 
dices. 

Praeter ea quae in superiore Epistola notavi, scilicet Methodum 
Tangentium Inversam et Greometricam (saltem suppositis Curvarum 
Analytiearum quadraturis) et alia id genus, deest nobis circa quadraturas, 
ut scire certe possimus, annon quadratura figurae ali cujus propositae 
reducatur ad quadraturam Circuli aut Hyperbolae. Nam pleraeque figurae, 
haetenus tractatae, ope alterutrius quadrari potuerunt. Quod si demon- 
strari potest (ut arbitror) quasdam figuras non esse quadrabiles nee 
per Circulum nee per Hyperbolam, restat ut alias quasdam figuras 
primarias altiores constituamus, ad quarum quadraturam reducantur cae- 
terae omnes ? quando id fieri potest. Hoc quamdiu non fit, haeremus; 
et saepe per Seriem Infinitam particularem quaerimus, quod ad Circuli 
aut Hyperbolae aut aliam notioris figurae quadraturam reduci poterat. 

Crediderat Gregorius, dimensionem Curvarum Hyperbolae et 
Ellipseos non pendere a quadratura Circuli aut Hyperbolae. Ego vero 
reperi aliquam speciem curvae Hyperbolicae ? quam ex data ipsius Hy- 
perbolae quadratura metiri possum. De caeteris nondum mihi liquet. 

Hannoverae 12. Julii 1677. 



LI. 

(Dlbenbuxg an €ctbnt5. 

9la<§ bem Original in ber ^ontgl. Ißxbliofyü gu §annot)er. 

Scripsi ad Te die 2. Maji novissimi, literisque meis inserui Apo- 
graphum prolixae satis epistolae a Cl. Newtono ad me datae, et fasci- 
eulum hunc Dno. Scbrotero commisi, qui sanete pollicebatur, se eum, 
una cum reculis quibusdam suis, Hamburgum indeque Hannoveram 
transmittendis, fideliter ad Te curaturum. Spero, eum fidem datam 
liberasse, istumque adeo thesaurum Newtonianum (sie mihi eximium 
illud scriptum vocare fas sit) ad manus tuas rite pervenisse. Nunc 



250 DIbenBuxg an Seibnis. 

mitto tibi per Sambinum, Heidelbergam contendentem, non modo jacta- 
tum, . spem tarnen fallens, Bondii Inventum de Longitudine, sed et 
Tractatum Andersonii de Tormentorum bellicorum Usu et Effectis, ex- 
spectatione quoque nostra multum inferiorem. Comitatur hos libros 
libellus Darii, compendifactus, de Foenore tum simplici tum composito, 
una cum Appendice, quae Aequationum affectarum solutionem in numeris, 
per approximationem, Logarithmorum beneficio praestandam docere 
satagit. Haec omnia Tibi mitto Collmii nostri nomine, qui una mecum 
virtutem et doctrinam tuam in magno ponit pretio. Adjeci epistolam 
Anglice scriptam, quae Experimenta quaedam continet, curate a nostra- 
tibus pronuper sumpta, quaeque forte ad Projeetilium Theoriam rite 
condendam non parum conferre poterunt. 

Quoad Yernicem ; 'quam a Collinio descriptam desideras, ait ille, 
parandae ejus modum in Evelini nostri Sylva et Porno na extare, 
qui über cum forte ad manum tibi non sit, locum illum pagella hie 
seorsim juneta exscribendum curavi. 

Rubelii liquor vulnerarius etiamnum famam suam inter ingenuos 
tuetur ? quamvis a malevolis et invidis artis Medicae professoribus passim 
exploratur. 

Quicquid illud fuerit, quod in Arte Chrysopoetica pollicitus fuerit 
Sch us , nihil hactenus ab eo praestitum novimus. Jam assiduus fere 
comes est Imperatorici ad Aulam hanc Ablegati, qui nummum nobis 
monstrat, in aurum ex mercurio ni fallor Viennae conversum, non tarnen 
(quod nonnulli mirantur) in aurum purissimum, cum nonnisi 23 cara- 
torum bonitatem obtineat. 

Nescio ? quid causae sit quod Transactiones nostras a Schultzio 
non aeeepisti. Puto tarnen, Martinum nostrum eas singulis mensibus 
Hamburgum curare. Invenies in iis, quidquid tum nostrates, tum 
Casinus et Hevelius de cometa nupero observata dedere. Continere se 
non potuit Cassinus a deducenda Theoria sua Cometica, antehac exposita, 
ex apparentium Cometae hujus locorum intervallis, quae laudatus Her- 
velius in literis suis posterioribus mihi communieaverat. Fortassis et 
hanc partem proximis Transactionibus inseram, quae tarnen non nisi 
mense Septembri proximo in lucem emittentur, cum hoc feriarum aesti- 
varum tempore Bibliopola meus imprimere haec acta tergiversetur. 

Necdum hie appulit eorum ullus, qui Phosphoros se possidere 
venditant. Lubentes videremus substantiam illam, quam penes Dn. 
Craftium esse significasti, cum oppido rarum sit et eximium, corpus 
aliquod factitium secum perpetuo gestare lucem, et in tenebras trans- 
latum statim eam expromere, quin imo per aliquot annos vim lucendi 
retinere. Audivi interim, primum hujus Phosphori Inventorem degere 



ClbenBurg an Seißniä. 251 

Hamburgi, ä quo dictus Craftius ejus parandi artem (hactenus tarnen 
non nisi imperfecto) hauserit. 

Facile credo, Te in Aula isthac novum variis modis distrahi. 
Dabis tarnen operam, spero, ut quae apud vos et per Germaniam totam 
in re philosophica geruntur mature edoceamur: quod facile a Te fieri 
posse ob Serenissimi Principis vestri ingenium euriosissimum et pan- 
sophicum (cui obsequium cultumque meum humillime defero) maxumo- 
pere laetor. 

Galli nuper Tractatum edidere de Arebitectura Navali, edituri 
alium de Arte Naves gubernandi. Jesuita Cbales de Millet, Cursus 
Mathematici Author, opus nuper evulgavit de Arte Navigandi, et Dn. 
Felibienus aliud de Arebitectura civili. Dantisco nuper aeeepi libellum 
de Frigore, a quodam Conrado non male conscriptum, quamvis paucissima 
nova vel quoad doctrinam vel quoad experimenta continentem, lectu 
tarnen jueundum et ingenio excitantem. 

Grevius noster, qui hactenus feliciter in Malpighio ineubuit Ana- 
tomiae Plantarum, nuper Anatomen anirnalium Comparatam aggressus 
est, atque examinatis jam 15 vel 16 Quadrupedum intestinis eorumque 
differentiis variis probe inter se collatis, de eorum usibus doetam sane 
Dissertationem coram Societate Regia instituit, Uuminationis, inter alia 5 
metbodo solidius quam hactenus factum tradita. 

Dn. Boylius plurimam Tibi salutem dicit. Is, quamvis complura 
sub ineude habeat, hactenus tarnen ambigit, cuinam ex tot argumentis 
materiae primas in exeudendo tribuere debeat. 

Oxoniensis quidam, Dn. Plot vocatus, in lucem nuper emisit Histo- 
riam naturalem Oxoniensis Provinciae seu Specimen quoddam Consilii 
quod init, de Historia Naturali omnium Angliae provinciarum condenda. 
In dieta Oxoniensi historia notavit conscripsitque omnia, quae in comitatu 
illo circa Naturam, Artes et Antiquitatem, ipse cum plurium virorum 
solertium ope observare potuit. Putatur id peregisse magna cura et 
iide, multique animum induxere, opus hoc tarn feliciter coeptum cohor- 
tationibus et opibus suis promovere. Ego ad plerosque amicos meos 
transmarinos jam scripsi, quid hac in re apud nos jam sit praestitum, 
eosque sollicitavi, ut hoc exemplo simile quid, in suis quique regionibus, 
aggredi, atque hac ratione symbola-m suam ad Universalis historiae 
Naturae strueturam excitandam conferre velint. Confido penitus, Vir 
Clarissime, Te non latitaturum post prineipia, sed viribus eo annixurum, 
ut similis Historia amplissimarum, quae Serenissimis Luneburgi et 
Brunsvici Principibus subjacent, ditionum concinnetur, cui Sapientissimos 
Doctissimosque juxta ac Bellicosissimos illos Heroas authoritatum et 
facultatum suarum partem generöse et strenue collaturos esse persua- 



252 Seibnig an DIbenfiurg. 

sissimum habeo. Multa sine dubio in Sylva Hercynia occurrunt notatu 
dignissima, cujus partem insignem laudatissimi illi Duces possident. 
Dolendum profecto esset, semper ea debere a philosophantium eognitione 
abdi 7 nee in lucem protrahi, ut dignam Promptuarii naturae partem 
faciant. Sat viro ingenuo et ingenioso dictum, cui hanc rem sollici- 
tandam summa animi contentione committo. Vale et ab omnibus amicis 
communibus, tui studiosissimis, plurimum salve. 
Dabam Londini d. 12. Julii 1677. 



LH. 

€ctbnt3 an (Dlbmbmg- 

%laä) beut Original in ber SÜöntgl. SBil&Itot^ef §u ©antioüer. 

Novissimas meas aeeepisse TE credo, tametsi needum responderis, 
nee vestra quae per Martinum petieram acta philosophica comparuerint. 
Quae de Phosphoro quaesieras, illis satisfacere non poteram tunc quidem, 
nondum enim illum quem vocas noctilucam videram, quem heri demum 
fortuna mihi visendum obtulit. Nimirum Dn. Joh. Daniel Graft, cujus 
in libello Elsholtii de quatuor Phosphoris mentionem faetam credo 
vidisti, in Hollandiam et Angliam negotiorum quorundam causa tendens ? 
ad me invisit ; et rem sane mirabilem videndam obtulit. Materia est 
quae in liquida vel sicca forma haberi potest, et non lucet tantum noctu, 
et quibus rebus affrieta est, lucem quandam subitaneam communicat, 
sed et vitreo Vasculo inclusa subinde fulgurat, et quosdam velut iluctus 
luminis attollit. Plane diversi est generis a Balduiniano phosphorus 
iste, nam hie lucem hausit a sole aut die, ille secum gestat et in tene- 
bris statim expromit. Certum est particulam biennio integro servatam 
vim lucendi nondum amisisse. Nee dubium est, si frustum satis grande 
haberetur, luminis perpetui aut certe valde cliuturni diu desiderati usum 
praestare posse. 

Historiam inventi tibi tradam qualem a Craftio aeeepi. Autor 
ejus est quidam Germanus Craftio amicus ? qui rem ex parte Kunckelio 
eommunieavit, Kunckelius dissimulato primb inventore sese ejus autorem 
tulit, et per Kirchmaierum, professorem Witebergensem, id egit ut 
nomen suum scripto publico innotesceret. Kirchmaierus ergo ? quiequid 
ea de re habet, a Kunckelio habet. Craftio non Kunckelius tantum, 



Seibmg an DIbenBnrg. 253 

sed et primus inventor innotuit. Craftius autem refert Kunckelianum 
neque si efficaciam nee si elaborandi faeilitatem spectes, primogenito 
illi Phosphoro, cujus mihi efficaciam ostendit, conferri posse. 

Sed haec ipse Tibi uberius exponet, rogavi enim ut ubi in Angliam 
venerit, te adire velit, persuasus gratissimam Tibi fore notitiam Viri 
in rebus naturalibus et mechanicis egregie versati, et omnia acl usum 
quendam referentis, te vero rogo ? ut vicissem ei omnia amici officia 
exhibere velis, quibus dignissimum experieris. 

Literas grandiusculas quas mihi destinaveras nondum aeeepi, sed 
avide expecto. Vale.*) 



LIIL 

(DlbenbuvQ an ieibni^ 

Sftacf) bem Original in bex ^önigl. SBibltotfjef §u §annona\ 
Ex quo tempore ad te scripsi per Dnum. Sambinum Heidelbergen- 
sem, quem etiam Dno. van der Heck commendavi, ut seil, fasciculum 
meum ipsi pro te traditum Hanoveram summa cura expediret, binas a 
Te literas aeeepi, quae utraeque de prolixa illa Dni. Newtoni Epistola ? 
antehac ad te missa ; cogitationes tuas aperiunt. Non est, quod dicti 
Newtoni vel etiam Collinii nostri responsum tarn cito ad eas expectes, 
cum et urbe absint et variis aliis negotiis distineantur. Scire interim 
te velim, me in supradicto fasciculo inclusisse Bondium de Longitudine, 
et Andersonium de Projectilibus, et Darium de Faenore compendifacto ; 
nee non Flamstedianae epistolae apographum de Experimentis Arcu 
factis ? juneta etiam methodo Colliniana Vernicis parandae. Nunc tibi 
per Dn. Schröterum ultima mea Acta philos. mitto, cum priorum Te 
jam factum esse partieipem conßdam. 

Necdum visus est in his nostris oris Dn. Craftius, cujus Phosphorii 
gemini videndi mirum nos desiderium incessit. Aemulatio quaeclam 
ipsum inter et Kirchmaierum intercedere videtur, quam dirimi ipsa 
autopia discuperem. De hoc argumento lator harum fusius haud dubie 
tecum colloquetur, qui nunc Viennam se properare ait, novi Principis 
Zinzendorfii honoribus litaturus. 

Accepi nuper a Dno. Cassino literas, quas magni facio. Post- 

*) Oljnt Drt unb Saturn. 



254 DIbertBurg an ÖeiBnij. 

quam enim notaverat Satellitum Jovis configurationes pro mensibus 
Augusto et Septembri hujus anni, promiseratque se brevi reliquas hujus 
anni configurationes daturum, adjecit situm principalis maculae Jovis 
ad eos dies, quibus adjecta hora observari commode potest. Haec illa 
macula est, ex cujus restitutionibus inter se comparatis Revolutiones 
Jovis circa axem proprium periodum deduxit horarum 9. 54', deinde 
subtilius h. 9. 55' 52", v quando motus Jovis apparens congruit medio, 
estque min. 5' in consequentia. Paulo quippe tardius restitui maculam 
ait, cum motus Jovis apparens in Consequentia velocior est; paulo 
citius, quando motus hie Jovis in consequentia tardior est, vel statio- 
narius, aut retrocedit. Hanc porro maculam hoc anno rursus in con- 
spectum venire ait, quae duobus praecedentibus delituit: quam occul- 
tationis et apparitionis vicem jam saepius a se observatam asserit. 
Seil, cum annis 1665 et 1666 apparuerit, ab anno 1667 ad an. 1672 
frustra quaesita est: Initio autem anni 1672 rursus apparuit eodem in 
situ Jovialis disci quo fuerat olim observata, et ad easdem horas, quas 
numeri Cassiniani postulabunt. Sed A. 1675 rursus evanuit delituitque 
usque ad mensem Julii anni hujus. Nunc iterum conspicua est eadem 
figura, eodemque loco Jovialis disci quo prius et easdem horas per 
dictos Cassini nameros praemonstratas. Talis autem est, juxta Cassi- 
num, Jovialis disci prospectus, quando illa ad 
medium itineris sui in disco Jovis apparente per- 
venit. Tres hie conspiciuntur obscurae Zonae 
jacentes in situ parallelo motui Jovis circa axem 
proprium, cujus polus Australis circa a, borealis 
circa b, schemate per telescopium inverso ; Macula 
autem principalis Zonae Australis parti boreali 
b adjacet. 

Ano. 1675, quo macula principalis clisparuit, interstitium lucidum 
in Zonam borealem et mediam disruptum esse affirmat Cassinus in 
plures partes, parvas insulas in fluvio referentes: Mox insulas lucidas 
prorsus evanuisse adjicit, et ex duabus obscuris Zonis, media et boreali, 
semoto interstitio una latior conflata est, quam iterum hoc anno medio 
interstitio lucido in duas distinetam esse animadvertit. Notandum vero 
ait, eandem distinetionem hoc faetam anno, quo Jovialium satellitum 
systema respectu nostri inversum est, semicirculis eorum superioribus, 
qui totum sexennium ad Austrum vergebant; nunc versis ad Boream, 
et e converso juxta ea, quae superiori anno in diariis praedixerat. 
Quam Jovialis mundi Cataestrophon dignam existimavit, quae Regiae 
Societati communicaretur. Ideoque et ego dignam censui, quam Tibi, 
Societatis Regiae membro meritissimo, impertirem. Plura scribendi 




Seibtttä an Beratern. 255 

tempus non suppetit in praesenti. Vale igitur florentissime et me 
amare perge. Dab. Londini d. 9. Augusti 1677. 



LIV. 

€eibnt5 an Tlewton* 

üftatfj betn Original in ber ^öntgl. 33tBüütrje! gu §annot)er. 

Quantum Tibi scientiam rerum Mathematicarum totiusque Naturae 
debere arbitrer, occasione data etiam publice sum professus. Mirifice 
ampliaveras Geometriam tuis seriebus, sed edito Principiorum opere 
ostendisti, patere Tibi etiam quae analysi reeeptae non subsunt. Co- 
natus sum ego quoque notis commodis adhibitis, quae differentias et 
summas exhibent, Geometriam illam quam Transcendentem appello ana- 
lysi quodammodo subjicere, nee res male processit. Sed a Te magni 
aliquid expecto ad summam manum imponendam, tum ut problemata, 
quae ex data tangentium proprietate quaerunt lineas, reducantur optime 
ad quadraturas, tum ut quadraturae ipsae (quod valde vellem) redu- 
cantur ad curvarum rectificationes, utique superficierum aut corporum 
dimensionibus simpliciores. 

Sed super omnia optem, ut Geometricis absolutus*) naturam, ut 
coepisti, Mathematice traetare pergas ? in quo genere certe tu unus cum 
paucissimis ingens operae pretium fecisti. Mirificum est, quod invenisti 
Ellipses Keplerianas prodire, si tantummodo attractio sive gravitatio 
et trajeetio in planeta coneipiantur, tametsi enim eo inclinem, ut credam 
liaec omnia fluidi ambientis motu sive effici sive regi, analogia gravitatis 
et magnetismi apud nos; nihil tarnen ea res dignitati et veritati inventi 
tui detraxerit. Quae summus et ipse Mathematicus, Christianus Hu- 
genius, in tua notavit appendice libelli de causa luminis et gravitatis 
expensa Tibi non dubito, et sententiam vicissim tuam velim, vestra 
enim amica collatione potissimum, qui in hoc genere eminetis, erui 
veritas potest. 

Cum vero maximum tu quoque lumen ipsi Dioptricae intuleris, 
explicatis colorum phaenomenis inexpeetatis, velim quid sentias de 
Hugeniana explicatione radiationis utique ingeniosissima, cum feliciter 
adeo prodeat lex sinuum. Significavit mihi Hugenius, nescio quae nova 

*) $ielletd)t absolutio. 



256 ÖetBms an SReroton. 

phaenomena colornm sibi a Te communicata. Ego valde optem nt 
ratio colornm quos fixos vocant, ex apparentibus deduci possit, seu ut 
ostendatur ratio efficiendi per refractiones, ut tota aliqua superficies 
certum colorem ostendat. 

In librörum apud Anglos editorum Indicibus occurrere mihi ali- 
quoties libri Mathematici autore Neutono, sed dubitavi a Te essent, 
quod vellem, an ab alio homonymo. 

Heinsonius noster redux testis fuit benevolentiae erga me Tuae. 
De cultu vero meo erga Te non ille tantum testari potest, sed et Step- 
nejusj tecum ejusdem olim Collegii habitator, nunc Magnae Britannicae 
Regis negotia apud Caesarem, nuper apud Serenissimum Electorem 
Brandenburgicum curans. 

Haec scribo magis ut studia erga Te mea intelligas, quae nihil tot 

annorum silentio amisere, quam ut studia Tua ego ? quibus auges humani 

generis opes ? interrumpere velim vacuis literis et supervacuis. Vale. 

7 
Dabam Hannovera — Martii 1693. 



LV. 

ZZevoton an iexbni^ 

Waü) bcm Ortgmal in ber ^önigl. 33tBIiotIje! gu §annoner. 
Literae tuae, cum non statim acceptis responderem, e manibus 
elapsae inter schedas meas diu latuere ? nee in eas ante hesternum diem 
ineidere potui. Id quod me moleste habuit, cum amicitiam tuam maximi 
faciam ? teque inter summos hujus saeculi Geometras a multis retro 
annis habuerim, quemadmodum etiam data omni occasione testatus sim. 
Nam quamvis commercia philosophica et mathematica quam maxime 
fugiam ? tarnen metuebam ne amicitia nostra ex silentio decrementum 
aeeiperet, idque maxime cum Wallisius noster Historiam Algebrae in 
lucem denuo missurus nova aliqua e literis inseruit, quas olim per 
manus Dni. Oldenburgi. ad te conscripsi, et sie ansam mihi dedit ea etiam 
de re ad te scribendi. Postulavifc enim, ut methodum quandam duplicem 
aperirem quam literis transpositis ibi celaveram. Quocirca coactus sum 
qua potui brevitate exponere methodum meam fluxionum ? quam hac celave- 
ram sententia: Data aequatione quantitates quoteunque fluentes 
involvente invenire fluxiones, et vice versa. Spero autem me 



Proton an SeiBnt§. 257 

nihil scripsisse quod tibi non placeat, et siquid sit quod reprehensione 
dignum censeas, ut literis id mihi significes, quoniam amicos pluris 
facio quam inventa mathematiea. 

Reductionem quadraturarum ad curvarum rectificationes quam de- 

siderare videris, inveni talem. Sit Curvae cujusvis abscissa x, ordinata 

y et area az ? posito quod a sit data quantitas* Fluat x uniformiter 

\ sitque ejus fluxio x = a, et -ipsius y sit fluxio 

\^ y. A dato puncto D in recta positione data 

\ DE sumatur BD = x ; et agatur indefinita BCG 

\\ ea lege ut cosinus anguli DBG sit ad Radium 

\\ „ ut fluxio y ad fluxionem x = a: et inveniatur 

jpr\ Curva FG quam recta BG perpetuo tangit. 

\ \ jj Td enim semper fieri potest Geometrice ubi 

\ „^" \ fluxio num x et y relatio geometrica est. Sit 

D JB E G punctum contactus, et ubi punctum B inci- 

dit in punctum D ? incidat punctum G in punctum F. In tangente BG 

sumatur GC aequalis Curvae GF et CH aequalis rectae FD et erit 

BH — z. Qua inventa habetur area quaesita az. 

Quae vir summus Hugenius in mea notavit, ingeniosa sunt. Pa- 
rallaxis solis minor videtur quam ipse statueram, et motus sonorum 
forte magis rectilineus est. At caelos materia aliqua subtili nimis im- 
plere videtur. Nam cum motus caelestes sint magis reguläres quam si 
a vorticibus orirentur, et leges alias observent, adeo ut vortices non 
ad regendos, sed ad perturbandos Planetarum et Cometarum motus con- 
ducant ? cumque omnia caelorum et maris phaenomena ex gravitate sola 
secundum leges a me descriptas agente accurate quantum sentio se- 
quantur ? et natura simplicissima sit; ipse causas aKas omnes abdican- 
das judicavi et caelos materia omni quantum fieri licet privandos, ne 
motus Planetarum et Cometarum impediantur aut reddantur irreguläres. 
At interea siquis gravitatem una cum omnibus ejus legibus per actionem 
materiae alicujus subtilis explicuerit et motus Planetarum et Cometa- 
rum ab hac materia non perturbatos iri ostenderit, ego minime adversa- 
bor. Colorum phaenomena tarn apparentium ut loquuntur quam fixo- 
rum rationes certissimas me invenisse puto 7 sed a libris edendis man um 
abstineo, ne mihi lites ab imperitis intententur et controversiae. Alius 
est Newtonus, cujus opera in librorum editorum indicibus tibi occurrunt. 
His contestari volui me tibi amicum integerrimum esse et amicitiam 

16 
tuam maximi facere. Vale. Dabam Cantabrigiae, Octob. ^ 1693. 

Utinam rectificationem Hj^perbolae, quam te invenisse dudum si~ 

gnificasti, in lucem emitteres. 

_____ ^___ . 1? 



258 ®°Ktf an Seibnts- 

LVI. 

(Eorttt an ieibnx^ 

9lad) bem Original in ber ^mtigl. 23t6IiotI)ef 51t §atmouer. 

Je seay, Monsieur, qu'il n'est pas permis d'interrompre les Medi- 
tations des Grands Philosophes, ni de lear derober ces pretieux mo- 
ments qu'ils emplbyent ä perfectionner les Sciences et les Arts, et ä 
instruire les Hommes. Cependant une loi si respectable et si necessai- 
re a l'utilite publique n'est point sans exception, et il nie semble, 
qu'on est quelquefois en droit de la violer, lorsqu'il faut consulter ces 
grands Genies sur les disputes qu'on a. 

Ce sont les reflexions, Monsieur, qui me donnent la liberte de 
m'adresser ä vous dans la dispute, que i'ay avec le Sieur Nigrisoli, Me- 
decin de Ferrare. Permettez moy de vous exposer nettem ent l'etat de 
la question. 

Le Sieur Nigrisoli pretend, que la Generation des Animaux et 
des Plantes est reffet d'une certaine Lumiere, qu'il appelle seminale. 
Yous scaurez, que Flud avec plusieurs Alchemistes, et plusieurs Me- 
decins ont adopte la meine hypothese. Elle est trop commode pour 
masquer la Nature sous des Noms eclatans. 

II y a deux ans que ie me suis oppose ä cette hypothese lä. Je 
n'ay pü souffrir ? qu'en Italie on preferat le Systeme des Cabalistes au 
Systeme Mecanique, que Galilee, Toricelli, Borelli nous ont trace. Ma 
critique est dans la lettre, que i'ay ecrite au scavant eveque d'Adria, 
et ie vous dirai en passant, que dans ma lettre i'ay parle fort au long 
du Systeme de l'Harmonie preetablie. Ainsi Tay eu l'honneur d'en 
parier le premier en Italie, ce qui a donne envie ä plusieurs d'en avoir 
une connoissance plus exacte. 

Dans ma Critique i'ay fait voir, que la lumiere seminale n'adioute 
que des Noms aux mouvements de l'ether, et qu'elle n'adioute que des 
principes plus obscurs ä l'hypothese des Natures plastiques. En effet 
il faut supposer non seulement que la Nature plastique existe, mais 
encore qu'elle subsiste dans un certain corps, et que ce corps lä est 
le suiet de la lumiere. 

Le Sieur Nigrisoli ne s'est point rendu. II a repondu ä ma Cri- 
tique sous un Nom emprunte. Je n'avois point le dessin de faire une 
replique, mes amis Tont voulu. Voila, Monsieur, h peu pres ce que ie 
dis dans la troisieme partie de ma Reponse; les deux autres ne con- 
tiennent que certaines maximes et certaines reflexions, dont i'aurois 
l'honneur de vous parier une autre fois. 



(£orüt an Setbnis. 259 

Je developpe premierement toutes les Idees qui sont compliquees 
dans le terme de Lumiere seminale. La premiere Idee est celle de la 
Nature plastique, la seconde est celle de la Lumiere meine, la troisi- 
eme est l'idee du rapport que la Lumiere peut avoir aux corps orga- 
nizes. N'est-il pas vray, qu'il faut fixer toutes ces Idees pour con- 
clure quelque chose dans la question qu'on a proposee? 

Si ie demonstre done, que la Nature plastique est une chimere, 
voilä le premier fondement du Systeme renverse. Car peut-on conce- 
voir, que la Lumiere a organize le corps sans lui donner les cha- 
racteres de la Nature plastique? 

Je soutiens, que l'hypothese de la Nature plastique n'a aucun 
degre de vraisemblance, soit qu'on la fasse agir par eile meme, inde- 
pendement de Dieu, soit qu'on la fasse agir sous la direction de Dieu. 
La premiere est l'hypothese de Straton, de Spinosa et des Chinois, la 
seconde est l'hypothese de Cudwort. 

Si les Natures plastiques agissent par elles memes, comme ii n'y 
a point de raison pour qu'elles agissent plus-tost d'une maniere que de 
l'autre, elles n'agiront point; a plus forte raison elles n'agiront point 
regulierement, ni touiours avec dessein. La Variete des Phenomenes 
ne scauroit s'accorder avec la Necessite, qui agit touiours de la meme 
maniere, et vous avez prouve fort bien ? Monsieur, que les Formes des 
Corps ne sont que convenables, car nous les pouvous concevoir autre- 
ment qu'elles ne sont. II n'en est pas de meme des figures Geometri- 
ques et des Nombres. 

Si les Natures plastiques agissent sous la direction de Dieu ? elles 
ont besoin d'etre appliquees et dirigees a cliaque instant, et tous les 
defauts de Touvrage tombent sur Dieu, qu'il n'applique point la Nature 
plastique comme il faut. L'hypothese donc des Natures plastiques ne 
donne point a, la Creature Timmediation de la Cause efficiente, et n'ex- 
plique point les Monstres, qui est le* double but de l'hypothese. 

M. Newton parle d'un certain esprit universel, et qui est repandu 
par toute la matiere. Si par cet esprit M. Newton entend la Nature 
plastique, il ne dit rien de clair, ni de nouveau, mais ie suis tente de 
croire, que l'esprit, dont parle M. Newton dans sa derniere edition de 
son Livre, n'est que le Concours des Loix Naturelles, et que par con- 
sequent M. Newton a son ordinaire ? il dit la meme chose que vous, 
mais sous des termes un peu obscurs. 

Dans son Livre des Couleurs et dans les Remarques, que M. 
Cläre a iointes ä la Physique de Rohault, il semble, que les attrac- 
tions ne soient que des Loix. Comme il y a plusieurs de ces Loix 
dans la Nature, pourquoy ne pourroit-on pas croire, que du rapport 

17* 



260 ©onti an SeiBntg. 

de ces Loix il en resulte tant des Phenomenes differents, et qui sont 
infiniment combines entre eux? Je ne scay si cette expliquation con- 
vienne au reste de la Philosophie Angloise; eile est an moins claire, 
et on en concoit quelque chose. Les attractions, les atomes, le grand 
vnide n'ont point des Seetateurs a Paris, et il est si ridicnle d'en par- 
ier icy, comme peut-etre il est ridicule ä Londre des Tourbillons de 
M. Des-cartes. 

Voyons a present ce qu'on pent tirer de la notion de la Lumiere 
et du rapport qu'elle peut avoir aux corps organizes. 

Tont ce que la Lumiere a de fixe et de reel n'est que le mouve- 
ment, ou l'effort au mouvement. Apres les experiences que Tay veues 
au Palais Royal, ie suis tres-persuade, que la Lumiere est iointe au 
mouvement aetuel. L'effort au mouvement n'est qu'une Force morte, 
qui ne scauroit ni fondre ni vitriner l'or, comme eile fait. On dit en- 
core, qu'elle ebranle furiesement la pendule, qui est au foyer du Miroir. 

Si donc la Lumiere organize les corps, eile ne peut Organizer que 
par le mouvement. Ainsi il faut s'en tenir au mouvement sans y a- 
iouter la Lumiere. 

Mais par quelle propriete la Lumiere organizeroit eile les corps? 
est ce par la Reflexion ? est ce par la Refraction ? est ce par l'inflexion 
de ses Rayons ? La reflexion et la refraction peuvent bien produire les 
Images, c'est h dire elles peuvent ranger les Rayons, de maniere qu'ils 
fassent en nous la meine impression que les obiets, mais l'Image n'est 
que superficielle; eile n'a aueun rapport aux corps organizes. 

Par les experiences du Miroir ardent on voit que la Lumiere a 
la force d' alterer la figure, le volume et la pesanteur des corps; mais 
ces alterations n'ont rien de regulier, rien qui marquent la puissance 
d'organizer. 

On a trouve dernierement la maniere de tirer le Phosphore de 
toute sorte de matiere. On le tire du sucre, du miel, du seigle etc. 
Cela prouve, que clans tous les corps organizes il y a la matiere de 
la Lumiere, et qu'on la peut faire paroitre apres l'avoir preparee, mais 
que s'ensuit-il de la? 

M. Homberg 7 qui dans sa Chimie donne tant des prerogatives a 
la lumiere, n'a ose lui donner celle d'organizer les corps; il croit a 
l'ordinaire, que les corps soient enveloppes les uns dans les autres ? et 
que la generation se fasse par les vers spermatiques. 

Je suis donc persuade, que l'hypothese de la Lumiere seminale 
n'est fondee que sur les preiuges de sens et de Timagination. La Lu- 
miere est trop belle, et son eclat nous inspire des sentiments vifs et 
proportionnez ä l'etat le plus heureux de notre corps. 



<£ontt an SeiBtiig. 261 

C'est pour cela, que le Sieur Nigrisoli, et quelques autres Mede- 
cins iugeant des choses plus par rapport ä nous que par rapport aux 
clioses memes, s'imaginent que la Lumiere est Torigine et la forme des 
toutes ehoses. 

Les premiers Philosophes d'Orient avoient la meme imagination 
que les premiers des Grecs ont suivi, changeant quelquefois le Nom de 
Lumiere en celuy de chaleur. Mais lorsqu' une plus grande connois- 
sance de la Natur e et un plus grand iVrt de raisoner ont eu perfec- 
tionne la Philosophie Grecque, la Lumiere a ete remise ä sa place ? 
c'est ä dire dans le rang des Phenomenes. Piaton, Aristote, Epicure 
en parlent comme d'un Phenomene. 

La meme chose est arrivee a peu pres dans nos siecles. Tele- 
sius, Campanella, Patritius etablirent pour principe la Lumiere, ou la 
Chaleur. Cela n'a pas dure long-temps. Tous les grands Philosophes, 
qui sont venus depuis peu, n'ont pas donne plus de privilege ä la Lu- 
miere qu' a la Pesanteur et aux autres qualites sensibles. 

Ils ont distingue, comme vous scavez, tres clairment ce que les 
qualites sensibles ont de fixe et de reel en elles memes, et ce qu'elles 
ont de relatif a nos sens. Cette distinction a ete suivie par M. Lock, 
Lock meme qui a parle si obscurement de la Nature de Tarne. Ce 
qui est bien remarquable; ce que vous dites, Monsieur, a la fin de la 
Dissertation des Idees, et dans la Theodicee a un grand sens + 

Je viens de remarquer, que dans le Systeme Cartesien il y a 
vuide des qualites sensibles, comme dans le Systeme d'Epicure il y a 
vuide de matiere. Les ames raisonables ne peuvent orner qu'une por- 
tion de la matiere, et ne peuvent pas meme Torner touiours. Voila 
donc les Planetes et une grande partie de la Terre sans ces beaux or~ 
nemens, qui marquent les rapports des ames aux corps, et par conse- 
quent la grande Harmonie de la Nature. Si on admet au contraire, 
comme vous faites, une infinite d'ames de toutes especes, voilä une in- 
finite d'ornements varies a Pinfini, que la matiere, pour ainsi dire, cree- 
roit. II semble, qu'un Monde semblable marque d'avantage la Pu- 
issance et Tlntelligence du Createur. 

Cette reflexion me fait soupconer, que la distinction que M. Crou- 
sat donne du Beau, n'est pas exacte. A ce qu'il dit sur la proportion 
des parties, il faut peut-etre adiouter ]a Douceur des Couleurs, comme 
faisoient les Anciens, Proportio Partium cum suavitate coloris. 
Par ce mot Douceur des Couleurs i'entends toutes les qualites sensibles, 
que les Ames repandent sur les Corps, plus ou moins selon le degre 
de perfection de 1'Ame. 



262 (Sorttt an SeiBnig. 

Je n'ose cependant rien decider la dessus. J'en ferai une Disser- 
tation, si vous confirmerez mes sentiments, 

Mais en voila assez pour la premiere fois qae i'ay l'honneur de 
vous entretenir* Je vous prie de dire librement ce que vous pensez 
sur ma question, car ie ferai imprimer votre lettre, si vous le permettez. 
Je parts demain pour l'Angleterre, et ie ne manquerai pas d'y soutenir 
votre cause, comme i'ay fait a Paris. M. Remond et M. l'Abbe Fraguier 
en sont temoins. Ils m'ont charge tous les deux de vous faire leurs 
compliments. Je suis avec tout le respect etc.*) 



LVII. 

£etbttt3 an (Conti 

9lad) bent Original in ber töntgl. SBiMiotfjef px gamtüüer. 

Hannover 6 Decembr. 1715. 
On m ; a dit tant de bien, Monsieur, de vostre penetration et de 
vos nobles desseins pour la reehercke de la verite, que l'honneur de 
votre lettre ne ma pü etre que tres agreable, et je souhaiterois de 
vous y pouvoir aider. Monsieur Negrisoli doit etre homme de merite 
et de reputation ? puisque vous aves pris lä peine d'entrer en dispute 
avec luy. La lumiere seminale est un beau mot ? mais dont on ne 
connoist point le sens. Je m'imagine que ces Messieurs qui s'en ser~ 
vent, Tentendent dans un sens metaphorique. Que la lumiere leur 
signifie qae] que matiere subtile douee de grandes perfections, comme la 
lumiere paroist le plus parfait fluide qui nous soit connu, ils logeront 
dans un corps si parfait un artifi.ee assez grand pour former les ani- 
maux, mais cela n'explique rien; il faut qu'une matiere capable d'orga- 
niser soit organisee eile meme, mais un fluide tel que la lumiere ne 
dit pas cela. La lumiere prise dans le sens metaphorique, dont je 
viens de parier, conviendroit assez avec Tesprit de M. Newton. Vous 
aves bien remarque, Monsieur, que les anciens philosophes de l'Orient 
se sont servis de la lumiere ou de la chaleur pour expliquer les princi- 

pes des **), c'est ainsi que Zoroastre et les Mages ont honore 

le feu. II semble que l'ombre ou le froid estoit le mauvais principe, 



*) £)§ne üxt nnb $>cttum. 

**) (Bin SBort nnleferlidj, tüeHeitfjt Etres. 



SetBnig an ©onti. 263 

et ils imaginoient deux pyramides ou deux cones egaux et semblables 
directemeDt opposes Tun a l'autre, Tun de lumiere, l'autre d'ombre, en 
sorte que la pointe de l'un arrivoit jusqu' a la base de l'autre, pour 
faire voir le melange du bien et du mal dans les Etres et leur degres. 
Si M. Negrisoli entend la humiere dans le sens propre, je ne vois 
nulle raison pour quoy il diroit plustot lumiere seminale que Son semi- 
nal ou Odeur seminale. Si ce n'est parce que la lumiere est quelque 
chose de plus subtil, cär au reste, eile n'a pas plus de rapport a la 
force plastique que le Son qui recoit d'aussi grandes varietes, comme 
il paroist par la Musique, et on pourroit s'imaginer des airs de musique 
plastiques que Dieu auroit mis in aura seminali, et meines quelques 
uns se sont avises de parier de hac aura seminali. Amphion par 
le moyen de sa Musique a basti le chasteau de Thebes, il encherissoit 
beaucoup sur Orphee, qui n'etoit suivi que par des animaux; quand 
Amphion touchoit sa harpe, les pierres memes tremoussoient et se 
rangeoient comme il faut: voilä la force plastique. Ridendo dicere 
verum nil vetat. Ainsi nous avons trouve des sons plastiques. 
Mais il y a peutetre encor eu des . gens qui ont soutenu des odeurs 
plastiques. Et il me semble qu'un savant Anglois qui croyoit la trans- 
migration des ames, ou quelque chose d'approchant, a crü que les ames 
sorties des corps estoient attirees et invitees a se rendre dans de 
nouveaux corps par une certaine odeur. Et cette odeur apparemment 
estoit plastique. L' Hypothese d'une Organisation toute faite qui accom- 
pagne tousjours l'ame, meme avant la conception et ne la quitte point 
apres la mort, leve toutes les difficultes ? et nous delivre de la peine 
de eher eher ces forces plastiques trop difficiles a trouver dans la matiere, 
et cherchees trop loin hors de la matiere. Ce Systeme nous delivre 
aussi de la difflculte cVexpliquer comment les Ames « souffrent ou 
agissent. Car selon ce Systeme, c'est tout comme icy, aux degres pres. 
En developpant les notions, comme vous aves fait, Monsieur, il me 
semble que la dispute est finie, et il faut avouer qu ? en parlant de la 
lumiere seminale, on ne nous apprend rien. 

Vox est (pulchra quidem) praeter eamque nihil. 

Je suis avec zele etc. 

P. S. 

Voila, Monsieur, la lettre dont vous pourres faire usage si vous 
le juges a propos. Je viens maintenant ä ce qui nous regarde. Je 
suis ravi que vous estes en Angleterre ? il y a de quoy profiter. Et 
il faut avouer qu'il y a lä de tres habiles gens. Mais ils voudroient 
passer pour etre presque seuls inventeurs, et c'est en quoy appar- 
remment ils ne reussiront pas. II me paroist point que M. Newton 



264 SeiBniä an (Sontt. 

ait eu avaiit moy la Caracteristique et l'Algorithme infinitesimal, sui- 
vant ce que M. Bernoulli a tres bien juge, quoyqu il luy auroit ete 
fort aise d'y parvenir s'il s'en fut avise. Comme il auroit este fort 
aise a Apollonius de parvenir ä l'Analyse de Des Cartes sur les Courbes, 
s'il s'en etoit avise. Ceux qui ont ecrit contre moy n'ayant pas fait 
difficulte cl'attaquer ma candeur par des interpretations forcees et mal 
fondees, ils n'auront point le plaisir de me voir repondre a de petites 
raisons de gens qui en usent si mal, et qui d'ailleurs s'ecartent du 
fait. II s'agit du Calcul des differenees, et ils se jettent sur les Series, 
oü M. Newton m'a precede sans difficulte; mais je trouvay enfin une 
Methode generale pour les Series, et apres cela je n'avois plus besoin 
de recourir a ses extractions. Ils auroient mieux fait de donner les 
Lettres entieres comme M. Wallis a fait avec mon consentement, et 
il n'a pas eu la moindre dispute avec moy, comme ces gens la vou- 
droient persuader au public. Mes adversaires n'ont publie du Com- 
mercium Epistolicum de M. Collins que ce qu'ils ont crü capable 
de recevoir leur mauvaises interpretations. Je fis connoissance avec 
M. Collins dans mon second voyage d'Angleterre, car au pr emier (qui 
dura tres peu, parceque j ? estois venu avec un ministre public) je n'avois 
pas encore la moindre connoissance de la Geometrie avancee, et n'avois 
rien vü ny entendu du commerce de M. Collins avec Mss. Gregory et 
Newton, comme mes lettres echangees avec M. Oldenbourg en ce temps 
la et quelque temps apres feront assez voir. Ce n'est qu'en France que 
j'y suis entre, et M. Hugens m' en donna l'entree. Mais a mon second 
voyage M. Collins me fit voir un partie de son commerce, et j'y remar- 
quay que M. Newton avoua aussi son ignorance sur plusieurs choses, 
et dit entre autres qu'il n'avoit rien trouve sur la dimension des Cur- 
vilignes celebres que la dimension de la Cissoide. Mais on a supprime 
tout cela. Je suis fache qu'un aussi habile homme que M. Newton 
s'est attire la censure des personnes intelligentes^ en deferant trop aux 
suggestions de quelques flatteurs qui l'ont voulu brouiller avec moy. 
La Societe Eoyale ne m'a point fait connoitre qu'elle vouloit examiner 
l'affäire, ainsi je n'ay point ete uni et si l'on m'avoit fait savoir les 
noms de ceux qu'on avoit nommes comme Commissaires, j'aurois pu. 
m'expliquer si je recusois quelques uns, et si j'en desirois. C'est pour- 
quoy les formalites essentielles n'ayant point ete observees, la Societe 
a declare qu'elle ne pretend point d'avoir juge definitivement entre M. 
Newton et moy. 

Sa Philosophie me paroist un peu etrange, et je ne crois pas 
qu'elle puisse s'etablir. Si tout corps est grave, il faut necessairement 
(quoyque disent ses defenseurs et quelque emportement qu'ils temoignent) 



Set&tiiä an (£onti. 265 

que la gravite soit une qualite occulte Scholastique, ou Teffect d'un 
miracle. J'ay fait voir autresfois a M. Bayle que tout ce qui n/est 
pas explicable par la nature des ereatures est miraculeux. II ne suffit 
pas de dire, Dieu a fait une teile loy de Nature, donc la ehose est 
naturelle. II faut que la loy soit executabie par les natures des crea- 
tures. Si Dieu donnoit cette loy, par exemple ä uir corps libre ; de 
tourner ä l'entour d'un certain centre, il faudroit ou qu'il y joignit 
d'autres corps qui par leur impulsion l'obligeassent de rester tousjours 
dans son orbite circulaire, ou qu'il mit un Ange ä ses trousses, ou en- 
fin il faudroit qu'il y concourut extraordinairement. Car le mobile 
s'eeartera par la tangente. Dieu agit continuellement sur les ereatures 
par la eonservation de leur Natures, et cette conservation est une pro- 
duction continuelle de ce qui est perfection en elles. II est i n teili- 
ge ntia supramundana, parcequ'il n'est pas TAme du Monde, et 
n'a pas besoin de sensorium. 

Je ne trouve pas ]e vuicle demonstre par les raisons de M. New- 
ton ou de ses Seetateurs, non plus que la pretendue gravite universelle, 
ou que les Atomes. On ne peut donner dans le vuide et dans les A- 
tomes, que par des vues trop bornees. M. Clark dispute contre le 
sentiment des Cartesiens qui croyent que Dieu ne sauroit destruire une 
partie de la matiere pour faire un vuide, mais je m'etonne qu'il ne voye 
point que si l'Espace est une substance differente de Dieu, la meine 
difficulte s'y trouve. Or de dire que Dieu est TEspace, c'est luy don- 
ner des parties. L'Espace est quelque chose mais comme le temps, Tun et 
l'autre est un ordre des choses, Tespace est Tordre des coexistences, et 
le temps est l'ordre des existences successives. Ce sont des choses ve- 
ritables mais ideales, comme les Nombres. 

La matiere meme n J est pas une substance, mais seulement s üb- 
st an tiatum, un Phenomene bien fonde, et qui ne trompe point quand 
on y procede en raisonnant suivant les loix ideales de TArithmetique, 
de la Geometrie et de la Dynamique etc. Tout ce que j'avance en ce- 
la |3aroist demontre. A propos de la Dynamique ou de la Doctrine 
des forces, je m'etonne que M. Newton et ses seetateurs croyent que 
Dieu a si mal fait sa machine, que s'il n y mettoit la main extraordi- 
nairement, la montre cesseroit bientot d 3 aller. C'est avoir des idees 
bien etroites de la sagesse et de la puissance de Dieu. J'appelle ex- 
traordinaire toute Operation de Dieu, qui demande autre chose que la 
conservation des natures des ereatures. Ainsi quoyque je croye la 
Metaphysique de ces Messieurs lä, a narrow one, et leur Mathemati- 
que assez arrivable, je ne laisse pas d'estimer extremement les me- 
ditations physico-mathematiques de M. Newton, et vous obligeries inü- 



266 Setfmta an (Sonti. 

niment le public, Monsieur, si vous porties cet habile homme a nous 
doimer jusqu'a ses conjectures en physique. J'approuve fort sa metho- 
de de tirer des phenomenes ce qu'on en peut tirer sans rien supposer, 
quand meme ce ne seroit quelquesfois que de tirer des consequences 
conjecturales. Cependant quand les data ne suffisent point, il est per- 
mis (comme on fait quelquesfois en dechifrant) d'imaginer des hypothe- 
ses, et si elles sont heureuses, on s'y tient provisionellement, en atten- 
dant que des nouvelles experiences nous apportent novaData, et ce 
que Bacon appelle Exp er imenta crucis, pour choisir entre les hy- 
potneses. Comme j'apprends que certains Anglois ont mal represente 
ma Philosophie dans leur Transactions, je ne cloute point qu'avec ce 
que je vous mande icy, Monsieur, je ne puisse estre Justine. Je suis 
fort pour la Philosophie experimentale, mais M. Newton s'en ecarte fort 
quand il pretend que toute la matiere est pesante (ou que chaque par- 
tie de la matiere en attire chaque autre partie) ce que les Experiences 
ne prouvent nullement, comme M. Hugens a deja fort bien juge; la 
matiere grävifique ne sauroit avoir eile meme cette pesanteur dont 
eile est la cause, et M. Newton n'apporte aucune experience ny raison 
süffisante pour le vuide et les Atomes ou pour l'attraction mutuelle 
generale. Et parcequ'on ne sait pas encor parfaitement et en de- 
tail comment se produit la gravite ou la force elastique, ou la magne- 
tique etc., on n'a pas raison pour cela d'en faire des qualites occultes Scho- 
lastiques ou des miracles; mais on a encore moins raison de donner 
des bornes a la sagesse et a la puissance de Dieu ? et de luy attribuer 
un sensorium et choses semblables. Au reste ; je m'etonne que les 
Seetateurs de M. Newton ne donnent rien qui marque que leur mais- 
tre leur a communique une bonne Methode, j'ay ete plus heureux en 
disciples. C'est dommage que M. le Chevalier Wren, de qui M. New- 
ton et beaueoup d'autres ont appris quand il etoit jeune, n ; a pas con- 
tinue de regaler le public. Je crois qu'il est encor en vie. II seroit 
bon de faire connoissance avec luy. Dans le temps qu'il estoit jeune, 
on se seroit moque en Angleterre de la nouvelle philosophie de quel- 
ques Anglois. et on l'auroit renvoyee ä Tecole. Luy et M. Flamstead 
avec M. Newton sont presque le seul recte du siecle d'or d' Angleterre 
par rapport aux sciences. M. Whiston etoit en bon train. Mais un 
certain zele etrange Ta jette d'un autre cote. Je plains le public de 
cette, perte. Depuis quelque temps on s'y est jette dans les ghiri- 
bizzi politici, ou dans les controverses Ecclesiastiques. II y a un 
Francois en Angleterre, nomme M. Moyvre, dont j'estime les connois- 
sances Mathematiques. II y a sans doute d'autres habiles gens, mais 
qui ne fönt point de bruit, dont vous saures sans doute des nouvelles. 



SeiBnis an ©ortti 267 

Monsieur, et vous m'obligeres de m'en apprendre. Je serois bien aise 
d'apprendre comment on tire le phosphore de toute sorte de corps, par 
exemple du miel, du seigle. 

Vous aves raison, Monsieur, pour expliquer la nature du Beau, 
de joindre aux proportions la douceur ou la suavite, e'est a dire des 
raisons physiques ou sensibles aux raisons mechaniques ou intelligibles. 
Cependant il est vray que les raisons physiques sont tousjours occul- 
tement Mechaniques, comme la Musique fait connoistre, dans laquelle 
la suavite depend des proportions cachees aux sens, et decouvertes 
par la raison. La nature en cachant aux ames les dernieres raisons, 
et en leur presentant des perceptions confuses, cree autant de nou- 
veaux etres en apparence ou de nouvelles qualites, lesquelles comme di- 
soit Democrite, subsistent vojxto animi, non re ? mais qui sont un 
merveilleux ornement au monde. Ainsi vous aves excellement bien re- 
marques Monsieur, que chez les Cartesiens il y a un vuide de formes 
ou de qualites, et que par les ames sans nombre et leur differentes 
veues la nature a trouve moyen de multiplier infiniment les qualites 
ou les resultats des raisons simples, c'est ä dire les ornemens. 

Billet. 

Pour tater un peu le pouls ä nos Analystes Anglois, ayes la 
bonte, Monsieur, de leur proposer ce probleme 
comme de vous meme ou d'un amis: Trouver une 
ligne BCD qui coupe ä angles droits toutes les 
courbes d'une suite determinee d^un meme genre, 
par exemple toutes les Hyperboles AB, AC, AD, 
qui ont le meme sommet et le meme centre, et 
cela par une voy generale. Car on marque ce 
probleme particulier seulement pour se faire entendre, car dans les 
sections coniques il a ses facilites particulieres, mais il s'agit de donner 
une methode generale. Et ce probleme general peut etre concü ainsi: 
Estant donnee la courbure des rayons de lumiere dans le milicu diaphane, 
changeant continuellement de refractivite, trouver l'onde de lumiere 
selon la maniere de parier de M. Hugens, ou selon la facon de parier 
de M. Bernoulli la synchrone, ä laquelle les rayons ou les mobiles, 
pris convenablement ? parviennent en meme temps. 



$etbrti3 an Kemottb- 

Vous aures receu mon latin de Torigine des Francois par M. 




268 SetBnig an Sfternortb. 

Hullin ? et par la poste mes remarques sur le refutateur du P. de 
Mallebranche, et enfin ma depeclie tres ample a M. l'Abbe Conti, que 
je vous ay envoyee par le dernier courrier. Je trouve quelque chose 
que je vous supplie d'y adj outer en la luy envoyant, 

(1) J ? ay oublie de nommer deux habils hommes que je crois etre 
a Londres et qui meritent d'etre connus et sont tous deux de mes amis: 
Monsieur Sloane, qui a un excellent C abinet, et a exerce longtemps la 
fonction de Secretaire de la Societe Royale, et M. "Woodward qui a fait 
de tres belies reclierches sur les changemens du globe de la terre; 
peut etre que M. T Abbe Conti a deja fait connoissance avec eux. 

(2) Madame la Princesse de Galles me marque dans une lettre 
que j'ay eu l'honneur de recevoir, qu'elle seroit bien aise, que Ma Theo- 
dicee fut traduite en Anglois. Mais ceux a qui Elle en a parle y fönt 
naitre de la difficulte, et on renvoye la chose ä des gens partiaux pour 
M. Newton. II y en a sans doute asses d'autres eapables d'une teile 
traduction: je ne say si M. de ]a Roclie Franeois ? qui a ecrit autres 
fois des Memoires de literature en Anglois et qui y a insere une Re- 
cension de la Theodicee, ecrit asses bien 1 ? Anglois (au jugement des 
connoisseurs) pour recourir ä luy. En ce cas je crois qu'il seroit 
homme ä s'en charger. Si non, je m'imagine qu'on en trouveroit asses 
d'autres. L'habile M. Wotton qui a ecrit autres fois en Anglois ele- 
gamment et savamment avec moderation sur les anciens et les modernes, 
et sur les progres des sciences, en seroit bien capable, si on Yy pou- 
voit porter. Car je say qu'il ne meprise pas mes sentimens. Mais enfin 
si quelques uns savoient qu'ils feroient plaiser ä son Altesse Royale en 
faisant cette Traduction ? je crois qu'ils seroient ravis de rentreprendre. 

(3) Si M. l'Abbe Conti n'est pas encore connu de Mad. la Princesse 
de Galles, et s'il desire cet honneur la, il sufiroit qu'il s'en rapportät 
ä moy. II pourroit etre introduit aupres d'Elle ou par l'entremise de 
M. Querini son compatriote, ou par celle de Madame la Comtesse Lippe- 
Bickebourg qui est une Comtesse de l'Empire, fort aimee de Mad. la 
Princesse, car eile a bien du merite, et eile a aussi de la bonte pour moy. 

(4) On pourra adjouter quelque chose a mon grand postscriptum 
a M. l'Abbe Conti. Apres ces mots: feront assez voir, qui seront 
vers la fin de la premiere page de ce Postscriptum, ou gueres loin du 
commencement de la seconde, on peut adjouter: ce n'est qu'en 

Erance Et a la fin du premier §. dans la seconde page ? 

apres ces mots: brouiller avec moy, on peut adjouter: la Societe 
Royale ne m 5 a point . . . .*) Je suis avec zele etc. 



*) S)ie in Wx. 4 Bemcrftett Sufä^e finb in bcm ©djreiBen Sci6ntjen§ eingefügt. 



©tmti an SeiBnij. 269 

LVI1I. 

(Conti an ieibni^ 

%v& Kecucil de diverses pieces sur la philosophie, la religion naturelle etc. Ijermt§= 
gegeben rjon des Maizeaux, Amsterdam MDCOXX. 

J'ai differe jusqu'a cette heure de repondre ä votre Lettre, parce 
que j'ai voulu aceompagner ma Reponse de celle que M. Newton vient 
a faire l\ 1' Apostille que vous y avez ajoutee. Je n'entrerai dans aucun 
detail a l'egard de la dispute que vous avez avec M. Keill ? ou plutot 
avec M. Newton. Je ne puis dire qu' historiquement ce que j'ai vu, 
et ce que j'ai lü, et ce qu'il me man que encore de voir et de lire pour 
en juger comme il taut. 

J'ai lü. avec beaucoup d' attention et sans la moindre prevention 
le Commercium Epistolicum, et le petit Livre qui en contient 
l'Extrait.*) J'ai vü a la Societe Royal les Papiers Originaux des 
Lettres du Commercium, une petit e Lettre ecrite de votre main a M. 
Newton, Tancien Manuscrit que M. Newton envoya au Docteur Barrow 
et que M. Jones a publie depuis peu.**) 

De tout cela j'en infere, que si on ote ä la dispute toutes les 
digressions etrangeres, il ne s'agit que de chercher si Mr. Newton avoit 
le Calcul des Fluxions ou infinitesimal avant vous ? ou si vous Tavez 
eu avant lui. Vous Tavez publie le premier, il est vrai, mais vous 
avez avoue aussi que Mr. Newton en avoit laisse entrevoir beaucoup 
dans les Lettres qu'il a ecrites k Mr. Oldenbourg et aux autres. On 
prouve cela fort au long dans le Commercium et dans son Extrait. 
Quelles sont vos Reponses? Voila ce qui manque encor au Public, 
pour juger exactement de l'affaire. 

Yos Amis attendent votre reponse avec beaucoup d'impätience, 
et il leur semble que vous ne sauriez vous dispenser de repondre, si 
non a M. Keil, du moins a M. Newton lui-meme, qui vous fait un deffi 
en termes expres, comme vous verrez dans sa Lettre. 



*) C'est un Ecrit de 38 pages in 8, intitule Extrait du Livre intitule Commercium 
Epistolicum Coilinii et alioruin de Analysi promota, publie par ordre de la 
Societe Eoyale, ä Poccasion de la dispute elevee entre Mr. Leibniz et le Dr. Keil sur le 
Droit d'invention a la Methode des Fluxions, par quelques uns apellee Methode diffe- 
rentielle. On l'a insere dans le Tome Vll. du Journal Litteraire. Wnmexlung üon des 
Maizeaux. 

**) Ce Manuscrit intitule de Analysi per Aequationes infinitas a ete publie 
en 1711 par Mr. Jones dans le Recueil qui a pour titre : Analysis per Quantitatum 
Series, Fluxiones ac Differentias, cum enumeratione Linearum tertii ordi- 
nis. Stnmexfimg von des Maizeaus. 



270 ßotttt & n SeiBnt§. 

Je voudrois vous voir en bonne intelligence. Le Public ne pro- 
fite guere des Disputes, et il perd sans ressource pour bien des siecles 
toutes les lumieres que ces memes Disputes lui derobent. 

Sa Majeste a voulu que je 1'iDformasse de tout ce qui s'est passe 
entre M. Newton et vous. Je Tai fait de mon mieux, et je voudrois 
que ce fut avec succes pour Tun et pour l'autre. 

Votre Probleme a ete resolu fort aisement en peu de tems. Plu- 
sieurs Geometres a Londres et a Oxford en ont donne la Solution. Elle 
est generale ? car eile s'etend ä toutes sortes de Courbes soit Geome- 
triques soit Mecaniques. Le Probleme est im peu equivoquement pro- 
pose: mais je croi que M. de Moivre ne se trompe pas, en disant: qu'il 
faudroit fixer Fidee d'une suite de Courbes; par Exemple supposer 
qu'elles ayent la meme soütangeante pour la meme Abscisse, ce qui 
conviendra non seulement aux Sections Coniques, mais a un infinite 
d'autres tant Geometriques que Mecaniques*, on pourroit encore faire 
d'autres suppositions pour fixer cette idee. 

Je vous parlerai une autre fois de la Philosophie de Mr. Newton. 
II faut convenir auparavant de la Methode de Philosopher, et distin- 
guer avec beaucoup de soin la Philosophie de Mr. Newton des conse- 
quences que plusieurs en tirent fort mal a propos. On attribue a ce 
grand homme bien des choses qu'il n'admet pas, comme il l'a fait voir 
a ces Messieurs Francois qui vinrent ä Londres ä l'occasion de la grande 
Eclipse. 

Lorsque Mr. le Baron Discau reviendra de Pologne, je me don- 
nerai Thonneur de vous entretenir plus" souvent, et vous serez, peut- 
etre, bien aise de savoir ce qui se passe dans une Ville ? oü les Savans 
sont en si grand nombre, et oü les Sciences et les Arts fleurissent plus 
que jamais. 

Je vous remercie tres humblement de la Lettre sur le Systeme 
de Mr. Nigrisoli. La question n'est pas des plus importantes, ni le 
Philosophe des plus savans •, mais quelquefois il faut ceder au tems et 
aux instances de ses Amis. Je suis avec tout le respect possible, 
Monsieur, votre etc. 

A Londres le de Mars 1716. 



Newton an (£ontt. 271 

LIX. 

ZZexoton an (Eonti 

aU yintwoxt auf SeiBnig' ©d)teiBen\ 
2fa§ The history of Fluxions by Joseph Raphson. London MDCCXV. 

Leicester-Fields 

London Febr. 26. 17^. 
16 

You know that the Commercium Epistolicum contains the 
ancient Lettres and Papers preserved in the Archives and Letter-Books 
of tlie Royal Society and Library of Mr. Collins relating to the Dis- 
pute between Mr. Leibnitz and Doctor Keill, and that they were col- 
leeted and publish'd by a numerous Committee of Gentlemen of seve- 
ral Nations appointed by the Royal Society for that purpose. Mr. 
Leibnitz has hitherto avoided returning an Answer to the same; for the 
Book is matter of Fact and uncapable of an Answer. To avoicl an» 
swering it he pretended the first Year that he had not seen this Book, 
nor had Leisure to examine it, bnt had desir'd an eminent Mathema- 
tician to examine it. And the Answer of the Mathematician (or pre- 
tended Mathematician) dated June 7, 1713, was inserted into a defa- 
matory Letter dated July 29 following, and publish'd in Germany wi- 
thout the Name of the Author or Printer, or City where it was printed. 
And the whole has been since translated into French, and inserted into 
another abusive Letter (of the same Author as I suppose) and answer' d 
by Dr. Keill in July 1714, and no Answer is yet given to the Doctor. 

Hitherto Mr. Leibnitz avoided returning an Answer to the Com- 
mercium Epistolicum, by pretending that he had not seen it. And 
now he avoids it, by telling you, That the English shall not have the 
Pleasure to see him return an Answer to their slender Reasonings (as 
he calls them) and by endeavouring to engage me in Disputes about 
Philosophy, and about solving of Problems; both which are no- 
thing to the Question. 

As for Philosophy, he colludes in the Signiflcations ofWords, 
calling those things Miracles which create no Wonder; and those things 
occult Qualities, whose Causes are occult, tho' the Qualities themselves 
be manifest ; and those things the Souls of Men, which do not animate 
their Bodies. His Harmonia Praestabilita is miraculous, and 
contradicts the daily Experience of all Mankind; every Man finding in 
himself a Power of seeing with his Eyes, and moving his Body by 
his Will. He prefers Hypotheses to Arguments of Induction drawn 
from Experiments, accuses me of Opinions which are not mine; and in- 
stead of proposing Questions to be examin'd by Experiments before they 



272 ^eratort an ©ottti. 

are admitted into Philosophy, he proposes Hypotheses to be ad- 
mitted and believed before the are examin'd; But all this is nothing to 
tlie Commercium Epistolicum. 

He complains of the Committee of the Royal Society, as if they 
had acted partially in omitting what made against nie; but he fails in 
proving the Accusation. For he instances in a Paragraph concerning 
my Ignorance, pretending that they omitted it, and yet you will find 
it in the Commercium Epistolicum, pag. 74 lin. 10, 11, and I 
am not ashamed of it. He saith, That he saw this Paragraph 
in the Hands of Mr. Collins when he was in London the second 
time; that is , in October 1676. It is in my Letter of the 24th of 
Octob. 1676, and therefore he then saw that Letter. And in that and 
some other Letters writ before that Time, I describ'd my Method of 
Fluxions. And in the same Letter I described also two general Me- 
thods of Series, one of which is now claimed from nie by Mr. Leibnitz, 

I believe you will think it reasonable, that Mr. Leibnitz be con- 
stant to himself, and still acknowledge what he acknowledged above 
15 Years ago, and still forbear to contradict what he forbore to con- 
tradict in those Days. 

In his Letter of the 20th of May 1675, he acknowledg'd the Re~ 
ceipt of a Letter from Mr. Oldenburg, dated the 15th of April 1675, 
with several converging Series contained therein. And I expect from 
him, that he still acknowledge tke Receipt thereof. Many Gentlemen 
of Italy, France and Germany (jour seif being one of them) have seen 
the original. Letters, and the Entries thereof in the old Letter-Books of the 
Royal Society ; and the Series of Gregory is in the Letter of the 15th of 
April 1675 and in Gregory's Original Letter dated the 15th of Feb. 1671. 

In a Letter dated the 12th of May 1676 (seen by the same 
Gentlemen) he acknowledged that he then wanted the Method for Un- 
ding a Series for the Are whose Sine was given, and by consequence 
that he wanted it when he wrote his Letter of the 24th of October 
1674, and I expect that he still acknowledge it. 

In the Acta Eruditorum for May 1700 in Answer to Mr. Fatio ; 
who had said, That I was the oldest Inventor by many Years, Mr. 
Leibnitz acknowledged that no Body, so far as he knew, had the Me- 
thod of Fluxions or Differences before nie and him; and that no body 
before me had proved by a Specimen made publick that he had it. 
Here he allowed that I had the Method before it was published ? or 
communicateel by him to any Body in Germany, that the Principia 
Philo sophiae were a Proof that I had it, and the first Specimen made 
publick of applying it to the difficulter Problems: And I expect that 



Newton an (£ortü. 273 

he still continue to make the same Acknowledgment. At that Time 
lie did not deny what Mr. Fatio affirmed, and nothing but want of 
Candor can make him inconstant to himself. 

In a Letter to me dated the 7th of March 1693 and now in the 
Custody of the R. S. he wrote, Mirifice ampliaveras Greometriam 
tuis Seriebus, sed edito Principiorum opere, ostendisti pa- 
tere tibi, quae Analysi receptae non subsunt. Conatus sum 
ego quoque Notis commodis adhibitis, quae Differentias et 
Summas exhibent, Greometriam illam quam trän scendentem 
appelio, Analysi quodammodo subjicere, nee res male pro- 
c e s s i t. And what he then acknowledged, he ought still to acknowledge. 

In his Letter of the 2 Ist of June 1677 writ in Answer to mine 
of the 24th of October 1676, wherein I described my Method partly 
in piain Words, and partly in Cyphers; he said, That he agreed with 
me, that the Method of Tangents of Slusius was not yet made perfect, 
and then set down a clifferential Method of Tangents published by Dr. 
Barrow in the Year 1670 and disguised it by a new Notation, preten- 
ding that it was his own, and shewed how it might be improv'd, so 
as to perform those Things which I had ascribed to my Method, and 
concluded from thence, thas mine differ'd not much from his, espeeially 
since it facilitated Quadratures. And in the Acta Eruditorum for 
Octobr. 1684 in publishing the Elements of his Method, he added, That 
it extended to the difficulter Problems, which without this Method, or 
another like it, could not be managed so easily. He understood there 
fore in those Days, that in the Year 1676, when I wrote my said 
Letter, I had a Method which did the same Things with the Method 
he calls Differential, and he ought still to acknowledge it; espeeially 
now the Sentences in Cyphers are decyphered, and other Things in 
that Letter relating to the Method are fully explained, and the Com- 
pendium mentioned therein made publick. 

In his Letter of the 27th of August 1676 he represented, that 
he did not believe that my Methods were so general as I described 
them in my Letter of the 13th of June preeeeding, and affirmed that 
there were many Problems so difficult, that they did not depend upon 
Equations nor Quadratures, such as (amongst many others) were the 
Inverse Problems of Tangents. And by these Words he acknowledged 
that he had not yet found the Eeduction of Problems to differential 
Equations And what he then acknowledged, he acknowledged again 
in the Acta Eruditorum for April 1691 pag. 178 and ought in 
Candor to acknowledge still. 

Doctor Wallis in the Preface to the two first Yolumes of his 

18 



274 terato tt cm (Eontl 

Works 7 published in April 1695, wrote, That I in my two Letters 
written in the Year 1676, had explained to Mr. Leibnitz the Method 
(called by me, The Method of Fluxions, and by him, The Diffe- 
rential Method) invented by me Ten Years before or above (that is 
in the Year 1666 or before:) and in the Letters which followed between 
them, Mr. Leibnitz had notice of this Paragraph*), and did not then 
contradict it, nor found any Fault with it; and I expect that he still 
forbear to contradict it. 

But as he has lately attacked me with an Accusation which a- 
mounts to Plagiary; if he goes on to accuse me, it lies upon him by 
the Laws of all Nations to prove his Accusation, on Pain of being 
accounted guilty of Columny. He hath hitherto written Lettres to his 
Correspondents, füll of Äff irmations, Complaints and Uefleetions, without 
proving any thing. But he is the Agressor, and it lies upon him to 
prove his Charge. 

I forbear to Descend further into Particulars, you have them in 
the Commercium Epistolicum, and the Abstract thereof, to both 
which I refer you. I am etc. 



LX. 

€eibnt3 an (£onti 

2hi3 Recueil de diverses pieces etc. Ijercutgcjegefcen von des Maizeaux, mit Skmtfcung 
Don Raphson's History of Fluxions. 

C'est sans doute pour l'amour de la verite que vous vous etes 
charge d'une espece de cartel de la part de M. Newton. Je n'ay point 
voulu entrer en lice avec des enfans perdus, qu'il avoit detaches contre 
moy, soit qu'on entende celuy qui a fait l'Accusateur sur le fondement 
du Commercium Epistolicum, soit qu'on regarde la Preface pleine 
d'aigreur qu'un autre a mise devant la nouvelle Edition de ses Principes. 
Mais puisqu'il veut bien paroistre luy meme, je seray bien aise de iuy 
donner satisfaction. 

Je fus surpris au commencement de cette Dispute d'apprendre 
qu'on m'accusoit d'etre FAggresseur ? car je ne me souvenois pas d'avoir 
parle de M. N. que d'une maniere fort ob]igeante Mais je vis depuis 
qu'on abusoit pour cela d'un Passage des Actes de Leipzig du Janvier 



*) See Wallis's Vol, 3 pag. 654 lin. 12. 



SetBntg cm (Sotttt. 275 

1705, oii il y a ces mots: Pro differentiis L . . . sianis, D. 
N . . . nus adhibet semp erqne adhibuit Fluxiones; oii l'Auteur 
des Remarques sur le Commercium Epistolicum dit pag. 108: 
Sensus verborum est, quod N . . ♦ nus Fluxiones differentiis 
L . . . . tianis substituit. Mais c'est une Interpretation maligne 
d'un homme qui cherchoit noise: il semble que l'Auteur des paroles 
inserees dans les Actes de Leipzig a voulu y ob vier tout expres par 
ces mots: adhibet semperque adliibuit, pour insinuer, que ce n'est 
pas apres la veue de mes differences, mais deja auparavant qu'il s'est 
servi de Fluxions. Et je defie qui que ce soit de donner un autre but 
raisonnable a ces paroles, semperque adliibuit. Au lieu qu'on se 
sert du mot substituit, en parlant de ce que le Pere Fabri avoit 
fait apres Cavallieri. D'oii il faut conclure, ou que M. N. s'est laisse 
tromper par un homme qui a empoisonne ces paroles des Actes, qu'on 
supposoit n'avoir pas ete publiees sans ma connoissance, et s'est ima- 
gine qu'on l'accusoit d'etre Plagiaire; ou bien qu'il a ete bien aise de 
trouver un pretexte de s'attribuer ou faire attribuer privativement 
l'Invention du nouveau Calcul (depuis qu'il en remarquoit le succes, et 
le bruit qu'il faisoit dans le Monde) contre ses connoissances contraires 
avouees dans son Livre des Principes pag. 253 de la premiere Edition. 
Si Ton avoit fait connoitre qu'on trouvoit quelque difficulte ou sujet 
de plainte dans les paroles des Actes de Leipzig, je suis assure que 
ces Messieurs qui ont part a ces Actes, auroient donne un plein con- 
tentement; mais il semble qu'on cherchoit un pretexte de rupture. 

Je n'ay pas eu connoissance du numerous Committee of 
Grentlemen of several Nations relating to the Dispute; car 
on ne m'en a donne aucune part, et je ne say pas encor presentement 
les Noms de tous ces Commissaires, et particulierement de ceux qui 
ne sont pas des Isles Britaniques; je ne crois pas qu'ils approuvent 
tout ce qui a ete mis dans l'Ouvrage publie contre moy. 

II est aise a croire que j'ay ete quelque temps a Vienne, avant 
que d'avoir vü le Commercium Epistolicum dejä publie, quoyque 
j'en eusse des nouvelles, Ainsi un ami sachaut cela, aussi zele pour 
moy que les seconds de M. N. le peuvent etre pour luy, a publie un 
Papier, que M. N. appelle diffamatoire (defamatory Letter). Mais 
cette Piece n'etant pas plus forte que ce qu'on a publie contre moy, 
M. N. n'a pas droit de s'en plaindre. Si l'on n'a pas marque l'Auteur 
ny le Lieu de l'impression du Papier, on connoit assez le Nom et le 
Lieu de l'Auteur de la Lettre y inseree d'un exoellent Mathematicien 
que j'avois prie de dire son sentiment sur le Commercium, et cela 
suffit. M. N. (dont les Partisans ont marque qu'il ne leur etoit pa& 

18* 



276 ßeümtä an (Sontt. 

inconnu) l'appelle un Mathematicien ou pretendu Mathematicien, et 
apres avoir fait inutilement des efforts potir le gagner, il le meprise 
contre l'opinion publique, qui le met entre ceux du premier rang, et 
contre l'evidence des choses verifiees par ses deeouvertes. 

Lorsque j'eus enfin le Commercium Epistolicum, je vis qu'on 
s'y ecartoit entierement du but, et que les Lettres qu'on publioit ne 
contenoient pas un mot qui peut faire revoquer en doute mon Invention 
du Calcul des Differences dont il s'agissoit. Au lieu de cela je remar- 
quay qu'on se jettoit sur les Series, oü Ton accorde l'avantage a M. 
N., et que les Remarques contenoient de Grloses mal tournees, pour 
tacher de me decrier par des soubcons sans fondement, quelque fois 
ridieules, et quelque fois forges contre la conscience de quelques uns 
de ceux qui en etoient les auteurs ou approbateurs. 

Pour repondre donc de point en point a l'Ouvrage publie contre 
moy, il falloit un autre Ouvrage aussi grand pour le moins que celuy- 
lä, il falloit entrer dans un grand detail de quantite de minuties passöes 
il y a 30 ou 40 Ans dont je ne me souvenois gueres; il me falloit 
chercher mes vieilles Lettres, dont plusieurs se sont perdues, outre que 
le plus souvent ? je n'ay pas garde les Minutes des miennes, et les 
autres sont ensevelies dans un grand tas de papiers ? que je ne pouvois 
debrouiller qu'avec du temps et de la patience. Mais je n'en avois 
gueres le loisir ? etant charge presentement d'occupations d'une toute 
autre nature. 

De plus je remarquay que dans la publication du Commercium 
Epistolicum on a supprime des endroits qui pouvoient etre au desad- 
vantage de M. N. au lieu qu'on n'y a rien omis de ce qu'on croyoit 
pouvoir tourner contre moy par des gloses forcees. Comme je n'ay 
pas daigne lire le Commercium Epistolicum avec beaucoup d'atten- 
tion ? je me suis trompe dans l'exemple que j'ay cite, n'ayant pas pris 
garde, ou ayant oublie qu'il s'y trouvoit; mais j'en citeray un autre: 
M. N. avouoit dans une de ses Lettres a M. Collins, qu'il ne pouvoit 
point venir a bout des Sections secondes (ou Segments seconds) de 
Spheroides ou corps semblables: mais on n'a point insere ce passage 
ou cette Lettre dans le Commercium Epistolicum; il auroit ete 
plus sincere par rapport ä la Dispute, et plus utile au public, de 
donner le Commerce litteraire de M. Collins tout entier, la oü il conte- 
noit quelque ehose qui meritoit d'etre lü, et particulierement de ne pas 
tronquer les Lettres, car il y en a peu parmi mes Papiers, ou dont 
il me reste des Minutes. 

Ainsi tout considere, voyant tant de marques de malignite et de 
ehieane, je crüs indigne de moy d' entrer en discussion avec des gens 



SeiBtttg an (Sonit. 277 

qui en usoient si mal. Je voyois qu'en les refutant on auroit de la 
peine ä eviter des reproches et des expressions fortes, telles que meri- 
toit leur procede; et je n'avois point envie de donner ce spectacle au 
public, ayant dessein de mieux employer mon temps, qui me doit etre 
pretieux, et meprisant assez le jugement de ceux qui sur un tel ouvrage 
voudroient prononcer contre moy, d'autant que la Societe Royale meme ne 
Ta point voulu faire, comme je Tay appris par un Extrait de ses Registres. 

Je ne crois point d 7 avoir dit (comme M. N. me l'impute) que les 
Anglois n'auroient point le plaisir de me voirrepondre ä des 
raisonnements si minees; car je ne erois point que tous les 
Anglois fassent leur cause de celle de M. N.; il y en a de trop habiles 
et de trop honnetes pour epouser les passions de quelques uns de ses 
Adherens. 

Apres cela, il m'accuse d'avoir voulu faire diversion, en combattant 
sa Philosophie, et en voulant l'engager dans des Problemes; mais quant 
a la Philosophie, j'ay donne publiquement quelque chose de mes Princi- 
pes sans attaquer les siens; si ce n'est que par occasion j'en ay parle 
dans des Lettres particülieres, depuis qu'on m'en a donne sujet; et 
pour ce qui est des Problemes, je n'ay garde d'en proposer ä M. N. ? 
car je ne voudrois pas m'y engager quand on m'en proposeroit a moy; 
nous pouvons nous en dispenser a Tage oii nous sommes, mais nous 
avons des amis qui y peuvent suppleer a notre defaut. 

Je ne veux point entrer icy dans le detail de ce que M. N. dit 
un peu aigrement contre ma Philosophie, car pour la sienne, ce n'en 
est point le lieu. J'appelle Miracle tout Evenement qui ne peut etre 
arrive que par la Puissance du Createur, sa raison n'etant pas dans 
la Nature des Creatures, et quand on veut neanmoins l'attribuer aux 
qualites ou forces des Creatures, alors j'appelle cette Qualite une 
Qualite occulte a la Scho]astique, c ? est a dire qu'il est im- 
possible de rendre manifeste, teile que seroit une pesanteur primitive; 
car les Qualites occultes qui ne sont point chimeriques, sont celies 
dont nous ignorons la cause, mais que nous n'excluons point; et j'appelle 
l'Ame de Thomme cette Substance simple qui s'appergoit de ce qui se 
passe dans le corps humain, et dont les appetits ou volontes sont suivis 
par les efforts du corps. Je ne prefere pas les Hypotheses aux Argu- 
ments tirez de l'induction des experiences, mais quelque fois on fait 
passer pour inductions generales ce qui ne consiste qu'en observations 
particulieres, et quelque fois on veut faire passer pour une Hypothese 
ce qui est demonstratif. L'Idee que M. N. donne icy de mon Har- 
monie preetablie n'est pas celle qu'en ont quantite d'habiles gens hors 
d'Angleterre, et quelques uns en Angleterre-, et je ne crois pas que 



278 SetBnig cm (Sonti 

vous meme, Monsieur, en ayez eu une semblable, ou l'ayes maintenant, 
a moins que d'etre bien change. 

Je n'ay jamais nie qu'a mon second voyage en Angleterre j'aye 
vü quelques Lettres de M. N. chez Monsieur Collins ? mais je n'en ay 
jamais vü, oü M. N. ait explique sa Methode des Fluxions, et je n'en 
trouve point dans le Commercium Epistolicum. 

Je n'ay pas vü non plus qu'il ait explique la Methode des Series 
que je m'attribue; je crois qu'il veut parier de celle, oü je prends une 
Serie arbitraire; je Tay fait avant mon second retour en Angleterre. 
Je ne nie pourtant pas, que M. N. n'eut pü l'avoir aussi, et ce n'est 
pas meme une invention fort difficile. 

M. N. veut que j'avoue et que j'accorde ce que j'ay avoue ou 
accorde il y a 15 Ans, ou autrement on devroit en attendre de luy au- 
tant; car il y a maintenant deux fois quinze Ans, que dans la premiere 
Edition de ses Principes pag. 253, 254 il m/accorde Tinvention du Cal- 
cul des Differences, independement de la sienne, et depuis il s'est avise 
je ne scay comment de faire soutenir le contraire. 

II est bon de sgavoir qu 5 a mon premier voyage^ ä! Angleterre en 
1673, je n'avois pas la moindre connoissance des Series infinies, telles 
que M. Mercator venoit de donner, ny d'autres matieres de la Geome- 
trie avancee par les dernieres Methodes; je n'etois pas meme assez verse 
dans r Analyse de Des Cartes; je ne traitois les Mathematiques que 
comme un Parergon, et je ne scavois guere que la Geometrie practique 
vulgaire, quoyque j'eusse vü par hazard la Geometrie des indivisibles 
de Cavalleri, et un Livre de Pere Leotaud, oü il donnoit les Quadra- 
tures de Lunules et Figures semblables, ce qui m'avois donne quelque 
curiosite; mais je me divertissois plustöt aux proprietez des Nombres, 
a quoy le petit Traite que j'avois publie presque petit garcon de TArt 
des Combinaisons en 1666 m/avoit donne occasion, et ayant observe des 
lors Tusage des Differences pour les Sommes, je Tappliquoy a des suites 
de Nombres. On voit bien par mes premieres Lettres echangees avec 
M. Oldenbourg, que je n'etois guere alle plus avant, aussi n'avois je 
point alors la connoissance de M. Collins, quoyqu'on ait feint malici- 
eusement le contraire. 

Ce fut peu a peu que M. Hugens me fit entrer en ces matieres, 
quand je le pratiquois a Paris, et cela Joint au Traite de M. Mercator 
(que j'avois rapporte avec moy d'Angleterre, parceque M. Pell m'en 
avoit parle) me fit trouver environ la fin de l'An 1673 ma Quadra- 
ture Arithmetique du Cercle qui fut fort approuvee par M. Hugens, et 
dont je parlay ä M. Oldenbourg dans une Lettre de l'An 1674; alors 
ny M. Hugens ny moy ? nous ne scavions rien des Series de M. N. ny 



Sei&nts an (Sotttt. 279 

de M. Gregory. Ainsi je crus etre le premier qui eut donne la valeur 
du eercle par une suite de nombres rationaux; et M. Hugens le erat 
aussi; j'en ecrivis sur ce ton la a M. Oldenbourg qui me repondit qu'on 
avoit deja de telles Series en Angleterre, et Ton voit par ma Lettre 
du 15 Juillet de 1674 et par la reponse de M. Oldenbourg du 8 De- 
cembre de la meme Annee que je n'en devois avoir aueune connoissance 
alors, autrement M. Oldenbourg n'auroit pas manque de me le faire 
sentir, si luy ou M. Collins m'en eussent communique quelque chose 
auparavant. Ce ne fut donc qu'alors que j'en appris quelque chose; 
mais je ne seavois pas alors les Extraetions des Racines des Equations 
par des Series, ny les Regressions ou l'Extraction d'une Equation in- 
finie; j'etois encor un peu neuf en ces matieres, mais je trouvay pour- 
tant bientot ma Methode generale par des Series arbitraires, et j'entray 
enfin dans mon Calcul des differences, oii les observations que j'avois 
faites encor fort jeune sur les differences des suites des nombres, con- 
tribuerent a m'ouvrir les yeux; car ce n'est pas par les Fluxions des 
lignes, mais par les differences des nombres que j'y suis venu en con- 
siderant enfin que ces differences appliquees aux grandeurs qui croissent 
continuellement, s'evanouissent en comparaison des grandeurs differen- 
tes, au lieu qu'elles subsistent dans les suites des Nombres. Et je 
crois que cette voye est la plus analytique, le Calcul Geometrique des 
differences qui est le meme que celuy des Fluxions, n'etant qu'un cas 
special du Calcul Analytique des Differences en General, et ce cas 
special devient plus commode par les evanouissements. 

M. N. aliegue par apres les passages, oü j'aecorde qu'il y a un 
Calcul approchant de mon Calcul des differences, mais il pourra bien 
se Souvenir qu'il m'en a aecorde autant, et s'il luy est permis de se 
retracter, pourquoy ne me serat-il pas permis d'en faire autant? Sur 
tout apres les verisimilitudes que M. Bernoulli a remarquees. J'ay une 
si grande opinion de la candeur de M. N. que je Tay erü sur la pa- 
role ? mais le voyant conniver a des aecusations dont la faussete luy 
est connue, il etoit naturel qui je commencasse de douter. 

Je ne puis avouer ny desavouer aujourdhuy d' avoir ecrit ou re- 
ceu des Lettres ecrites il y a plus de 40 ans telles qu'on les a publi- 
kes; je suis oblige de m'en rapporter a ce qui se trouve dans les Pa- 
piers qu'on cite, mais je ne remarque rien contre moy dans celles que 
M. N. aliegue du 15 Avril et 20 May 1675 et 20 Octobre 1676, sinon 
dans les faussetez du Glosateur. Je crois que c' etoit purement par di- 
straction dans un sejour comme celuy de Paris, oü je m'oecupois a 
bien d'autres choses encor qu' aux Mathematiques, et par l'eloignement 
que j'avois des calculs dont je craignois la longeur, que j'ay demande 



280 ÖetBnig cm (Bontl 

quelque fois k M. Oldenbourg la demonstration ou la methode d' arriver 
a certaines choses oü j'aurois bien pu arriver moy meme. Par exemple, 
je crois d'avoir deja eu au douze de May 1676 ma methode d'une Se- 
rie arbitraire, qui m'auroit pu mener a des Series dont j'y demande 
la raison. Car ayant consulte mon vieux Traite de la Quadrature A- 
rithmetique acheve quelque temps avant ma sortie de France, je me 
sers de la Serie arbitraire; cependant les Series marquees dans cette 
Lettre sont une chose dont je consens d'etre redevable a d'autres, et 
je crois de ne les avoir pas meme connues en 1674. 

N'entendant pas bien ce que M. N* allegue des Actes de Leipzig 
de May 1700, j'y ay regarde, et je trouve qu'il n'en a pas bien pris 
le sens. II n'y est point parle de l'invention du nouveau calcul des 
differences 7 mais d'un artifice particulier des Maximis et Minimis, 
qui en est independant, et dont je m'etois avise bien du temps avant 
que M* Bernoulli eut propose son probleme de la plus courte descente, 
mais dont je jugeois que M. N. se devoit etre avise aussi, lorsqu'il 
avoit donne la figure de son Vaisseau dans ses Principes. Ainsi j'ay 
voulu dire, qu'il a fait connoitre publiquement avant moy, qu'il posse- 
doit cet artifice, ce que je ne pouvois pas dire du Calcul des Differences 
et des Pluxions, puisque j'en avois fait voir l'utilite publiquement avant 
la publication de ce Livre. Cet artifice particulier de Maximis et 
Minimis n'est point necessaire, quand il s'agit simplement d'une gran- 
deur (car lors la methode de M. Permat perfectionnee par les nouveaux 
calculs suffit), mais quand il s'agit de toute une Figure qui doit faire 
le mieux un effect demande, il faut autre chose. 

M. N. hazarde icy une accusation, mais qui va tomber sur luy 
meme. II pretend que ce que j'ay ecrit pour luy a M. Oldenbourg en 
1677 est un deguisement de la methode de M. Barrow. Mais comme 
M. N. avoue dans la pag. 253 et 254 de la premiere Edition de ses 
Principes, Me ipsi tunc Methodum communicasse a Methödo 
ipsius vix abludentem praeter quam in verborum et nota- 
rum formulis ? il s'ensuivra que sa methode aussi n'est qu'un degui- 
sement de celle de M. Barrow. 

Je croy que luy et moy nous serons aisement quittes de cette 
accusation: car une infinite des gens liront le Livre de M. Barrow, 
sans y trouver nötre calcul; il est vray que feu M. Tschirnhaus qui 
s'apperceut un peu tard de l'avantage de ce calcul, pretendoit qu'on 
pouvoit arriver a tout cela par les methodes de M. Barrow. Comme 
l'Abbe Catelan Francois pretendit que meme 1' Analyse de Des Cartes 
suffisoit pour toutes ces choses, mais il etoit plus aise de le dire que 
de le montrer. 



Sfteroioti an ©ontt. 281 

Cependant si quelqu'un a profite de M. Barrow, ce sera plustot 
M. N. qui a etudie sous luy que moy qui (autant que puis m'en Sou- 
venir) n'ay veu les Livres de M. Barrow qu'a mon second voyage d ? 
Angleterre, et ne les ay jamais Ms avec attention, parcequ' en voyant 
le Livre, je m'appercus que par la consideration du Triangle Charac- 
teristique (dont les cotez sont les elemens de l'abscisse, de i'ordonnee 
et de la courbe) semblable ä quelque Triangle assignable, j'etois venu 
comme en me jouant aux Quadratures, Surfaces et Solides dont M. 
Barrow avoit remply un chapitre des plus considerables de ses Lecons, 
outre que je ne suis venu a mon Calcul des differences dans la Geo- 
metrie qu' apres en avoir vü l'usage (mais moins considerable) dans les 
Nombres, comme mes premieres Lettres dans le Commercium Epi- 
stolicum le peuvent insinuer. II se peut que M. Barrow en ait plus 
scu qu'il n'a pas dit dans son Livre, et qu'il a donne des lumieres a 
M. N. que nous ne scavons pas, et si j'etois semblable a certains te- 
meraires, je pourrois asseurer sur de simples soubgons, sans autre fon- 
dement ? que le Calcul des Fluxions de M. N. quel qu'il puisse etre, luy 
a ete enseigne par M. Barrow. 

On peut bienjuger que lorsque j'ay parle en 1676 des problemes 
qui ne dependoient ny des equations ny des quadratures, j'ay voulu 
parier des equations telles qu'on connoissoit alors dans le monde, c'est 
ä dire des equations de TAnalyse ordinaire. Et on le peut juger de 
ce que j'ajoute les quadratures comme quelque chose de plus que ces 
equatious. Mais les Equations Differentielles vont au dela meme des 
Quadratures, et Ton voit bien que j'entendois meme parier des proble- 
mes qui vont a ces sortes d'equations inconnues alors au public; cette 
objection se trouvoit deja dans les remarques au Commercium, mais 
je n'avois point crü que M. N. etoit capable de Temployer. 

Je juge par un endroit de ma Lettre du 27 d'Aoust 1676 (pag. 
65 du Commercium Epistolicum) que je devois deja avoir alors 
l'ouverture du calcul des differences, car j'ay dit d' avoir resolu d'abord 
par une certaine Analyse (certa Analysi solvi) le probleme de M, 
de Beaune propose a M. Des Cartes ; si cette Analyse n' etoit que cela, 
on le peut resoudre sans cela; et je crois que Monsieur Hugens et 
Monsieur Barrow l'auroient donne au besoin comme beaucoup d'autres 
cboses, mais selon ma maniere de noter, ce n'est qu'un jeu. Je trouve 
une petite faute dans cette page: il y a ludus naturae au lieu de 
hujus naturae, mais cette faute etoit ancienne et se devoit deja trouver 
dans la copie de ma Lettre du 24 Octobre 1676 pag. 86 du Commer- 
cium (Hos casus vix numeraverim inter ludos naturae). 



282 Newton an (Sontt. 

Je n'avois point entendu ce qu'il vouloit dire, mais a present je vois 
Torigine de la meprise. 

Je ne scaurois dire aujourdhuy si j'ay remarque le passage de 
M. "Wallis, oü il dit que M. N. seavoit deja la Methode des Muxions en 
1666. Mais quand je l'aurois remarque, je l'aurois laisse passer appa- 
remment, etant fort porte alors a croire M. N. sur sa parole. Mais 
son dernier procede m'a fbree d'etre plus cireomspect ä cet egard. 

M. N. dit que je Tay aecuse d'etre plagiaire, mais oü est ce que 
je Tay fait? Ce sont ses Adherens qui ont paru intenter cette accu- 
sation contre moy, et il y a connive. Je ne scay pas s'il adopte 
entierement ce qu'ils ont publie, mais je conviens avec luy, que la 
malice de celuy qui intente une teile aecusation sans la prouver, le 
rend coupable de calomnie* 

II finit sa Lettre en m'aecusant d'etre aggresseur, et j'ay com- 
mence celle cy en prouvant le contraire. II sera fort aise de vuider 
ce point preliminaire. II y a eu du mesentendu, mais ce n'est pas ma 
faute. Au reste je suis avec zele etc.*) 

Hannover 
ce 9 d'Avril 1716. 

Vous avez donne, Monsieur, la Solution d'un Probleme que les 
Partisans de M. Newton n'avoient point trouvee jusqu'ici: car vous 
avez trouve le moyen de me faire repondre en m'envoiant une Lettre 
de M. Newton lui-meme. Apres cela vous n'aviez pas besoin de me 
faire des exhortations la dessus. Si la Question avoit ete seulement, 
lequel de nous deux, de M. Newton ou de moi, a trouve le premier le 
Calcul en question, je ne m'en mettrois point en peine. Aussi est-il 
diflicile de deeider ce que Tun ou l'autre peut avoir garde in petto, 
et combien long-tems. Mais un Adherent de M. Newton a pretendu 
que je l'avois appris de lui ? et depuis il a paru plus probable a quel- 
ques autres et meme ä M. Bernoulli, que la maniere de calculer que 
M. Newton a publiee dans les Oeuvres de M. Wallis a ete fabriquee 
ä l'imitation de mon Calcul des Differences deja publie. II n 7 y a pas 

*) 2)em t>orfief)ettben Schreiben §at ber Herausgeber von Raphson's History of 
Fluxions bte folgenbe SBemerfmtg fjmgitgefügt: Cum D. Leibnitius adduci non posset, 
ut vel Commercio Epistolico responderet, vel probaret quae pro habitu affirmabat, 
cumque praecedentes Epistolas in G-alliam prius mitteret quam earum tertia in An- 
gliam veniret, et praetenderet se hoc facere, ut testes haberet, et alias etiam ad- 
hiberet contumelias: Newtonus minime rescripsit, sed Observationes sequentes in 
Epistolam illam tertiam scriptas cum amicis solummodo communieavit, 



Newton an ßontt. 283 

la moindre trace ni ombre du Calcul des Differences ou Fluxions dans 
toutes les anciennes Lettres de M. Newton que j'ai vües, excepte dans 
celle qu'il a ecrite le 24 d'Octobre 1676, ou il n'en a parle que par 
enigme, et la Solution de cette enigme qu'il n'a donnee que dix ans 
apres, dit que] que chose, mais eile ne dit pas tout ce qu'on pourroit 
demander. Cependant, prevenu pour M. Newton, j'ai eu autre fois la 
condescendance d'en parier, comme si eile disoit presque tout, et c'est 
apres moi que d'autres en ont parle de meine. Mon honnetete a ete 
mal reconnue. 

Vous me dites, Monsieur, que M. Jones a publie une de mes 
Lettres a M. Newton: aiez la bonte de m'apprendre ou*). 

C'est aller un peu vite que de dire que mon Probleme a ete resolu 
fort aisement. Je croi qu'il n'a point ete resolu du tout. Car de donner 
quelques cas faeiles, eomme dans les Coniques, et de se restraindre au cas 
de la soutangeante etc. ce n'est pas faire grand chose. M. Bernoulli l'a re- 
solu par utie methode generale. On fixe assez l'idee en disant, qu'il s'agit 
generalement de toutes sortes de lignes qui ne different entr'elles dans leurs 
constructions que par les changemens d'une seule droite constante dans la 
ligne et changeant de ligne en ligne, Prenez teile ligne qu'il vous plaira, 
vous aurez d'abord par cette methode une suite d'infinite d'autres. 

Je m'etonne, Monsieur, que vous dites qu'avant que de parier 
de la Philosophie de M. Newton, il faut convenir de la me- 
thode de philosopher. Est-ce qu'il y a une autre Logique a 
Londres qu'a Hanover? Quand on raisonne en bonne forme sur des 
faits bien averez, ou sur des Axiom es indubitables, on ne man que pas 
d'avoir raison. Si les sentimens de M. Newton sont meilleurs qu'on 
n'a dit, tant mieux: je serai toujours bien aise de lui rendre justice. 

Je voi bien que vous n'avez pas encore eu le loisir, Monsieur, 
de toucher a rien de tout ce que j'avois eu Thonneur de vous ecrire, 
excepte ce qui regarde M. Newton. J'aurois souhaite d'apprendre 
quelques nouvelles de M. Wren et de quelques autres exeellents 
hommes. Mais je ne puis vous les demander qu'en grace, et chacun 
est le maitre des graces qu'il veut faire. Cependant si vous en appre- 
nez quelque chose, ou quelques autres Particularitez de Doctrine, que 
vous voudriez bien me communiquer, comme vous me le faites esperer, 
je vous supplie de ne me point remettre jusqu'ä l'arrive de M. le 
Baron Discau en Angleterre, pour m'en faire part, puisque tous les 
Ordinaires me peuvent apporter l'honneur de vos Ordres, et vous voyez 

*) M. Leibniz confond ici le Traite de M. Newton de Anaiysi etc. publie par 
Jones avec la Lettre de M. Leibniz a M. Newton Ecrite en 1693. ^lnrnex!ung üon 
des Maizeaux. 



284 Newton cm (£onti. 

que je n'attends pas le retour de M. Discau de Pologne, pour vous 
repondre. 

Je croi de vous avoir dit ? Monsieur, que le Regne de Charles II. 
(au moins dans sa premiere moitie) me paroissoit le siecle d'or des 
Sciences eD Angleterre. II semble que je vous ai paru comme ce 
viellard d'Horace, laudator temporis acti, et que vous avez voulu 
me redresser la dessus, en disant que les Sciences et les Arts 
fleurissent a present a Londres plus que jamais. Vous m'obli- 
gerez fort si vous me le faites eonnoitre, car j'en serai ravi. Mais 
des gens mieux informez que moi, m'ont avoue que depuis quelque 
tems on s'etoit trop attache a i ghiribizzi della Politica, et aux 
Controverses de Religion. Je voudrois voir revivre un Prinee Robert 
dans les Mecaniques, un M. Boyle dans la Chymie, un M. Hook dans 
les Observations du Microscope, un M. Sydenham ou M. Lister dans 
celles de la Medecine, un M. Ray dans la Botanique, et ainsi des 
autres. Et quand M. Wren, M. Newton, M. Flamsteed, M. Halley, 
M. Sloane, M. Woodward, et M* "Wotton ne seront plus, je ne sai si 
les gens qui paroissent a present les pourront remplacer. II semble 
que presque tous les Adherens de M. Newton ne sont a present que 
Copistes, et que les plus aigres le sont le plus. Mais quand les pre- 
sentes passions qui divisent la Nation seront appaisees, j'espere que 
les esprits, enconragez par le Roi et par le Prince (pour ne rien dire 
de la Princesse) reprendront leur ancien lustre. 

J ? ai peur que ma Lettre precedente sur le Systeme de M. Nigre- 
soli vous aura donne aussi peu de contentement que le Systeme meme, 
puisque vous n'en dites rien d'avantage. Mais j'ai toujours voulu vous 
marquer mon zele. 

Vous voyez que lApo stille est pour vous, Monsieur, et la 
Lettre est plutöt pour M. Newton, ä Texemple de celle qu'il vous a ecrite. 



Beilage* 

€cibrtt3 an Tiemonh. 

Hanover ce 9. d'Avril 1716. 
Je prends la liberte de vous envoyer les Pieces d'un Proces 
nouveau ou renouvelle, puisque vous avez eu la bonte de vous inter- 
esser pour moL M. TAbbe Conti, qui avoit fait des demarches de 
Mediateur, m'a envoye maintenant un Cartel de Defi de la part de 
M. Newton. Je reponds a la Lettre de Tun et de l'autre par la Lettre 
et par TApostille ci-jointes; c'est-a-dire a M, Newton dang la Lettre 



Sfeerotott an ®onti. 285 

et a M. l'Abb6 dans 1' Apostille, et je suis bieri aise, Monsieur, que 
vous et vos amis et particulierement M. lAbbe Varignon (et d'autres 
personnes de TAcademie Royale des Sciences, a qui il en voudra faire 
part) en soient informez. Je vous supplie de garder la copie des 
Lettres de lAbbe et de M. Newton, et d'envoyer ma R6ponse a M. 
l'Abbe. Vous voyez bien, Monsieur, pourquoi j'ai voulu me servir de 
la voie de la France, au Heu de repondre directement d'ici. Si vous 
croyez, Monsieur, que cette Reponse vaille la peine qu'on en garde 
aussi une copie, cela depend de votre jugement. Mais je ne voudrois 
pas qu'on imprimät rien sans mon consentement. Je ne fais point 
d'autres reflexions sur ces Lettres; on en fera assez sans moi. 

J'ai pris la liberte de vous dire dernierement, Monsieur, que je 
souhaiterois que TAcademie Royale des Inscriptions vit mon Discours 
de Origine Franc or um et que je voudrois que cela se fit avant 
qu'on en parlät dans les Memoires de Trevoux. Je laisse la disposition 
de cela ä vos bontez. 

II y a deja du tems, Monsieur, que je vous ai envoye mon Senti- 
ment sur le Livre fait contre le Pere Malebranche: peut-etre que les 
Reverends Peres Jesuites, aussi bien que les Amis de ce Pere ne sont 
point fachez de le voir. Ce que j'ai crü conforme ä la verite m'a fait 
prendre le parti du milieu. 

Au reste ? je me rapporte a ma precedente, et je suis avec zele ? 
Monsieur, votre etc. 

P. S. Je vous envoye la Lettre a M. TAbbe Conti sub sigillo 
volante, et il n est point necessaire que vous la fermiez. Je veux bien 
qu'on sacbe que vous Tavez vüe ? Monsieur, et que je suis bien aise 
que vous en soyez informe. 



LXI. 

Xlevoton's Bemcrfun^en 
in ^ßEtttff ixt§ haröergeöenöen &t§utfxm§ öan ICeißms^ 

§Iu3 Raphson's History of Fluxions. 
Mr* Leibnitz by his Letter of the 29th of December 1711, justi- 
fied the Passage in the Acta Eruditorum M January 1705 pag. 34 
and 35, and thereby made it his own, and now endeavours in vain to 



286 üRetütcmS S3emctlungen in SBetr. b. tjotljergeij. ©djxetfienS non SetBnig. 

excuse it, pretending that the Words adhibet semperque adhibuit 
are maliciously interpreted by the Word substituit. But in the 
Interpretation which he would puV öj)on the Place, he omits the Words 
igitur and quemadmodum, the first of which makes the Words 
semperque adhibuit, a Consequence of what went before, and the 
latter makes them equipolent to substituit; neither of which can be 
true in the Sense which Mr. Leibnitz endeavours now to pu\ upon 
the Words. He has therefore accused me. In both his Letters to 
Dr. Sloan (that dated the 4th of Maren, and that dated the 29th of 
December 1711) he pressed the Royal Society to condemn Dr. Keill; 
and before I meddled in this matter challenged me to declare my 
Opinion. His Words in his second Lettre are: Itaque vestrae 
aequitati committo, annon coercendae sint vanae et injustae 
(Keillii) vociferationes, quas ipsi Newtonio, viro insigni et 
gestorum optime conscio, improbari arbitror, ejusque senten- 
tiae suae libenter datTirum indicia mihi persuadeo. The 
Words are civil, but the Sense is, That I must either condemn Dr. 
Keill, or enter into a Quarrel with Mr. Leibnitz, as has happen'd; 
and therefore he is the Aggressor. For it is very well known here, 
that I constantly endeavoured to avoid these Disputes, tili they were 
pressed upon the Royal Society and me. 

In his Letter of the 4th of March st. n. 1711 he pressed the 
Royal Society to condemn Dr. Keill without hearing both Parties; 
and when the Doctor put in his Answer, Mr. Leibnitz refused to give 
his Reasons against the Doctor, and call'd it Injustice to expect it 
from him, and yet persisted in pressing them against him, and thereby 
put them upon a Necessity bf appointing a Committee to search out 
old Papers, and give their Opinion upon them. If they did it without 
him, it was his own Fault: He was for over ruling them, and called 
it Injustice to expect that he should defend his Candor, and plead 
before them. If they gave him no Opportunity to except against any 
of the Committee, it was because he refused to be heard, and they 
had a sufficient Authority to appoint a Committee without him, and 
he had no Right to except against what they did for their own Satis- 
faction. If they have not yet given Judgment against him, it is be- 
cause the Committee did not act as a Jury, nor the Royal Society 
as a formal Court of Justice. The Committee examined old Letters 
and Papers, and gave their Opinion upon them alone, and left room 
for Mr. Leibnitz to produce further Evidence for himself. And it is 
sufficient that the Society ordered their Report, with the Papers upon 
which it was grounded, to be published; and that Mr. Leibnitz in all the 



9£ett)irm§ Bern erlittigen in SSetr. b. t>orJjergel(j. @$teiBen§ non SetBnt§. 287 

three Years and four Months which are since elapsed, has not been able to 
produce any further Proof against Dr. Keillthan whatwas then before them, 

Mr. Leibnitz saith, That the Letter which I call Defamatory, 
being no sharper than that which has been pablished against him, I 
have no Reason to complain. But the sharpness of the Letter lies in 
Accusations and Reflections, without any Proof; which way of Writing 
is unlawful and infamous, and never used but in a bad Cause. The 
sharpness of the Commercium lies in Facts which are lawful and fit 
to be produced. The Letter was published in a clandestine, back-biting 
manner (as defamatory Papers use to be) without the Name of the 
Author, or Mathematician, or Printer, or City where it was printed, 
and was dispersed above two Years before we were told that the 
Mathematician was John Bernoulli; the Commercium was printed 
openly at London by Order of the Royal Society. 

The Mathematician to whom Mr. Leibnitz appealed from the 
Royal Society, I called a Mathematician, or pretended Mathematician, 
not to disparage the Skill of Mr, Bernoulli, but because the Mathema- 
tician in his Letter of the 7th of June 1673, cited Mr. Bernoulli as a 
Person distinct from himself; and Mr. Leibnitz lately caused that 
Letter to be reprinted without the Citation, and teils us, that the 
Mathematician was Mr. Bernoulli himself: And whether the Mathe- 
matician, or Mr. Leibnitz is to be believed, I do not know. Mr. 
Bernoulli had the differential Method from Mr. Leibnitz, and was 
the chief of his Diseiples, and gave his Opinion for his Master in the 
Acta Leipsica before he saw the Commercium Epistolicum; at 
which Time he was homo novus et rerum ante actarum parum 
peritus, as Mr. Leibnitz objected against Dr. Keill; and what he 
wrote after he saw the Commercium was in his own Defence, and 
his Skill in Mathematicks will not mend the matter. 

He complains that the Committee have gone out of the way, in 
falling upon the Method of Series: But he should consider that both 
Methods are but two Branches of one general Method of Analysis: 
I joyn'd them together in my Analysis I interwove them in the Tract 
which I wrote in the Year 1671, as I said in my Lettres of the lOth 
of December 1672, and the 24th of October 1676. In my Letter of 
the 13th of June 1676, I said, that my Method of Series extended to 
almost all Problems, but became not general without some other Me- 
thods, meaning (as I said in my next Letter) the Method of Muxions, 
and the Method of Arbitrary Series; and now to take those other 
Methods from me, is to restrain and stint the Method of Series, and 
make it cease to be general. In my Letter of the 24th of October 1676, I 



288 $lewton% SBentertatgen in S3etr. b. üotljergel). <SdjretfJett§ tjon ÖeiBtitg. 

called all these Methods together, my general Method. See the Com- 
mercium Epistolicum pag. 86. lin. 16. And if Mr. Leibnitz has 
been tearing this general Method in pieces, and taking from me first 
one Part, and then another Part, whereby the rest is maimed, he has 
given a just Occasion to the Committee to consider the Whole. It is 
also to he observed, That he is perpetually giving Testimony for him- 
self, and it's allowed in all Courts of Justice to speak to the Credit 
of the Witness. 

He represents, That the Committee of the Royal Society have 
omitted Things which made against me, and printed every Thing which 
could be tourned against him by strained Glosses; and to make this 
appear, he produces in his last Letter but one, an Instance of my 
Ignorance omitted by them, but confesses now that he was mistaken 
in saying that it was omitted, and saith that he will cite another 
Instance. He saith, That in one of my Letters to Mr. Collins, I 
owned that I could not find the second Segments of Sphaeroids, and 
that the Committee have omitted this. If they had omitted such a 
Passage, I think they would have donne right, it being nothing to the 
purpose* But on the contrary, Mr. Collins in a Letter to Mr. James 
Gregory the 24th of Decemb. 1670, and in another to Mr. Bertet the 
21st of Feb. 1671, both printed in the Commercium Epistolicum 
pag. 24, 26. wrote, That my Method extended to second Segmens of 
round Solids. And Mr. Oldenbourg wrote the same thing to Mr. Leib- 
nitz himself the 8th of December 1674. See the Commercium Epi- 
stolicum pag. 39. So you see that Mr. Leibnitz hath accused the 
Committee of the Royal Society, without knowing the Truth of his 
Accusation, and therefore is guilty of a Misdemeanour. The Committee 
were so far from acting corruptly against Mr. Leibnitz, that they took 
no Notice of his Ignorance of Geometry in those Days, and omitted 
several other things which made strongly against him, such as were 
the two Letters in my Custody, and the Paragraph in the Preface to the 
two first Volumes of Dr. Wallis's Works relating to this matter, and that 
a Copy of Gregory's Letter of the 5th of Septemb. 1670, was sent to 
Mr. Leibnitz in June 1676, amongst the Extracts of Gregory's Letters. 

The Committee in their Report, affirmed, That they had extracted 
from the ancient Letters, Letter-Books, and Papers, what related to 
the Matter referred to them: All which Extracts delivered by them to 
the Society, they believed to be genuine and authentick. Mr. Leibnitz 
accuses them for not printing the Letters entire (including as well 
what did not relate to the matter referred to them, as what did re- 
late to it) as if it were not lawful to cite a Paragraph out of a Book, 



9£erotott$ SBemerfimgen in Seit. b. tforfjergefj. @d)tetben£ x)on SeiBnij. 289 

without citing the whole Book. Tims he complains, that the Com- 
mercium Epistolieum should have been much bigger. But when he 
is to answer it, he complains that it is too big, and would require an 
Answer as big as it seif. And so the ancient Lettres and Papers must 
be laid aside, and the Question must be run off into a Squabble about 
Philosophy and other matters: And the great Mathematician, who in 
his Letter to Mr. Leibnitz, dated the 7th of June 1713, eoncealed his 
Name, that he might pass for an impartial Judge, must now pull off 
his Mask, and become a Party-man in this Squabble, and send a Chal- 
lenge by Mr. Leibnitz to the Mathematicians in England, as if a Duel, 
or perhaps a Battel between what he calls my forlorn Hope, and the 
Army of Disciples in whom he boasts himself happy, were a fitter 
way to decide the Truth, than an Appeal to ancient and authentick 
Writings; and Mathematicks must henceforward be filled with Atchie- 
vements in Knight-errantry, instead of Reasons and Demonstrations. 

Mr. Leibnitz acknowledges, that when he was in London the se- 
cond time, he saw some of my Letters in the Hands of Mr. Collins, 
especially those relating to Series; and he has named two of them 
which he then saw, viz. that dated the 24th of October 1676, and that 
in which he pretends that I confessed my Ignorance of second Segments < 
And no doubt he would principally desire to see the Letter which con- 
tained the chief of my Series, and particulary that which contaiued 
those two for finding the Are by the Sine, and the Sine by the Are, 
with the Demonstration thereof^ which a few Months before he had 
desired Mr. Oldenbourg to procure from Mr. Collins; that is, the 
Analysis per aequationes numero terminorum infinitas. But 
yet he teils us, that he newer saw where I explained my Method of 
Fluxions, and that he finds nothing of it in the Commercium Epi- 
stolieum, where that Analysis and my Letters of the lOth of De- 
cember 1672, 13th of June 1676, and the 24th of Octob. 1676, are.pu- 
blished. I suppose he means, because he finds no priek'd Letters there. 
And by the same way of arguing, he and Mr. Bernoulli may pretend 
that they find nothing of the Method of Fluxions in the Introduction 
to the Book of Quadratures. 

He saith also, That he never saw where I explain the Method 
claimed by me, in which he assumes an arbitrary Series. If he pleases 
to look into the Commercium Epistolieum pag. 56 and 86, he will 
there see that I had that Method in the Year 1676, and five Years be- 
fore. And Dr. Wallis in the second Volume of his Works pag. 393 
lin. 32 has told him, That this Method needs no further Explication 

19 



29Ö ^erüfonS äJemerfimgett in S3ctr. b. aorfjergefj. <Stf)tet£ett3 tjon SctBntj. 

than what I there gave of it. Mr. Leibnitz might find it himself, but 
not so early; and second Inventors have no Right. 

He pretends, that in my Book of Principles pag. 253, 254, I allo- 
wed him the Invention of the Calculus Differentialis, independent- 
\y of my own; and that to attribute this Invention to my seif, is con- 
trary to my Knowledge there avowed. But in the Paragraph there 
refered unto, I do not find one "Word to this purpose. On the con- 
trary, I there represent, that I sent Notice of my Method to Mr. Leibnitz 
before he sent Notice of his Method to me; and left him to make it 
appear that he had found his Method before the Date of my Letter; 
that is, eight Months at the least before the Date of his own. And 
by referring to the Letters which passed between Mr. Leibnitz and me 
ten Years before, I left the Reader to consult those Letters, and inter- 
pret the Paragraph thereby. For by those Letters he would see that 
I wrote a Tract on that Method, and the Method of Series together, 
five Years before the writing of those Letters; that is, in the Year 
1671. And these Hints were as much as was proper in that short 
Paragraph, it being besides the Design of that Book to enter into Di- 
sputes about these Matters. 

He saith, That when he was in London the first Time, which was 
in Jauuary and February 1673, he knew nothing of infinite Series, nor 
of the avanced Geometry, nor was then acquainted with Mr. Collins, 
as some have maliciously feigned. But who hath feigned this, or what 
need there was of feigning it, I do not know. At hat Time Dr. Pell 
gave him Notice of Mercator's Series for the Hyperbola, and he car- 
ried Mercator's Book with him to Paris, tho' he did not yet under- 
stand the higher Geometry. And any of those to whom Mr. Collins 
had communicated mine and Gregory 7 s Series, might give him Notice 
of them, without his being acquainted with Mr. Collins. 

He saith, That after his Coming from London to Paris, his first 
Letters were of other matters than Geometrical, tili Mr. Huygens had 
instructed him in these Things; and that he found the Arithmetical 
Quadrature of the Circle towards the End of the Year 1673, and be- 
gan to write of it to Mr. Oldenbourg the next Year, and found the 
general Method by Arbitrary Series a little after, and the Differential 
Calculus in the Year 1676, deducing it from the Series of Numbers; 
and that in his Letter of the 27th of August 1676, by the Words, 
certa Analysi, he meant the Differential Analysis. And am not I 
as good a Witness that I invented the Methods of Series and Fluxions 
in the Year 1665, and improved them in the Year 1666, and that I 
still have in my Custody several Mathematical Papers written in the 



StterotottS Semerfuttöen tn Seit. b. üorfjetgefj. SdjreifiettS t)ott SetBtug. 291 

Years 1664, 1665 and 1666, some of which happen to be dated; and 
that in one of tnem dated the 13th of Novemb. 1665, the direct Me- 
thod of Fluxions is set down in these Words: 

PROB. An Equation being given, expressing the Re- 
lation of two or more Lines x, y, z etc. described in the 
same time by two or more moving Bodies A, B, C etc. to find 
the Relation of their Velocities p 7 q, r etc. 

Resolution. Set all the Terms on one side of the Equa- 
tion, that they become equal to nothing, Multiply each Term 

by so many times — as x hath Dimensions in that Term, 

q 
Secondly, Multiply each Term by so many Times — as y hath 

Dimensions in it. Thirdly, Multiply each Term by so many 

r 
Times —as z hath Dimensions in it etc. The sum of all 
z 

these Products shall be equal to nothing. Which Equation 
gives the Relation of p, q, r etc. And that this Resolution is 
there illustrated with Examples, and demonstrated, and applied to Pro- 
blems about Tangents, and the Curvature of Curves. And that in a- 
nother Paper dated the 16th of May 1666, a general Method of resol- 
ving Problems by Motion, is set down in Seven Propositions, the last 
of which is the same with the, Problem contained in the aforesaid 
Paper of the 13th of Novemb. 1665. And that in a small Tract written 
in Novemb. 1666 the same Seven Propositions are set down again, and 
the Seventh is improved by shewing how to proceed without sticking 
at Fractions or Surds, or such Quantities as are now called Tran- 
scendent. And that an Eighth Proposition is here added, containing 
the Inverse Method of Fluxions so far as I had then attained it, na- 
mely, by Quadratures of Curvilinear Eigures, and particularly by the 
three Rules upon which the Analysis per Aequationes numero 
terminorum infinitas, is founded, and by most of the Theorems set 
down in the Scholium to the Tenth Proposition of the Book of Qua- 
dratures. And that in this Tract, when the Area arising from any of 
the Terms in the Valor of the Ordinate cannot be expressed by vulgär 
Analysis, I represent it by prefixing the Symbol |_J to the Term. As 

if the Absei ss a be x, and the Ordinate ax — h + — ; — , the Area will 

be T^axx — bx + PI . And that in the same Tract I sometimes 

2 '— ' a + x 

used a Letter with one Prick for Quantities involving first Fluxions;- 

19* 



292 üfterofottS SBeiuexfitngert tu Söetr. b. uotljetgel). Stfjrctkng t)ou Setfims. 

and the same Letter with two Pricks for Quantiti.es involving second 
Fluxions. And tliat a larger Tract wliich I wrote in the Year 1671, 
and mentioned in my Letter of the 24th of Octobr. 1676, was founded 
upon this smaller Tract, and began with the Ileduction of finite Quan- 
tities to converging Series, and with the Solution of these two Pro- 
blems: 1. Relatione Quantitatum fluentium inter se data, 
Fluxionum relationem determinare. 2. Exposita aequatione 
Fluxiones Quantitatum involvente, invenire relationem 
Quantitatum inter s e. And that when I wrote this Tract, I had 
made my Analysis composed of the Methods of Series and Fluxions 
together, so universal, as to reach to almost all Sorts of Problems, as 
I mentioned in my Letter of the 13th of June 1676, and that this is 
the Method described in my Letter of the lOth of Decembr. 1672. 

In the Year 1684 Mr. Leibnitz published only the Elements of 
the Caleulus Differentialis, and applied them to Questions about 
Tangents, and Maxima et Minima, as Fermat and Gregory had done 
before; and shewed how to proceed in these Questions, without taking 
away Surds, but proceeded not to the higher Problems. The Princi- 
pia Mathematica gave the first Instanees made publick of applying 
this Caleulus to the higher Problems; and I understood Mr. Leibnitz in 
his Sense in what I said concerning the A c ta Eni di torum for May 
1700 pag. 206. But Mr. Leibnitz observes, that what was there said 
by him, relates only to a particularArtifi.ee de Maximis et Minimis, 
with which he there allowed that I was acquainted, when I gave the 
Figure of my Vessel in my Principles. But this Artifice depending 
npon the Differential Method as an Improvement there of, and being the 
Artifice by which they solved the Problems which they value themsel- 
ves most upon and which Mr. Leibnitz there calls a Method of the 
Highe st Moment, and greatest Extent; I content my seif with 
his Aeknowledgment, that I was the first who proved by a Specimen 
made publick, that I had this Artifice. 

In the Year 1689 Mr. Leibnitz published the prineipal Propositi- 
ons of this Book as his own ; in three Papers, calleci, Epistola de 
Lineis opticis, Schecliasma de resistentia Medii et Motu pro- 
jectilium gravium in medio resistente ? et Tentamen de Mo- 
tuum Coelestium Causis; pretending that he hacl found them all 
before that Book came abroad. And to make the prineipal Proposition 
his own, he adapted to it an erroneous Demonstration, and thereby 
discovered, that he did not yet understand how to work in second 
DifFerences. And this was the second Specimen made publick, of ap- 



TtewtonZ 23emerfungen tu 93ctr. b,^ üorfjergefj. @djretBen§ üon SetBnig. 293 

plying the Method to the higher Problems. Hitherto this Method made 
no Noise, but within a Year or two began to be celebrated. 

Dr. Barrow printed his Differential Method of Tangents in the 
Year 1670. Mr. Gregory from this Method, compared with his own, 
deduced a general Method of Tangents without Galculation; and by his 
Letter of the 5th of Septemb. 1670, gave Notice thereof to Mr. Collins. 
Slusins, in Novemb. 1672 gave Notice of the like Method to Mr. Olden- 
bourg. In my Letter of the lOth of Decemb. 1672, I sent the like 
Method to Mr. Collins, and added, That I mentioned it to Dr. Barrow 
when he was printing his Lectures; and that I took the Methods of 
Gregory and Slusius to be the same with mine ? and that it was but 
a Branch or Coröllary of a general Method, which without any trouble- 
some Galculation extended not only to Tangents, buth also to other 
abstruser Sorts of Problems concerning the Crookedness, Area's, Lengths, 
Centers of Gravity of Curves etc. and did all this ? even without free- 
ing Equations from Surds; and I added, That I had interwoven this 
Method with that of Infinite Series, meaning, in the Tract which I 
wrote in the Year 1671. Copies of these Two Letters were sent to 
Mr. Leibnitz by Mr. Oldenbourg in the Extracts of Gregory's Letters 
in June 1676; and Mr. Leibnitz in his Letter of the 21st of June 1677 
sent nothing more back than what he had Notice of by these two 
Letters, namely, Dr. Barrow's Differential Method of Tangents disgui- 
sed by a new Notation, and extended to the Method of Tangents of 
Gregory and Slusius, and to Equations involving Surds, and to Quadra- 
tures. But this is not the Gase between nie and Dr. Barrow. He saw 
my Tract of Analysis in the Year 1699, and was pleased with it. And 
before his Lectures came abroad, I had deduced the Method of Tan- 
gents of Gregory and Slusius from my general Method. But Mr. Leib- 
nitz in those Days knew nothing of the higher Geometry, nor was yet 
aquainted with the vulgär Algebra. 

In his Letter of the 27th of August 1676, he wrote thus: Quod 
dicere videmini plerasque difficultates (exeeptis Problema- 
^ibus Diophanteis) ad Series infinitas reduci, id mihi non 
videtur. Sunt enim multa usque adeo mira et implexa, ut 
neque ab aequationibus pendeant, neque ex Quadraturis. Qua- 
lia sunt ex multis aliis Problemata Methodi tangentium in- 
vers ae. And when I answered, That such Problems were in my Power, 
he replied (in his Letter of the 21st of June 1676) That he conceived 
that I meant by Infinite Series, but he meant by Vulgär Equations. 
See the Answer to this in the Commercium Epistolicum pag. 92. 

He saith, That one may judge, that when he wrote his Letter of 



294 Sfterotonä 23etnetlimgen in Vßttx. b, DorI)ergcfj. @djrei&ettg t>on SetBnt^. 

tlie 27th of August 1676, he had some Entrance into the Differential 
Calculus, because he said there, that he had solved the Problem of 
Beaune certa Analysi, by a certain Analysis. But what if that Pro- 
blem may be solved eerta Analysi without the Differential Method? 
For no further Analysis is requisite than this; That the Ordinate of 
the Curve desired, increases or decreases in G-eometrical Progression, 
when the Abscissa increases in Arithmetical, and therefore the Ab- 
scissa and Ordinate have the same Relation to one another, as the 
Logarithen and its Number. And to infer from this, that Mr. Leibnitz 
had Entrance into the Differential Method; is as if one should say, 
That Archimedes had Entrance into it, because he drew Tangents tho 
the Spiral, squared the Parabola, and found the Proportion between 
the Sphere and the Cylinder, or that Cavallerius, Fermat and "Wallis 
had Entrance into it. because they did many more things of this kind. 
P. S. 
When the Committee of the Royal Society published the Commer- 
cium Epistolicum, the Letters and Papers in my Custody were not 
produced. Among them were the following Letter of Mr. Leibnitz, da- 

ted ^= of March 1693, and a Letter of Dr. Wallis's, dated the lOth 

of April 1695, both which upon a fresh Occasion two Years ago, were 
produced, examined, and left in the Archives of the Royal Society. 
The first shews what Opinion Mr. Leibnitz had of this matter before 
he knew my Symbols, or any thing more of the Method of Fluxions 
than what he learnt from my Letters and Papers writ in or before the 
Year 1676, or from the Principia Philosophiae Mathematica, and 
by Consequence before I could deceive him, and that he then gave me 
the Precedenee. The second (compar'd with the Preface to the Doc- 
tor's Works) shews what Opinion the English Mathematicians, and some 
others abroad, had of this Matter, when they heard that the Differen- 
tial Method began to be celebrated in Holland as invented by Mr. Leibnitz. 
The first of these two Letters, and Part of the second, are hereunto 
subjoyn'd. 

LXII. 

£dbnt3 an (Eortii 

$tu§ Hecucil de diverses pieces efcc. ^ctuggegeBert uon des Maizeaux. 

Hanover ce 14. d'Avril 1716. 
Pour ne vous point faire attendre, je vous dirai par avance que 
j'ai repondu d'abord a Thonneur de votre Lettre, et en meme tems ä 



öetönis an (Sonti. 295 

celle que Mr. Newton vous a ecrite; et j'ai envoye le tont a Mr. 
Remond ä Paris, qui ne manquera pas de vous le faire tenir. Je me 
suis servi de cette voie, pbnr avoir des temoins neutres et intelligens 
de notre Dispute: et Mr. Remond en fera encore part a d*autres. Je 
lui ai envoyä en meme tems une eopie de votre Lettre, et de celle de 
Mr. Newton. Apres cela vous pourrez juger, si la mauvaise chicane 
de quelques-uns de vos nouveaux Amis m'embarrasse beaucoup. 

Quant au Probleme dont quelques-uns parmi eux ont voulu re- 
soudre des cas particuliers pour en fixer, disent ils, les idees, il y a 
de Tapparence qu'ils se seront jettez sur des cas faciles, car il y en 
a dans les Courbes transcendantes aussi bien que dans les ordinaires, 
mais il s'agit d ? une Solution generale. Ce Probleme n'est point nouveau. 
M. Jean Bernoulli Ta deja propose dans le mois de May des Actes de 
Leipsic 1697 p. 211. Et comme M. Fatio meprisoit ce que nous avions 
fait, on en repeta la proposition pour lui et pour ses semblables dans 
les Actes de May 1700 p. 204. II peut servir encore aujourd'hui a 
faire connoitre a quelques-uns, s'ils sont allez aussi avant que nous en 
Methodes: et en attendant qu'ils trouvent le moyen de parvenir a la 
Solution generale, ils pourront essayer ce qu'ils peuvent en fixant les 
idees sur un cas particulier, qu'on leur propose dans le papier ci-joint. 
Sa Solution vient encore du meme M. Bernoulli. Ainsi vous aurez la 
bonte de ne pas vous rendre trop tot aux insinuations de ceux qui 
nous sont contraires, comme lorsqu'ils vous ont fait accroire que notre 
Problem leur etoit aise. Je suis avec zele etc. 

Problema continens casum specialem Problematis generalis de 
invenienda serie Curvarum quarum quaelibet sit ad aliam seriem Cur- 
varum perpendicularis. 

Super recta AGr tanquam axe ex puncto A constructis Curvis 

quotcunque, qualis est ABD, ejus naturae 
ut radius osculi ex singulis singularum 
Curvarum punctis B eductus BO secetur 
ab axe AG in C in data semper constante 
ratione, ut nempe sit BO : BC — 1 : n. 
Construendae jam sunt trajectoriae qualis 
est ENF, priores CurvasABD secantes 
ad angulos rectos. 

Beilage* 

Übet ba£ Problem ber £rajectorien Ijat 9?icolaul SBewouEi, ber ©ü^n 
i)ßu Sodann 33entoutti, bie folgenbe SÖ^anbtung, bie in betreff bet ©efdjtdjte 




296 SetBnij an &otitt. 

beg Problems bemerlenSwertf) ift, in ben Act. Erudit. Lips. an 1718 aer* 
öffettttidjt: 

Nie. Bernoulli Joh. F. de trajeetoriis curvas ordinatim 
positione datas ad Angulos rectos vel alia data lege 
secantibus, qua occasione communicatur gemina con- 
struetio alieujus problematis a Leibnitio propositi de 
trajeetoriis orthogonalibus, una cum Appendice de Epi- 
stola pro Eminente Mathematico Actis Lips. Mens. Jul. 
A. 1716 inserta. 

§. 1. Series linearum curvarum seeundum datam legem descripta- 
rum oritur, si assumta reeta quaepiam tanquam parameter legem 
descriptionis ingrediens et pro qualibet curva invariabilis, ex sui suc- 
cessiva variatione dat aliam atque aliam seriei illius curvam. Jam non 
pauca habentur notatu digna circa hujusmodi lirieas communi lege 
generatas, quas illustris quondam Leibnitius voeaverat ordinatim 
positione datas; duo cum primis non spernendae utilitatis fixere 
hactenus considerata et quaesita: modus scilicet determinandi lineam 
quae illas ordinatim positione datas contingat; deinde methodus easdem 
secandi in angulo dato vel data lege variabili per lineas quas trajeeto- 
rias Honoratiss. meus Pater nuneupavit. 

§.2. Ad prioris generis problemata pertinent omnia illa, ubi datae 
curvae quaeritur evoluta, caustica, diacaustica etc. ut et illa, quae ex 
mutato situ vel directione tangentis aliam quaesitam continuo tangat, 
cujus exemplum luculentissimum praebet balistica in definiendo limite, 
qui comprehendat omnes possibiles j actus longissimos, ad quos globus 
missilis ex quaeunque elevatione mortarii pertingere possit, quem limi- 
tem parabolam esse, ac quidem aequalem illi quam describit globus in 
mortarii situ horizontal^ demonstratum est in Analysi infinite par- 
vorum p. 133. Illa vero problemata nihil aliud ad sui solutionem 
requirunt, quam direetam differentialium methodum, sicuti patet ex iis, 
quae pro solvendis hujusmodi traduntur in dieta x4.nalysi vid. Secti- 
ones V, VI, VII etc. VIII, ita ut cum lineae ordinatim positione datae 
sunt algebraicae, ipsa quoque quae quaeritur illas contingens non possit 
non esse algebraica. 

§. 3. Secus vero se res habet cum trajeetoriis, utpote quae 
pro curvis quanquam algebraicis ex data lege secandis saepissime sunt 
transcendentium trajeetoriae fiant algebraicae. Quodsi enim lex illa 
in hoc consistat, ut trajeetoriae oecurrant secandis ad angulos constanter 
datos, manifestum est, ambas series curvarum in se mutuo ratione 
nominis eonverti posse, h. e. quod Series trajeetoriarum considerari 
queat instar seriei secandarum et vicissim: quare si liniae ordinatim 



&et6nt§ an dottit. 297 

datae sint algebraicae, habeant autem seriem trajectoriarum transcen- 
dentem, annon hae ipsae tan quam secandae, licet transeendentes, liabe- 
bunt priores algebraicas pro suis trajectoriis? 

§.. 4. Disquisitio ista de trajectoriis determinandis res est ab- 
strusae indaginis, quae plus difficultatis habet in recessu, quam prima 
fronte apparet, sicut Uli experientur, qui in generali rei idea nescio 
quam statim simplicitatem et facilitatem mentiente non subsistere, sed 
ad peculiaria quaedam exempla descendere dignabuntur: deprehendent 
enim integrationum regulas hactenus in vulgus notas in plerisque 
transcendentium exemplis nequicquam ad usum vocari, atque parum 
subsidii ab Ulis sperari posse, nisi arte quadam peculiari ac non cuivis 
obvia traetentur. 

§. 5. Primum Patri meo subnata est occasio ea de re eogitandi, 
cum legeret olim Hugenii Diatriben de lumine, ubi singulari modo ex- 
plicat generationem et propagationem lucis per expansionem undarum ? 
quae ita incurvantur ut radios lucis curvilineos jDer medium continue 
difForme penetrantes orthogonaliter secent. Mox postea ex radiorum 
curvitate quaerere (nee sine successu) suseepit Pater curvitatem undarum, 
et vice versa hanc ex illa, tum et utramque ex data lege variantis 
refractionis medii. Ortum hinc habuit synebronarum Parentis speculatio, 
quae nimirum ex omnibus curvis celerrimi descensus commune initium 
habentibus abscindunt arcus temporibus aequalibus percurrendos, quas- 
que ostendit bas alteras ? quae in vulgari gravitatis hypothesi sunt 
cycloides, ad angulos rectos trajicere, ac proin synchronas bracbysto- 
chronarum, et vicissim hasce illarum esse trajeetorias orthogonales. Vid. 
Act. Lips. an. 1697. 

§.6. Sed pluribus jam annis ante id temporis haec materia ipsi 
familiaris erat, ut constat ex iisdem Actis an. 1698 p. 470 et seqq. ubi 
mentionem injicit methodi cujusdam sibi usitatae atque exemplorum multo- 
rum per eam solutorum, simul et refert Leibnitii, quem ad tentamen invi- 
taverat, solvendi rationem sub finem anni 1694 sibi perscriptam : patet 
ex ipsa ejus epistola, cujus excerptum ibi habetur, problema hoc quod 
aliquem usum in dioptricis habere videret Leibnitio nequaquam displi- 
cuisse, cum praesertim postea a Parente meo monitus observaret suum 
solvendi modum, qui primus quoque fuit, in quem antea ineiderat Pater, 
et a quo sane re ipsa non differunt illi ? qui superiori anno prodierunt, 
feliciter applicari non posse, nisi ad exempla algebraica et ad pauca 
quaedam transcendentia: pro eo enim quo erat candore Leibnitius, im- 
perfectionem hujus methodi non tantum agnovit, sed etiam vel ideo 
quaestionem ipsam tanto pluris aestimavit: quo factum, ut de aliis me- 
thodis eruendis uterque cogitaret, quae ad talia pertingerent, ad quae 



298 SetBmj an &ontt. 

illa communis et obvia applicari non posset. Patrem vero meum non 
prorsus successu frustratum fuisse, manifestum fiet ex constructione mox 
communicanda exempli ante biennium in Anglia propositi. 

§ 7. Non quidem inficior problema ipsum a Patre fuisse sugge- 
stum; sed nego, eeu aliqui ita interpretantur, hoc ipsum fecisse, ut pro- 
vocaret ullum ex mortalibus, nedum eruditos Angliae Mathematicos, 
quorum profundam sagacitatem, praecipue incomparabilis Newtoni, 
data quavis occasione depraedicat, et cum quibus pacem colere, modo 
vellent, esset id quod vehementissime cuperet. Prorsus enim adstipu- 
latur Newtono existimanti, illum imprudentiae esse arguendum, qui 
umbram captando h. e. lites ferendo perdit quietem suam, rem 
prorsus substantialem, vid. Commerc. Epist. p. 71. Sed ut intelli- 
gant, quam sit a more optimi Patris alienum, alios ad certamen lacessere, 
vel cum quoquam rixarum serram reciprocare, consultum duco indicare 
paucis rei historiolam. Exeunte nimirum anno 1715 in literis Leibniti- 
anis ad se scriptis vidit problema, quod Vir inclytus transmiserat Illustr. 
Abbati C . . .*) eo fine ut ad pulsum Anglorum Analystarum non- 
nihil tentandum (sunt Leibnitii verba) illud Ulis proponeret: proble- 
ma autem ita sonabat. „Invenire lineam BCD, quae ad angulos rectos 
secet omnes curvas determinati ordinis ejusdem generis; exempli causa 
omnes hyperbolas ejusdem verticis et ejusdem centri AB, AC, AD etc. 
idque via generali." Pater vero respöndit, quam difficile sit problema 
generaliter conceptum, tarn facile esse exemplum quod ille proposuerit, 
siquidem sit algebraicum et tale quidem ut illud vix mediocris ingenii 
vires eludere queat; et ne dubitaret Leibnitius, misit huic solutionem 
hujus exempli e vestigio inventam a me tum temporis satis juvene, 
quam videre est in Actis Lips. an. 1716 p. 227. Mirum itaque non 
fore addidit Pater, si excellentia Anglorum ingenia istius particularis 
exempli solutionem statim sint datura. Rescripsit Leibnitius d. 31. 
Januarii 1716 se Hyperbolas proposuisse, non quasi problema in iis 
consisteret, sed ut intelligeretur; se enim diserte addidisse, quaeri me- 
thodum generalem, rogavit autem ut novum sibi exemplum suppeditaret, 
en verba ejus: Quod si mihi, inquit Leibnitius, suppeditare exem- 
plum voles, quod non particulari aliqua facilitate adjuvare 
putes, sed ad generalem adigere, rem gratam facies. Id enim 
pro sp'eeimine solutionis verae Duo. Abbati nominare potero; 
vellem autem tale esse, ut factis evolutionibus tandem ad 
quadraturas reducatur, ne dicant ne a nobis quidem suffici- 
entem solutionem dariposse: quamquam revera recurrendum 
sit ad differentias secundi gradus, nostra autem methodo 

*) Conti. 



SetBntg an (Sonit. 



299 



inter primas consistatur etc. Rogatus Pater non potuit non 
morem gerere tanto Viro, cujus merita in universalem rem literariam 
summopere venerabatur. Roganti itaque in exemplum desumtum ex ea- 
dem materia, quam selegerat Leibnitius, de trajectoriis orthogonalibus 
suggessit problema de inveniendis et construendis lineis ad angulos rectos 
secantibus seriem curvarum, quae hanc habeant naturam, ut cujuslibet 
in quolibet puncto radius convexitatis ad sui portionem ab axe resectam 
habeat datam rationem. 

§ 8. Haec tum ita gesta sunt; num vero transilierit modestiae 
limites exhibendo petenti problema, quod proponeret tanquam suum, non 
tanquam Parentis mei, qui hanc conditionem diserte stipulabatur, nunc 
aequi Lectoris judicio reKnquo. Quis enim somniasset, Bernoullium 
hujus problematis Autorem existere, nisi hoc, ut conjecto, ipse Leibni- 
tius amicö (postea incaute propalanti) privatim aperuisset? quo jure 
igitur imputabit quis Bernoullio ostentationis animum, a quo, si quisquam, 
ipse semper abhorruit ? cum latere voluerit, quomodo dici potest, quen- 
quam provocare voluisse? tradidit Leibnitio exposcenti problema, de 
quo. tanquam sui arbitrii et juris jam facto, faceret quod vellet. Leib- 
nitius hoc proponit, ac suo quidem proponit nomine, ita ut quidquid 
eveniret, de eo non Patri sed Leibnitio respondere incubuisset. Sed 
quia nihil amplius hanc in rem expectare licet a Viro optimo morte 
occupato, lubet hie Patris mei permissu communicare solutionem et con- 
struetionem ipsius, qualem statim cum ipso problemate impertiverat in 
literis ad Leibnitium datis d. 11. Martii 1716. 

§ 9. Problema duas habens partes his verbis coneeptum erat: 

1. Super reeta AG tanquam axe 
ex puncto A construere infinitas 
curvas qualis est ABD, ejus natu- 
rae ut radii osculi ex singulis sin- 
gularum curvarum punetis B edueti 
secentur ab axe AGr in C in data 
ratione,utnempesitBO.BC : : l.n*); 

2. Construendae sunt trajeetoriae 
qualis est ENF, priores curvas 
ABD ad angulos rectos secantes. 
Solutio et construetio quam tum 

dederat ita si habet: L Esto AL perpendicularis ad AG: vocetur AI, 
x; IB,y; et quaedam constans ad ärbitrium assumta, a; fiet y seu 




IB = 



x ü dx 



Vtf*- 



z 2n J 



erit punctum B in quadam curva ABD, quae deside- 



*) $. fy BO:BC = l:n. 



300 



^etBtttg an (£ontt. 



ratam habet conditionem BO. BC : : 1. n. Quodsi jam mutetur a eaque 
major minorve sumatur, prodibit alia ABD a priori diversa eandem con- 
ditionem habens, et sie infinitae construentnr curvae optatae: quod erat 
faciendum pro primo. 2. Describatur nova curva AH, habens (nominatis 

a n b u ~^ * 

abscissis AM. z) applicatas MH = -=, ubi a denotat eandem 

• z n l^a 2n -z 2a 

arbitrariam, quae assumta est pro curva ABD, et b significat reetam 
pro omnibus curvis eandem et tantum ad supplenda bomogenea ad li- 
bitum introduetam. In hac nova curva AH capiatur area AHM aequa- 
lis magnitudini arbitrariae constanti C : secabit HM producta curvam 
ABD in puncto N, quod erit in aliqua ex trajeetoriis quaesitis ENF, 
cujus reliqua puneta similiter determinantur, si successive mutetur a, 
servata C. Quod si alia insuper desideretur trajeetoria, sumatur jam 
C major minorve quam antea ? modo constantis maneat magnitudinis dum 
a mutatur: reliqua peragantur ut prius, prodibit nova trajeetoria. At- 
que hoc pacto tot aliae eonstruentur, quot libuerit. Quod erat facien- 



dum pro alter o. 



Notetur, quodsi n = - — — • aut = -^ — , 
1 2p + 1 2p 



erunt curvae 



omnes ABD, ut et omnes ENF algebraicae (intelligo per p quem vis 

numerum integrum et positivum); si vero n = -~ — , utrarumque construc- 

Jp 

tiönes dependent a quadratura circuli: Et tandem si n = - — -—, depen- 

dent a quadratura hyperbolae. 

§ 10. Tametsi haec solutio pro quo vis numero n sit generalissi- 
ma, ita ut permixtio indeterminatarum construetionem per quadratnras 
nullo modo impediat, placet tarnen adjungere aliam construetionem Pater- 
nam, quae non tantum idem praestat in hoc exemplo, sed et ad alia in- 

finita eodem successu aecom- 
modari potest, si levis atten- 
tio adhibeatur. Sit igitur 
AG axis curvarum ABG, 
AED etc. normaliter secan- 
darum a trajeetoria quaesita 
NEB, quam per concessas 
quadratnras ita construit. 
Ex curvis secandis assumit 
aliquam pro lubitu ut ABG, 
quam principalem vocat: 
per hujus singula puneta F 
ducantur reetae AFE, qua- 




an &onü. 301 

rum partes AF transferantur in AM (facta nimirum OA perpendiculari 
ad AG, et utraque producta versus M et K) ad singula vero puncta 
M fiant anguli AMK aequales angulis inclinationum curvae principali 
ad rectas AF, hoc est angulis quos faciunt tangentes in punetis F cum 
suis respective subtensis AF. Accepta AI arbitrariae quidem sed con- 
stantis et invariabilis longitudinis, agantur IT parallelae ipsis MK, et 
junctis MT fiant perpendiculares TL ; deinde ad M applicentur MP ipsis 
AL aequales, formabunt puncta P curvam AVP, cujus areae APM cum 
areis hyperbolicis aequatae determinabunt trajectoriam, id quod seqr.enti 
modo peragitur. Inter asymtotos AG et AO descripta sit hyperbola 
QRS, quae possit AI 2 id est cujus coordinatarum rectangula AC x CR 
vel AH x HS = quadrato Rectae AI. Sumto autem quolibet puncto H 
pro initio fixo abscissarum HC, fiant areae hyperbolicae HCRS alteris 
illis APM aequales, capiantnrque in AF longitudines AE aequales ipsis 
AC. Puncta E describent trajectoriam desideratam, quae omnes ABG, 
AED etc. orthogonaliter secabit. 

Cor oll. Mutato loco puncti fixi H, patet aliam obtineri trajec- 
toriam NEB a priore diversam ; sie itaque innumeras describere licet, 
quae singulae optatum praestabunt. 

§. 11. Hisee ut puto satisfaetum est problemati omni ex parte, 
idque ad 1 mentem Leibnitii, qui desiderabat, ut f actis e volutionibus 
construetio tandem ad quadraturas reduceretur, adeoque ut 
non tantu m eliminatis d i f f e r e n t i i s s e c u n d i g r a d u s inter primas 
co ns ister etur, sed ipsae quoque indeterminatae cum suis differentia- 
libus a se invicem separari possent, idque non per series, sed per ter- 
minos numero finitos ; quod quieunque effectui non dederint, iili certe 
lianc quaestionem solvisse minime censendi erunt. lila quippe reduetio 
differentialium superiorum graduum ad inferiores, ut et indeterminatarum 
sequestratio, quae est res infcricatissimi negotii, et a Parente primum 
olim exeoli coepta, potissimam constituit partem solutionis alieujus. 
Videbimus itaque an inter solutores quidam extiterint alii, qui praesen- 
tis exempli solutiones suas ad hunc perfectionis gradum perduxerint. 
Hactenus saltem nullam hujusmodi videre contigit, quod miror, cum sit 
exemplum non adeo difficile, et alia suppetant difficiliora, non tarnen 
extra potestatem nostram. Quod antem hoc potius suppeditaverit quam 
aliud, id certe arguit quod illud nullo studio exquisitum, sed sponte 
velut oblatum Leibnitio roganti festinanter perscripserit 

§. 12. Tentatum fuisse in Gallia et in Anglia, ac quidem in hac 
aliquandiu irrito conatu, per literas nobis constat: nup er vero Taylor um 
Anglum, Virum sane in Geometricis et Analyticis profunde doctum, 
solutionis tandem compotem esse factum ex Gallia non sine voluptate 



302 SciBmj an (£ottti. 

accepimus; ita enim novum accessisse penitiori Geometriae incrementum 
ejusque adeo limites prolatos speramus: siquidem ut scribitur solutionem 
suam in Trans actionibus Londinensibus publico inrpertiturus sit, nisi 
fortassis jam impertierit. Utrum autem rem promoverit usque ad 
quadraturas et quidem in terminis numero finitis, quod Leibnitii summum 
requisitum fuerat, ediseemus quondam ex Transaetionibus quae rarissime 
et sero ad nos perveniunt. Intelleximus Virum Aeutissimum duas 
habere solution.es, sed in utraque ad seeundas fluxiones pervenisse, 
quas in casu praesenti minime evitare potuerit; quam instituerit Analysin 
non audivimus; hoc saltem dieo, si talis fuit ut per eam necessario ad 
seeundas fluxiones descenderit, oportet ut postea viam adinvenerit per 
integrationes (rem enim omnino in potestate esse ambae Parentis con- 
structiones ostendunt) regrediendi ad fluxiones primas, et tales quidem, 
quae sint cum fluentibus suis a se invicem separabiles. Nisi hoc 
praestitum sit, non aegre feret Cl. Taylorus/ si dixerimus, exemplum 
nostrum non plene ab ipso solutum esse in sensu Leibnitiano. 

§♦ 13. Interim spero Virum Clarissimum eandem nobiscum ferre 
sententiam de putatitia illa solutione Anonymi cujusdam, quae dicitur 
apparuisse in Transaetionibus suprä memoratis pro mensibus Januario, 
Februario et Martio anni 1716. Videtur Autor, quisquis ille sit, aeu- 
men ingenii sui non satis intendisse, dum dicere vult aliquid, quando 
revera nihil dicit quod ad rem faciat, aut si quem sensum commodum 
ex verbis ejus elicere licet, in eo consistit, quod quivis de trivio Mathe- 
maticus sine operosa attentione videt, etiamsi Autoris solutionem non 
legerit, sed quod ad tollendas difficultates, quae in ipsa rei executione 
oecurrunt, ne festucam quidem confert. Hanc puto causam esse, quare 
solutor anonymus ad specialia exempla descendere, et praesertim cur 
casum particularem a Leibnitio propositum attingere noluerit, quem 
utique perfecte solutum dare debuisset, antequam abjeete adeo de hoc 
problemate sentire affectet ? dum causatur, se ideo solutionem ulte- 
rius non prosequi, quia nullius sit fere usus; alias certe stoma- 
chari non debet, si sibi objiciatur, quod olim Fermatius et Freniclus, 
Illustres Galli, "Wallisio quaestiones numericos nauseare et contemnere 
simulanti inculcarunt, facile est, inquit Freniclus, illucl despicere, 
ad quod non possumus pervenire. Nee etiam multüm con- 
venit Mathematico, conqueri cuibono sint haec problemata. 
Eodem vero jure quaereretur cui bono tota pene Geometria 
et Arithmetica, si paueula quaedam et ea magis trita et 
aperitis despeeta, quibus Geodetae, Agrimensores, Mercatores 
et qui utramque Architecturam exercent, aliique complures 
in suis calculis utuntur, excipias; cetera namque magis 



2ci&m3 an ßotttt. 303 

recondita et praestantiora non nisi ad scientiae subtilitatem 
et perfe ctionem spectant. Cum autem sit proprium intel- 
lectus humani veritatem inquirere, nee aliam ob causam 
tot Viri praestantes scientiis aequirendis operam dederint, 
inutilis certe dici non debet in diseiplinis alieujus aequisitio 
veritatis. Vid. Oper. Wallis. Tom. II pag. 811 et 844. Haec inci- 
denter monenda existimavi, quia aliunde quoque scio, esse non neminem 
in Anglia, qui cum imitari non possit, omnia ea, quae a Parente ut- 
pote non Anglo proüciscuntur inventa, invidiose traducit ae tanquam 
inutilia despicatui habet; utut non sit cur praeposterum hoc Judicium 
valde nos moveat, quamdiu certi sumus ipsum incomparabilem Newtonum, 
judicem in his rebus longe magis idoneum ömnique exceptione majorem, 
de iis benignius sentire, ac suam sententiam meo Patri non parum 
honorificam plus semel jam edixisse, quod potiori laudi ducendum, 
quam quod vel a centum imparibus aemulis detrahi queat, 

§. 14. Ad propositum redeo. Occasio postulat ne sileam, quod 
praestitit Patruelis meus, Nicolaus Bernoulli,*) Mathematum Professor 
Patavinus. Is jam ante biennium, cum primum se applicaret huic 
quaestioni de Trajectoriis, invenit regulam generalem quidem pro curvis 
algebraicis, sed quae non valet pro transcendentibus, nisi illis tantum, 
in quibus reeta illa constans, quae parametri loco est in qualibet curva, 
et ex cujus successiva variatione oritur series curvarum a trajeetoria 
normaliter secandarum, in terminis finitis exprimi potest. Regulam 
ipsam quae in rei fundamento congruit cum illis Patri jam olim usi- 
tatis, quarum memini in art. 6, statim communieaverat cum Illustrissimo 
Monmortio, Mathematico praestantissimo, et paulo post cum ipso Leib- 
nitio his verbis: Si x et y sint coordinatae trajeetoriae quae- 
sitae, p linea illa variabilis, quae determinat speciem vel 
positionem curvarum, ad quas alia ad angulos rectos duci 
debet; quaero valorem ipsius p in x ? y et constantibus ? quo 
differentiato et mutatis dx in dy et dy in dx, positisque 
membris per dx multiplicatis aequalibus illis quae per dy 
multiplieantur, habebitur aequatio differentialis satisfaciens 
trajeetoriae quaesitae. 

§. 15. Eandem hanc regulam sed in operandi ordine nonnihil 
diversam eidem Nob. Monmortio perscripsit Pater deeimo Julii anni 
superioris, nescius a Cl. Professore Patavino jam diu antea iuisse per- 
scriptam, sicut monuit Illustr. Monmortius in sua ad Patrem data 
responsione; quia vero in praxi analytica saepius aeeidit, ut una 



*) 9tfcofou8 Jöcrnoum, ber S^effe uon 3aco5 «nb 3o§ann ^etnonüi (1687-1759). 



304 ßetbntg an (Sontt. 

eademque regula secundum unum quam alterum operandi ordinem 

facilius et eommodius applicetur ? non piget adjicere quäle operationis 

filum Pater praeseripserat. Verba in hanc rem ex dicta ipsius epistola 

ex Gallico in Latinum translata ita habent: „Si aquiescen dum esset 

„methodo generali pro curvis quidem omnibus algebraicis, sed non nisi 

„quibusdam transcendentibus valenti, praeferrem regulam ab agnato 

„meo traditam, quae his 4 absolvitur partibus: 1° Supponere constantem 

„parametrum, quam hoc nomine voco rectam illam ex cujus mutata 

„longitudine dependet curvarum secandarum diversitas. 2° Juxta hanc 

„suppositionem differentiare aequationem naturam curvarum exprimentem. 

„3° Convertere dy in dx et dx in — dy. 4° Substituere valorem para- 

„metri expressum in x, y et con stantibus datis, si quae adsunt in 

„aequatione curvarum. Hoc facto prodibit aequatio differentialis pro 

„trajectoria quaesita. Exempli loco sumamus inveniendam trajectoriam 

„parabolarum communem axem et verticem habentium: aequatio speci- 

„fica illarum est ax = yy; supponamus itaque 1°. parametrum a tan- 

„quam constantem; hinc 2° per differentiationem habetur adx~2ydy; 

„mutando 3° dy in dx, et dx in — dy, elicitur — ady — 2ydx; in hac deni- 

vy — yydy 

„que 4° substituatur pro a ipsins valor — ? et emerget —±J—*- = 2ydx 

x x 

„aequatio differentialis pro trajectoria quaesita. Saepissime-. ulterius 

„progredi non datur propter inseparabilitatem indeterminatarum ? sed 

„casus dantur in quibus illae separabiles evadunt, imo et quandoque 

„integrabilis redditur tota aequatio, quae per consequens trajectoriam 

„arguit esse algebraicam, sicuti in hoc exemplo, ubi aequatio reperta 

„ — Xl-Ä. — 2yAx statim reducitur ad — ydy = 2xdx 7 ex cujus integrati- 

„tione invenitur aa — ^ yy = xx ? aut 2aa — yy — 2xx 7 quae- est ad 

„ellipsin; unde patet, parabolarum trajectoriam esse quamlibet ellipsin 
„cujus centrum in communi parabolarum vertice^ axis minor super 
„earundem axe communi habens ad alterum axem rationem ut 1 ad 
„i / 2, idem omnino, quod jam ante complures annos inveni, ut Tibi 
„patebit ex Actis Lips. 1698 p. 470, quo in loco videbis etiam regulam 
„aliquam Illustr. Leibnitii, a qua non multum differt illa, quam pro du- 
„cit Celeb. Hermannus, et neutra valde discrepat ab ea quam dudum 
„antea excogitaveram, ceu videre est ex quadam mea epistola ad Leib- 
„nitium data d. 2. Sept. 1694, cujus exerceptum habetur loco citato. 
„Sed omnes istae regulae magno adhuc defectu laborant," 

§. 16. Quod in hac epistola memoratur de regula quadam Gl. 
Hermarmi, seien dum' est, id intelligi debere non de ea quam publicavit 



Seibnij an ©ontt. 305 

in Actis Lips. mense Augusto Anni praeteriti, quippe quae nondum 
lucem aspexerat, et super qua mox aliquid dicendum erit, sed de alia 
quadam, quam cum amicis communicaverat, et nominatim cum Leibnitio, 
cujus missu illam vidimus, atque jam Gl. Autoris pace et scientiae 
promovendae gratia ipsius verbis descriptam hie exponere lubet: „Li- 
„neam reetam, ait, quae in una eademque curva constans est, sed 
„variabilis variata curva, vocabo Mo du] um* Differentietur curvae datae 
„aequatio, sumto etiam modulo pro quantitate variabili, et eadem 
„aequatio adhuc semel differentietur, sed ita tarnen ut x velut constans 
„tractetur, et pro elemento ipsius y ponatur By — dxdx + dydy : dy, 
„ope duarum ejusmodi aequationum eliminari potest modulus ejusque 
„elementum, adeo ut habeatur aequatio ad curvam omnes datas ad 
„angulos rectos trajicientem." 

§. 17. Hujus regulae origo obvia est, utpote quae eodem nititur 
prineipio, quo il]ae quae jam ante annum 1694 Parenti erant familiäres, 
sed ejusdem insufficientiam probe perspiciens Cl. Hermannus, cum in 
transcendentibus, ubi moduli valor per quantitates finitas nequit exprimi, 
haud quadret, eam ? credo, tanquam luce publica non satis dignam 
neglexit, sed nulla hujus facta mentione aliam edidit in memorato 
Actorum mense Augusto anni proxime elapsi in hunc modum*) In 
aequatione dif ferentiali curvarum secandarum permutatis 
c oordinat arum elementis, alterutro tarnen cum signo mutato 
eliciatur valor moduli ex aequatione post hanc permutati- 
onem orta, inventusque moduli valor in aequatione curvae 
secandae finitis quantitatibus expressa substitutus suppe- 
ditabit aequationem differentialem Trajectoriae quaesitae. 
Regulam istam esse prorsus eandem cum illa, quam jam antea Patru- 
elis meus dederat, nemo non videt, ipse vero operationis ordo ? qixem 
Vir Acutissimus sequitur, usque adeo similis est illi, quem praecedenti 
mense Julio in literis suis ad Monmortium descripsit Pater, ut videri 
posset alterum alterius verba descripsisse, si hoc fieri potuisset in 
tanto locorum intervallo et tarn brevi temporis spatio. 

§> 18. Quid autem de hoc canone sentiam, jam supra §♦ 14 ape- 
rui ? scilicet illum generalem quidem esse pro curvis algebraicis, sed pro 
transcendentibus non item. Patruelis meus, qui saltem commune jus 
habet cum Cl. Hermanno in canonis hujus inventione, ipse ei non ma- 
jorem attribuit praerogativam, nee obstat quod contrarium dicat CL 



*) I. H. Schecliasma de Trajectoriis datae Seriei Curvis ad angulos rectos oc- 
currentibus : coutinens solutionem generalem Problematis iu Actis Erud. 1698 p. 471 
primum propositi et in Actis Anni superioris p. 226 iterati. 

20 



306 Seümta an ©ontt. 

Hermannus dum cum pro omnibus omnino curvis generalem depraedicat. 

Exempla quatuor, quae affert per hunc canonem soluta vel solvenda, 

nihil probant. Exempla quippe primum et secundum, utpote ambo 

algebraica nihil difficultatis habent; tertium quidem transcendens et a 

Patre et a Patruo olim solutum, vid. Act. Lips. 1698 p. 472, tale est, 

ut valor moduli in terminis finitis exhiberi possit, adeoque nee hoc suf- 

ficientiam canonis probat. Quartum denique, quod ipsum est, de quo 

agitur, a Leibnitio propositum, nescio an ad mentem Leibnitii perfecte 

solutum dici mereatur ; et si vel maxime solutum concederemus, nondum 

tarnen constaret, qua lege vel qua arte levis illa (ut dicit p. 351) 

substitutio novae cujusdam indeterminatae in aliis transcen- 

dentium exemplis cum fruetu sit imitanda, praesertim si in aequatione 

differentiali curvarum secandarum modulus a non semel tantum oecur- 

reret, sed variae ipsius a dimensiones illam ingrederentur: si haberetur 

ex. gr. sequens aequatio curvarum secandarum, quarum trajeetoriae con- 

struetio per methodum Paternam non est impervia 

, ü™ + fa™- 1 y + g8L m - 2 yy + hy m , .... . 

dx = —= — — dy, ubi datos qualescun- 

V na 2m + pa 2m - x y + qa 2m - 2 yy + ry 2m 

que literäe f, g, h, n, p, q, r ? sicuti m denotant numeros. Teiltet Vir 
Clarissimus illam suam substitutionem, nobisque ingenue referat, 
quid profecerit aut in quam calculi abyssum fuerit abreptus, aequationem 
trajeetoriae expiscaturus ; siquidem multum laboris subire debuit pro 
exemplo isto quarto, sane non difficillimo, nee tarnen aliud effecit, quam 
ut per ambages et institutam aliquam integrationem non facilem, nee 
certa ratione patentem p. 352, pervenerit tandem ad aequationem ali- 
quam xdy ~ ydx = ymds : c m — 1 , quae a construetione per quadraturas 
a Leibnitio postulata adhuc abest ob indeterminatarum permixtionem; 
hinc ut casum simplicissimum ad construetionem Patris in Actis 1697 
datam revocare posset, novum iterum instituit calculum, parum solli- 
citus de modo reducendi suam aequationem in statum optatum separa- 
tionis, quo construi posset per quadraturas pro omni possibili casu ip- 
sius m quod supra §§. 9 et 10 felicissime peractum; miror itaque, quod, 
dum optime judicat, tentamen Anonymi illius Angli fore calculi labo- 
riosissimi ? ipse interim calculi prolixitatem et molestiam evitare non 
studuerit; miror praeterea dicentem, seeunda differentialia esse super- 
flua, quando ipse tarnen in calculo suo exempli IV ad ea delabitur, 
aequatio enim ipsius XI involvit dp, hoc est dds : siquidem b ? q, p se 
habere supponuntur ut dy, — dx, ds, quod moneo ut de alia magis per- 
fecta exempli istius solutione cogitet, quae nee differentialium seeunda- 
rum involutione, nee indeterminatarum inseparabilitate laboret, quem in 
finem binarum a Patre datarum construetionum analysin aut demon- 



SeiBnig an (Stmtt. 307 

strationem adhucclum studio omisi, ut nimirum tempus habeant, qui 
hisce delectantur atque ingenii sui vim experiri voluerint, in illas in- 
quirendi aut alias similes si non Paternis meliores inveniendi. 

Appendix. 

Hac occasione simul significare debui, Patrem aegre ferre perci- 
pienclo, in Anglia voces spargi, quod habeatur a nonnullis pro Autore 
Epistolae, quae in ipsius defensionem Actis Eruditorum Mens. Jul. A. 
1716 inserta fuit. Equidem non negat, quod res ipsas in illa epistola 
contentas qaoad maximam partem amico alieui sine ulla animi commo- 
tione perscripserit, et quidem ab ipso rogatus: hie vero postea Episto- 
lam tali forma, qua in Actis extat, concinnavit, eique ex nimis forte 
amicitiae zelo admiseuit expressiones, quas Pater omissas cuperet, cum 
nee immodicis honoris titulis delectetur, nee approbet, quae in alios ali- 
umve (licet ipsi infensum quam ob rem nescio) durius dieta censeri 
possunt, quamvis forsan editor autumaverit sibi lieuisse par pari referre, 
et similibus pugnare armis, quibus utitur Antagonista. Pater itaque 
non omnia, quae in dieta Epistola continentur, sua facit, praesertim 
quae ad ejus formam et modum scribendi speetant, cujus neutiquam 
partieeps esse vult vel potest, quod vel hinc patet, quia circa finem 
Epistolae oblitus editor ex inadvertentia Patrem sibi loquentem de sua 
quadam formula repraesentat (ut ubique solebat) veluti personam, 
de qua quid narrabat, manifesto sane indicio, Patri imputari non p'osse, 
si quid in verbis modisve, quibus conscripta est ■ Epistola, non recte 
positum judicetur. Quare si quid contra eam in publicum venerit, quod 
non nisi eonviciis ? aculeis et scommatibus scateat, ut fieri solet ab An- 
tagonista quodam, cui aliam offensam non dedit Pater, quam quod ipse 
Anglus vel Scotus non sit, solenniter me declarare jussit, quod ad hu- 
jusmodi libellos nunquam responsurus sit, utpote indignos, qui Viro- 
rum honestatis et modestiae amantium attentionem mereantur; nam si 
convieiis et clamore decertandum, ultro fatetur Pater, quod ex hoc cer- 
taminis genere palmam reportare nee speret nee optet. Quicunque vero 
voluerit res ipsas placide, moderate et prout decet Virum bene mora- 
tum, seposito partium studio atque animi affectu cum ipso discutere ? 
idque eo tantum fine, ut unieuique, Tros Eutulusve ruat, suum tribu- 
atur, ut veritas asseratur, atque inprimis ut scientiae augeantur, cum 
tali se committere non detreetaturus, sed sponte omnia est collaturus, 
quae in viribus ipsius sunt ad dirimendas lites, quae hactenus viguere 
inter eruditos Geometras, magno proh dolor! nobilissimae scientiae de- 
decore et detrimento. Hoc quippe ardentissimis in votis habet, ut ces» 

20* 



308 SciBntj an gontt 

santibus rixis disputantes in gratiam secum invicem redeant, atque 
junctis viribus, ceu unius Reip. Mathematicae cives ejus pomoeria latius 
proferre conentur. 



rteftt>e<$fe£ 

ättrifdjen 

Jetßntj 

unb 

§prenftieb ^affper x>on % f^irn^auö. 

1676—1706. 



& 



PJjrettjrteb 3Battt)er öon Sfcfjirntjang tonrbe auf beut (Stamm? 
fi| feiner Familie SHeStingStoatbe ofjntoeit ®örti| ben 10. Sfyril 1651 
geboren. 3)urdj $au8tel)rer forgfättig vorbereitet trat er bereits im 
15. ^a^re in bie erfte Pfaffe be§ ®örli|er ®t)mnafinm§. ©ein 
lebhaftes $ntereffe für bie matljemattfdjett Söiffenfc^aften erhielt Ijter 
gang befonbere ^örberung; er fanb einen Selber, beffen Unterricht in 
ben $nnbamenten ber 9Jlat^emati! tljn befähigte, ba§ er fid£) fetbft- 
ftänbig fortbitben lonnte. $n feiner toeitern StnSbitbnng begog £fcf)irn= 
IjanS 1668 bie Untoerfität Serben, bamafö nnter ben europäifdjen 
Uniöerfitäten eine ber berüfjmteften nnb bie bentfcfjen mit überragenb ; 
in |>otlanb ftanben bie ^tlofo^tfdjen nnb mattyemattfdjett Söiffen? 
fdjaften anf iljren ^öljepnnften, Ijier lebten nnb lehrten bie (Sanier 
öon 2)egearte3. SCfc^trn^auS lam nnter toenig günftigen Umftänben 
nacf) $ottanb; in Serben toütljete eine peftartige ßranßjett, faft alle 
2)ocenten ber Untoerfität tonrben Ijintoeggerafft, audj S£fc!)iral)ait3 
tonrbe baoon ergriffen nnb lag feiner barnieber. ©ine anbere #tttbe= 
rung in feinen ©tnbien tonrbe im $al)re 1672 bnrä) ben (Stttfatt 
eines fran§bfifc^en £>eere3 in £>otlanb herbeigeführt; er naljm at§ 
greitoiEiger ®rieg§bienfte gegen bie ^ran^ofen, lehrte jeboä) nac§ 1^ 
$al)ren nadj Setjben jurM Unter folgen Umftänben ging Sfc^irn? 
f)au3 in feinen @tnbien meiftenS feine eigenen äöege, tote er in S3e= 
treff ber Sttgebra in einem Schreiben an Seibnij anbeutet*), nnb es 

*) Hinc existiraabam, nie verum sensum Cartesii percepisse, adeoque in mea 



312 (Sutleitung. 

ift cmguneljmen, baf} bie bamafö lüften Probleme auf bem bebtet 
ber mattyematifdjen SBiffenfdjaften feine £f)ätigfeit in Stnfprud) nahmen. 
Slufierbem aber üertiefte er fiel) attfg eifrigfte in ba§ ©tubium ber 
©artefianifc^en ^ilofoptjie. 

SCfdjirnljaug lehrte 1675 in bie |>eimatt) $utM, üertiefj fie 
jeboc^ nodj in bemfelben Satjre, um eine längere toiffenftfjaftticfje 
fReife anzutreten, ©r ging junäcljft nadj «£>otlanb, unb machte bie 
perföntidje SManntfdjaft üon ©pttioja. darauf toanbte er ficf) nad) 
ßotibon, tno er mit Ötbenburg unb ©oHinS öerle^rte. &§ wirb 
nirgenbS erttmtjnt, ba|3 S£fc^irnfjau8 ttmfjrenb feines Stufentljaltg in 
Sonbon außer mit biefen beiben noclj mit anbern eugtifcl)en SCRatfje- 
matilern §uf ammengetroffen tnäre. Sßon Dtbenburg erhielt er @m= 
Pfeilungen an Seibnij in ^axx§ f mo er im September 1675 einträfe 
(£r tnurbe feljr batb mit Seibnij auf3 innigfte befreunbet, benn beibe 
in ber fdjönften S3tü% jugenblidjer ®raft befeette biefetbe Vorliebe 
für p^ilofapljifdje unb mafijematifdje ©tubien. Quod Tschimhausium 
ad nos misisti, fecisti pro amico, fc^reibt Setbui^ an Dtbenburg 
(Paris. 28 Decemb. 1675); miiltum enimejus consuetudine delector, 
et ingenium agnosco in Juvene praeclarum, et magna promittens 
inventa mihi ostendit non pauca, Analytica et Geometrica, sane 
perelegantia. Unde facile judico, quid ab eo exspectari possit. 
®ie Seibniäifct)en Sftanuferipte au§ ber jtoeiten $älfte be£ $at)re3 
1675 unb au§ bem $al)re 1676 geigen §at)lreic£)e ©puren twn ben 
gemeinfamen arbeiten beiber; auf bemfelben statte finben fiel) bie 
@rf)rift§üge Spiral) auf eng neben benen tion ber $anb ßeibnijenS. 



sententia confirniatior factus auetoritafce tanti Philosophi multas quidem posthac, 
sed frustra volvi cogitationes, adeoque quo mihi viam sternerem ad illud acquirendum, 
mihi firmiter proposui Algebram ex professo excolere, quia nimirum jam tale quid 
habebanius, ut sie bene iis perpensis, simul addiscerem applicationem ejusdem ad 
omnia. Hinc Algebram primo ex variis authoribus in unum corpus collegi, ut sie 
omnia quae dispersa erant praeeipua inventa, simul contemplandi facilior occasio 
esset, quo deinde breve compendium adornavi et alia multa peregi quibus recensendis 
hie supersedeo. 



Einleitung. 313 

ßeibtttj' öerliejs im Dctober 1676 ^arig, um nad) $eutfd)tanb 
jurüdäugefjen; £fd)irnt)aug folgte ben 21. Sfoüember 1676, um feine 
Steife nad) bem ©üben fortseien. ®er erfte SSrief, ben er oort 
Siom an Seibnt§ richtete, enthalt eine ausführliche 25efd)reibung feiner 
Steife; e§ ge^t baraug fjeroor, bafj £fd)irnl)au3 überall SBtffenfdjaft, 
Ihtnft unb Statur mit gtetdj großem $ntereffe feine Stufmerffamteit 
§umanbte. £fd)irnf)aug ging über £pon, Surin, SJtaitanb, SBreScia, 
£obi, SSincen^a, Verona, ^abua nad) SSenebig, öon bort über Bo- 
logna, fjerrara nad) Stom. $on tjier madjte er in einer @5efettftf)aft 
einen Sinkflug nad) Neapel unb bem Sefuö. $n Stom mürbe er 
mit einem fdjtefifdjen ©betmann oon SXiitrtptfd^ belannt, ber eine 
Steife über ©iena, ^(orenj nad) Sioorno beabfidjtigte, öon bort 
©partim $n befugen, barauf nad) Italien §urü%tfe^ren, unb burd) 
granfreid), (Sngtanb, ^ottanb lieber in bie $etmatfj einzutreffen ge= 
badete, tiefer ^(an lam tttdjt jur Slugfü^rung, ba tum 9?imptfd) 
burd) fjamtlten^er^ftltniffe öerantajgt mürbe, auf bireelem Söege 
nad) ®eutfd)lanb §urüd§u!e^ren. £fd)irnt)au§ Ijatte öon ben ©einigen 
$u ber geplanten Steife Urtaub ermatten; er benutzte tfjn, um ©teilten 
unb SMta %\x befugen*). 3)ie 23efd)reibung biefer Steife ift unter 
bm Seibni^ifdien papieren nttfjt t)orf)anben; e§ ift be^atb ungemifj, 
ob £fd)irnt)au3 fie big SMta auggebetjnt fjat. ©r lehrte nad) Stom 
jurüd, too er burd) gro^e «£>% länger aU einen SJtonat feftgetjatten 
mürbe; unb ging über ©enf nad) paarig, ©ein biegmatiger 8luf^ 
enthalt bafetbft mährte mefteidjt 2 SJtonate. Über ^annooer, mo er 
Unterrebungen mit ßeibni§ fjatte, getaugte er mieber in feine ^eimatf). 

®a in $otge biefer Unterrebimgen unb namentlich be§ barauf 
bezüglichen Seibniäifdjen @c^reiben§ etnettnterbredjnng ber Sorrefponbenj 
eintrat, unb ba bie mieber angelnüpfte ©orrefponbenj grö^tent^eifö 

*) %\<fymx§au% fdjreiBt an SetBntg/ Sftom b. 30. 2Ipxt(. 1678: <$ebenfe ba$ morgen 
üon 5ter na^er ©teilten, untB ^alerjno, Sfteffina, ben Berg Steinet a!8 anbere curtofüäten 
gu fefjcn get)en roerbe, unb ben fo ferner gar Bteft nadj Malta; weiten ben woJ)l Ben 2. 
monatfjen unb brüBex guBrtngen möd)ie Bte§ roieber alfjter gurücf nad) SHont gelangie 



314 ©iftleilung. 

einen anbern ftnljatt Bietet, fo bürfte eg angemeffen fein, bag bisher 
pifc^en Scibntä nnb Xfdljiratiaug SBetfjattbette, fo meit eg bie 9Jiatl)e- 
matt! Betrifft, im 3ufammenl)ang ju Betrauten. ©g Ijat biefer Streit 
ber ©orrefponbeuä für bie ©efd)id)te ber 2öiffenfcf)aft eine Ijeroor^ 
ragenbe SBebeutung. 

^unäc^ft ift bie Sttmdjme gerechtfertigt, baf? bie ©orrefponbenj 
an bag anlnüpft nnb fortfe|t, morüber jttrifdfjen SeiBnij nnb £fcJ)irn=: 
I)aug ttmfjrenb t^reg ,8ufammenfeing in ^ßarig in betreff ber SRat^e^ 
tnatif öerljanbett ttmrbe. Seiber finb bie Beiberfeitigen Briefe im- 
ttottftänbig öorfjanben; üjr $nl)att fann nnr bnxty bie fpätern ergänzt 
toerben. DBen ift ermähnt, ba|3 £fd)irnf)an§ atgebratfdje ©titbtcn 
eingetienb getrieBen IjaBe; eg lonnte ttidfjt fehlen, baf} er auf bag 
Problem, bie allgemeine Stuftöfung ber ©Keimungen §n finben, geführt 
ttmrbe. S)a bk (Gleichungen Big jnm tiierten (Grabe allgemein burdf) 
Sßnrjelanggie^nng aufgelöft werben tonnten, fo lag eg natje, bag ^ro- 
Blem anf biefem äBege $u tterfudfjen; bie SSefeitigung ber irrationalen 
Slngbrncfe, bie fiel) baBei ergaBen, fotlte Bewirft merben burdfj Befonbere 
Sftedjnungen, bie aBer anwerft umftänbtid) maren. SDieg ttmr £fcl)irn^ 
t)aug' Sfotfidfjt, atg er SeiBnij in ^arig gegenüber trat. ®iefer tjatte 
Bereitg bie ßöfung beffelBen ^robtemg üerfudjt nnb gefnnben, bafs 
toenn bie SBur^el alg nm §tt>eitl)eitige @nmme öorauggefe|t ttmrbe, 
gemiffe (Gleichungen beg fünften (Grabeg nadt) Slrt ber ßarbanifd^en 
ßöfnng ber (Gleichungen beg brüten (Grabeg gelöft merben Sonnten. 
$n betreff ber allgemeinen (Gleichung beg fünften (Grabeg Ijatte jebod) 
Seibnij fidlj überzeugt, bafj baffetbe $erfat)ren auf eine (Gleichung beg 
20ften (Grabeg führte, baf; fotgttd) bie allgemeine ßöfung beg ^ro- 
blemg auf biefem SBege nidjt möglidj fei. £fd)irnl)aug meinte aber 
auf biefe Söeife gur Söfung beg ^roblemg gu gelangen; er überfcJjicfte 
in bem Schreiben, batirt 9tom 10. Sfyrit 1678, bie augfü^rlitfie 
5lbf)aubtung: Methodus Generalis omnium aequationum radices 
exhibendi. ßeibnij fjat barüber eine lur^e ©riti! in mettigen Betten 



(Einleitung. 315 

gegeben, bic ju biefem ©einreiben mitgeteilt ift. — £fd)irnf)aug l)at 
noä) auf einem brüten SBege öerfu^t jur atigemeinen 2luflßfung ber 
(Steigungen ju gelangen. @r tjatte fiel) überzeugt, baft bie allgemeine 
cnbifcije (Steigung auf eine reine ©lei^nng be§ brüten ®rabe§ ftivM? 
geführt iuerben lönne, unb fo bie SBeftimmung ber 3Bnr^el ber 
®teid)ung erhalten ftürbe in einem anbern Sfaäbrud at§ nadj bem 
©arbanifdjen $erfaljren. (£r meinte nun, baft biefeg SSerfaljren anf 
alle leeren (Steigungen antnenbbar fei, unb fudjte eine gormel, 
bnrd) tneld^e fämmtßdje ^otengen ber Unbekannten aufjer ber J)öd^ften 
auf einmal entfernt werben tonnten, äf)nlid) bem SSerfa^ren, burdf) 
toeldjeS SDe3carte§ bie ©ntfermmg be§ feiten ®tiebe§ ber (Steigung 
Bewirft §atte. £fcf)iOTljau§ Ijat barüber in bm Act. Erudit. Lips. 
an. 1683 ©. 204 ff. bie Slbljanblmtg: Methodus anferendi omnes 
terminos intermedios ex data aequatione, öeröffentlidjt. $U 33e- 
treff biefer Slbfjanbtung ift unter bm Seibniäif^en papieren bie 
fölgenbe Q^otij üorljanben : Tschirnhusius meus olim mihi scripserat 
se habere Methodum tollendi omnes terminos medios aequati- 
onum et ita inveniendi earum radices. Ostenditque eam succe- 
dere in tertio gradu, seu ea ratione a se reperiri radices Cubicas 
a Cardanicis differentes. Mihi rem attentius consideranti vide- 
batur in altioribus non successuram methodum hortabarque ut 
experiretur eam in quinto gradu cujus resolutionem nondum 
habemus, sed causatus est calculi prolixitatem. Vellem tarnen 
non prius publicasset methodum, quam eam ad 5 tum gradum 
applicuisset. Si sit aequatio quaecunque 

aequ. x v + px^ 1 + qx v ~ 2 + rx v ~ 3 + sx v ~ 4 + tx^ etc. 
constat ad tollendum terminum secundum debere fieri: x aequ. 

y — ~. Tschirnhusius vero annotat non ineleganter ad tollendum 

terminum secundum et tertium simul debere poni (meo gene- 
raliter enuntiandi more) 



316 (Smleitmtg. 



3r 1 /9rr v— 2 2s 2q 

xx aequ. =- + K i 1 q x + y -- — 

■*• 2q ~~ 4qq v ^ q v 

sed ubi volet ulterius pergere et tollere terminum secundum, 

tertium et quartum simul, majorem opinione difficultatem ex- 

perietur, quemadmodum conjici potest ex rudi calculi adumbra- 

tione quam conjeci in paginam versam. 

Cogitavi ego dudum alia methodo, quae mihi longe certior, 
determinatior esse yidetur, in qua arbitrariae quibus opus est 
non ducuntur in se invicem, quod hie fit. — 

©in jtoetteg grofeg Problem bttbete ben (SJegenffccmb ber gemein^ 
famen arbeiten t>on Seibnij. unb S£fd)irnl)au§ it>äl)renb iljreS Stnfc 
enthalte in ^ari§: ba§ Problem ber Öuabratur imb Kubatur. 3)ie 
23erl)anbtungen gtDifc^en beiben fiub »on ber ^ödjften SBidjtigfeit fo- 
fooljt in betreff ber f5ortfc^ritte ber SSiffenfcfyaft afe nidjt minber 
fpeciett in 93egug auf bie Seiftungen ßeibnijeng auf biefem ©ebiet. 
Söä^renb Seibni^ unb £fcl)irnljau3 in ^3ari§ gemeinfam arbeiteten, 
gefdjalj bte Stufftettmtg be§ SttgoritijmnS ber pufferen 2tnatt)fi§ burdj 
Seibnij, unb baburef) bte 3Röglid)feit, mit folgen ®röfjen %a rennen, 
bie bisher ber Stnfdjaunng entzogen waren. &§ ift nietnafö ein 
größerer $ortfd)ritt in ben matljentatifdjen äöiffenfäjaften gemalt 
tDorben; für bie SBiffenfdjaft . begann bie neue $eit. — 2lu§ ben 
erften Briefen Sf^irn^aufen^ gefjt Ijeröor, bafs er bie 9ftetI}oben 
©aüaüeri'8 unb bt§ Gregorius a S. Vincentio eingefjenb ftubiert 
unb. feine. SUiet^obe, bie fidj baüon nur burd) Slntnenbung öon diefy 
nung unterf Reibet, baran gelnüpft §atte*). Sftamentlicf) finbet fidj 
nidjt bie geringfte Stnbentwtg, bafi £fcf)irnl)au§ irgenb meldte %R\U 
Leitung in betreff ber öon Stoton gefunbenen Stefnttate iuäljrenb 
feinet 2lufentl)att§ in Sonbon ermatten fyahe. (£§ ift bereits oben 



*) SeiBnt§ fyat Bemerft: Ea quam explicas in literis methodus tua est affinis 
duetibus figurae in figuram, quos primus invenit et cum fruetu adhibuit P. Gregorius 
a 'S. Vincentio, postea generalius adhibuit Pascalius. Ego talia et innumera alia, 
ealculo solo complector. 



(Einleitung. 317 

■erwäljttt, bafs er bie ^efauutfdjaft öott (£oßiug gemalt, ber im S3e^ 
fiij beg Sftetutoujcfjeu S3riefe§ fcom 10. SDecember 1672 toar, auf 
ttetdjeu befauuttid) in ßmglaub rüdfic^ttic^ ber ©rfiubuug ber ^IxxicioM- 
red)uuug burd) Newton fo großes ©etmcljt getegt tutrb*). $ietmef)r 
-erhellt aug bem ©^reiben Sfd^trixf)aufen§ au Dlbeuburg, batirt Paris. 
1. Sept. 1676, bajs bie in bem erfteu Briefe 9ta)tou' 3 au Seibuig 
mitgetfjeitteu fftefuttate ü)m üottftänbtg neu ttmreu**). 



*) SDtefer SBrtef ift ©cite 19 mitgeteilt. SDaSftertüon in biefem Briefe feine SJletljobe, 
bte Sangente einer ßurüe gu finben, au^fü^rlicf) tnitt^citt, bie äfcer t)on ber be ©luje'^ ftdj 
■mdfjt unterft^etbei, unb in raeldjer niäjt bte geringfte Slnbeuinng in betreff ber glu$ton§red> 
mutg fiä) finbet, bie baran gefnüpfte äJiittfjettung in betreff feiner raeitern (Erfinbungen ba* 
gegen fia) in fefjr allgemeinen SSenbungen Bemegt, fo mürbe ber Sn^ alt tiefes 23rtefe§ tttdjt 
weiter Beamtet, roenigftenS Bi§ nm bxt SJiitte be§ 3al)re§ 1676. 3n bem ©ajreiBen DlbenBurg'3 
an Seibnij, batirt Lond, b. 26 Julii 1676 fjeijjt e§: Defuncto Gregorio, congessit Collinius 
amplum illud commercium litterarium, quod ipsi inter se coluerant, in quo habetur 
argumenta hujus de seriebus historia: cui Dn. Newtonus pollicitus est se adjecturum 
suam methodum inventionis illius, prima quaque occasione commoda edendam, de 
qua interea temporis hoc scire praeter rem non fuerit, quod scilicet Dn. Newtonus 
cum in litteris suis Decbr. 10. 1672 communicaret nobis methodum ducendi tangentes 
ad curvas geometricas ex aequatione exprimente relationem ordinatarum ad Basin, 
subjicit hoc esse unum particulare, vel corollarium potius, methodi generalis quae 
-extendit se absque molesto calculo etc. 

**) 23on biefem 23rtefe mirb fotgenbe§ SBrudjftücf mitgeteilt (Commercium Epi- 
stolicum, nenefte 2(u§gaBe non S3iot nnb Sefort ©. 121): Expectabam cum desiderio 
responsum, cum aliquot abhinc mensibus ad te literas meas transmiseram ; sed nee 
ex modo datis colligere h'cet has reeeptas fuisse. Interim admodum oblectatus fui, 
'hisce conspectis quae ad D. Leibnitium exarasti, maximeque me tibi devinxisti, quod 
me partieipem volueris facere tarn ingeniosarum inventionum, et promotiönis Geo- 
metriae tarn pulchrae quam utilis. Statim cursim eas pervolvi, ut viderem num 
forte inter hasce Series Infinitas existeret ea qua: ingeniosissimus D. Leibnitius Cir- 
eulum, imo quamvis sectionem Conicam (centro in finita distantia gaudentem) quadra- 
vit, tali ratione ut mihi persuadeam simpliciorem viam, nee quoad linearem con- 
struetionem, nee numeralem expressionem, nunquam visum iri; quique hisce porro 
insistens, generalem adinvenit Methodum Eiguram quamvis datam in talem rationalem 
transmutandi, quae per solum inventum (admodum praestans meo judicio) D. Merca- 
toris, ad Seriem infinitam posset reduci; sed hac de materia, cum ipse non ita pridem 
mentem suam declaravit, non opus est ut prolixior sim. Verum üt ad speeimina 
perquam ingeniosa D. Newtoni revertar, haec non potuere non mihi placere, tarn 
t)b utilitatem, qua se tarn late ad quarumvis quantitatum dimensiones ac alia diffi- 
cilia enodanda in Mathematicis extendunt, quam ob deduetionem harum a funda- 
mentis non minus generalibus. quam ingeniosis: derivatam : non obstante quod existi- 
inem, ad quantitatem quamvis ad infinitam seriem aequipollehtem reducendam fundä- 
menta adhuc dar! et simpliciora . et universalipra, quam sunt fractionum et irrätkn 
jaalium.reductio ad tales -Series ope DivisiomV aut Extractaönis", quae mihi tale quid 



318 Qsinteiiung. 

Sing $orftef)enbem ergiebt fidj ber JWadjtoeig, bafj Seibnt§ buxä) 
£fci)irnl)ang leine SCRitt^ettung über SRettrtpn unb feine ©rfinbungen 
erhalten Ijat, unb baf} bie ©infiüjrung beg Sltgoritfjmug ber leeren 
Stnafyfig bnxtf) ßetbnig, bie wenige Sßo^en ncttf) ber. Stnfomft Sfd)im= 
fjaufeng in ^arig*) erfolgte, ofjne irgenb toeldje Gramnrfung »ort 
auften fjer gefdjaf). — gugleid) geigen bie Briefe gfcffirn^aufeng, iröte 
abfällig er über bie folgenreiche ©infittjrung beg 3llgoritf)tnug ber 
fjöfjeren 21nalt)fig urteilte; er fjtelt bie @infüf)rnng neuer monftröfen 
3et(^en für nberpfftg, unb bie 33eäeitf)nungen ber neuen Ste^nung 
unnötig; er meinte, baf} bie big bafjin üblichen SDiet^oben, toerot fte 
nur anbertneitig öeröottfomtrotet mürben, jur ßöfung öon Problemen 
ber leeren aJiat^ematil genügten. SDajs £fdjrodjau3 in biefer 
Meinung öer^arrte, felbft na^bem Seibnigeng ©rfinbung attfettig an^ 
erlannt unb bwcfy fie bereits bie glängenbften ©rfolge errungen 
toaren, gef)t aug einer SJättfjeilung (£f)riftian SBotf g Ijeröor, bie in 
beffen eigener Sebengbefdjreibung ©. 123 f. ftcf) ftnbet**). — Stuf ber 



non nisi per accidens praestare videntur: cum haec successum quoque habeant, licet 
non adsint fractiones aut irrationales Quantitates. Similia porro quae in hac re 
praestitifc eximius ille Geoinetra Gregorius, memoranda certe sunt, et quidem optime 
famae ipsins consulturi, qni ipsius relicta Manuscripta luci publicae ut exponantur 
operam navabiint. 

*) £>a£ Wlanujaxpt, in meinem Seibnig ba& Sniegxalgeidjen (6ummengettf)en) 
guexfi gux Slnmenbung Braute, ift batixt: 29. October 1675. 

**) <£§. SSolf exgäp bafelbfi: 3<S) reifte auf bie Dfiex=^effe 1. 1705 naaj Setptfg, 
um bafelBft ben §exxn von £fd)tmljaufen gu fpred)en: meld)e§ auc^ gefäjafje. 8$ *e* 
fexixte tfjm, tra§ mix in fein ex Medicina mentis fdjmer Dorfommen gu t)erfief)en unb 
jagte üjnt, wie id) e3 erflctret ptte. $x max bantii gufrteben. $I§ iäj ifjn aber fragte, 
tme man benn bie elementa definitionum exfinben fönnte: antmorieie ex mir weitet 
ntd)t$, al$: biefeg märe eBen bte £>au;pt @aäje. SSeil ttf) gexne t»on bem Calculo diffe- 
rentiali eiwaä r-exftanben fjätie, bex bagumafjl nodj meniger befanbi mar, fragte idj iljn, 
tüte iä) bagu gelangen fönnie. @x maäjte aBex nicfyt niel banon, jonbexn gab mix nux 
jux SCnirroxt, ex bexufje auf einex einigen Sßxonofition in Barrow Lectionibus geometricia 
unb Ttmxe ntd)t bex xeojte methodus, fonbexn nux ein compendinm verae methodi, ozxtn 
e§ unenblid^ Diele gä'Be. ®en xed^ten methodum moKte ex in htm anbexn Tomo feiner 
Medicinae mentis geigen, wo ex bte in htm exften Tomo gegebenen Regeln auf bie 
SO^at^emaiif appliciren würbe unb ba foHte bu SSelt bie Singen baxübex auftljun 
unb fid) r-ermunbem. SKenn aber ber britte ST^eil fyxauZfommen mürbe, barinnen er 
eben feinen Methodum auf bte $^t)fi! appliciren mürbe, fo mürbe man barüber erftaunen. 
<£r recommandirte mix abtx, xxm in bex SÄatfjetnatt! weitet gu ge^en, Barrowii lectionea 



©Weitung. 319 

anbern ©eite erhellt ang ben Briefen Setbrnjeng, welche bebetttettbe 
fjortfdjritte er ttadj wenigen $al)ren in ber 23eljanblnng ber Probleme 
ang ber leeren SKatljematif mittelft feiner ©rfinbnng gemacht, nnb 
tüte toett bie erhaltenen Jftefnltate bie früheren übertreffen, @Sr er^ 
mctfjnt Sfäjxrnljang, feine Äraft anf bag §n öerwenben, wag ttodj 
für ben Slngban ber leeren Stnaft)ft8 p teiften wäre; er ntatfjt ifjn 
anf eine fftei^e üou Aufgaben, bie nodj jn töfen finb, anfmerlfam. 
Wart erfieljt barang, wie Setbrnj bag gefammte (Gebiet ber leeren 
9Ratfjematif beljerrfdjte, nnb bafj er ben größten Sftat^emattfent be§ 
©ontinentg $ur ©eite ftanb, ötettetdfjt alg erfter ju betrauten ift. 

%laü) 1| jähriger Unterbred^nng ber ©orrefponbenj finb et ftd) ein 
©^reiben Sfcfjirnlianfeng, in wettern er Seibnij mitteilt, bajs er 
gro^e SBrennfpieget ang $0% mit baranf gelegten ©lagftücfen Ijers 
ftetten lönne. ©r fei babnrd) anf bag Problem geführt worben, 
bie (Surüe §n finben, bie bnvü) bie ^nrdjfdjnittgpnnfte ber Sidjfc= 
ftrafjten gebilbet wirb, bie parallel anf einen ®reig anffattenb öon 
il)m gurüd geworfen werben; er Ijabe gefnnben, bafj bie (Suröe eine 
geometrifdje (nadj ber ^Sejeii^nnng SDegcarteg') fei, ®ie ßöfnng 
biefeg ^iroblemg enthält bie ©ntbecfnng ber Trennlinien wobttrd) 
£fdjirnl)au§' Spante in ber (Sefdjidfyte ber Sftatljemattf berühmt ge== 
worben ift. 3^9tetd£) melbet ^fdjirnljaug, bafj er eine Sffietljobe, 
Tangenten an Gfurüen §n beftimmen, gefnnben Ijabe, bie allgemeiner 
anwenbbar fei alg bie be ©tnge'g. — (Srft nadj Sßertauf eineg $a!)reg 
erhielt Seibnij wieber eine SJiitt^ettnng öon Slfdjtrnljang nnb §war 
ang ^arig, batirt d. 17 April. 1682. (£r Ijatte ftdj baljüt begeben, 
lim feine „singulare inventa tarn in Mathematicis quam Physicis" 
perfönlid) ber ®önigliä)en Stlabemie ber äöiffenfcliaften §n überreifen, 
nnb baburdj namentlich eine ^enfion öom ®onig öon ^cmfcetdj §n 
ermatten. Se|tereg lag tljm gang befonberg am ^ergen, benn er 



geometricas uttb Nieuwentiit Analysin infinitorum, tngletdjen audj) Ozanams Elemens 
■d'Algebre ((Hj. SBolfg eigne Se&en§&e[djrei&uttg, fjetaug gegeben üott £>. SButtfe 6. 123 f.). 



320 Umleitung. 

meinte fo eine gemj unabhängige Stellung im $atertanbe ju ge* 
binnen, ttw.burd) er ungeftört ber 2öiffenfd)aft nnb feinen ©tubien 
(eben fönnte. Stuf Söttten £fdjirrt()aufettg, feine 33emül)ungen in 
^ari§ §n unterftttjjen, richtete ßeibn% ein Schreiben an ben Slbbe 
©affotyg, ber bei bem SJänifter Kolbert in Ijofjem Slnfetjen ftanb*). 

$n betreff ber öon £fd)irnl)au3 eutbeeften Trennlinie ift gu 
bemerken, bajg bie Don tym angegebene (£onftruction berfelben, bie er 
ber ^arifer Stfabemie oorlegte, unrichtig ift; fie ift eine ©ptetjelotbe. 
©benfo ift bie üon S£fcl)iraf)aug anfgeftettte (SJletdjung üom tnerten 
©rabe nict)t richtig ; fie ift, toie $acob 23ernoutli uadjgettnefen, turnt, 
feäjften @rabe. 23eibe3 Ijat £fä)irnf)au<o ftmter in ber Slbfjanblung: 
Methodus curvas determinandi quae formantur a radiis, quorum 
ineidentes ut parallel! considerantur (Act. Erudit. Lips. mens. 
Febr. 1690) anerlannt nnb feine früheren Slngaben tterbeffert. 

£fcl)irnt)au§ erreichte in ^3ari3 nur tfjei'foeife, mag er erftrebte; 
er ttmrbe im $uli 1682 afe Sßitgtieb in bie Sllabemie ber äöiffen- 
fdjaften- aufgenommen, aber in betreff ber Sßenfion, bie er öom ®önig 
üon granfreid) $u erlangen hoffte, ttmrbeit il)m nur SBerfpredjungen 
gemacht. @r meinte jebod) bie Sßenfion noä) ju befommen, tvmn er 
nacl) ber 9tücffef)r in bie $eimatlj fiä) weiter tt)iffenfd)afttict) tfjättg 
geigte. £fd)irnl)ang üeröffenttictjte in hext Act. Erudit. Lips. junäd^ft- 
ba§, \va§ er oon feinen ©ntbeefungen ber Sllabemie in ^arig oor^ 
gelegt tjatte**). ©3 lounte aber ntdjt angbleiben, bafj er in feinen 

*) Setfmtä njar roctfjrenb feinet Slufentfjalfö in $ßart§ mit ©allotjS Mannt ge=*- 
morben. tiefer mar fett 1666 §erau£gefter be§ Journal des Savans, feit 1668 TOtglieb 
ber OTabetrtie ber SBiffenfdjaften al§ Sftatfjeinätifer. 

**) $3 erftfjienen t)on £fdjtrnfjau§ in ben Act. Erudit. Lips. in ben gafjren 1682 
unb 1683 bie Slb^ctnblungen: Inventa nova exhibita Parisiis Societati Regiae Scienti- 
arum (Act. Erudit. Lips. mens. Nov. 1682). — Nova Methodus Tangentes Curvarum 
expedite determinandi (Act. Erudit. Lips. mens. Decembr. 1682). — Nova methodus 
determinandi Maxinia et Minima (Act. Erudit. Lips. mens. Mart. 1683). — Methodus 
auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione (Act. Erudit. Lips. mens; 
Maji 1683). — Methodus datae figurae, rectis lineis et Curva Geometrica terminatae^ 
aut Quadraturam aut impossibilitatem ejusdem Quadraturae determinandi (Act. Erudit«. 
Lips. mens. Octobr. 1683), 



(Einleitung. 321 

weitem $eröffentticf)Mtgen fRefuttate brachte, bie toft^rettb feines Qu- 
fammenfeing mit Seibnig in ^ßarig burdj gemeinfameg arbeiten unb 
gegenfeitige Mttfjetümgen entftanben iuaren, unb bie er nun atg fein 
©gentium betrachtete. ®ie nriffenfcfyafttidje gefjbe jtDtfd^en Seibni§ 
unb £fd)irnljaug !am jum Slugbruct), atg teuerer in ben Act. Erudit. 
Lips. mens. Octobr. 1683 bie 3tbf)anbtung: Methodus datae fi- 
gurae, rectis lineis et Curva Geometrica terminatae, aut Quadra- 
turam aut impossibilitatem ejusdem Quadraturae cleterminandi. 
veröffentlichte. SDaburd) f cd) fidj Seibnig veranlagt in ber Stöfycmblung : 
De dimensionibus figurarum inveniendis (Act. Erudit. Lips. 
mens. Maji 1684) feine D^edjte in Slnfyrnd) gu nehmen. S)urd) bie 
üorfictjtige SBermtttetung SKencfe'g, beg Herausgebers ber Act. Erudit. 
Lips. trmrbe bie öffentliche fjc^be jtDtfdjen Seibnig unb £fdjirnljauS 
öermteben; aber bie Sorrefponbenj jtmfcfien beiben blieb big $u &nbt 
beg $af)reg 1692 unterbrochen. 

$ür bie SBtffenfdjaft ift biefe gfeljbe ättrifdjen Seibnij unb Sfct)irn= 
IjauS infofern öon befonberer $ebeutung, atg Seibnij .ftdj genötigt 
fcrfj, mit feinen hridjtigen ©ntbecfungen, bie er bisher forgfättig ge= 
Ijütet, f)ert)oräutreten unb fie Mannt gu machen, ^ai^bem er fie 
neun $af)re l)inbnrd) jurüdge^alten, entfcfjtofj er fidj, um. feine Siebte 
für ade ©öentuatitftten p fiebern unb einen ntögtidjett ^rioritätg^ 
ftreit im üoraug abjufdjneiben, toenigfteng ein 33rud)ftücf feiner großen 
©ntbetfung Mannt ju machen; er veröffentlichte bie Differentialrech- 
nung burd) bie 2lbf)anb(ung : Nova Methodus pro Maximis et 
Minimis, itemque taiigentibus, quae nee fraetas nee irrationales 
quantitates moratur, et singulare pro Ulis calculi genus (Act. 
Erudit Lips. mens. Octobr. 1684). 3lber öon btn ©nttottrfen, bie 
unter feinen papieren ftd) nod) öorftnben, fohlte er btn, ber burdj 
eine anwerft fnappe unb gebrängte ®arftettung bemerfengfoertl) ift, fo 
bafj nur bie fät)igften unter ben SKat^ematilern in bag SSerftanbnifj 
ber neuen Stedjnung einzubringen vermochten. $on bem anbern 

21 



322 ©tttleiiwtg, 

#anpttfjeil ber leeren Stnafyfig, üon ber #ritegralredjmmg, worauf 
Seibni^ bei tnetten bett größten SBertlj legte, fyritfjt er nur in !ur§en 
unoerftänbtidjen Stnbeutungen; feiner oft auggefprodjenen Stnfidjt ge^ 
treu, bajg man 9ftetf)oben nidjt befannt machen muffe, oermieb er bie 
Elemente berfetben ju entfjütten. ®ie $o(ge baoon war, bafs $ofjann 
Söernoufti ber ©rfinber ber Integralrechnung ju fein ficf) anmaßte 
unb big auf bie neuefte Seit andj bafür gehalten luorben ift. 

Sie Söteberanlnüpfung ber (Eorrefponben^ gtotfc^en Seibnij unb 
£fd)irn!)aug gefdjal) im legten 3TConat beg ^aijreg 1692. (£g ift 
unbetont, tooburdj ßeibnig bajn veranlaßt ttmrbe; fein ©^reiben ift 
nidjt oorfjanben. Sing ber erften Slnttoort oon £fd)irnljau§ erftefjt 
man, bafj er nodj meljr .als früher feine Xfjätigleit ber Verfertigung 
tum 3$rennftriegetn unb SJremtglftfew jngetoanbt fjatte. ©r oeruacf^ 
(äffigte jebocl) bie SRatfjematif nidjt gan§; er Ijat fict) „öorgenommen, 
bie materie de quadraturis $n acheviren, bieineitt auf jtuet) ioege, 
bie universal unb teidjter finb atg alleg ttmg nnljr bieg^ero gehabt, 
gefallen/' $n betreff ber Önabraturen bringt £fcljirnl)aug bag 
Problem gur ©^radje: Datum spatium curva Geometrica termi- 
natum per aliam curvam in spatia secare, quae non solum in 
ratione ut numerus ad numerum, fonberu aud) ut linea ad lineam 
datam. Setbnig finbet bag Problem fdfjön anb giebt in feiner 3tnt= 
»ort eine einfache Söfung, fügt aber fjtn§n: „$dj möchte toünbfdjen, 
öottlommene allgemeine unb iuv^e mege bie problemata Tangentium 
conversa allezeit tnenigfteng auff quadraturas §u bringen unb bann 
bie quadraturas auff extensiones curvarum in rectas, bemt \a 
natürlicher ift spatia ju meffen per lineas, atg contra". Stuf bie 
Öuabraturen lommt Seibnig in beut Briefe oom 21. Wläx% 1694 
gurücf; er fdjreibt: /; ®ie perfectio Analytica quadraturarum be- 
ftünbe meines ermeffeng barinn, baf; man fie buräj aequationes 
transeendentes finitas a quantitatibus differentialibus vel summa- 
toriis liberatas geben löubte, alba aber bie incognita vel indeter- 



Einleitung. 823 

minata in bett exponenten hineinfiele. Slttein iä) aestimire nid)t 
fo f>od^ bie quadraturas, afö bie 7 conversam tangentium, baran bie 
quadraturae nnr ein casus simplicior fet)U. 9Jlöd)t gern pro con- 
versä Tangentium auü) eine fot(f)e constmction fjaben, itrie pro 
quadraturis; Ijabe jtüar bergleidjen in afterljanb fällen, aber rttd^t fo 
general ■ nodj fo leidjt."' — Sßtetteid^t mürbe Sfd^im^an§ burd) bag 
obige Problem auf ein anbereg geführt, bag er in ber 2tbf)anblimg: 
Nova et singularis Geometriae promotio circa dimensionem 
quantitatum curvarum (Act. Erudit. Lips. mens. Novembr. 1695) 
ermähnt, nämtid): In qualibet curva, data portione ejusdem, ali- 
am semper assignare, quae datam rationem ad priorem obtinet. 
2Hg 23eifyiet für biefe§ Problem mahlte er bie grabet; bie Söfung, 
bie er fjinäufügte, ift aber iticljt richtig. @r mürbe baburd) in einen 
©treit mit ben beiben SernonEig ttermicfelt, ber in ben Act. Erudit. 
Lips. in ben 3fa^rcn 1695, 1696 nnb 1697 geführt mürbe. Stuf 
biefen ©trett begießen fid) bag Schreiben £fd)irnf)aufeng öom 8. $Räx% 
1694 nnb bie baranf folgenbe Slntmort Seibnijeng 3Son #of)amt 
SSenumttt gebrctngt üeröffmtßdjte £fd)irnt)aug bie Stbljanblung: De 
methodo arcus curvae parabolicae inter se comparandi (Act. 
Erudit. Lips. mens. Junii 1698). 2lug btefer Stbfjanblung erjteljt 
man, bafg £fd)irnf)aug auf bem richtigen Sßege mar, bag Problem 
ju löfen; eg mürbe aber erft öottftättbtg burd) ^oljann S5emoulli in 
ber Slb^anblung: Joh. Bemoullii investigatio algebraica arcuum 
Parabolicorum assignatam inter se rationem habentium (Act. 
Erudit. Lips. mens. Junii 1698) bezaubert unb bettiefen. $efannt= 
üct) wirb auf biefe Stbfjaublung 3of). SBernouftfg bie ©ntfte^ung ber 
Se^re »on ben etttyttf dfjen Functionen gurücf geführt; aber bie (Be? 
fdjidjte ber äßiffenfdjaft fjat §u oeräeidjnen, bafj burd) bag Problem 
£fd)irtü)aufeng bie erfte Anregung baju gegeben würbe. 

3fn ben ftdjrett beS ©treiteg mit ben 33ernoutftg ift bie-(£orre= 
foonbettj anrifdjen ßeibrnj unb £fd)irnl)aug fef)r lücfettfjaft, nod) mefjr 

21* 



324 ©inleitung. 

ift bieg ber $att fett bem $al)re 1700. Sfdjirnfjaug fjtett fiel) faft 
immer in Bresben auf; er ttmrbe tion bem G^jurfürften gur %xx& 
ftöjruttß „getmfjer commissiones'' gebraust, bie er „feljr glüdfelig 
öottgogen'*. $auptffidjttdj aber f^etnt Sf^irn^aug ben Stuf enthalt in 
®regben genommenen fjaben, um an bem fädfjfifdjett $ofe ^rotectionen 
für feine tedjmfdjen Unternehmungen §u gemimten. (£r Ijatte bafetbft 
„jtoetj fdjöne laboratorien" eingerichtet, bag eine mar eine ^otir- 
anftalt für ©betfteine, bag anbete eine ®tagl)ütte gut ^erftettnng t)on 
Sinfen unb SBrenngtäf ern ; befonberg ^robucirte bie letztere, mag in 
SSenebig nnb ?ßart§ nidjt möglich mar. $n betreff ber ^otiranftatt 
ift $u ermähnen, bafj er am 22. Detobr. 1696 an Seibni^ fdjretbt: 
„unb t)abe tdj aßjie in ©belgefteinen einen königlichen fdja^ nafje 
bety $ret)berg entbed'et, ber oljne meinen fletj^g mol)t ütet ljunbert 
jaljre folte verborgen gelegen fyaben, unb men er and) belaub gemefen, 
fo tjette folgen niemanb brauchen Immen. Stber burd) meine politur 
lombt eine fdjön^eit f)erau§ bie man faft ntdjt glauben lau, unb lau 
man taffein üon fefjr grojger große fjaben, bie auff 2 jott bicfe, tuen 
fie poliret burd)fid)tig fiub ..... @g finb nur calcedonier, Jaspis 
unb ametisten abern, bie aber bejonber curieuse figuren bet) jeben 
fdjnitt geben. ®ie ^tatiäner, bie $l)ro (£f)urf. ®urd)taud)t tjatt, 
lönnen ü)n faft .ntdjt ober boä) in langer gett laum ftfjneiben, bie 
politur aber ift gan| nidjtg merticf). $d) oerridjte aber betjbeg fetjr 
tetdjt mit geringen unloften, unb glaube nidjt bafj eine fdjönere 
politur lau l)erüorgebrad)t merben. ®od) mit allen bem fo üerlafje 
ben llrfprung nidjt, baburd) ju biefen fachen lommen, neljmtid) bag 
gtäfjerfcljteiffen, unb Ijabe l)ierinnen nad) ttmnbfdj reussiret, mie @ie 
bereits auf? ben Actis Eruditorum merben l)aben erf et)en. ;/ — ®en 
f)ol)en Söärmegrab, ben £fd)irnt)aug burd) feine 93rennfpieget tjertwr- 
braute, benutzte er ju djemifct^en SBerfudjen. @r fdjretbt an Seibnij 
ben 27. Februar 1694: ,,$d) Ijabe biefen minter in ben ftuben fet)r 
fdjöne experimenta Chymica gemacht o^ne alle S^mifc^en offen, 



Umleitung. 325 

babnrd) ber Metallen imb 9Jäneratien generatio fef)r Kar erlerntet 
wirb ... . fteine unb marmet wil)t in Keine ftücfe äerfd)tagen,jnnb 
wieber gan| machen wie gntior, wen nnr gett genng bar^n I)a6e, 
angenommen ben ®ief elftem, ber wirb gan| -auf anbete art formtet: 
ben ebelfteinen Un ancfy feJjr ttalje getreten. SIEejeit ber Diamant, 
sed hie jubet Plato quiescere: Wof)er Argilla, limus lontmt Weifj 
foWoljt a priori, betf} folcfje arte producirett fem nnb biefj ^aben 
midj and) anff bie gebanlen gekaut ben Porcellan $t bereiten, in 
wetzen biegfjero alte groben mir ex voto reusirt nnb leine conträr 
ging"*). — ■ $n bemfetben ©^reiben erwähnt £fcf)irnl)ang noä) aU 
weitere Söirlnngen feines äteenngtafeg: „bie metalla reducirt eg in 
ein gtajg; ®otb in ein Rubingtajs ete. ;/ 8lm 12. Dctober 1694 
fdjreibt Sfäjirnfjang an Seibni^: „©in @tücfid)en tum Porcellan, 
baranff bag golb gefdjmot|en eine Tincturfarbe gemattet wie ver- 
langet wirb." 

gngteidj mit bkfen üMttfjeitnngen über tedjnifdje ©rfinbnngen 
gefjen bie SSer^anbtnngen gwifdjen Setbrnj nnb Sfdjimfjang über bie 
©rünbnng einer Stfabemie ber SBiffenf haften in ©reiben, bereit 
Unterljattnng £fcf)irn(jang befonberg butä) bk $erwertf)nng feiner 
te^nifdjen ©rfinbnngen $u nnterftü|en gebaute. Um feine SBemütjnngen 
in Söetrejf ber ®rünbnng biefer Sllabemie am ffidjftfdjen |>ofe $u 
nnterftütjen, lernt, wie eg fdjetnt, Seibni^ fetbft ju (Buhe beg $a!)reg 
1704 nadj 2)regben; inbef3 bie bamaligen ®rieggnnrnl)en f)inberten 
bie Slngfüfjrnng beg ^taneg. 

Obwohl Sfc^im^ang bnrd) biefe ^ätigleit anf fo öerfc^iebenen 
(Gebieten in Ijoljem (Stabe in Sfttfprudj genommen wnrbe, fo ging er 
boä) in feinen wiffenftfjafttidjen ©tnbien weiter, nnb eg war „lein 
dies absque linea". $n feinem testen Briefe an Setfmtjj am 22. 



*) £fd}irnl)au§ fprtdjt fjter rodjrfdjeinlidfj von rotfjem ober Braunem ^orjeHan; 
ba% tDctfee ^orgeUan itmrbe Mannilid) «on 23öitdj)er 1709, ein 3a£)r nad) SEf<J)irnfjaug' 
£obe, erfunben. 



326 (Einleitung. 

£)eeember 1706 fdjreibt er: „Qfdj fyaht midf) faft ftetS in Bresben 
befunben, unb ba in strepitu Mundi meine circulos in gröfter 
Tranquillität continuiret. 2Bcm iü) ba§ Unum Necessarium m? 
geljinbert treiben fem, fo festen mtdfj wenig anbere ©adjen an, welche 
berjenige Providenz nrittigft allein überlade, bie foldfje anff bie befte 
art dirigiret. SDer ©dfjaben welchen Sterbet) in rebus fortunae ge== 
liebten, getyt mtdfj nodfj an." — Sfcty'irnljcmg' üerfolgte fein ganje§ 
äehm ^inbnvä) ibeate «Siele; fein grßftteg Vergnügen fanb er in 
totffenfc^aftttdjer ^ätigleit; er falj nid)t anf ba§ „hierum" nnb war 
lein „mercenarius". @r fdjreibt einmal an Seibni^: „©onften ^at 
mir audf) ®att Ijin nnb ttrieber grofje Patronen consilürt, bafj e§ 
immer be^er geljet; wie btn glaube bafj (SJott eine singulare Provi- 
denz Ijatte über teuie, bie mitt getoaft fid) tum atten mutabilibus 
bonis abtrennen, nnb mit prudenz bem bono publico bienen, nnb 
idf) barf eg nidfjt glauben, idfj bin e§ genrijj." 

$n $otge biefer ßebenSanfcfjannngen üertoaubte £fd)irnl)au3 toöfjl 
nidfjt bie nötige Stufmerffamfeit anf bie materiellen $ntereffen. 2)ie 
Slufwenbungen, bie er machte, um feine tedjnifdjen (Srfinbungen immer 
■mefjr ju tiertiollfommnen, fdjeinen bie Gräfte feiner ©inlünfte über= 
fliegen gu f)aben; ttadfj feinem ben 11. Detober 1708 erfolgten £obe 
geigte fidf)' ber 9htin feine§ $er mögend ©eine fernen $efi|tpmer 
lamen bnxä) Verlauf in anbere ^änbe. 



3)te ©orrefponbenj gwifdjen ßeibnig nnb XfäicnfyanS ift nculj 
bm in ber ®önigtid()en SJtbltotfjef ju |>annot)er üorljanbenen Originalen 
big auf Wenige ©teilen, bie ofjne tuefentltdfjen $nf)a(t finb, üoffftanbig 
abgebrueft. 



Cfcfytrnfyaus an ieibnx^ 

S)ie erfte äBitt^etlung von £fdjmtljau8- an Seibniz enthält bic Slbfdjrift 
eine§ 33rucijftücte von 3)e$carteg' in äftanufcript vorfjanbenem Xractat: La 
recherche de la Verite par la lumiere natureile, ber im 93efi^ Von 6ler= 
feitet ttmr. £fd)irnl)au§ Ijat golgenbeS hinzugefügt : 

S)iefe£ jjatt mit nitf)t uneben gefallen, unb vermeinet, too M. Cartes alle 
feine tnerde in folget maniet Verfertiget, e£ ttuirbe von niedren assequirt fein 
tvorben, fjabe e£ atfo fetbigen gerne mitteilen tvotten, ttnetnol)! etoaS nodjj 
bran manquiret, tvetcije^ ber §r. Clerselier vor midi) abfdjreiben taflet, fo 
ben §rm Mohr übergeben toerbe, ber foldjeg verljoffet nebenft be3 M. Huet 
Tractat überzubringen, ©r ttrirb gleidjfatS bet) ftd) Ijaben Cours de chymie 
par Nicolas Lemery Ano. 1676 in 12, fo jttmr nadfj ber tua^ren Philo- 
sophie nidjt gro|3 jju aestimiren, aber gegen Scriptis, fo annocl) Von ber 
Materie ans lic^t fommen, feinet gleiten nidjt vermeine ju fein, unb Ijatt 
mir fotdjeS fo tootyl gefallen, ba§ felbft Vor midj ein exemplar erfcmffet. 3$ 
gelje, xoif)lS ©Ott ben 20. November gan| gett>ieJ3 Von tjier, §ahe alfo bieftmatjt 
Verfdjoben ju f ^reiben, banütt (Sie biefe gewiefte nadjridjt l)a6en motten, wie* 
fooljl vermeine, baft fotdjeS jtmlidSJ tnitt Vielheit ber materien, fo bie§mal)I 

erneuet, . . . . ntd^t unangenehm ju fein gebenle , unb obgleich 

oben anber3 erwähnet, fo vermeinete boc§ beffer ju fein baft ber $r. bie brieffe 
addressirt an Mons. Jean Bereand in piazza navonna ju Rom, föeldje in 
gefunb§eit ju eröffnen vermeine, unb begtaube, ba§ toeil in etttitfjer jett nid^t 
ha§ glttd Ijaben fan, bero funbf^afft burdj brieffe ju erhalten, @ie werben 
biefelbigen mttt befto mefjter materie aufütten, unb atfo erfreuen 2)ero bienft* 
Wifligften 

Wiener 

Paris d. 16 Novembr. 

Ano 1676. 



328 £fdjimf)cm§ an Setbntg. 

II. 

Cfdjirnfyaus an ieibm$. 

Romae d. 17 Aprilis Anno 1677. 
SDero angenehmes (Schreiben Ijabe t)or 8 tagen erhalten, au| weldjen gleich 
anfangs Bemerket, baf$ felbiger SBtieff, fo annodj) auf* SßariS an ©ie abgeben 
lafjen, nid)t fet) empfangen worben, Qoffe bennodD, bafj üießeidEjt unterbefcen er 
werbe ermatten fein. Übrigens continuire bafs gleidj nacf) abferttgung gebauter 
$eiblen twn Paris d. 21 Novemb. ju waf$er abgegangen nad§er Lion, alba bet) 
14 tagen oerblieben. (Srljiette bar SJenbtnif* mit einen wohlerfahrenen Mathe- 
matico M. Regnauld, weldjer mir nebenft vieler erwiefenen freunbfdjafft aucfj 
adresse gegeben an £>r. Servier, ba 2 fammern boß feljt curieuser Macbinen 
gefeljen, fo ©r felbft mitt eigener fjanb gemalt; baS rarefte bebündfte micf) ju 
fein 2 ßeuger fo in distanz gwetjer eilen, wen man eine fuget in ber große 
eines mäßigen fnopfeS bet) ben einen nalje. gemubfüljret, bodfj of)ne beriujrung, 
aucfj oor ober hinter ftd), fo beweget ftd^ ber anbere geuger w gleichmäßiger 
manier mitt vorigen. SDie regul Gruldini, quod figura generans in viam 
centri gravitatis ejusdem ducta exhibeat quantitatem generatam, ()att 
mir §r. Regnauld in 7 libro Collectio. Matbem. Pappi angewiesen. @ieng 
oon biefer feljr luftig gelegenen ©tab nadjer Surin, alba ingleidjen 10 tage 
gubracljte; Ijatte tnidg oor bie falte fo gewieß jiemftdfj groß, fo wofyt oerfeljen, 
baß tticfjt t)iet incommodiret worben; wiewofjl leicht gu ernennen, ba§ ber boben 
oiel warmer als bei unß, maßen f)in unb wieber waßer fo etwan ein 4tel ber 
(Süen tteff uttgugefroljren gefetjen, ba bocfj fonften anbereS tuel tieffer ju* 
gefroren gewesen, 2llS über bie fo f)ofjen Alpes gegangen, §abe wof)l 
uiete bypotbeses gemacht, tüte bod) foldje ungefjewre feifett fo ben großen 
bergen gteid) ifjren urjprung genommen, aber feine gefunben, fo mir alle 
pbaenomena falturet; wo ber ©rbfugel Untergang barinnen befielet, ba$ 
enbtidj), bieweit bie berge ftetS abnehmen, bero externa superficies ad omni- 
modam aequalitatem reducirt wirb werben, fo Wotte ben leuten ratzen, baf$ 
fte if)re SBo^nung an foldje örter nehmen folten, maßen eine gimliclje geit 
bargu gepren wirb, elje biefe fclfcn burdj ben regen werben abgefcpeffen 
werben. ®ie tejjte tage, als Ijierburci) passirte, mercfete bet) mir einzige traurig* 
feit, welche glaube baljero entfielet weil man jwifdjen biegen feifett als wie 
eingefdljloßen nirgenbs fiel) weit umb^erfe^en fan. S3on Turin gieng ttadfjer 
9ftat)lanb unb würbe t)on ben §rn. Septala fo in Opticis, Mecbanicis, na- 
turalibus, ebymicis etc. Diele fammern t>ott Ijatt, feljr human tractiret unb 
woljt bet) 5 mahlen gu ifjm gefobert, bamtt aßeS was er ^atte woljl feljen 
funbte; aud§ bieweil bie gelegenfjeit mid} bebienet, weldje ben forestirern wofjl 
juftatten fommet unb bie faft in aßen orten Italiae angetroffen, baf$ neljmlici) 



£ftfjtwljctu$ ein SeiButg. 329 

particuliere leute ftnb, fo alles toa§ curieus ift ankeifen, unb <$u bem enbe 
umb alle§ tua^ fotift in bet @tab feljen^toürbig tnitt lüt|e ju observiren, 
eine carosse genommen; fo ift ex fetbft einen Ratten tag mitt mit fjetumb- 
gefaxten, £)abe ba% hutf) Museum Septalianum, barin toa3 bet) iljm p feljen, 
erhalten. @r oerfpra$, tuen in bet rücfteife aufs italien ettoag ju Milano 
verbleiben tootte, mit ju etletnen toa§ öerlangete, angenommen distilliren 
oljne fetDer obet ©onne, ben rubin ju madfjen, tote audj ben porcellan, meiere 
@t t)ot feine 3 große arcana Ijett, (5r Ijatte einen Keinen atmitten magnet, 
nod) nidjt in ber gröge eineä IjüneretyeS, meldet eine foldje laft auffljub baft 
unglaublich, toeldje3 midj in suspition braute, baft eine anbete urfadpe ttor- 
fjanben als meldte insgemein attribuitt toirb, toie mid) audj bebünefet gefunben 
ju Ijaben. ©£ ift bem §m. toief$enb ba$ jtoet) polirte ©örper an einanbet 
Mengen bleiben, tote audjj fo nut plana an jtoetyen bteietnen Sugeln fotmitt 
toetben folelje nacJ) äufammenbrücfung bet) einanbet bleiben, bietoeil ben in ben 
atmitten magneten jtoet) ftäf)lnerne plana, an toelc^en gleidjfals ein anbet 
ftäfylern planum batan bie laft gelanget, applicirt toirb, fo toetben fotöje t>or= 
etft per transitum effluvionum unirt unb ben fo feft äujammen gehalten 
burcl) bie Itafft bie gtoet) polirte Körper fo feft sufammen ftfjtiefjete, tno biefeS 
toaljr (tote leidjt burd) ettlidje experimente ftdlj ju t>erfid§ern) fo lönbte man 
mitt einen magneten bet gat fd^tec^te vires, toen et nidjt allein mitt ftat)t 
fonbetn nut mitt Ijolfc obet mitt aUet^anb anbetn matetien atmitt (nut ba|3 
bie gebadeten plana bene laevigata unb gro$, aud) nadjbem bie matetia, 
ettoaS angefeuchtet) eine fe^t grojje laft Ijeben. Sdj tne^te länget ju Milano 
oerblieben, toen bie getbet gereichet fetten, unb obtooljt in toillenS reeta oon 
Paris nadEjer Rom ju get)en, enbette bocl) meinen oorfafe atztet, toeil .ju Ve^ 
nedig einen toedjfel ju Ijeben, fcfjreiben in Ijenben, als ba$ mit gefaget toürbe, 
toie ba§ faft alles nadfjer Venedig ben carnevall toegen gienge, unb alfo detmeinete 
meljt eine gelegenfyeit t)ot mid) lenget in bet gtembbe ju bleiben ju übetfommen 
als in Rom, als auet) otelet anbetn utfad^en toegen. SJiadjjete mid) alfo fcon 
Milano über Brescia, Lodo, Vincenz, Verona, Padua bieS nadlet Venedig, 
alba bety einen monatt) verblieben, unb obtoot)l aüeS toaS ju Venedig eurieus 
ju feljen gutte gelegenfjcit gehabt, audfj genug delectationes in sensualibus 
fotoo^l in operen als anberen passe temps genoffen (id est biefe gan£e §ett 
über toodjen ba gefdjtaffen) fo Ijabe bod) fonft nidjtS fonbetlidj 31t erlernen, als 
aud^ mein ingenium (toie fonft getoofjnt) ju exeoliren (toegen dielen gutten 
lanbsleute ^ennüfte toegen) gelegenljeit gehabt. SSon Ijier gieng in jimlid^et 
compagnie nadj Bologna unb Ferrara, ba ben Ijin unb toiebet bm carnevall 
toegen genug lädjetlicfje auffjüge (si quidem aliquid ridiculi in natura) ge^= 
fe^en, don ba nadj bem tjeiligen |au§ ju Loretto unb fo fetnet nad^ Rom, ba 
gleidDfalS no^) ben carnevall ettlicfje tage betjgetoo^net, ba§ alfo, toen fold£)e 
fa^en gto§ aestimirte, nic^t bequemer meine reife t)ier$u aufteilen lönnen. 3c§ 



330 fcfdjirttljaug an SetBnis. 

mar nidjt 5 ober 6 tag all)ier, fo gieng mitt gemie^er companie nadj Neapolis, 
meld()e£ nadj Rom unb Venedig eine ber fcpnften fiäbten italiae ift, fo ttod) 
gefeljen, unb ba bie gravitetifdje axt ber ©panier <$u observiren gehabt. SSon 
Neapolis giengen mir einen tag auft nadlet Puzolo, in meldljer reife man erft- 
ticij bie grabet Virgilii unb Sanazarii fielet, ban eine l)öl)Ie, fo burdl) einen 
felfen aufgehauene ftrafte ift einer melfdjen meilen lang; bie grotte del cane, 
in toeldfjer biefeS fetbft obfertüret, in biefer Ijöljle, fo etwan fo groß ba§ 6 
personen barin geraum fielen limnen, rücket e£ feljt ftard naci) fdjmeffel, men 
man eine fadel anjünbet unb nafye bet) ber erbe Ijett, fo lefdjet fie gleidj au£, 
fo ftard ge^en bie beimpfe auft ber erb; men man einen Ijunb nimbt unb fjelt 
in.mieber bie ©rben, fo mefjret er fid) mitt aüer gemalt barfcon bieS baft et fo 
matt mirb, ba% er fcon fidfj baljin fallet, aud) mo§l gar ftürbe. 3d(j machte 
bergleidjen process mitt einen fo lang, bafj er euferlidjen anfeljen fdjon fcfjiene 
in ber anbern melb ju fein, man mürffet in aber atsban in einen lacum fo 
'nalje Ijier bet), fo fompt er in ben majkr aHmeljltd) mieber ju fid) f eiber; 
bod) man börffte biefeS megen ni<#t fo meit reifen, ben mir persuadire, men 
man fcfjmeffel in jimlidfjer mänge anjünbete, unb ben Äopf eines l)unbeS 
bariiber hielte, er mürbe nad^ ettlidjer jeit eben als mie tob Einfallen, men 
man iljn ben in frifd) maffer mürffe, glaube bafj er mieber lebenbig mürbe; 
si placet poteris experiri; meiter bartton finb fcriel fdjmeffel baber, mie audp 
ein ort, ha eS an unterfdjieblidjen planen aus ber erb IjerauSbrennet, audtj 
maffer babfy fo ebulbirt oon fieben; ben lompt man nadj Puzzolo, t>on 
bannen geltet man über ber @ee, ba beS SetjferS Caligulae brüden rudera, 
fo er barüber bauen motten, über ber See geljet man in ber Agrippinae 
grab, fielet bie Elyfeifdje felber, baS tobte Sfteer unb nod) oiele anbere anti- 
epitäten, barunter bie rareften, ber Sybillae Cumanae pf)le, mie audj ein 
gebäube Neronis fcon 48 faulen unter ber @rb. ^ierbet) finb bäber meldje mir 
Wohlgefallen; fie befielen au§ nidjts anberS als in Stein gehauenen fielen 
gangen unter ber ©rben, men man eingebet, fo lommet ein marmer bampf 
nidljt fdjmeflidfjten gerucljeS, fonbern mie ein broben öon mafter entgegen, ben 
mieber ein anber unb fo successive. ttnfer 3 resolvirten fidlj fo meit Ijienein 
ju ge^en mitt fädeln als möglich, Ijietten unfj alfo biemeil oiele gänge, bamitt 
mir un| nid^t fcerirreten allezeit nad) ber Knien |anb; men man fi^ büdet, 
empfinbet man bie wärme ni^t fo ftard; idf) mürbe fo marm unb fd^mi^ete fo 
perfect als in einziger babftuben, befanb midp aud) rec^t mo^l barna^. ©inen 
anbern tag gieng oon Neapolis ben brennenben berg Vesuvium ju fel)en, 
meines mi^ nid^t geremet, maf$en nu^mero ein be^ereS coneept oon folgen 
brennenben berg. ©r ift nod) äiexrtiid^ ^o^, miemo^l ber 3te t^eit ben augen= 
maf$ na^ ruiniret, inbem ein großer t^eil ber fpie^en ^erab, alfo baft er oben 
ein perfectes horizontal planum Ijaben mürbe, men nidf)t unterf^iebene 
brennung biefen pla£ auSgeljö^let, als mie einen großen bed^er, melier auS- 



SfcfdjttttfjaitS an SeiBnt§. 331 

lung toeite unb tieffe man gar too^l Betrad^tett tan, aber nidfjt eingeben, 
bietoeil eS ju gcüjling hinunter, in bet mitten biefer Ijöljlen i(t ein Kein auff^ 
getuorffener betg, auft toeldjjeS mitten ein lodj, batauS annocl) ie£o ein feljt 
ftatcfet bampf toie auS einen topfet offen anfffteiget. Sic materie beS Sergej, 
toie tton auften nnb in ber auSp|lung bemetefen fönnen, fielet triebt ungleidjj 
bet erben aus ben ßupfetbetgtoetefen; toen ein red^te^ incendium tft, fo toütffet 
bet betg tooljl öiele materie auft, abet abfonbetlidl) toitb fettiger öon einet 
flieftenben materie fo glüenbe nichts anbetS als toie ein topf toafjet bet) übrigen 
fetoet t)on aßen feiten übetlauffen, weld^e materie (toie leidet su gebenlen) fidj 
toeit nnb fetn batt>on begiebet, alles abet toaS fie anttiefft, butdfj bie madfjtige 
gtutl) tninitt; man fielet nodj genng indicia, too foW&e fttöljme gegangen, als 
auti) materie betfelbigen, fo ni^t anbetS als ^upfetfcljlaclen an^ufe^en, toie 
ben ein äimlidEjeS ftüdC bet) mit Ijabe. Sftadjbem toit alfo ju Neapolis ingleidjen 
toaS meritirt gefeiert ju toetben observirt, batuntet abfonbetlidj fo fd^öne 
Älteren, betgteid)en toof)t nidjt leidet anff ©rben mögen gefnnben toetben 
(excepto Sanct Peter ju Rom), fo machten toit unfc toiebetumb natf) 
Rom, alba mitt getoieftet eompagnie anff 14 tagen fcetbunben getoefen, 
manchmal)! ganfce tage in ßato|en tjetumber $u faxten, bamitt toit alles toaS 
in nnb auftet biefet Stab ju feljen, befrachteten. Unb muft gefielen, bafc 
Rom toaS fcpne Inftige gätten, Fontainen, Palätze, gemälbe, aufigeatbeitete 
liinftlid^e Statuen etc. nic^t leidet ifjteS gleiten Ijatt. 2öie idj nuljmeto 
alfo nnt ein toenig toiebet ju tufye fommeu unb midj appliciren toolte 
gutten fteunben ju avisiren, tote mit bteStjero gegangen, fo erhielt fcfjteiben 
üon £>tn. D. Schuller, nnb tote gteidEj in bet beanttoottung tyierauff innetljalb 
6 tagen anbete, oon iljm babutcl) fcetftänbiget tootben, ba| unfet fteunb im 
§aag presente D. Schullero bei) gutten fcetfianbe, unb nadjbem et disponiret 
toie eS mitt §intetlaf$enen manuscriptis folte gehalten toetben, öetftotben, toot* 
bet) ingleid^en ein fdpteiben oon $tn., babutd^ mid) beto annoef) befinblid^en gefmu> 
Ijeit gu etftetoen gelegen^eit gehabt; toaS abet fonft anlangt bie conversation 
mitt animalibus diversae a tua naturae, quod primarium est, unde omnia 
caetera Tibi incommoda, tounbete midj nidjjt, ben^ foldjeS fo toof)t etfat)ten, 
ba§ midEj t)on ben SJieinigen licet non exiguo labore opus fuerit ac singu- 
lari dexteritate I0J3 practieirt, audlj alle Itäfte antoenben toetbe, inS liinfftige 
foletjen öotjulommen, malen bie SJieinigen midj nadjet Ijaufte fotbetn, toeld^eS 
ben aucl) iebet jeit bie utfad^e getoe^en quod multis innotescere subterfugiam, 
bietoeil too^l toei§ fotoo^l experientia als ratione, toie gto^en fcl)aben man 
batt)on ^att, toie ben aucij ^iet fo t)iel als möglid^ fu^e mihi ut solus vivam, 
cum sie vivam caeteris, si vero aliis ipsis et mihi, mortuus mihi videar. 
SKit ben $tn. Borello ^be einzige conversation, fo ein feinet man unb ben 
Tractatum de motibus animalium nu^meto faft ju enbe gebracht; Gottignies, 
ein Sefuit Ijiet in ben Collegio Romano, ift bet befte fo mit nod^ toorfommen 



332 £fd)trttf)cw$ an Setbntg. 

in Mathematicis ; fonften f)abe ben $ttt. Kircherum no$ nidjt fpredjjen formen, 
weit er faft ftetS ä u ^ e ^? !J a & c &ocl} fjier|n gelegenljeit in sperantz; K)a$ 
fonften verlanget wirb üon mir fjier ben $rn. jn procuriren, and) gu noti- 
ficiren wip (ofifdjon toOTtejjo noc^ nidjt erlanget an§ lür^e ber jeit at3 be3 
beöorftefjenben oftetfefteS wegen) nid^t manquiren, wa§ tnöjjlid) bem §tn. nnb 
ieberjeit mitt anfridjtiger grennbfdfjafft an bie Ijanb ju gefjen. äftan Ijatt f)ier 
Kelatione della Corte di Roma del Signor Cavaliere Girolamo Lunadoro, 
Venetia Anno 64 in 12°, Weld(je£ ein 6ud^ tute L'estat de France nnb 
toeld)e£ feljr bienlidji; öon Mixern Ijabe nid()t3 curieuses gefehlt al% Prodromo 
o vero saggio di aleune inventioni nouve premesso, Autore Francesco 
Lana, in Brescia anno 70 in folio, in welchen bnelje red^t curieusse 
inventiones. ®er §r. Bocone ift nicf)t f)ier ju Rom, Ijabe fcerftanben, ba$ er 
jtt Genua ftclj auffalten folte. £>r. SJJoljren tjabe in Paris öetfaffen, ber in 
willeng nmb oftern nadfjljer IjoCanb ju getjen. Qu Paris Ijabe fcon $rn. Olden- 
burgern gebaute btieffe erhalten, aber an£ ntangel ber gett nod() bie£ dato nidjt 
antworten Jönnen. ®a£ einen nennen modum bie radices irrationales 
omnium aequationum jn determiniren gefnnben annoc^ in Paris, Ijabe in 
fettigen Schreiben, fo bemtaljt an ben £>m. abgeben laften, nebenft anbern 
realien notificirt; bamitt aber ber §r. fielet tote candide fcerfafyre, fo ttriljl 
f eibigen communiciren. Sie gan^e difficultet befielet gerinne: baf$ wir alle 
intermedios terminos ex quaeunque aequatione lönnen wegbringen, bieweil ben 
alfo unus incognitus terminus nnb unicus quoque cognitus, patet radicis 
extractio: ferner bieweil in feiner aequation einziger terminus lan weggebracht 
werben ipsa immutata, fo ift nötljig, ba3 eine gegebne aequation in eine 
anbere transmutirt werbe, barin bie intermedii termini lönnen tollirt werben. 
£)iefe3 lan ferner alfo gefdjeljen: Sit aequatio quaeeunque xx — px + q co 
sive cubica x 3 — pxx + qx - r co etc; si jam saltem unicus terminus 
debeat auferri, supponatur x co a + y et tränsmutatur aequatio, in qua 
unicus terminus debet auferri ope x co a + y in aliam, ubi y incognita 
radix, in qua ponatur ille terminus auferendus co 0, atque sie inveniemus 
qua ratione a sit assumenda ad terminum illum auferendum. Sit igitur 
in hac aequatione xx — px + q co auferendus seeundus terminus, fiat 
x oo y + a; jam vero xx oo yy + 2ay + aa co 

— px co — py — P a 

+ q co q 

adeoque ponendo 2 ay— py co erit 2a — p co et a co ^-; hinc patet de- 

bere fieri x oo y f ^ ad seeundum terminum in aequatione quadratica tollen- 

dum, atque sie non solum terminus unicus aufertur et in quaeunque aequati- 
one, sed et radices quadraticae aequationis determinantur, pr out hoc quoque 



£fdjiwrjau§ cm SeiBtttg. 333 

a Schottenio in Commentariis ostenditur. Si jam velimus duos terminos 
in quacunque aequatione auferre, supponendum saltem xx oo ax + b + y, 
si tres x 3 oo axx + bx + c + y, si quatuor x 4 oo ax 3 + bxx + ex + d + y, 
atque sie in infinitum, non obstante demonstratione qua contrarium 
evincebat Gregorius, prout scribit Oldenburgerus, et operatio instituenda 
eadem prorsus ratione ut antea; verum tute adjuvem quantum possum. 
si forte haec introspicere animus sit, cum eonseetariorum utilissimorum 
haec methodus sit ferax. Sit ex. gr. cubica aequatio x 3 — pxx + qx 

— r oo 0, verum cum jam unicum terminum ex aequatione possim tollere, 
compendiosius progredior (id quod semper observatum in superioribus 
aequationibus multum calculi abscindit) supponendo saltem x 3 — * qx — r 
oo et supponendo xx oo ax + b + y, hinc enim 

y 3 + 3byy + 3bby + b 3 
— 2qyy + 3ary — 2qbb 
A -4qby+3bar ^ Q 

+ q.qy + w 

— aaqy —• aqr 

— aaqb 

+- a 3 r — rr 

2q 
Jam ponatur 3b — 2q oo eritque b oo — et seeundo fiat 3bb + 3ar 

o 

— 4qb + qq — aaq oo et erit, restituto b ? quantitas a x ^ — Yv /^ — Jr> 

Jam cum in aequatione A duobus terminis sublatis (id quod fiet a et 
b substituendo prout jam inventae) y possit inveniri sitque y oo 

IX. 27r4 8q 3 4qr 9? ]/9rr q~ 

v 4rr — 7T-5- — -— + -77 — V -. 77, erit 111 aequatione xx 00 ax 

2q 3 27 3 qq 4qq 3 u 

+ b + y substitutis a, b et y 

3r 11 /ÖS q~~ 

XG °4q + 2 !/ 4qq"3 + 

8qq ^ 12 ^ 4q V 4qq 3 ^ V 2q 3 27 ^ 3 qq V 4qq 3 

desiderata radix cubicae aequationis. Haec nulli hactenus praeter D. 
Mobr et D. Schuller communieavi. Sed Oldenburgero id non rescribam, 
nisi postquam ad ultimam perfectionem deduxero. Praeterea in utilissi- 
mas hoc in itinere quandoque speculationes ineidi, sed nescio num 
tempus unquam habiturus sim, ea quae annotata saltem habeo in praxin 
deducendi; inter alia in modum ineidi admodum naturalem, omnium 
irrationalium quantitatum expressionein eujuseunque gradus sint, per 
infinitas series obtinendi, absque ulla extractione radicum, Sit ex. gr. 



, a 

a + 2 


3a 

°°T> a 


a 

' + 2 


a 7a 


a 


+ -- 

^2 


-- + 
KT 


a 17a , 

6ö a °-i2 eto - 


numerorum 


sie 


procedit : 


ad 


fractionis 


praecedentis 



334 SEfdjfroljauS an. SciBrttg. 

O Q Q Q Q 

2aa oo xx dico quod x aequale sit a + ö ~~ tä + cä ~~ ötö + önön e ^ c * e ^ 

x x x x x . 

aoox — 7T + 77T— ^tt: -f ;r7^ — tt^t^ etc. quas senes nescio num per 
3 21 119 697 4059 ^ r 

Methodum G-regorii possint terminari, et posses Du. Neutonio propo- 

nere saltem series hasce terminandas, aut quod idem in progressione 

a 3a 7a 17a 41a 99a .... ..... 

hac :r, -rr-, -=-, -^s-* -7^-, -=?r ultimum seu maximum termiimm inveiiire; 
1 2 5 12 ' 29 70 

, . a 

est enim a 00 -r-, 

progressio vero 

lex* -p-j numeratorem (7) adde denominatorem (5) et habebis (12) semper 

subsequentis fractionis denominatorem; seeundo ad hunc denominatorem 

(12) inventum adde praecedentis fractionis ( — 1 denominatorem (5) et 

habebis (17) numeratorem subsequentis fractionis (quae itaque erit 

17a\ 

-jö"). Methodum quoque qua haec inveniuntur, si desideras, sequentibus 

communicabo nee credo mihi, qua es facilitate, sententias tuas paradoxas 
admodum quas eruisti in Tamesis ostio nee non quaeeunque se tibi 
memorabilia offerunt, esse celaturum. Quoad demonstrationem tuam de 
ente perfectissimo, hanc a D. Schullero transmissam aeeepi, admodum 
placuit, sed quae de Cartesio habes, pace tua dicam, nullius roboris 
sunt; 1. enim Cartesius non ad experientiam provocat, quod nullibi 
legi, imo potius indieavit qua ratione homines ineidant in notionem 
entis perfectissimi, dum dicit quod affirmando aliquid in positivo dehinc 
assurgant ad comparativum et sie porro ad superlativum, et quia haec 
operatio admodum familiaris est hominibus ut vel de quibusvis rebus 
in superlativo loquantur, non video quare homines possint recusare se 
non intelligere quid sit ens perfectissimum atque sie per consequens 
recusare demonstrationem quam ipsis exhibuit existentia DEi. 2. Ve- 
rum ]icet hoc maximum usum habeat adeo ut et stupidi quivis possint 
convinci existentia Dei, attamen Philosophis non satisfactum fuisset, 
cum cognitio talis entis perfectissimi, prout vulgus coneipit, satis crassa 
cognitio est, adeoque Cartesius dilueide et variis in locis explicat (adeo 
ut mirer te haec negare) quid per perfectionem intelligat, dicit itaque 
perfectionem ac realitatem unum et idem ipsi esse, item in alio loco 
per perfectionem intelligit quod de esse partieipat, quo magis itaque 
res de esse partieipant, eo sunt perfectiores (hinc est quod Cartesius 
dicit substantias esse perfectiores modis) sie e contra ipsi est imper- 



SEftfjtrnljauS an SetBntg. 335 

fectum, quod de non esse participat seu ut ipsins plirasi utar de nihilo, 
veluti dubitatio, ignorantia, divisio etc. Cum itaque omnia distincta 
sint in ipsius definitione, nescio qua re demonstratio huic soli innixa 
possit rejiei. 3. Colliges quanta sit differentia definitio Cartes. et 
Tuae. Ens enim perfectissimum sie coneeptum et Ens quod ejusmodi 
infinitis perfectionibus constat, differunt et qui priore definitione utitur, 
saltem necesse ei est ut ostendat ea quae comprehendit distincta cogni- 
tione constare, prout facit Cartesius juxta annot. 3, qni vero seeunda 
utitur, is debet prius probare prout optime fecisti, quod tales infinitae 
perfectiones possint in eodem subjeeto esse. Possem 4. ostendere quod 
ex bac posita definitione entis perfeetissimi juxta Cartesium statim tua 
sequatur definitio tanquam corrolarium, sed tempus revera non permittit, 
ut Metaphysieis speculationibus ulterius ineumbam. Et saltem bas eo 
congessi rationes, ne tibi viderer ex passione loqui, ut qui tibi bac in 
re* maxime suspectus sum, et ut ingenue loquar, mirares, si non passione 
aliqua colerem Cartesium, cui tot nominibus devinetus sum et a quo 
tarn multa et perquam utilia addidici. Sed ut videas banc passionem 
mihi oculos non obeaecare atque adeo noxiäm esse, libere dicam, per» 
plures et qualitate grandes errores in Cartesii scriptis contineri, imo. 
plus, me hanc quam attalit de Deo demonstrationem non magni facere, 
licet legitima sit, et hoc est quod semper conquestus sum, non quod 
methodum quae per definitiones (quam ipse approbo) procederet im- 
probarem, sed quod inquirendae sint definitiones adaequatae omnium 
rerum. Quod autem non adaequata sit eo senso quo Cartesius sumit, 
patet, quia revera infinita ex Dei natura sequuntur quae nescio an 
Cartesius ex bac posita definitione deduceret, cum tarnen si adaequatam 
Dei definitionem nobis tradidisset, omnia nobis deberent obvia esse 
quaeeunque in Deo sunt, imo nobis aeque clära ac certa ac ipsi Deo* 
Et licet non mibi ullo modo jam tempus sit Metaphysieis delectari, 
hoc enim tempus si habuero, forte a Mundo penitus abstractus vivam 
adeoque quaeeunque jam circa talia affirmo, saltem int er conjeeturas 
et probabilia pono, attamen non intermittere possim quin dicam, mihi 
eam definitionem quam tradidit mortuus noster videri adaequatissimam, 
dum Deum definit per substantiam absolute infinitam. Substantia autem 
per ens quod in se est seu quod idem ? quod per se coneipitur; prima 
enim definitio (quod in se est) exhibet naturam substantiae qualis in 
se est absque respectu nostrae naturae; seeunda definitio (quod per se 
coneipitur) exhibet naturam substantiae, quatenus a nobis coneipitur; 
hisce enim positis non credendum quam ardua et quam tarnen magna 
facilitate deducantur, et infinitae difficiles ädmodum quaestiones quae 
omnibus crucem fixere in Metaphysieis quanta claritate deeidantur, 



336 S£fdnrnI)cM§ an SetBntj. 

Et quia percipere possum te legisse scriptum ejus hac de re elaboratum, 
non opus erit adeo prolixe esse ad aliquod meae assertionis argumentum 
proferendum. Sic itaque ex definitionibus quas ibi tradit et axiomatibus 
primae partis aliquando deduxi (seu potius collegi aut contraxi quae 
prolixius habeat, ne videar quod alterius est mihi attribuere) demon- 
strationem sequentem existentia Dei. 

1. Propositio 
Substantia est ens absolute infinitum. 

Substantia est ens quod in se est, adeoque non est in alio, nee 
in ullo alio quoeunque (alias enim non esset in se absolute loquendo). 
TJnde a nullo alio absolute terminatur, adeoque absolute infinitum est. 

2. Propositio 
Substantia necessario existit. 

Substantia est quod per se coneipitur adeoque non est effectus 
alterius rei (Effectus enim per aliud, hoc est per suam causam debet 
coneipi) nee eujuseunque alterius rei effectus (alias enim non per se 
coneiperetur absolute loquendo). Unde nullam causam habet absolute 
suae existentiae adeoque per se ipsum existit sive ex vi suae naturae 
seu quod idem, necessario existit. NB. hinc clare sequitur extensionem 
absolute sumptam necessario semper extitisse. 

3. Propositio. 
Deus necessario existit. 

Substantia est ens absolute infinitum (per primam prop.) quodque 
necessarium existit (per seeundam) adeoque ens absolute infinitum, hoc 
est Deus (per definit.) necessario existit. 

Nee credo te hanc definitionem contradictionem posse involvere 
entis quod in se est, nimirum Dei et Mundi, id quod in alio; nullus 
enim vel puer est qui non adaequatam hujus rei habet cognitionem, et 
quoque hoc ipsum non circa Cartes. definit. entis perfectissimi debebas 
timere. Ponamus enim Cartes. definitionem Dei per ens perfectissimum 
etiam juxta mentem Cartes. superius expositam in se contradictionem 
involvere, dico tarnen eandem legitimam esse, sit enim talis definitio 
quam contradictionem involvere existimamus ac ponamus quod necessario 
hac posita existentia definiti sequatur, dico quod eo ipso essentia definiti 
hoc est ipsa definitio nullam contradictionem involvat; si enim existentia 
hac posita possibilis erit, etiam essentia ejus prout supposita possibilis, 
adeoque ut quia posito ente perfectissimo necessaria adeoque et possi- 
bilis est existentia ejus (prout ipse fateris) e contrario etiam coneeptus 



£f<f)ttttt)au3 an Setßntg, 33? 

hujus entis perfectissimi debet possibilis esse et si possibilis ( 

fateris) etiam ejus existentia necessaria. Caeterum rogo ut condones, 
si forte aliqua in re lapsus sum ob nimiam prolixitatem; gaudeo prae- 
terea Claris. Hugen. bene valere, cum mundus paucos sui similes habet, 
eo plures sunt aestimandi, et quia revera hominum utilitas a talibus 
expectanda qui sincere intellectum excolunt, non deberent non in eo 
omnes toti esse (si verum suum utile nossent) ut horum esse quam 
maxime conservarent; ego eo reflectens non possum quin ut tibi re- 
stituaris ex animo optem, et si aliquid unquam erit quo tibi inservire 
possim, id sine fuco, astutia, uno verbo candidissimo pectore exsequar, 
immemor tuae suavissimae conversationis, cui aeternum obligatus vivo ? 
in aeternum quoque Tuus sincerus etc. 

P. S. $11 Turin fyabe einen bratenwenber fo singular gefeiten: ©§ war 
oben in fd)orftein nnr ein toc§ etwan einer elen in diametro, in weldjen ein 
xab, an wetdjen wie pinnae lamineae, biefe§ fiittete ba3 lod) faft gar aufj, bet 
raudj aber ber burd) mufte, wenbete foldje£ fo an einer [tangen war, continu- 
irlid) öerumb. 2)urd) eben biejer plffe würbe ber bratfpieS umbgebreljet, unb 
jwar mit foldjer proportion, mar viel ferner, fo breite er fiel) ge[d)Winb 
tjerumb, nnb atfo aud) ber bratfpieg, wie ben erforbert wirb, wo tva$ baran 
nid)t verbrennen foE, war wenig fetter, fo gieng folcJjeS langfam gleidjfals in 
btenlid^et proportion (jierjn. SWid) bebiinlet bieje3 instrumenti figitr in Joco 
seriis De3 Scliooti gefeiert ju fyaben. ©nblid) erfudje, fo Wag Wütbigeg in 
Mons. Newton briefen, mir «$u communiciren, ober and; fonft toa$ mir btenen 
fönbte. Adieu. 



III. 

Cfcfytrnfyaus an ieibni$> 

3dj wü)l nid)t jweifetn, Sie werben untängft von mir abgegebnes erhalten 
Ijaben; mitt ie^igen überfdjicfe nefjft .... begriiftung ingelegte£ wie von ©ie 
Verlanget worben, worbet) notificire, ba§ biefer Francesco Nazari, fo author 
be£ Giornali all)ier, jowotjt entree chez la Reine et les Cardinaux, al§ 
aud) erfennet, ba3 er ein feiner habiler man, welker midj Vtrftcftert, biemeit er 
bem £rn. burd) M. Oldenburgers notifizirung erfennet, ba§ Sljm redjt an* 
genetjm bero correspondenz fein \oü, nur Verlanget felbiger Von 3()m burd) 
ein briefgen Ijierin voüfomner (ob $I)m jd)on bieg wa£ mir übertrieben 

didt 



338 Sfdjirnljaus an Setbma. 

worben, legen lagen) informirt ju werben, wie audj bietueit er nidjt gerne 
feine brteffe burdj beg Settimii Paluzzi Ijenbe wolte geljen lagen, eine addresse 
entweber ju Venedig ober wo fonft beliebet würbe, banütt foldje fieser fort 
fönbten fommen. 3d) Ijabe fold^e^ balb melben woKen, bamitt, bieweil annod) 
4 monatl) gebenfe f)ier 5a Derbleiben, in ber geit, wa£ bem §rn. Ijier ju er= 
galten bienlid), tnitt begen satisfaction, ing werfe fönte fteßen. ©r wohnet 
fonfteh nel corso prope Dominum Rospigliosum, unb fd)eint Tinctus in omni 
seibili. wöbet) er feljr bienftljafft unb human fid) gegen mir erliegen. 3d) 
lebe fonften gar oergnügt; wegen äiemlidjer t)ie&e Ijabe alle studia quittiret, 
tractire nur einzig bie Italienifdje al3 Franzoijd)e fpradje, Wo<$u gutte 
getegenljeit. ©en §r. Kircherum l)abe bet) fielen mahlen gefprod)en, unb bin 
in begen abwefenfyeit in begen Gallerie nod) belieben, worinnen curieuse 
Machinen, al£ aud) alle feine opera. äftocfyte wiegen ob ben £)w. ein modus 
Generalis belanbt: ex data alieujus spatii, curva Geometrica terminati, 
mensura centrum gravitatis in axe determinandi, e3 würbe mir in gewieger 
Inquisition bienen. ©3 §att wotjt ber des Cartes einen ingenieusen modum 
hierin ben Schotenio communicirt, fo in begen Commentarien enthalten, 
aber nid)t universal beglaube $u |ein. SJJJeine le^te exercirung, bamitt meine 
studia mathematica befdjlogen, £)att midj auff einen fo leichten Methodum, 
omnium curvarum quantitatum hactenus cognitarum mensuram ju erhalten 
gebracht, aU mir nict)t wiegenb, magen fold)e£ solo calculo (oljne inquisition 
ber Tangenten, nodj supposition indefinitae alieujus parvae lineolae neque 
centri gravitatis cognitio) eoque facillimo, duobus aut tribus saltem 
lineolis constanti befd)tel)et. ä)£od)te wiegen ob man bie quadratur biefer 
spatiorum, beren natur in fotgenben aequationen 

yool^xx — x 4 ycoV^x 6 — x 8 ycol^x^—x 12 J . . 

u atque sie in 

yxVx 4 — x 7 yooVx 10 — x» 3 y 00 Vx 10 — x 19 . n . A 

** d . lnnnitum 

yxFx ö — x i0 yQoVx 14 — X' 8 ycoVx 22 -x 26 

Welche alle ad mensuram reduciret, wie audj infinita anbere, fo surdis signis 
miris modis implicirt, .... fold)e nid)t meinen, ba3 circuli quadratura 

feljr probabel .... Weil bie quadratura biefe§ spatii y co Vxx — x 4 seu 

2 

y 00 xVl — xx belaubt, neljmlid) co — , unb ad cireuli quadraturam nid)t3 

meljr ju füiben nötfyig, al£ summa omnium Vi — xx. Sed satis harum 
rerum pro hac vice; bie jeit ob visitirung öieler belaubten fo abreifen, läget 
mir ntcf)t mefjr ju als ju berficljern etc. 



£f$rotfjaui an SetBnts. 339 

IV. 

Cfcfyimfyaus an icibni^ 

Rom. d. 27 Januar. An. 1778. 
Tarn amplas literas jam dum ante duos menses ad Te*) trans- 
misi, ut mihi viderer omnem scribendi modum excessisse, et quia binarum 
literarum quas ope Dn. Paluzii ad Te magno abhinc temporis spatio 
destinaram, nondum tarnen responsum accepissem, eas potius ad Dn. 
Schüllerum misi, ut Tibi hac ratione et secure et citius redderentur. 
In iis autem ad omnia quae tunc desiderabas, quantum vires permisere, 
respondi et inter alia Methodum communicavi, qua omnium quantitatum 
possibilis proportio determinatus omnesque quantitates irrationales ad 

infinitas series reducuntur, ubi ostenditur V2. aequari 1+^~tä + ^ä 

— oTo e ^ c - e ^ a ^ a hujus generis; hoc solum hie addam 1. Quod haec 

Methodus facilius multo intelligatur, si explieetur per continuas sub- 
tractiones et prout quoque primo adinveni, sed prolixior mihi visa illius 
explicatio, adeoque malui alteram per divisionem ipsi praeferre; 2, quod 
data aliqua serie infinita, statim ejus conversa (uti sie eandem soles 
vocare) possit inveniri; ostendi enim ibi, qua ratione data aliqua serie 
haee ad infinitas aequationes possit transferri, comparando omnes ter- 
minos hujus seriei cum terminis generalis cujusdam seriei et quod ex 
hisce aequationibus duae semper series infinitae possint elici, prout 
altera quantitatum cognita aut incognita supponitur. Siquidem tempus 
id permittet ut haecce omnia denuo aecuratius retraetare possim, ten- 
tabo quae conversa series, supposita tua circuli quadratura ? proveniat 
hac raethodo et alia quae ad ultimam perfectionem hujus Methodi desi- 
derantur. Porro circa Metaphysica quoque quaedam erunt ibi exposita, 
sed rudiora forte quam quae Tibi placere possint. Interim gaudeo 
quod Virum offenderis, ex cujus conversatione satisfactionem circa talia 
habere possis, sed nescio sane, ob quam rationem nomen ejus mihi 
retices, quod mihi utique pergratum esset cognoscere, uti et aliquando 
quae circa haec inter Vos peraeta. Stenonem cognovi Virum admodum 
religiosum esse et certe ingenio pollentem, interim tarnen non miror, 
quod Te disserentem haud assecutus fuerit, cum aliquatenus interiora 
ejus penetrare mihi lieuit et ratio Tua circa haec allata praeprimis 
Ipsi conveniens esse videtur In Oldenburgero nostro utique multum 



*) £etb rüg (jat bewerft: non vidi. 

22* 



340 £fdjirrtf)cwg an 2zibni$. 

perdidimus, et vellem libenter per Te addiscere, quis ei successurus 
sit ? uti et alia quae in Anglia jam curiosa occurrunt, quia literarum 
commercium inter me et illos hac ratione interruptum. Instructionem 
quoque uberiorem (postquam eadem potitus fueris) circa calculi curatio- 
nem apprime desiderarem. Interim ut D. Justelio inservire possem, 
specialius determinandae commoditates vitae, quas Ipse praecipue re- 
spieit, et licet mihi persuadeam, hoc praecipue dependere a cognitione 
verae Philosophiae, attamen quoque necesse est, ut concedam, Nobis 
tarn multa per experientiam innotuisse, ut hisce, praeeunte sano judicio, 
adhibitis, magna jucunditate vitam transigere liceret. Verum talia 
credo Ipsi plura nota esse quam mihi, quicquid sit; si specialius haec 
rescivero, et forte aliquid circa haec occurrat, non denegabo communi- 
cationem, quo inserviam tarn utili proposito. Hoc praeterea mihi per- 
suadeo, ut alia taceam, per plurimas posse excogitari corporis exer- 
citationes, quae illud ad omnia aeque aptum reddant quaeque mentem 
hinc ad quaevis exsequenda aptissimam efficiant, aliasque utilissimas 
observationes, quae Homini Philosopho perquam necessariae videntur. 
Quoad externa quoque quot non hinc ad nos commoda derivantur, cum 
pleraque quae jam hominum opera nunt, per artificiosas machinas credo 
posse exsequi, cum permulta jam quae antea hominum labore fiebant, 
nunc ope aquae, venti, animalis aut alterius motoris et machinae cujus- 
dam ope peraguntur, tarn quae ad necessitatem spectant, quam quaedam 
quae ad jucunditatem (uti Musica illa instrumenta quae quas vis melodias 
exhibent, inter quae artificiosum hie ßomae visitur Machinamentum ; 
quo artiheiosius nunquam vidi et cujus effeeta descripta habentur in 
libello quodam hie impresso). Nee video qua ratione non eadem via 
parari possint et omnis generis panni ? quae tarn ex lino, serico aut 
alia quavis materia efüciuntur ac in majori multo copia quam jam, imo 
Tibi alia ac alia infinita talia, et tarn laboris plenae scissurae ac poli- 
turae lapidum ac marmoris, item Agricultura et in gen er e omnia Arti- 
ücia, quae satis distinetis operationibus in sensus oecurrunt, ac proinde 
a quovis satis perfecte addiscuntur ? nam quoad alia, licet quoque pro- 
babilia mihi se primo intuitu offerant quoad eorum possibilitatem, forte 
tarnen machinarum talium produetio plus laboris requireret, quam id 
ipsum, quod ejus ope praestaretur. Hie autem ex occasione notabo, 
mihi relatum Venetiis machinae ope lentes in magna copia una et 
eadem opera omnes simul posse elaborari, quamque me scire credo; in 
mechanicas autem inventiones Marchionis cujusdam Tiberis coercendi 
etc. responsum fuit, id Venetiis peractum circa similem materiam, sed 
artificium nondum hie constare, nisi quod Hollandus quidam simile fere 
consilium dederit hie loci circa Tiberim et quoque bono cum successu 



£fd)twf)au§ an SetBnig. 



341 



exsequutus fuerit, prout hie ipse vidi. Sed res non est tanti momenti 
ut plnribus exponam. 

Pat. Gottignies in sua Logisticae Idea An. 1677 hie impressa 
pag. 207 hisce verbis quadratnram suam circuli mundo annunciat: 
Nemo hactenus inventus est. qui in rigore Geometrico solvent quadra- 
turam circuli, tametsi eerto eonstat solvi posse; utrum legitimam ejus 
solutionem ego invenerim, tunc alii statuent, quando publici juris facta 
erunt, quae hactenus inter privata mea scripta delitescunt. Multoties 
contuli cum Ipso, sed multas conjeeturas habeo, quae mihi contrarium 
suadent, et revera si obtinuisset, eas non video, quare non publici 
juris faceret; sed forte probabilitate deeeptus possibilitatis ineidens in 
talia problemata, quae solutum facilia videbantur, quaeque circuli quadra- 
turam supponebant, prout quaedam Ipse in praedicto Tractatu recenset, 
et revera mihi non saepe (credo facile et aliis has materias traetanti- 
bus) talia se obtulere, quanquam nunquam probabilius speeimen sequente: 



H 



""""-x 


^^ M 


<?\ 


' t 


F\ 


K L 


o\ 


vy^ 



D 



E 



Sit Parabola ADE cujus axis AD, sitque 
DE cß AD; jam fiat AB co DN et duetis lineis 
BM et NQ parall. ad, AH fiat BG co OQ et B 
NO co GM; idem fiat ubique et exsurget n 
spatium AHLEFA co Parabolae ADE; Dico 
jam dato solido quod fit a figura HLE circa N 
axim HE (seu ut dicis momentum figurae 
HLE) dari quadraturam circuli; quis primo 
intuitu non existimaret hoc possibile esse cum 1. quadratura spatii HLE 
detur, 2. solidi dimensio quod fit a figura HKL circa axim KL, ac 
cum tertio spatium hoc HLE tantam affinitatem habeat cum Para- 
bola, cujus quadratura datur, hac probabititate allectus rae ad hoc sol- 
vendum accinxi et vidi statim, totam difficultatem in eo consistere, ut 
centrum gravitatis hujus figurae HLE determinetur in axe KL, adeo- 
que inquisivi in Methodum Generalem, ex datae figurae quadratura cen- 
trum gravitatis determinandi, et cum non videretur juxta vota pro- 
gressus, ad Te confugi et revera non potuisses aptius respondere quam 
referendo idem prorsus exemplum, in quod ineidi (uti perfacile ex 
applicatione apparebit licet primo intuitu diversa videantur) loco re- 
sponsionis, cum annexa ingeniosa reflexione ex tua Cyclometria, quod 
tarn generalis circuli quadratura non pössit dari, cum (prout, si recte 
memini, recenses) hinc alias Anguli trisectio, ope circuli possit exhiberi 
et similia, seu quod idem, aequationes cubicae ac superiorum dimen- 
sionum horum angulorum sectiones exprimentes possent ad quadraticam 
reduci, quod utique non possibile videtur, licet nullam hac de re demon- 
strationem habeam nee adhuc videam impossibilitatem hujus solidi 



342 



Stftfjtrnfjcmg an Seibntg. 



dimensionem impetrandi aut certae eujusdam partis saltem, hieque 
obiter velim scias, per hoc ipsum instrumentum quo me vidisti An- 
gulum datum in quotvis aequales partes posse dividere, quoque me jam, 
invariato prorsus eodem, quotcunque medias proportionales designare 
posse. Quae de Fractionum reductione ad numeros decimales innuis 7 
bene pereepi, et ut omnia universalia magni admodum facio, ac si per 
tempus licebit non ad decimalem sed ad quamcunque ejusmodi divisi- 
onem ut binalem, trinalein, septinalem etc. applicabo; verum non omni 
ex parte pereepi, qua ratione hinc curvarum quadraturae possint derivari 
nee quod alio loco seribis, Te idem negotium per Logarithmos posse 
absolvere, et horum cognitio mihi pergrata esset. Quoad Methodum, in 
quam ineidi, ope cujus majori faeiütate quam hactenus vidi, qua- 
draturas curvarum quantitatum exhibeo, non credo displicebit 
ejus communicatio •, sequentia autem circa illam annoto 1. non exi- 
stimo me dixisse ipsam absolvi absque Methodo indivisibilium , ut 
vulgo vocant, sed saltem non opus esse ut consideremus rectangula ? 
cujusdam altitudo indefinite parva; fateor enim considerandas esse vel 
solas lineas reetas aut superficies planas ut solet Cavallerius, vel uni- 
versalius cum Cartesio nihil aliud considerandum esse quam solam re- 
lationem, qua ille solet uti ad curvarum naturas calculo clesignandas, 
prout statim apparebit. Interim si hisce non direeta Methodo quadra- 
turas curvarum quantitatum obtinendis credis, utique nee Methodus 
mea hoc praestabit; ostendam autem hie prius ex occasione, quomodo 
didici quadraturam Lunulae Hippocratis posse demonstrari per simpli- 
cem linearum transpositionem absque Euclideo illo Theoremate, quod 

insinuas: sit circulus EABD centro C, ra- 
dio CA descriptus , duetis jam diametris 
AD et EB normaliter se intersecantibus 
in C ac Hnea reeta AB, tunc fiat (dueta 
ad libitum MN parallela AC) ML oc KN 
-ß et sie ubique eritque spatium CKGrB 
hinc proveniens aequale spatio AMBL 
fiat denuo KG parallela CB ac semper 
aequalis FI, eritque hinc produetum 
spatium EFHC aequale spatio AMBL 
adeoque semilunula EPAHFE oc Triangulo 
ACB seu Triangulo ECD, et facile 
hinc porro possem ostendere EFH curvam esse arcum circuli 
radio DE descriptum, ac proinde semilunulam EPAHF esse ean- 
dem quam Hippocrates considerat. Sed hoc Tecum agendo utique su- 
perfluum esset; hoc ex occasione noto ? si AMB sit curva Parabolica et 




SLfdjmtfjauS cm SetButj. 



343 




fiat continue ac ubique MLcoKN, et hinc KG oo FL FO esse quartana 
partem GP adeoque spatium ACBM ad Triangulum ut 4 ad 3, et sie in qui- 
busvis figuris haec applieando aut quadraturas datorum spatiorum asse- 
qui licet aut quadaturas ad minimum semper alieujus alterius spatii. 
Sed haec forte non reeenseri merebantur. 2, Itaque me ad Methodum 
modo promissam, quam breviter ac clare potero, explicandam accingo: 
G Sit figura quaeeunque CBD, jam coneipiatur 

alia figura quaeeunque CBA perpendieula- 
Q riter ereeta supra lineam CB Atque sie 

ex infinitis reetangulis FIG formetur soli- 
dum quoddam: dico jam infinitas intersecti- 
ones hujus solidi seeundum lineam IG pa- 
A E B II D rallelam BD aequari infinitis intersectionibus 

hujus solidi seeundum lineam HG parallelam BC, seu quod idem Ora- 
nia reetangula FIG aequari omnibas spatiis ABIF. In hoc unico 
ac tarn facili consistit haec Methodus, quod qui bene pereipit, in reli- 
quis nullam difficultatem experietur. Et mirum posset videri haec 
tarn facilia non potuisse alicui in mentem venire, cum ingeniosissima 
hujus seculi extant inventa, nisi viderem tarn infinita numero praeclara 
Theoremata tanta facilitate hinc posse deduci, quorum permulta ab aliis, 
sane non difficiliore Methodo fuissent exhibita, si haecce ipsis nota fu- 
issent. Sed infinita cum extent facilia, ad quae nimirum penetranda 
non multum requiritur ingenii et quae tarnen maximi usus, non mirum 
est ut nos quibus infinita percurrere non datum, quaedam subterfugiant, 
licet et facillima et perquam utilia, et posito quoque haec nota extitisse 
aliis, ut vix dubitare possum, non forte ipsis quoque notum fuit, haec 
tarn utilia esse ad quadraturas eruendas et praeterea ea plerumque 
magni aestimamus quae elicienda multum ingenii requiritur, videtur 
adeoque quae imaginationem late afficiunt ac admirationem in nobis 
excitant potuisse homines ad tarn sublimia pertingere; ea vero proinde 
parum aut nullius fere momenti quae quam maxime universalia et faci- 
lia quaeque ideo ordinarie solemus negligere. Sed satis praefati (ne 
ridiculum videatur me velle rem primo intuitu nullius momenti in tan- 
tum extollere) ad rem ipsam proprius accedamus ; Formetur primo tale 

solidum ex quadrato ABLK et triangulo 
BLC, sitque BL seu LC oc 1; jam fiat 
BG oc x ad primam sectionem HGF cal- 
culo exprimendam; seeundo ponatur LD oo 
x (NB. si linea LC major aut minor BL, 
^ potius LD litera y aut simili significanda 
•^ est ob confusionem evitandam) ad seeun- 



Ä 
H 



I 

K 



B 



Msf 



M 



fig. 1 




344 



£frf)ixnf)att§ an Setönijj. 



m 



dam sectionem nt supra dixi IMLK calculo exprimendam, haecque ge- 

neraliter in omnibus sequentibus notanda. Jam itaque 

HGxl IMaol ] 

nr , ,- T „ l m; iam omnes mter- 

GF x x ML oo 1— x J ' J 

sectiones HGF aequantur omn. rectang, IML h. e. Omn. HGF oo x oo 1 — x 
co om. IMLK adeoque 2x cc 1 et omnes x oo 7 2 . 

Sit secundo corpus ex duobus triangnlis BLC et BLK; jam sit 



fig- 2 



H/ 



B 

Cr 



K' 



HG xx 

GF oo x 



BLK juxta priora oo I 



xx 



BMI juxta eadem oo — - [ 



M 



E eritque xx oo 



1 — XX 



, adeoque 3xx oo 1 



D 



"G 



et tandem Omn. xx oo jr. 

6 



Per haecce 



tarn pauca et facilia exhibetur Trianguli, Circuli cum ad triangulum 
reducatur, Cycloidis, Parabolae, Coni, Sphaerae, Spiralis. Conoidis 
Parabolici, Conoidis hyperbolici dimensio, id est praecipua inventa 
Veterum ac infinita numero recentiorum. Sed ulterius progrediamur. 
Sit tertio solidum constans ex triangulo seu figura ubi GF oo x et 
iigura BLK ubi GH oo xx. Jam 

HG oo xx KBL per priora oo ~- 



m < 



xx 

GF oo x IMB per eadem oo -~- 



?s 



eritque x 3 x 



adeoque 4x 3 x 1 et 




x 3 x j ? atque sie progrediendo eadem fa- 

cilitate invenies x 4 x — , x 5 x ^ atque sie in infinitum, ubi notes posse 

eadem inveniri si figura BLK in 2da et 3tia figura invertatur. uti et 

tarn haec quam omnia sequentia posse quasi innumeris modis inveniri. 

Sit jam porro solidum (respice 1. fig.) constans ex duabus super- 

ficiebus BLKA et BLC, in quibus GH x 1 et GF xxx; jam ut supra 

jHGxl IMxl 

m |GFxxx MLool-l/x 

et erit 



m 



XX X 



i-vl 



adeoque V"x x 1 — xx et hinc per priora Omn. Vx x ^-. 
spiee 2. fig.) GH x x et GF x xx; jam 



r - 2 
3* 



Sit jam (re- 



Sf^itn^aug an SetBnij. 345 



(hGdox BLKaoi 

■ 1 

jGFxxx BMI do ~l 



1 — y ~ 2 

et erit x 3 x adeoque l^xx x 1 — 2x 3 ,hocestT^xx x t- J am assu- 

2 

mendo GH x xx et GF x xx invenies l^x 3 x ■=-, assumendo vero GH 

Ö 

2 2—2 

x x 3 et GF x xx invenies Vx 4 x — , et sie porro Vx 6 x =-, Vx 6 x q-, at- 

o r o 

que sie porro in infinitum. Tertio si assumanus HG oox et GF x x 3 , 
2do HG x x et GF x x 3 , 3tio HG oo xx et GF x x 3 , 4to GH x x 3 et 

„ _ 3 3 3 3 3 

GF x x 3 atque sie porro, inveniamus kxxt, hxxr, Vx^do — 

3 3 

Vx 4 Xy, atque sie indefinite. Eadem ratione invenio sie progrediendo 

Vx x £-, l^xx x w, Vx$ x ^, Vx 4 x q-, item V x x ^ , Vxx x =-, Vx 6 x-^, 

atque sie in infinitum. Semper aequales erunt tales quantitates fracti- 

oni, cujus numerator exponens signi radiealis, denominator summa ex- 

ponentis signi radiealis, et exponentis quantitatis x. Et hisce paueis 

me existimo 1. omnium Parabolarum, Spiralium et Conoidum Paraboli- 

carum dimensionem ac infinitarum praeterea superficierum ac solidorum 

dimensionem ea facilitate exhibuisse, qualem hactenus non vidi; 2. quoque 

omnium quantitatum quae ab harum compositione exsurgunt, uti sunt 

omnia conoidea Parabolica a Parabolis infinitis circa basin genita atque 

infinitae aliae tales quantitates ; 3. quia compositarum ex surdis quantitates 

infinitis modis possunt exprimi, ab unica tali compositione infinitarum 

_ _ 2 2 7 

quantitatum mensura dependet ex. gr. j/ x + j/x 3 x juxta priora^ + -j x— ; 

verum haec quantitas infinitis modis potest exprimi ex. gr. multiplicando 
in se quadratice, cubice etc. et extrahendo radicem quadraticam, cubicam 
etc. ; sie multiplicando in se quadratice hanc quantitatem et extrahendo 

radicem erit 1/ x + x 3 + 2T^x 4 so^ etc. ubi notandum quod quandoque 

egregia hine assequuntur, si extractio procedit velut in praesenti exemplo, 

7 

erit enim Vx + x 3 + 2xx ^o^ (Nota: quid probabilius, jam hinc dari 

Vx + 2xx, cum detur Vx + 2xx + x 3 hoc est hyperbolae quadratura, sed 
probabilibus in hoc negotio non credendum ; interim ad minimum inter- 



346 SfdjtrttfjauS cm SeiBnig. 

polationis negotium a Wallisio exhibitum multum hinc adjuvabitur). 

Quot jam existimas quantitatum mensuram dari conjugendo tali ratione 

omnes binas, ternas, quaternas etc.? Attamen in eo non terminatur 

Methodus, sed progressum jam scio in infinitum haec continuandi ad 

binomiorum, trinomiorum etc. impetrandi mensuram, et cum jam Om- 

nium curvarum possibilium numerum determinarim (ut ex 

receptis a me literis te intellexisse spero) et facile in hoc negotio 

omnes possibiles combinationes determinare liceat, credo si tempus 

haberem me posse hinc determinare tarn omnes possibiles quadräturas, 

quam quae non quadraturam admittunt, et alia quae ad ultimam hujus 

methodi perfectionem requiruntur. Verum ut aliqua saltem Tibi 

communicem exempla quantitatum compositarum , in quae incidi 

2 2 

ulterius progrediendo, observari Omnes xVi — xx do^ ? xxVl — x 3 x> ^, 

X^Vl X 4 Xt^ etc. item X^Vl XXX -j-Tir, X b Vl X 3 CO r-rr 

4,3 4,15 6,15' 

x 7 Vi — x 4 30 t—r? etc. item x 5 V 1 — xx do tt-tt^ , x 8 J^l — x 3 do - 



g 1& ^. ~ ^ ^ 6 1()5 , ^ ^ ~ 9,105' 

48 

x 11 V 1 — x 4 do p, . Atque sie talia magno numero communicare 

possem. Jam interim ad alteram partem hujus Methodi me convertam, 
quae consistit ut dato aliquo spatio mensura ejus detegatur (loquor 
saltem de superficie, quia omnes aliae quantitates ad has reduci pos- 
sunt) tuneque sie procedo : conjungendo primo rectangulum cum propo- 
sita figura formo solidum hinc ut antea, et si quidem hinc non mensura 
patet progrediendo ut supra, assumo alias ac alias figuras quadrabiles 
et efficio hinc solida priori aequalia et tunc ut antea progredior for- 
mando semper aequationes inter diversas illas sectiones, cumque semper 
spatia illa quadrabilia in certa progressione assumo, debent provenientia 
quoque semper in certa progressione progredi, adeoque ut facile videam, 
num hac methodo intentum assequi liceat, ostendam speeiminis loco, 
qua ratione Circuli ac aliarum figurarum novas hac methodo detexerim 
quadraturas. Primo sit semicirculus DMI et assumamus rectangulum 
DACI ita ut radius 10 aequalis DA. Sed cum hac ratione nihil inve- 
nimus quod tendat ad nostrum scopum, ut tentanti constabit, assumo 
Triangulum FHDi, in quo FH so DjH et efficio solidum priori aequale 
hoc est efficio ut rectangulum MKB semper aequale sit reetangulo EGL. 
Ponamus itaque in hunc finem IKdoxx HG do NL et posito Ol x> a, 
erit DK seu FG do 2a — x doEG. lam sit HN seu GL x z et fiat 



rectangulum MKB aequale reetangulo EGL eritque aV2ax — xx x 



£fd)trofjau8 an SeiBnig. 



347 




2az — xz,quibusreductisinveniturx do - 



2azz 



.exqui- 
aa + zz x 

bus patet curvam hanc HLS esse eandem qua egregie 

^ Circulum quadrasti. Sed videamus, qualis Quadra- 

tura ex hac Methodo proveniat. Cum itaque jam 

omnia rectangula EGL juxta superiora aequalia sint 

omnibus spatiis DHGE supra NL, hoc sie calculo 

exprimo DEGH ao FHD — FGE hoc est T)EGH 

4aa 4aa 



DO- 



4ax + xx 4aa — xx 

do ^r , restituatur jam 



x et erit 



8aazz 



4axz 4 



2 
hoc est 



8a 4 zz + 4aaz 4 



aa + zz aa _|_ zz 
hoc si dividatur per 2 et erunt omn 



a 4 + 2aazz + z 4 ' 
a^2ax — 



xx 



DO 



4a 4 zz + 2aaz 4 



00 



2a6 



7, quod si in hac fractione loco 2aaz 4 
a 4 + 2aazz + z 4 ' ^ 

esset 4aaz 4 > posset haec fractio dividi per aa + zz 

atque sie in Tuam Quadraturam ineiderem, quod 

aliquando examinabo num possibile sit hinc quoque 

educendi: qua ratione vero jam haec fractio ad infi- 

nitam seriem reduci debeat, Tibi notius jam est ex 

Dn. Mercatoris Methodo, quam ut prolixior eo sim. 

Annoto saltem si ponamus FG seu DK oo x (quod in 

sequentibus quoque facio) inveniatur &V 2ax — xx 

Sit seeundo curva DMB talis cujus natura 

2a 4 



a 4 + 2aazz + z 4 * 
v 2axx -- x 3 eritque supposito aV2axx — x 3 do xz. x do— 5 0. Jam 

^ rr a 3 _|_ z 3 

omnes FGE supra PL aequales omnibus reetangulis EGL hoc est 



XX 



do V 2axx — x 3 , hoc est, restituto x erit aV2axx — 

2aio 



2a* 



X a DO 



a 6 + 2a 3 z3 + z 6 * 



Eadem ratione invenies aV^2ax 3 



x 4 DO 



atque 



sie 111 



a8 + 2a 4 z 4 + z 8 

infinitum, infinitas quadraturas per series infinitas non ineleganter 
expressas. Possem jam ulterius progredi et eadem facilitate ostendere, tarn 
quae Parabolis infinitis analoga quam alia innumerabilia spatia indefinitae 
longitudinis ad finitam mensuram reducendi, sed credo haec ex supe- 
rioribus satis abunde constare. Hoc interim adjungam, cum Tota haec 
Methodas saltem in eo consistat, ut Relation es ejus dem quanti- 
tativ ad diversas lineas adaequemus (atque proinde refleetando 
ad pag. 39 Geom. D, des Cartes mihi certo persuadeo hanc ipsam 
ipsius quadraturas investigandi Methodum adfuisse, quam, cum tarn 



348 



£fd)irnfjaug an SetBrng. 



facilis existebat, potius indigitare volebat, quam prolixe explicare, prout 
ipsi familiäre erat circa talia) hocque sie praecise speetatum non saltem 
solidis applicable (in hoc siquidem tali occasione ineidi): Sit linea 
A Q ß Aß do a, jam AC do x et CB do y, hinc axx + y, 

x ~D * aa do xx + 2xy + yy, a 3 do x 3 + 3xxy + 3xyy + y» 

atque sie in infinitum; demonstraveram autem omnes x aequari omnibus y, 
omn. xx do omn. 2xy do omn. yy , item omn. x 3 do omn. 3xxy do omn. 3xyy 
do omn. y 3 atque sie infinitum semper continuam aequalitatem intra 
hasce infinitas quantitates existere; verum demonstratio haecce cum 
difficilis esset, eo ipso mihi displieuit, quapropter in faciliorem inquirens, 
vidi primo facile patere quasvis infinitas dignitates ab a]ia parte hujus 
lineae ineipiendo aequari infinitis dignitatibus eadem ratione compositis 
ineipiendo ab altera ejusdem parte ac proinde omnes x do omn. y, omn. 
xx do omn. yy, omn. x 3 do omn y 3 etc. item omn. xxy do omn. xyy atque 
sie quoad similia, adeoque saltem demonstrandum faciliori via omn. xx 
aequari omn. 2xy, item omn. x 3 aequari omn. 3xxy, atque sie continuo 
aequalitatem intra diversi generis dignitates. Variis autem tentatis 

viis res sie facillime successit. Dico 
itaque 1. omnia 2xy do xx seu omnia 
reetangula AHF aequari omnibus 
quadratis AH (in 1. fig.) et sie de- 
monstro : Omnia enim reetangula AHF 
bis aequalia sunt omnibus reetangulis 
EHD bis, hoc est solido a A ABF et 
A altero AFGr perpendiculari ad AF, 
hoc est omnibus intersectionibus CD bis ejusdem solidi, hoc est omni- 
bus triangulis AHE bis hoc est omnibus quadratis AH. Q. E. D. Dico 

p P seeundo omnia 3xxy do x 3 et sie de- 
monstro: Omnia enim producta ex 
quadratis AH in HF ter aequalia sunt 
omnibus produetis ex quadratis EH in 
HD ter, hoc est aequalia solido ex 
triangulo AFB et figura altera AFG 
perpendiculari ad lineam AF ter ? hoc 
est omnibus intersectionibus seeundum 
lineam CD parallel. AF ter, hoc est omnibus spatiis AHE ter, hoc est 
omnibus reetangulis AHE, hoc est omnibus cubis AH. Q. E. D. Atque 
sie porro progrediendo cum tantam facilitatem haecce sie demonstrandi 
observarem, hisce insistens in jam modo communicatam Methodum 
ineidi. (Verum cum omnia, quae contra consuetudinem fiunt, ordinarie 
risum movent ? non dubito quin eadem ratione tarn extraordinariam 





£{djtrnf)cm$ an SeiBntä. 349 

parenthesin excipies, quod nee absque usu fiet, siquidem nimia attentio 
circa talia studia plerumque efficit ut vultus nostri constitutio tristitiae 
statui vicinior esse appareat quam hilaritatis). Idem quoque tentavi in 
superficiebus, et non contemnendum observavi successum. Attamen 
recordatus, quod Cavallerius solas lineas et superficies considerando, 
in superficiebus et corporibus sibi ipsi impedimento fuerit, quominus 
curvarum ac superficierum curvarum dimensiones exhiberet atque sie 
suam Methodum ad summam perfectionem reduceret, quod post ipsum 
egregie ab Aliis praestatum, considerantes in superficiebus reetangula 
cujus altitudo indefinite parva atque sie in aliis quantitatibus semper 
homogenea indivisibilia : reflectens, inquam, ad ea ? vidi haec optime 
sueeedere, quanquam ob temporis brevitatem impossibile mihi fuit haec 
ex professo pertraetare, quod ad quietiorem statum reservo: jam vero 
mentem meam sie explico: Sit AHK quaeeunque 
figura sitque AB do x, BC ooy, BD seu CF xo seu 
quantitas omni assignabili minor, qua utitur Fer- 
matius et multi post ipsum ad Tangentes determi- 
nandas, Tu vero ad quasvis quantitatum trans- 
mutationes in alias solo calculo peragendas; 

__g AH X 1. Do HK, hineque HD seu FGr do 1 — x — o; 

•" * porro calculi facilitas maxima erit, si postquam 

quantitas o certam dimensionem acquisivit, omnes quantitates includentes 
plures ejusdem o dimensiones omittamus; sit itaqae primo natura hujus 
spatii hac aequatione expressa y oo x adeoque 
lo. 
DE do o + x| 

BCdqx J S 

(FE do o BC do x] 

m J FGpo 1 — x — o CF do o ) m 

jam omn, rectangl. GFE do o.l — o.x do o.x do omn. rect BCF 
adeoque 2x doI et x do ^. 




m 



2do. 




Sit y do xx adeoque 




DE do xx + 2.ox 1 




BC seu I)F ooxx\ ä 




(FE do2.ox 


BC DO XX 


Fii 30l — X — 


CFxo 



rectangl. GFE do 2.ox — 2.oxx do o.xx do rectangl. BCF 

ergo 2x do 3xx, hoc est juxta priora xx do ^. 

o 



35Ö £fdfjtw§au8 an SetBnts 

3tio. 

Sit y 3 3q x 3 . Jam 
DE do x 3 + 3.oxx| 
DFdox 3 ( s 



m 



FE do 3.oxx BC do x 3 1 

FG-xl— x — o CFdoo ) m 

omn. rectangl. GFE do 3.oxx — 3.ox 3 do ox 3 do rectängl. BCF 

adeoque 3xx x4x 3 , et hinc juxta priora x 3 do j. 

Atque sie in infinitum. Sed haec etiam alia adhuc via ac faciliori 
J)ossunt exhiberi, et haec ad explieationem superiorum sufficiant. Ubi 
animadvertere licet: hanc viam per superficies solas in eo superare 
priorem, quod hie ad quantitatum dimensionem obtinendam non opus 
alterius diversae superficiei dimensione habere, sed solam naturam super- 
ficierum nobis datam, et credo hanc ultimam esse perfectionem quam 
desiderare possunt Mathematici circa Quantitatum mensuras veluti ali- 
quando me spero ostensurum. Circuli Tui quadraturam statim hinc 
dedueo et quaeeunque hactenus vidi egregia, ac mihi persuadeo quic- 
quid humanitus potest deduci circa hanc materiam (licet subridendo 
forte existimabis me hanece phrasin contraxisse a Viro, quem me scis 
magni admodum aestimare et qui aliqua captum humanum superantia 
credidit quae tarnen recentiorum industria detexit). Nee hinc Gregor ius 
amplius Algebrae defectum ineusaret circa quantitatum mensuras prout 
facit in Praefatione Geometriae suae universalis. Ultimo possem hie 
ostendere tarn qua ratione per eandem Methodum hinc deduxerim duo 
Theoremata Tibi transmissa ad centra gravitatis curvarum quantitatum 
determinanda, quam qua ratione ope horum centra gravitatis majori 
facilitate ac supra curvarum quadraturae assignari possint, sed brevi- 
tatis causa hie omitto, cumque haec non difficulter jamjam pateant. Tuam 
Cyclometriam omnes maxime desiderant quibus insinuavi inventa quae 
continet, ac optat praeprimis Dn. Nanzarius ut quam primum hujus 
Tractatus exemplar possit impetrari, qua de re ut et circa hactenus 
desiderata a Te literae hisce inclusae pieniorem spero instruetionem 
exhibebunt. Dn. Fabri nondum visitavi ob multas rationes, attamen 
non discedam ipso insalutato; de Borellio non dissimile mihi Judicium 
vestro; Kircherüm vero multoties salutavi ob diversas rationes; in 
Musicis impetravi quaedam eorum quae reticet in sua Musurgia; jam 
Artis suae Combinatoriae seeundus Tomus qui dicitur Ars analogica ? 
Amstelodami imprimitur; in Hetruria describenda modo oecupatur. 



£fd)trnf)au£ an ÖexBni^. 351 

Ceterum adeo ejus interiora penetravi tarn ex lectione quam Ipsius con- 
versatione, ut quousque ipsius Methodo pertingere lieeat, quaeque 
paradoxa hinc deducere, me credam aliquatenus videre, de quibus, ut 
spero, aliquando oretenus. Auzout non Romae est; Francisc. Levera 
vero mortuus. Cassini inventa de duobus aliis Planetis circa Saturnum 
praeter Hugenianum hie in dubium vocantur. Caeterum quoad optica 
vitra et hie et alibi egregia vidi; Divini vero non est Romae; Bacöne 
Genuae oecupatur in scribendo certo libro. Vidi librum Francis. Bayle 
Tolosae impres. An. 77 hoc titulo: Problemata Physica et Medica, in 
quibus varii Veterum et Recentiorum errores deteguntur; item Disser- 
tationes ejusdem Physicae; non potui eo ob certas rationes, nisi duarum 
horarum spatio frui; inter multa quaedam nova quoque indigitabat 
quaedam circa refractionis materiam et tarn defectus demonstrationis 
Fermatii quam Cartesii in hoc negotio mihi videbatur ingeniöse dete- 
gere ac emendare. Posses submonere Dn. Hugenium hac de re, quem 
meo nomine officiosissime salutes; licet non libenter talia literis com- 
mittam, attamen ob ea quae tarn praestanti Viro debeo, non possum 
quin indicem, Italos de ipso admodum male judicare ac conqueri ipsum 
ultra viginti propositiones ex Gallileo hausisse in suo Horologio oscila- 
torio, nee ipsius tarnen mentionem fecisse; desiderat quoque Dn. Riccius 
ab eo jam a longo tempore responsum. Dicunt huc allatum esse horo- 
logium ex Gallia, quod praestantius sit ultima inventione Dn. Hugenii; 
spero hoc me brevi visurum. Perhibetur quoque Becklinium, quae circa 
viventia sub aquis in lucem emisit, curiosa esse. Caeterum quo felici- 
ori in statu te esse scio, eo mihi hoc semper gratius erit; sed revera 
dolorem vix continere possem, licet studioso sapientiae videretur incon- 
veniens, si scirem aliquid esse quod te impediret, quominus in sapientiae 
studio progredereris, cum revera Nullum Tui similem nullibi jam sciam, 
quod revera ex conscientia loquor, et si respiciam quanta obstent im- 
pedimenta, quominus quis eam perfectionem sibi acquirat ac in ea aetate, 
non possum non quin optem ut libertatem Tuam sartam teetam retineas. 
Et revera Mundus tarn egregios Viros perdidit, quosque jam dolet et 
praeeipue ob id, quod ipsis non melior öccasio data, quo majora ipsis 
augmenta sapientiae reliquissent, quique jam adeo animum suum prae- 
parant ? ut quae difticillima jam aliis, ipsis facilia fuissent, adeo ut 
existimem omnes qui haecce bene norunt, ac existimare sciunt, non 
debere non in eo totos esse, ut talibus procurent quiequid ab ipsis ad 
hoc desiderari potest, et credas firmissime me Te eo affectu prosequi, 
ut quiequid vires meae unquam permittent, id in gratiam Tui liberrime 
exsequar. Sed licet haec non respicerem, talia sunt judicia Tua de me, 
ut iätear (licet ob meam propriam potias aestimationem mearum acti- 



352 £fdjmifjau3 cm Seium^. 

onum delectari, quam alienam assuetus sim) non injucundum tarnen est 
me a Tanto Viro aestimari, ac praeterea officio tarn generoso, ut haec 
me Tibi aeterno nexu obligant. Scripsi non ita pridem (in tarn saepe 
nominatis literis) meam circa haec sententiam; öed non displicent quae 
suggeris modo; me informabo circa Canonicattis tales; interim expecto 
literas a Meis, quibus receptis melius potero determinare, quod mihi 
imposterum sit aggrediendum, atque tunc cogitationes meas Tibi rescribam, 
ac quando Roma discedam, quod tarnen credo intra duos menses effec- 
tum dabitur; quo autem tunc pergam, incertus adhuc, nisi quod sim etc. 



V. 

€cibni3 an Cfdjirnfyctus**) 

Venio ad ea quae de dimensionibus curvarum habes, peringeniosa 
more tuo. Sed nolim putes ad eorum demonstrationem opus esse 
rectangulis exiguae altitudinis. Nam ex multis planis non fit solidum 
nee ex multis lineis spatium, sed ex multis rectangulis vel parallele- 
pipedis exiguis. Ea quam explicas in literis methodus tua est affinis 
duetibus figurae in figuram, quos primus invenit et cum fruetu adhibu- 
it P. Gregorius a S. Vincentio, postea generalius adhibuit Pascalius. 
Ego talia et innumera alia calculo solo complector, ex. causa sit y aequ. 
Vx 2 + b 2 , z aequ. T^bx + b 2 , 'et yz aeq. a<a aequ. V^bx 3 + b 3 x + b 2 x 2 + b 4 ; 
erunt plana solidi duetu ordinatarum y, z in se invicem facti propor- 
tionalia seu homogenea planis seu, ut ita dieam, ordinatis solidi duetus**). 
Si jani solidum alio modo secari possit quomodoeunque et alia figura 
plana curvilinea reperiatur, cujus ordinatae v sint proportionales planis 
sectionis, patet cum solidum diversis modis sectum semper sit idem, 



*} SBon ber SÄntrooit ÖeibnijenS fanb fidj nur baä folgenbe SBrucrjftücf. 

**) Seibni$ma(^t()ierbcibic3Rarginalbemerfung: Methodumiliam tuam per solidorum 
duetuum diversas sectiones hac complector aequatione transcendente /zydST aequ. 
Ijzdx djT, ubi tau tum ipsarum z et y relationem ad x in ipsarum locum substitui opor- 
tet. Unde iufLnitae deduci possunt. quadraturae absolutae vel hypotheticae, sed infinitas 
alias ejusmodi aequationes habeo non minus feraces, ut anteiliges calculo meo inteilecto. 



&}d)trnt)aU£ an ttexbmf,. 353 

summam omnium v haberi posse ex data summa omnium o vel con- 
tra. Eadem methodo usus est P. Honor. Fabri in suis Geometriae 
Elementis ad demonstrandas quadraturas, sed plerasque dudum notas. 
Sed neminem autorem vidi, qui hujus rei pariter ac multarum aliarum 
vim animo complexus sit. Te certe unum hunc duetuum usum satis 
uni versal iter considerasse arbitror. Unus olim P. Gregorius a S. Vin- 
centio aliquid hujusmodi quasi per nebulam vidisse videtur, sed calculi 
defectu latius extendere non potuit. Sed nonnulla ex his variosque 
alios vastissimos eonceptus Tibi aliquando in schedis meis dudum no- 
tatos monstrabo, si modo Tibi tanti videtur. Caeterum omnes hujus- 
modi methodos puto imperfectas, habent enim aliquid a casu. Et data 
problemata earum ope solvere non possumus, nisi eondita Tabula. 
Nescio an demonstrare possis ope Tuae methodi (sectionis duetuum) 
omnes quadraturas possibiles provenire, puto tarnen multas pulcherri- 
mas progressiones ejus ope provenire posse. Ego (si methodos hujus- 
modi sequi übet) methodum per differentias habeo pro perfectissima, 
ejus enim ope omnes curvas quadrabiles in Tabula exhiberi posse cer- 
tum et demonstrabile est, quod me Tibi alias dieere memini. Altera 
pars quoque Methodi tuae pulcherrima haud dubie theoremata et pro- 
gressiones exhibebit. Puto autem hanc methodum tuam fore aptissi- 
mam ad Wallisianas interpolationes demonstrandas et universaliores 
reddendas. Caeterum annotare operae pretium est ad tuam Methodum 
nos devenire sine ulla solidi contemplatione, hoc unum tantum adhi- 
bendo, quod summa summarum idem sit cum momento figurae 
alieujus vel seriei*). Et similia theoremata etiam ad imaginarias 
dimensiones produci possunt, cum scilicet aequalitates sectione alieujus 
figurae imaginationi exhibere non licet. Calculum autem habeo pro ta- 
libus theorematis eruendis peculiarem, qui cum calculo, quo ad tangentes 
utor, convenit. Caeterum hujus calculandi rationis circa transcenden- 
tia ne primi quidem aditus Cartesio fuere noti, non defectu ingenii, sed 
(ut in aliis hominibus) defectu reflexionis. Quare non potui non risi- 
tare nonnihil, cum putes Cartesio methodum investigandi Quadraturas 
tuam innotuisse. Pari jure poteris dieere eam innotuisse Cavalerio, aut 
nescio cui non. Ego pro certo habeo, Cartesium in his rebus non multo 
longius fuisse provectum, quam Cavalerium, nam Cavalerii tantum more 
quaerebat summas ordinatarum in figuris. Si vero intellexisset satis 
Archimedeam Geometriam, nunquam dixisset, non posse inveniri lineam 
curvam reetae aequalem, facile enim judicasset, dari posse curvam, in 
qua (polygoni infinitanguli instar considerata) latera procederent ut or- 



Setbntj l)at am ^Jtanbe Gemelli: id est /zydx. 

23 



354 £fd)irni)cut8 an SetBniä. 

dinatae parabolae alteriusve figurae quadrabilis; potuisse autem talia 
invenire, si se applicuisset, non dubito, non tarn vi methodi suae, quam 
vi ingenii. Caeterum progrediendo in lectione literarum tuarum video 
te subjecisse pulcherrimas quasdam et universalissimas contemplationes, 
ex quibus illa semper mirifiee placuit, quod omn. x 2 aequ. omn. 2xy 
aequ. omn. y 2 , et ita de caeteris, posito Aß esse 
constantem seu y + x aequ» a, et AC aequ. x et CB Ä G B 

aequ y. Haec contemplatio penitus nova est et te digna: nee enim 
hoc theorema alibi videre memini, et gaudeo id a te facile demonstrari, 
est enim momenti maximi. Non vidi illa duo theoremata circa centra 
gravitatis curvarum, quae mihi transmisisse ais. Ego non dubito, si 
ita pergis, quin tandem ad intima atque universalissima sis perventu- 
rus, in quo si tibi sparsae et variae, atque ut ita dicam, desultoriae 
meditationes meae utiles esse possunt, quas in his rebus habeo, equi- 
dem mihi gratulabor. Vicissim a te multa et pulcherrima mihi ignota 
expecto. Optime facies si quae de periodis fractionum ad numeros de- 
cimales reduetarura innuis, etiam ad alias progressiones .... 



VI, 

Cfcfyirnfycms an €cibnt3. 

Romae d. 10 Aprilis An. 1678. 
Literas tuas binas reeepi easque gratissimas; ad priores non lieuit 
prius respondere, cum responsum ad Meas ex Patria nondum reeeperam; 
jam vero ad quid determinatus sim, paucis significabo. Cum huc 
ßomam veneram et paucis instabat ad Patriam reditus, hoc est plena 
libertatis meae cessatio, coactus fui minus malum eligere, hoc est Om- 
nibus mediis attentare itineris mei prolongationem, quam quoque obtinui 
et plus salva übertäte mea quam existimaram, ope cujusdam Baronis 
de Nimptsch ex Silesia, prout in literis ad Schüllerum datis notum 
feci. Sed cum audirem, Meis displicere quam maxime quod ad ipsos 
revertere tardarer, licet causae hujus ignari, difficultas supererat, ut 
hoc ab Ipsis via quam maxime moderata impetrarem, et post id 
quod recessum ex Patria ab Ipsis impetrarim, credo me seeundum 
miraculum effecisse ut hoc alterum quoque mihi concesserint, et revera 
magna- dexteritate ad hoc ac singulari artificio opus fuit. Sed quam 
maxime mihi inculcatum ne ipsum unquam desererem ac quo cum 
Patria certo repetenda, adeoque sie tempus ultra terminum quem mihi 



ftfdjiwfjcmS cm SeiBtttg. 355 

praeflxerant Mei, satis bene prolongaram, praesertim cum Dn. Baronis 
intentio erat, statim post pascliale tempus proficiscendi Sienam, Flo- 
rentiam, Livornum versus atque sie in Hispaniam, ex qua regredi in 
Italiam ac postquam reliqua loca vidisset in Gralliam pergere animus 
erat, atque sie per Angiiam et Hollandiam ad suos revertere. Verum 
Parentes huic jam non amplius subscribunt, utpote qui desiderant ut 
postquam reliqua loca Italiae transierit, Grenevam versus pergat et 
dehinc ad aulam Imperatoris, quo clavem cameralem sibi acquirat, 
cujus rei spes aliqua facta et quod credunt Parente Ipsius vivente (et 
qui satis proveetae aetatis) facile succedere posse, secus post obitum; 
quae unica causa mihi praesagire videtur, quod ultra sex aut Septem 
menses in Patria non secus ac musca in melle haerebo; licet contra- 
rium sibi persuadeat Dn. Baron qui adliuc responsorias circa hoc 
negotium desiderat; quiequid sit, hoc saltem scio, nullo in loco diu nos 
permoraturos atque adeo vix mihi in studiis multos progressus per- 
suadeo. Ex quibus primo colliges, mihi plane impossibile esse ut ad 
Vos me conferam, quod in optima forma quaeso excuses eaque adjun- 
gendo quae Aulici mores desiderant quaeque Tibi, cum satis perspeeta 
me longius in hisce non detinebo nee quoque in gratiis reddendis pro 
tanto favore quo tale quid mihi procurare conatus fuisti, idque multis 
rationibus exponendis persuadere, cum Tibi reeiprocum meum affectum 
sufficere satis scio et de quo velim eoque intentissimo nun quam dubitas. 
Sed quaeso si unquam Te rogavi ne me ulli innotescere 
facias, hoc praeeipue enixe rogo de Talibus, nisi haberes 
maxima indicia ea quae statim indicabo, Te posse ab his impetrare, 
et licet aliquando cogitationes habuerim d'estre aupres d'un jeune 
Prince cadet etc. prout scribis, hae plane jam immutatae sunt. Estque 
Meum propositum efficere ut mea natura a quam minimis externis 
dependeat atque sie fortuna potius a me quam ego ab ipsa, hoc est ut 
Libertatem Philosophicam ex integro quantam possibile obtineam, sine 
hac enim vix progressus mihi tales quales vellem in studiis meis per- 
suadeo, verum est quod dicas: On vit icy dans une grande Liberte, 
sed ex iis quae ad id confirmandum subjungis, video hanc libertatem ab 
hac ipsa quam multa experientia didici opus esse ad philosophandum, 
prorsus differre, quod quidem quo minus hac vice probem prolixius ? 
temporis brevitas me continet; ad priorem vero obtinendam tertio ac 
amico miraculo adhuc opus, quodque maxime posset facilitari, si sal- 
tem 3 aut 4tuor centum imperiales annatim obtinendi spes esset ? prout 
quoque literis ad Te datis ? ope Dn. Schulleri significarem. Ac praeterea 
si fietas literas aeeiperem domi constitutus aut prius quam dico, quasi 
a Principe quodam ad me direetas quae mihi honorabile aliquod offi- 

23* 



356 £fd)irnl)auS an SeiBnts. 

cium Offerent, sie enim si a Meis saltem denuo recedendi libertas facta, 
possem me conferre ubi consultius judicarem ae praetendere ob Prin- 
cipis istius negotia quaedam peragenda me eo contulisse, ne haecce 
fieta aut saltem non tarn cito animadverterent. Verum si non haec, 
quae quidem non libenter subirem, alia forte quae cogitavi succedent, 
imo fortunam omni tempore mihi adeo favorabilem expertus, ut nee in 
futurum desperem. Si secus aeeidat, consilium tuum quidem non con- 
temnendum, sed Mei non concederent ut Aulam Catholici Principis 
peterem (quod tarnen mitigari posset multis rationibus), nee multo minus 
si non ante abitum jam certior f actus quo officio apud ipsum fungi de- 
berem, licet haec saltem fieta essent, nee tan dem ipse hoc facerem nisi 
scirem quod mihi deinde libertas daretur recedendi quo existimarem me 
in ... . circa studia exsequi posse commodius; si possibile erit, ve- 
niam ante regressum in Patriam Hannoverae, quo de talibus liberius 
conferre liceat quid in posterum sequendum*). 

Colliges quoque quam impossibile mihi erit Tibi satisfaeere circa 
libros quos desideras, sed circa haec ac alia quaeeunque de me rogas, 
non credo Te meliori haec via posse impetrare quam ope Dn. Nanzarii. 
Dn. Kiceio Te innotescere feci facta mentione quadraturae tuae circuli 
inventae, idque magis fiat transmisso aliquo exemplari ejusdem, im- 
pressione peraeta. Dn. Steph. Gradium forte aditurus sum, si per ne- 
gotia licebit, sed librorum ille censor, de quo loqueris, hie nullius est 
aestimationis, adeo ut multi mirentur ipsum ad hoc officium promotum. 
Florentiae aliisque locis in omnia curiosa inquirere intermittam; quoad 
vero machinamentum illud musicuim hie Romae descriptionem aliqualem 

*) Um £fd)trn£)cm§ einen $Ben)et3 feiner I)of)en s M)tttng unb grennbfdjctft ju geBen 
unb feinen SSünfojeu entgegenkommen, befd)IoJ3 Sei&mj, um eine ©teile für ü)n am 
§ofe be3 ^er^ogä von §annoocr fttf) gu bemühen. Unter feinen papieren ift folgenbeS 
unüollenbete ©djretfcen norfjanben: 
Monseigneur 

Ayant appris dernierement qu'il y a encor ä Rome un gentilhomme Aliemand du 
pays de Lausniz ou Lusace, que j'ay cormu ä Paris, j'ay juge ä propos d'en entretenir 
V. A. S. par ce qu'il faut que j'avoue que je souhaiterais le voir ä son Service, ä cause 
des belies qualites que j'ay reinarquees en luy. Son nom est Tschirnhaus, et son pere 
qui est encor en vie a des terres proche de Görlitz. II entend les mathematiques ä mer- 
veille, il a du genie pour les mecaniques, il a etudie ä fonds des Cartes et les autres 
modernes, et il a connu fort particulierement feu M. Spinosa. Sans parier des autres 
etudes et exercices, dans lesquels il a fort bien reussi, je Tay reconnu fort sage et fort 
modeste. Outre cela il est sans ambition, et ne pretend point d'avancement. Tout son 
dessein est de vivre en repos, et comme son pere l'a voulu retirer chez luy pour le ma- 
rier, il a tousjours evite de retourner au logis, et c'est pour cette raison qu'il cherche 
Service ä fin d'avoir des moyens et des raisons pour s'en defendre. Je croy qu'un poste 
de gentilhomme de la cour de V. A. S. luy seroit tout ä fait convenable, pourveu qu'il 
y ait place pour luy. Mais je n'ay eu garde d'avoir appris la volonte de V. A. S. 



£fdjtrnf)au8 cm Seiönt^. 



357 




ejus Kircherus in sua Phonurgia exhibet. Dom Justelio autem, cum 
tales commoditates respiciat, non potero sane inservire, cum hactenus 
necessitas me non coegit, ut ad alia reflecterem quam quae admodum 
ordinaria aut quae ad minimum Ipsum non Jatere possint. Caeterum 
quae Marchio Palombara adinvenerit, nee adhuc mihi constat, ea autem 
quae hie circa similem materiam executa, cum ita desideras, sie expono : 

Sit flumen Tiberis ADCF qui hie ante portam 
Populi tarn flexuoso itinere incedens ac partes B 
Romam speetantes cursu suo rapido coneutiens sa- 
tis magnam min am feeit ac majorem in futurum mi- 
nabatur adeoque Höllandus opere quodam DC ex 
variis palis ligneis confecto ei sie praevenire cre- 
didit, cum hac ratione maxima vis fluminis in loco 
DC frangeretur ac versus partes F inclinaretur, 
nullo interim aut parvo admodum impulsu versus 
B ruente, quodque satis bene successit ; verum cum 
opus illud DC non tarn bene ac alte, prout viderim 
similia in nostris regionibus, exstruetum, vix hoc 
adeo diu duraturum sperem. Jam autem Tua venia ad Mathematiea 
me converto; et primo quoad Methodum, qua usus fui ad quadraturas, 
quamque ultimis literis communicaram, responsio Tua efficit, ut sequen- 
tia adhuc annotare necesse habeam: Gregorius a S. "Vincentio non so- 
lum tarn universaliter, ut hoc explicas, sed neque tarn generaliter, prout 
ego pereipio, haec intellexit, uti statim dicam ; porro nee aliquid essen- 
tiale meae Methodi habet, quod enim talia solida considerat, id quoque 
a Cavalerio factum et saltem accidentale hujus Methodi, ex quo patet, 
quod prorsus hanece Methodum non seiverit, ut clarius ex infra di- 
cendis constabit, ac proinde ut non videam, quare ipsi hoc attribuen- 
dum; ac idem de Pascalio judico, cum revera si haec ipsi perspeeta 
fuissent, non subtieuisset , cum tanta facilitate res peragatur ac uni- 
versalitate, quod utrumque de sua Methodo ostendere ipsius intentio 
erat. Fabri Synopsin Greometricam nunquam legeram, sed hujus rei 
admonitus ab Dn. Nanzario impetratam totam evolvi; fateor praeter 
alia multa satis bona, quod quoque aliquarum parabolarum dimensionem 
tradit (nam omnium sane mensuram non exhibet) quodque in qui- 
busdam earum solidis iisdem mecum utatur, quodque haec solida in ea- 
dem elementa resolvat ? ut ego; sed quod inde mecum concludit 
prorsus diversa ratione efficit, cum non elementa omnia ad invicem 
adaequet, ut ego, ac via prolixiori, cum alio diverso insuper ad hoc 
probandum Theoremate opus habeat, quod mihi nullatenus necessari- 
um; praeterea semper quantitates in Heterogenea Elementa resolvit, 



358 S£fdjrot§cm§ an SetBttig. 

quod meae Methodi saltem particularis casus est, veluti statim dicam, 
licet credebam, me hoc sufficienter in literis meis indicasse. Quod au- 
tem praeterea addis, quod putes, Te dudum ea de re mecum locutum, 
utique nescio, ad quae referas; hoc certus sum, quod de illis omnibus, 
quae Tibi transmisi, hanc Methodum concernentia nunquam aliquid mihi 
indicaras, imo nee ipse eo tempore adhuc ad illa reflexeram et revera 
admodum contra mores meos esset tale quid comrnittere, licet quoque 
variam tarn ipse, quam ex aliis mihi compararim cognitionem circa qua- 
draturas, attamen non mihi hac in re prorsus satisfeci. Fateor interim 
quod tres Methodos praeeipue aestimo: prima est, qua vidi Dominum 
Heuratium uti ad curvarum in reetas transmutationem, quam sincere 
et universaliter explicat, ejusdem Methodi deinde Dn. Barrow varia 
exempla suppeditavit satis egregia ; seeunda Methodus est Tua, qua solo 
calculo soles unam figuram in aliam transmutare exprimendo calculo 
quantitatem reetanguli altitudinis indefinite parvae, efficiendoque hoc 
alteri aequale ? quam ex Te addiscere lieuit, prout in meis literis inge- 
nue, prout mea est consuetudo, confessus et qua fateor me admodum 
delectatum fuisse, cum non solum hinc quadraturae, sed et Tangentes 
ac alia egregia deducantur; tertia est haec ipsa, quam Tibi transmise- 
ram, qua eujuseunque quantitatis (adeoque vides, quod de solidis dixi, 
quoque saltem cbrollarium meae Methodi esse) elementa homogen ea 
(Heterogen ea etenim specialem saltem casum constituunt non secus ac 
Cavalerii Methodus harum trium Methodorum saltem corollarium exi- 
stit) omnibus modis, quibus ut diversa considerari possunt, sibi ad in- 
vicem adaequantur atque sie ope aequationum quadraturas elicui; quae 
revera si Tibi nota fuerit, saltem non mihi unquam indicasti, uti probe 
scies, hanc autem satis clare me exemplis indicasse putem. Nee porro 
Parabolarum quadraturas saltem dedi ? in solidis Heterogenea Elementa, 
hoc est omnes superficies horum ad invicem adaequando, sed et in ipsis 
supe.rficiebus homogenea elementa, hoc est reetangula altitudinis inde- 
finite parvae ad invicem comparando. quod a nullo addidici, et variis 
admodum modis hoc iclem et alia similia hac methodo praestare possum. 
Ulterius si sit quantitas quaedam, primo quoque Elementa ejus varie 
ad invicem adaequando, hoc universali ratione efficio, sed diversa a Tua 
expressione, qua tres sectiones differentes solidorum a me considerato- 
rum exhibes, nfeoque judicio magis intelligibili ac ordinaria, cum novi- 
tatem in definitionibus vocum quantum possum effugio, hoc enim nihil 
aliud est quam scientias difficiles reddere, nee deinde quoque opus ha- 
beo in similibus quantitatibus ad figuras earum reflectere, licet a prin- 
cipio ad tales aequationes efficiendas hoc apprime necessarium: sed hoc 
ealtem compendium est Methodi, non ipsa Methodus, et quorum alia ad 



%\§nn§avi% an 2etfmi$. 359 

huc et majoris momenti scio. Si autem jam memorata Methodo facilior 
ac universalior existit, qua uteris ope Logarithmorum quadraturas ex- 
hibendi, ejus communicationem apprime desiderarem, uti et omnia quae 
a Te proficiscuntur, nee non Methodum, qua infinitas series elicis ex in- 
finitis aequationibus. Videbis mea reeepta (quod non dubito, cum. ne 
uniea litera ad Schullerum data jam per quatuor annos perdita fuerit) 
in quantum cousentiat cum Tua, estque illa coro]larium illius Methodi, 
qua omnem possibilem rationem seu proportionem duarum quantitatum 
determino. Tales aequationes vero, in quibus incognita exponentem in- 
greditur, non opus habui adhuc resolvere; interim hoc jam video plu- 
res tales posse resolvi omnium aequationum radieibus universaliter de- 
terminatis; nunc omnes nondum examinavi. Tria alias existimavi mihi 
superanda difficilia admodum in Mathematieis, quibus intentis me ali- 
orum omnium adhuc desideratorum partieipem fieri posse persuasi, aut 
quae cum horum respectu facilia, quoque iis superandis me non impa- 
rem futurum, primum est: Omnium quantitatum quadraturas una et 
generali Methodo determinare, in quo licet varia sciam, imo rem eo 
reduxerim, ut saltem triginta quantitatum quadraturis determinätis om- 
nium exhibuerim, nihil tarnen hactenus coneeptibus meis correspondens. 
Sed reliqua duo penitus absolvi et ultimum juxta propria vota est ; 
autem seeundum, Omnium curvarum possibilium determinatio, quod credo 
Te jam pereepisse ex literis, quarum tarn saepe mentionem feci ? et licet 
quaedam adhuc ad ea perficienda desiderari possint, haec jam omnia in 
mea potestate esse scio, modo occasio detur me hisce applicandi. Ter- 
tium est: Generalis Methodus omnium aequationum radices exhibendi 
et in iisdem literis tres raethodos hoc ipsum exsequendi transmiseram ; 
verum primam non amplius pro mea cognosco, cum meliorem scio, ut 
statim dicam, cujus illa saltem corollarium, praeterea prolixa admodum, 
cum calculus, quo aequationis quinti gradus radicem universalem co- 
hibeo, et quem Parisiis Dn. de Grraaff in Hollandiam perficiendum mi- 
seram, vix octiduo absolvi possit, cum jam horae spatio rem eandem 
peragere sciam, altera methodo adjutus. Dicam itaque me non ita pri- 
dem in talem Methodum ineidisse, quae mihi omnimodo satisfecit, credo 
et Tibi; haec praeter magnam facilitatem in respectu priorum hoc etiam 
peculiare habet, quod omnis calculus, qui ad eam acquirendam adhibe- 
tur ? non inutilis prorsus, uti in prioribus et quod praeeipue rem tae- 
diosam efficit, sed totius Aigebrae praeeipua Elementa ac Compendia 
et primaria Theoremata exhibet ac primas ejusdem quaestiones compen- 
diosa admodum reduetione resolvit. Hanc hie sineere Tibi ac distineta 
quam fieri poterit (nullum laborem respiciens ac temporis jacturam, 
quo licet premar quasi) explicatione describere constitui, iisque compen- 



360 



£fd)ixnljcm£ an £et6m§. 



diis (primariis tarnen) quibus intra quatuordecim dies (imo intra ad- 
modum breve tempus, si saltem generales radicum expressiones deside- 
remus) ipsam absolvi posse erediderim (hoc est, usque ad duodecimum 
gradum, hinc enim, credo ; progressio patebit) quaeque talia sunt et tarn 
necessaria, ut sine his ordinaria via procedendo non eo perduei posset, 
si decem homines seculum in eo calculando consumerent, imo nullate- 
nus cum papyrus hujus terrae non sufficeret, ut facile ostendere possem, 
hanc autem rigidissimis tuis censuris subjicio.*) 



Methodus Generalis omni um aequationum radices 

exhibendi. 
l ra <> assumantur tales quantitates x x a + b et y do ab, tum 
x do a + b + c et y do ab + ac + bc et z do abc, porro xDoa-fb + c + d, 
y do ab + ac + ad + bc + bd + cd, z do abc + abd + acd + bcd, t do abcd 
etc. atque sie porro ab hisce formentur omnes potestates, quod in l ma 
et 2 da Tabula**) ineepi efficere, id quo facillime exsequatur notandum, 
1. efficiendam primo esse Tabulam, in qua omnes variationes quantita- 
tum a, b, c, d etc. id quod facillime perago duabus regulis, literis ex 
tempore statim sie assignando 







A 


B 




aa 


a 3 


a4 


a 5 


a 6 ***) 


2ab 


3aab 


4a^b 


5a 4 b 


6a% 




6abc 


6aabb 


lOa^bb 


löa^bb 






12aabc 


20a 3 bc 


30a*be 






24abcd 


30aabbc 

öOaabcd 

120abcde 


20a3b 3 
60a 3 bbc 
120a 3 bcd 
90aabbcc 
180aabbcd 
360aabcde 
720abcdef 



*) Öetbrtiä f)cii Bewerft: Nihilominus erronea est. Res tota huc redit: Dantur v. 
g. aequationes tres: x 4 aequ. a xy aequ. b xyz aequ. c. Ex his tribus aequationibus tres 
y 4 xz 

z 4 yz 

incognitae x, y, z quaeruntur. Et sane haberentur, si ex datis raperiri posset x 4 y 4 + x 4 z 4 

4- y 4 z 4 aequ uti habetur x 4 + y 4 + z 4 aequ. a, et uti habetur x 4 y 4 z 4 aequ. c 4 . 

Sed has tres simul ex his datis ita haberi impossibile est. 

**) £)te Betben tafeln liegen Bei. 3*t ber erften finb x.— a-fb, x = a 4 b + c, 
x==a + b + o + d Big gut 9tcu ^ßoteug errjoBcn, in ber gumten ift y = ab + ac + bc 
eBenfoTlg Big gur 9ten ^oteng erfjoBen. 

***) $ie Xafel ift Big gut 12tctt dolens fortgebt. 



£fdjtmfjau§ cm Seibm^. 361 

Regulam primam ad literas formandas sie exemplo declaro: sit data 
series A 7 ex hac seriem B sie formare licet, a 4 primae quantitati seriei 
A vel praeponi potest litera aequalis, vel inaequalis, et hinc a 5 et a 4 b 
termirri primi seeundae seriei B; seeundo a 3 b apponi denuo potest vel 
litera diversa vel aequalis et hinc a 3 bb et a B bc; tertio aabb apponi rur- 
sus potest litera aequalis vel diversa eritque aab 3 vel aabbe (ubi nota, 
quod aab 3 non valet quid eandem variationem refert ac a 3 bb, id quod 
an jam fuerit, ex eo cognoscitur quod si aequalis litera apponatur, po- 
testas posterior major est priori, quod nunquam hie potest esse, nisi 
eosdem terminos velimus bis annotare, quod est contra propositum ut 
facile patet); quarto ex aabc et abcd ultimis dnabus quantitatibus se- 
riei A eadem ratione ut äntea saltem formantur aabcd et abede atque 
sie series B formatur ex data A. Eadem methodo semper subsequen- 
tes series ex proxime antecedentibus formantur et per consequens ex 
prima (ubi saltem quantitas a) hac ratione omnes. Quorum omnium 
ratio sola quoque multiplicationis natura perspeeta patet, et eadem de- 
monstratio hie posset adhiberi qua idem de numeris modo statim osten- 
dere constitui. 

Regulam seeundam ad formandos numeros quoque declaro. Sint 
dati numeri quantitatibus in serie A praefigendis ; assumatur jam in 
serie B quantitas aabbe; ut sciamus quis numerus huic quantitati prae- 
figendus, auferamus primo a et remanet abbe, cui juxta seriem A (nam 
respondet huic quantitati aabc) praeponendus 12, qui numerus notandus ; 
seeundo auferatur b et remanet aabc, cui juxta seriem A itidem prae- 
figitur 12, qui numerus denuo notetur; tertio auferatur quoque litera 
c et remanet aabb, cui in serie A praefigitur 6, qui denuo notetur; 
jam tres Uli numeri 12, 12, 6 addantur et erit 30 numerus praefigen- 
dus quantitati aabbe, id quod facile demonstratur ; quantitas enim aabbe 
formata fuit dum potestates ex continua multiplicatione (prout modo 
dixi nobis propositum est) conficiuntur adeoque per tres literas a, b, c 
multiplicata fuit, cum autem r>er a multiplicaretur, erat abbe cui prae- 
fixns erat numerus 12, cum per b multiplicaretur, erat aabc, cui itidem 
praefixus 12 et cum per c multiplicaretur, erat aabb, cui praefigebatur 
b, adeoque tan dem ex horum conjunetione (quia sie multiplicatae ean- 
dem semper quantitatem aabbe produeunt) debet exsurgere 30 aabbe. 

2. Juxta hanc Tabulam formantur ex tempore potestates superi- 
orum quantitatum, uti jam satis hisce de rebus in literis ad Dn. Schul- 
lerum datis ex occasione tuarum dixeram; formentur autem primo omnes 
potestates a quantitatibus x^oa + b, xx>a-f-b + c, XDoa + b-f-c + d 
(id quod in Tab. 1), hisce peractis formantur facile ope priorum pote- 
statum quoque potestates a quantitatibus y do ab + bc + ac , y oo ab 



362 £ftfjtrri§aug an Seibnig. 

+ ac + ad + bc + bd + cd, item z do abc + abd + acd + bcd; ex. ad for- 
mandas omnes potestates azx abe + abd -f- acd + bcd pono abc do a, 
abd oo b, acd oo c, bcd x d et respicio omnes potestates formatas a 
xDoa + b + c + d, id quod in Tab. 2 incepi. 

3. Quia omnes potestates a quantitate x oo a + b + c includunt 
omnes potestates a quantitate x oo a + b (atque generaliter omnes se- 
quentes potestates omnium prior am quantitatum includunt semper po- 
testates priores) quando accedimus ad formandas omnes potestates 
axooa + b + c, poterunt primo statim scribi potestates omnes axxa + b 
jam formatae, atque sie porro quando formandae omnes potestates a 
XDoa + b + c + d poterunt primo statim annotari omnes jam formatae 
potestates a x do a -{- b + c, atque sie porro. 

4. Si iidem numeri ac signa semper praefigendi, id saltem in prin- 
cipio fiat, prout in Tab. 1 et 2 vides, idem fiet si eaedem semper sint 
literae prout in Tab. 4 observatum. 

5. Quoad omnes possibiles variationes ejusdem quantitatis inve- 
niendum, id facile quoque et ex tempore fieri poterit; sit ex. a 4 bbc, 
primo video hanc quantitatem ex tribus diversis constare, Pjto j j tum 
nimirum, |~|to et Radice. Incipiendo itaque semper a dextra parte 
primo omnes variationes facio radicis , caeteris invariatis; supponamus 
itaque literas datas seu radices esse a, b, c, d, poterit fieri a 4 bbc, a 4 bcd, 
nee ulla alia; jam progredior ad |~| tum et aliud, assumo loco b erit- 
que a 4 cc atque tum caeteris invariatis denuo omnes variationes appono 
Radicum et obtineo a 4 ccb, a 4 ccd, jam cum nulla praeterea variatio de- 
tur, iterum muto |~|tum ut habeam a 4 dd atque tum denuo omnes 
possibiles radices appono eritque a 4 ddb, a 4 ddc; jam deberem denuo mu- 
tare |~| tum, sed hoc non possibile, cum non plures Jiterae extent (ex 
suppositione), progredior itaque ad |_] to Q] tum quod muto et eadem 
ratione ut antea posito invariato a 4 effeci a 4 bbc, a 4 bbd, a 4 ccb, a 4 ccd, 
a 4 ddb, a 4 ddc. Sic jam posito b 4 efficio b 4 aac, b 4 aad, b 4 cca, b 4 ccd ? b 4 dda, 
b 4 ddc, et tunc assumendo c 4 efficio c 4 aab, c 4 aac, c 4 bba ? c 4 bbd, c 4 dda, 
c 4 ddb r et tandem posito d 4 efficio quoque d 4 aab, d 4 aac, d 4 bba, d 4 bbc, 
d 4 cca, d 4 ccb ? atque sie negotium bocce absolutum esset: quod si vero 
fuisset adhuc praeterea cubo H| tum, adeoque ut habuissemus- d 5 a 4 bbc, 
cum jam omnes variationes faetae essent Radicis, |~|ti atque |~|to |~| 
ti invariato semper ejusdem literae |~| ti cubo nimirum d 5 , jam mutan- 
dum hoc esset et assumendus esset |~f ti cubus alterius literae, atque 
sie porro idem processus continuandus quibuseunque quantitates con- 
stent potestatibus. 

6. Potestates ex. a quantitate x do a + b formandae usque ad duo- 
deeimam, prout egi, saltem ad nonam produxi, et hoc idem debet effici 



£[c£}iruf)au3 an Sctönig. 



363 



in omnibus illis superioribus quaatitatibus et continuari saltem usque 
ad aequatiouem xxa + b + c + d + e + f, tunc etenim certo progressio 
in toto hoc negotio constabit, ut ex infra dicendis plenius patenet, quandö 
in Tab. 4 nobis sermo erit de aequationibus ibi contentis A ? B, C etc. 
quarum tunc progressio absque dubio re eo perdueta manifestabitur. 
Atque hie non possum quin obiter adjiciam quod multi admodum falso 
credant artem combinatoriam esse separatam scientiam, ac ante Alge- 
bram ac alias scientias addiscendam, imo sunt qui credunt Artem com- 
binatoriam plura in se continere quam Artem vulgo Algebram dietam, 
hoc est filiam plus scire quam matrem, nam revera si ex nulla alia re 
id vel ex sola potestatum compositione patet Artem combinatoriam ex 
ipsa Algebra addisci, cum revera sub hac ipsa multiplicatione omnis 
artis combinatoriae Thesaurus (ut solent loqui) latet et unica regula 
(hoc est quantitatum a + b, a + b + c, a + b + c + d etc. et aliarum 
supra traditarum continua in se invicem multiplicatione) omnes regulae 
quae hactenus hac de re traditae continentur, imo facilius hinc possent 
earum praxes educi quam hactenus factum vidi et prout speeimina su- 
pra exhibui. Sed ad sequentia majorisque momenti compendia progre- 
diamur. 

2 do . Notandum quod omnes quantitates quae in Algebraicis 
oecurrunt vel sint aequaliter compositae vel secus, et quoad aequaliter 
compositas, hae sunt vel primae, vel a primis derivatae (non secus ac 
in numeris), primae denuo sunt vel simplicissimae vel non adeoque 
simplicis compositionis. Primae suut 

a + b + c ab + ac + bc abc 

aa + bb + cc aabb + aacc + bbec 
a 3 + b 3 + c 3 a 3 b 3 + a 3 c 3 + b 3 e 3 
etc. etc. 

ab + ac + ad + bc + bd + cd 
aabb + aacc + aadd + bbec + bbdd + cedd 
a 3 b 3 + a 3 c 3 + a 3 d* + b 3 c 3 + b 3 d 3 + c 3 d 3 
etc. 

abc + abd + aed + bed abcd 

aabbec +- aabbdd + aacedd + bbeedd 
a 3 b 3 c 3 + a 3 b 3 d 3 + a 3 c 3 d 3 + b 3 c 3 d 3 
etc. 
atque sie quousque necessarium. Cum itaque hactenus Theoremata 
multa obtinuimus expressa Tab. 1 et 2, Theoremata autem illa seu 
potestates constent quidem quantitatibus aequaliter compositis, sed non 
omnes primis, primo omnes quantitates derivatae ex hisce primis for- 
mandae et tum restituendae in prioribus potestatibus aut potius x, y, z 



a a + b ab 

aa + bb 
a 3 + b 3 
etc. 
a+b+c+d 
aa + bb + cc + dd 
a 3 + b 3 + c 3 + d 3 
etc. 



364 £f4irnJ)CM8 an öeibnig. 

etc. quae hisce primis supra aequaliter positae, quo haec Theoremata 
simplicissime exprimamus, id quod ostensum Tab. 4, ubi notandum est 
ut hocee negotium quöque perquam facillime expediatur, primo non 
opus esse ad multiplicandum a + b + e in ab + ac + bc et similes quan- 
titates primas in se, ut haec multiplicatio penitus absolvatur, sed sal- 
tem a multiplicandam esse in ab + ac + bc atque tunc habetur 
aab 4- aac + abc, hinc regula pro producto erit aab • 3abc, id quod 
significat productum constare ex omnibus possibilibus aab et abc ter, 
idem de caeteris notandum prout prolixe in Tab. 4 ostensum; secundo 
hisce omnibus possibilibus multiplicatio nibus peractis (quae tarnen 
eousque in eodem genere quantitatis saltem continuandae usque dum 
progressio patet quod 4ta aut 5ta multiplicatione patet, prout quoque 
ex Tab. 4 darum) videndnm ubi hac occurrunt in superioribus potesta- 
tibus et loco quantitatum quae aequaliter compositae et derivatae, 
substituendae hac primae quantitates ex quibus componuntnr aut potius 

quae ipsis aequales, quo universalius haec et facilius succedat; 

sie potestas cubtca axeoa + b + c quantitates derivatas habet 3aab, 
6abc, jam cum hac constent ex ab + bc -f- aeco y in a -I- b + c co x, 
poterit loco earundem scribi 3xy; jam vero 3xy oo omnibus possibilibus 
3aab + 9abc adeoque abc 5d z pluries adest quam debet, nimirum ter 
(erat enim in potestate 6abc) adeoque subtrahendum 3z, erunt itaque 
omnes possibiles 3aab + 6abc oo 3xy — 3z adeoque cubus a x oo a + b + c 

a 3 
erit x 3 co b 8 + 3xy — 3z, hoc est aequatio ex meris primis quantitatibus 

c 3 
constans. Idem de caeteris judicandum, id quod in 4ta Tabula mnltis 
exemplis illustratum Tandem haec continuanda usque dum progressio 
harum pateat, id quod credo darum erit ad summum in 4ta aut 5ta 
operatione prout ego duas perfeci, cum literarum x, y, z, t etc. pro- 
gressio statim patet, numerorum vero ex continua additione resultet, 
sie in Tab. 4 (vid. aequat. A) progressio numerorum 2, 5, 9, 14, 20 
etc. fit ex continua additione numerorum 2, 3, 4 ? 5, 6 etc., progressio 
autem numerorum 2, 7, 16, 30 etc. fit ex additione numerorum 2, 5, 9, 
14, 20, id est proxime antecedentium ; eadem ratione progressio nume- 
rorum 2, 9 etc. fit ex addit. 2, 7, 16 etc. adeo ut quoad has aequa- 
tiones A non ulterius continuare opns sit operäm suseeptam, quia jam 
earum progressio nota, quae extemporanea scriptione absolvitur-, secundo 
ad aequationes B quod attinet primo series l ma , 2 da , 3, 4, 5 etc. 
eadem sunt quae priores in aequationibus A et hoc cum semper fieri 
debeat (posteriores enim aequationes semper includunt priores, posito 
enim in his aequationibus B z aequale o provenient priores A, quod 



£fd)iwfjcm$ cm SetBtttj. 365 

compendium magni momenti ab eo dependet, quod semper simplices 
quantitates a, b, c, d, e etc. per x designamus, omnia vero bina per y, 
omnia terna per z etc. quod in sequentibus semper observandum) efficit 
ut non facile erremus in calculo, eumque facilitat dum ad aequationes 
B accedendo jam statim aequationes A poterimus assignare, atque sie 
semper ad posteriores accedendo proxime antecedentes, quod equidem 
hac expressione Tab. 4ta non observavi (licet multum laboris potuissem 
praescindere) uti et alia quae modo scio, sed quam primum per tempus 
mihi licebit, totum hunc calculum ipse quam aecurate potero absolvam. 
Secundo series numerorum 5, 12, 21, 82, item 7, 24, 54 atque sie in 
infinitum fiunt ex continuata additione duarum serierum 2 dae et 7 timae , 
item 3 et 8 tavae atque sie porro, hoc est 2 + 3x5, 2 + 3 + 3 + 4 x 12, 
2 +3 + 3 + 4 + 4 + 5 co 21, item 2 + 5x7, 2 + 5 + 12 + 5x24, 
2 + 5 + 12 + 5 + 9 + 21 x 54 etc.; deinde omnes series quae ineipiunt 
a 3z, 3zz, 3z 3 etc. fiunt continua additione, sie a prima 3, 4, 5, 6, 7 
continua additione fit seeunda 3, 7, 12, 18, ab hujus continua additione 
3, 10, 22, etc. atque sie porro. Sed bene esset has aequationes aliquan- 
tulum adhuc continuare usque ad duodeeimam aequationem, quo magis 
securi essemus de progressionis continuatione. Aequationes C eosdem 
numeros praefixos habent quam aequationes B, atque sie porro pro- 
grediendum usque dum horum Theorematum progressio obvia. Quibus 
jam inventis aequationibus et quae ex simplicissimis primis quantita- 
tibus constent, infinitae aliae inveniri possunt supponendo alias primas 
quantitates, sie exempli gr. supponendo aa + bb x z et x co a + b, jam ut 
omnes aequationes A reducantur ad x et z, saltem inveniendum y ex dato 
x et z, quod sie fiet: aa + bb oo x 3 — 2y, hoc est ex jam facta supposi- 

tione z x x 3 — 2y adeoque y x — - — , unde restituta hac quantitate 

u 

— - — loco y in aequationibus Ahabebimus intentum et alia Theoremata; 

eadem ratione omnes binae primae quantitates possunt assumi hoc est 
ä + b et a 3 + b 3 , a + b et a 4 + b 4 , item aa + bb et a 3 + b 3 etc. omnes 
ternae, quaternae etc. atque hinc progredi ut ante, quod idem de aequa- 
tionibus B, C, etc. notandum, et hinc varias ejusdem aequationis radicum 
expressiones obtinere licebit, ut intra ultimo loco dicemus. Atque 
in hisce mihi videntur consistere prima et praeeipua totius Algebrae 
Elementa; horum autem usus permagnus non in tota hac arte, uti suo 
tempore ostendam, eaque hinc non concludam quae nescio num existimes 
ficri posse; desiderantur hie adhuc quae circa signorum variationes 
oecurrunt, cum hie saltem respeximus ad quantitates aequaliter compo- 
sitas per signa+; sed haec alio in loco exhibebo, ubi plura Elementa 



366 £fc&tmfjau3 an SeiBniS- 

concernentia erunt. Jam saltem ostendam ? qua ratione ex hisce primis 
Theorematibus Algebrae magna facilitate difficile admodum problema 
de Radicum omnium aequationum universali expressione deducam, et 
quidem si ab ullo ante me haec Theoremata exhibita fuissent, magno 
labore potuissem supersedere, tunc etenim ad hoc ipsum problema sol- 
vendum sequentia saltem annotassem. 

3. Hisce aequationibus A, B, C etc. aut Theorematibus inventis 
restituendae quantitates y ? z, t etc. id quod variis modis fieri potest 
adeoque varias obtinebimus aequationes, cum quibus comparatio insti- 
tuenda cum quadam generali et ejusdem gradus aequatione (quae quoque 
a priori possem deducere, sed tempus non permittit ut omnia hie aecu- 
rate tractem) id quod unico exemplo declaro. In aequationibus A 
y co ab hoc restitutum exhibet 

xx — 2ab — aa 

-bb 

x 3 - 3abx — a 3 

- b 3 F 

x 4 — 4abxx + 2aabb 



-a 4 

-b 4 
x 5 + 5abx 3 + öaabbx — a 5 
-b* 
aequationes F quae comparatae cum aequationibus 
xx — p oo o, x 3 — px + q co o, x 4 — pxx 4- q x o, x 5 — px 3 + qx — r oo o 
etc. exhibent Radices harum aequationum in infinitum, quae ad instar 
Cardanicarum in cubicis sunt compositae. Cum vero x sit oo a . + b 
et a oo x — b, hoc restitutum in quantitate y oo ab exhibet y quoque 
aequale bx — bb, quae quantitas restituta in iisdem aequationibus A exhibet 
alias aequationes quam erant F, quae comparatae cum generalibus 
prout modo indicatum exhibent harum omnium aequationum radices et 

quae ad instar | jticae sunt compositae, et notandum quod itaque jam 

generales tarn pro ] |tica quam cubica aequatione radicum expressiones 

obtinuimus, quod ad Demonstrationem infra intelligendam necesse erit. 
Porro compendium magni momenti hie observandum circa comparationem 
et consistit in eo quod aequationes quae per comparationem habentur, 
semper ad aequationes possint reduci, ubi incognitae aequaliter compo- 
sitae et simplicissimae ex aequaliter compositis, quod reflectendo ad 
aequat. A, B, C etc. Tab. 4tae unico intuitu patet, idque exemplo 
declarabo. Sit x 4 — 4yxx + 4zx + 2yy — a 4 — b i — c 4 oo o, jam y oo ab 
+ bc + ac et z oo abc adeoque 



£fdfjtrnljau$ an SciBnis- 367 

x 4 — 4abxx +• 4abcx + bis [Jto a ab + bc + ac — a 4 — b 4 — c 4 oo o 

— 4acxx 

— 4bcxx 

Fiat jam comparatio (prout ex Des Cartes Greom. satis notum) cum 
generali x 4 — pxx + qx — r oo o et obtinebimus sequentes 3 aequationes 

1 2 

4ab + 4ac + 4bc oo p 4abc co q 

redigantur ad ab + ac + bc oo ~ abc oo -^ 

3 

2 LJtum a ab 4- ac + bc — a 4 — b 4 — c 4 oo — r 

a 4 + b 4 + c 4 oo EJ 3 + r 

o 

Juxta priora jam ponatur brevitatis causa "r^d, j°oc et ~ + r cof 

et habebimus ab + ac + bc so d, abc oo e et a 4 + b 4 + c 4 oo f atque sie 
aequationes superiores 1, 2, 3 erunt ad tales reduetae, ubi incognitae 
a, b, c aequaliter compositae et quae quantitates constituunt ab + ac + bc, 
abc, a 4 + b 4 + c 4 simplicissimus ex aequaliter compositis. Atque sie 
totum negotium ad infinitas quaestiones seu Problemata aequaliter 
composita reduximus. Superest ut addam 1. liinc patere, quae quae- 
stiones primae existunt in Algebra resolvendae, et videbis aliquando 
qua ratione ego has dispositas proponam quod apud alios instar chaos 
cujusdam confusi existit. 2 do ostendam qua ratione hae quaestiones 
magna facilitate possint solvi ? et quod alias Methodos sequendo non in 
anno, hie duabus horis posse fieri (quod facile credes si haec digneris 
aliquantulum introspicere) 3. Ne quis existimet se operam quam hie 
ostendo impendendam frustra impendere, demohstrabo hac via certo 
omnium aequationum radices obtineri. Quae omnia unica et eadem 
opera ut ostendam et absolvam, sie progredior. Sit 

1 
x + y *>a et xy sob 
erit x oo a — y et ay — yy sob ac yy — ay — - b*) oo o 

sit xx + yy ooa et xy xb, fiat primo xxyy oobb 
jam xx oo a — yy et ayy — y 4 :x>bb ac y 4 — ayy — bb oo o 

3'tio 

sit x 3 + y 3 ooa et xy sob, fiat x 3 y 3 sob 3 
jam x 3 so a — y 3 et ay 3 — y 6 oo b 3 ac y 6 — ay 3 — b 3 ooo 
Atque sie in infinitum. 

*) Wlu$ ofjenbcu: +b beijjen. ©beufo in hm folgenbeii Gleichungen. 



368 Sfd)irnfjcm§ an ßei&ma. 

Hinc patet primo omnes has aequationes*) reduei ad 
yy — ay -— b so o, y 4 — ayy — bb so o, y 6 — ay 3 — b:3 xo etc. 
harum autem radices habentur, si quadraticae seu prima yy — ay — b xo 
radices notae; hae autem nobis dantur per superiora ut monui adeoque 
harum omnium radices inventae et per consequens (cum per aequationes 
A effecimus ut ad radices cubicas designandas sit opus saltem hasce. 
aequationes resolvere x 3 + y 3 soa et xycob; hasce autem reducuntur 
ad hanc y 6 — ay 3 — b 3 soo cujus radices dantur per modo indigitata) 
quoque radices cubicae aequationes. Jam progrediamur et sint 
x + y + z soa, xy + xz + yz sob, xyz xc, hae resolutae reducuntur ad 
aequationem 

y 3 — a yy + by — c so o 

2 do sint xx + yy + zz co a, xy + xz + yz co b et xyz soc 
priusquam jam ad reductionem progrediamur, primo ope superiorum 
Theorematum seu aequationum C (quod semper notandum et in eo solo 
consistit compendiosa reductio de qua supra locutus, quam unico 
exempio declarasse sufficiat) redigantur ad hasce xx + yy + zz co a, 
xxyy + xxzz + yyzz co b — 2ac co f et xxyyzz soc, quae reductae ex- 
hibebunt y 6 — ay 4 + fyy — c 2 so o , sie adhibito hoc compendio x 3 + y 3 
+ z 3 soa, xy -j- xz + yz sob, xyz so c resolutae reducuntur ad hanc 
y 8 — ay 6 + by 3 — c 3 soo. Atque sie porro; ad quarum ultimarum 
radicum exhibitionem , cubicarum radix necessaria quae ex proxime 
östensis data adeoque et horum omnium radices determinatae. Sed 

cum per aequationes B ut aequationis |__|to - j (ticae ßadices obtinean- 

tur, id reducatur ad solutionem hujus quaestionis x 4 -(- y 4 + z 4 so a, 
xy + xz 4- yz sob, xyz xc, haec autem reducatur per ultima ostensa 
ad aequationem cubicam cujus radices datae, quoque jjto |_J ticae 
aequationis radices determinatae. Sic jam progredi liceret ostendendo 
quod ad quaestiones sequentes resolvendas 
x + y + z + tsoa, xy + xz -f-xt + yz + yt + zt so b, xyz + xyt + xzt 

+ yzt so c, xyzt so d 
xx -f yy + zz + tt soa, xy + xz + xt + yz + yt + zt sob, xyz + xyt 

+ xzt + yzt so c, xyzt so d 
x 3 + y 3 + z 3 + t 3 soa, xy + xz + xt + yz + yt + zt sob, xyz + xyt 

+ xzt + yzt so c, xyzt so d 
x 4 + y 4 + z 4 + t 4 so a, xy H- xz + xt + yz + y t + zt so b, xyz + xyt 

4 - xzt + yzt so o, xyzt so d 
hae reducantur ad aequationes |~~|to - M ticae eadem ratione procedendo 
ut supra, quarum itaque radices per modo dieta habentur, et quod 



**) darüber gefdjxieBen quaestiones. 



£fcf)tm|au3 an SetBntj. 369 

denuo Radices 5ti gradus hac ratione determinentur. Atque sie haec 
porro sese ita in infinitum habere; sed prolixioribus nori opus, cum ope- 
ranti juxta ea quae diximus haec sese statim manifestabunt. Attamen 
ut omni ex parte satisfaciam, Demonstratio possibilitatis poterat uni- 
versalius et facilius sie absolvi: aequationes seu quaestiones ex aequa- 
liter compositis primis et simplioissmis quantitatibus x + y x a et 
xy x b redueuntur ad LJticam yy — ay + b x 0; x + y -f z x a, 
xy + xz -J- yz x b, xyz ad cubicam y 3 - ayy + by — c x ; x + y + z 
-H t x a ; xy + xz + xt + yz + yt + zt x b , xyz + xyt + xzt + yzt x e, 
xyzt do d ad Qto |~|tioam y 4 .— ay 3 + byy + ey — d x atque sie porro 
ubi jam notum et iaeillime demonstralur. 

Jam vero 2 do aequationes 
xx -f yy x a, xy x b possunt reduci ad xx + yy x a et xxyy x bb etc. 
x 8 + y 3 x a, xy x b x 3 + y 3 x a x 3 y 3 x b 3 

x 4 + y 4 x a, xy x b x 4 + y 4 x a x 4 y 4 x b 4 

Item per superiora Theoremata aequationes 

xx +- yy + zz x a, xy + xz -f yz x b, xyz x c 
x 3 + y 3 + z 3 x a, xy + xz + yz do b, xyz x c 
x 4 ~h y 4 + z 4 x> a, xy + xz + yz x b, xyz x c 
redueuntur ad aequationes 

xx -f yy + zz x a, xxyy + yyzz + xxzz x cognitae xxyyzz x cc 
x 3 _|_ y'3 _j_ z \ ^ a x 3yo _|_ y3 z o _|_ x 3 z s y^ quantitati x 3 y 3 z 3 x c 3 

* 4 + y 4 + z4 30 a x 4 y 4 + y 4 z 4 + x 4 z 4 x x 4 y 4 z 4 x c 4 

Atque sie quousque placet; liae ultimae vero aequationes redueuntur 
ad aequationes primae liujus demonstrationis partis supponendo saltem 
xx, x 3 ? x 4 etc. x x adeoque et hae 

yy, y\ y 4 etc. x y 

zz, z 3 , z 4 etc. x z 

reduetae ad LJticam, cubicam, fjto LJticam redueuntur. 3 tiü 
ostensum satis ex superioribus quod antequam ad eujuseun- 
que gradus aequationes solvendas accedamus, semper prius hac 
ratione obtineamus Methodum extrahendi radices earum aequa- 
tionum, ad quas redueuntur. Adeoque hac Methodo omnium Aequa- 
tionum radices haberi. Q,- E. D. Nee mihi possibile prolixioribus haec 
ostendere hac vice ? quauquam satis prolixus fuerim. Haec autem via, 
si bene a Te l'uerit penetrata, non forte poenitebit laboris suseepti, ac 
tunc credo Tibi persuades mecum viam hanc perquam naturalem esse, 
praesertim si aiiquando videbis expressam prout in coneeptu meo habeo. 
Sed hoc plus otii requirit, praesertim cum Publicae luci destinabo ; 
proposui enim mihi tarn aecurate in omnibus procedere ut certus sim, 
aliquid a nie publicatum deeennium post non posse displicere, cujus 

24 



§70 &fd)trnt)au§ cm fietBnig. 

norma aliquo modo mihi perspecta. Hoc unicum adjungam, quod ejus- 
dem aequationis varias radicum expressiones hac methodo impetrare 
licet assumendo alias ac alias primas quantitates et formando hinc 
alia ac alia Theoremata, prout subfinem secundae partis monui; com- 
parando denique has cum generalibus ac ejusdem generis aequationibus. 

Tandem ut ad ea revertar quae loqueris de lingua Philosophica 
ac aliis similibus, non utique haec percipio, nee quoque quod dicis de 
lingua quadam Geometrica, qua Dom. Desargues subtilissimas ratioci- 
nationes instituit sine figuris et calculo, nunquam sane haec vidi nisi 
quae de Sectionibus habet Conicis perpulchra, sed quae aliquo modo 
imaginationem fatigant. Hoc quidem mihi persuasi et certus sum, nos 
posse in rebus philosophicis ad veritates incognitas indagandas eadem 
ratione calculo uti simili Algebraico, sed hie primo definitiones rerum 
tradendae, quae satis perspicax ingenium desiderant, nee ad eas forman- 
das praestantiora praeeepta unquam vidi, quam quae habet Dn. Spinoza 
de Emendatione intellectus, quod manuscriptum a Dn. Schullero mihi 
transmissum penes me habeo; utinam omnia reliqua ejus opera! Et in 
eo totus ero ? postquam mihi in Mathematicis satisfecerim, si quidem 
fata concedant. Sed quod non adeo facile sit, definitiones rerum tra- 
dere aecuratas, id vel ex hoc solo constat, quod et in Mathematicis non 
semper tales traditae; sie ne unicum vidi qui veram definitionem tradi- 
derit proportionis, imo quod magis mirandum rei simplicissimae, hoc est 
lineae reetae nullam aecuratam definitionem, nisi per solas proprietates, 
quod nimirum sit brevissima eosdem termioos habentium, quod extrema 
obumbrent omnia media . . . .*) 

Relegen do supra conscripta de . . . aequationum, vidi me omnium 
maximum compendium omisisse, tradidi enim hac methodo non solum 
omnium ßadieum generalium expressionem, sed et earum qui (quae?) in 
quoeunque gradu eandem compositionem ut illi (illae) obtinent, quod ma- 
gni- usus est in Algebraicis aliquando ostendam et quod construetiones 
multarum celebrium quaestionum facilitat. Attamen si saltem prius 
desideramus hoc multo breviori temporis spatio assequi poterimus, imo 
tarn brevi, ut nesciam num ulla alia Methodo tanta facilitate haec im- 
petrari liceat. Tandem quaeso ne ad haec rescribas, quia intra quatu- 
ordeeim dies hinc discessurus incertus adhuc, num in Hispaniam aut 
quae alia loca petam, nee vollem ut in aliorum manus venirent tuae 
responsoriae; quam primum autem ullo in loco fixus haerebo aut si 
occasionem videbo, me Tuas certo posse reeipere, statim hoc per literas 



*) $)ct8 golgenbe ift baburtf), bafj ein Stücf Sßapter im äRcmufcrtpt abgexiffen ift, 
31t uerftümmeit, alg bafe e£ Ijier wkbn gegeben werben fönnte. 



%,\ä)ixxi1)avL% an Setbnt^. B71 

indicabo, atque tunc magna aviditate Tuas expeetabo, et commercium 
nostrum restabilitum esse gaudebo. Nee aliquid intermittam, ex quo 
no 11 semper amicitiae verae evidentia signa colliges, atque quod sim in- 
dissolubili affectu ad quaeeunque servitia amica Tui gratia subeun- 
da etc» 



VII. 

{Efdfirnfyaus an Heibni^ 

Rom d. 30. Aprilis Anno 1678. 

Zweifele nid)t unlcingft abgegebenem uor 14 tagen, moriu bie Methodus 
radices exprimendi, werben ©ie in gutter gefunbljeit erhalten fjaben; weiten 
ben barin mieber meinen willen gebenden mitten, baf$ ©ie mir ju antworten 
etttm$ injuljalten beliebten, auf$ batjmaljlen ermähnten urfad^eu, foldje aber 
geetnbert, aU baß mir nidjt gerne aufj tjänben gel)en ta£e bie jo Ijotje ergöjjung 
weldje mir allezeit Sero brieffe tierurfadjen, fo gebenfe baf$ morgen Don tjier 
nac^er ©icilien, nmb Palermo, Messina, ben berg Aetna als anbere curio- 
sitäten 31t feiert getjen merbe, unb ben jo ferner gar bie$ nac§ Malta; weiten 
ben U)ot)t be\) 2 monatl)en unb trüber zubringen möchte trieS ttneber alliier 
jurücf nad) Rom gelangte, fo erjud)e t)öd)tidj bie angefangene correspondenz 
ju continuiren un^ mir bie satisfaction ju geben, ba§ auff oorige brieffe Ijier 
in meiner jutuettunfft einzige antmoit finben fönbte. SSiele n-egotia bie mid) 
brüdfen, (äffen mir nidjt ju meiner ©djulbigfeit fcefjer oorie|o nad^ufoinmen ; 
bod) ttriet a(3 obiter aubienen, wie ba|3 faft einen Universalem Methodum 
gefunben, ober redetet ju fngen bet) anberer Methodo bieJ3e£ (jietbet) getfjan, 
ba$ faft allen berfelbigeu figuren fo man hactenus nidjt quadriren tonnen, 
ifjre quadraturas determiniren fau, ober WO nidjt, bie impossibilit'ät fold)er 
gar leicht demonstriren, unb ereignet fid) in circulo ma£ fenberbat)re§, wor^ 
uon in* fünfftige; oorie^o oermelbe in Jjödjfter etjt, ba mir faft papier, feber unb 
tinte ermangelt, mdjt§ metjr, al$ ba§ uerfid)ere tiädjft befter ©mpfetjlung ieber^ 
jeit fru (ein etc. 



24* 



372 tfeüjttta an &fcf)iruf)cwä. 

VIII. 



£eibni5 an CCfctytrntiaus.*) 



Ex quo Tibi scripsi, binas a Te aecepi, priorem prolixam, ^qua 
Methoduin inveniendi aequationum radices describis, alteram brevem, 
qua iter tuam significas; respondissem priori statim, nisi vetuisses ob 
iter instans tuum. Nunc respondeo, quia ita posterioribus jussisti. 
Spero Te ex Siculo itinere salvum reversum aut mox reversurum. 
Q,uanquam aute.ni sciam Te satis in itineribus eircumspeotum esse, quia 
tarnen multis casibus expositi sunt peregrinantes, non desinam de Te 
esse solieitus, donee Te reversum lnteliexero. Schillerus noster jam 
sex et ultra mensibus nihil a Te accepisse scribit, quare vereor, ne 
literae Tuae ad nie, quas JSchillerianis inelusisse scribis, cum illis pe- 
rierint. Gerte eas, quibus exposuisse scribis methodnm exprimendi 
quam vis rationem vel proportionem per seriem infinitam, non aecepi; 
quare nee illud vidi, quod illic ais a Te descriptum modum investigan- 
di numerum omnium curvarum. Quod Methodum tuam aequationum 
ßadiees inveniendi tarn ampie et distinete non sine labore mihi descri- 
bere voluisti, multum me Tibi debere profiteor. Legi diligenter et ni 
i'allor intellexi et deprehendi tandem, nondum omnino rem absolutam 
esse, imo si quid judico hac quidem via ne absolvi quidem posse. Ni- 
mirum tota res huc redit: Sit aequatio x 4 -f- yx* + rx -f s aequ. 0. Po- 
nitur x aequa. a + b + c, unde aequationem aliam excitas, quam priori 
comparando facis: ab + ae + bc aequ. m, abc aequ. n ; a 4 + b 4 + c 4 aequ. 
1. Hmc derivare vis sequentes aequationes: 

a 4 -|- b 4 -(- c 4 aequ. 1, a 4 b 4 + a 4 c 4 + b 4 c 4 aequ. e, a 4 b 4 c 4 aequ. n 4 . His tri» 
bus novissimis obtentis fateor haberi quaesitas a ; b, c adeoque et x. 
Verum ajo ipsas et nominatim aequationem penultimam sive quantita- 
tem desideratam e, vaiorem scilicet cognitum ipsius a 4 b 4 -j- b 4 c 4 -t- b c 4 , 
ex prioribus assumtis deducere impossibüe esse, nisi forte per aequati- 
onem aeque dil'ficilem ac est resolvenda. Cujus sententiae meae de- 
monstrationem in adjeeta Charta explicui, addidique qua ratione mihi 
ad aequationum radices perveniri posse videatur, ubi et demonstratio- 
nein l'uturi successus adjeei. De quo sententiam tuam expecto. Certe 
haec sola est via mihi nota, qua secum l'ert successus demonstrationem. 



*) ^eiöuiä Ijcit Demerft: Romam ad Dn. Isehiinhusium fine Maji 1678. — - Tsehirn- 
hausius aeeepit Epistoiam, nam respondit et in responsione vurba mea aliegat. 

In hau Epistola explicui jam Tsohirnhuaio generaiem meam methoduin investigan- 
di ijuadraturas : item notain delinitiouis realis, qua est possibiiitas, Ipse post utrumque 
sibi ascripsit. 



SctBtttg an £f(fnntfiatt§. 373 

Tntelligis etiam inde non pauca eorum, quae in literis tuis exposuisti 
et mihi jam olim fuisse explorata sive tentata et inprimis illam rae» 
thodum tuam ex aequationibus ab + ae + bc aequ. m ? abe aequ. n, 
a 4 + b 4 + c 4 aequ. 1 inveniendi e et per consequens x, olim mihi quo- 
que mirifice blanditam, sed postea irritam deprehensam. Pulchra habes 
theoremata circa forma« ex Uteri s similiter se habentibus ortas, in quo 
genere et ego multum laboravi. de quo et prioribus literis Tibi seribere 
memini. Ex. gr. tabulam habeo. per quam statim apparet, quot cujus- 
eunque formae sint exempla in dato literarum numero, v. g. formae ah, 
datis tribus literis, exempla sunt 3 ab, ac, bc. Haec tabula secundum 
quandam regulam facilem conditur, quam tarnen et Tibi satis animad- 
versam ex literis tuis apparet, ni fallor Aliam habeo majoris momenti 
circa multiplicationem formae in formam v. g. a 2 b in ab, positis literis 
4, a, b. e, d: 

ad bc bd cd 

a 3 bd a 2 b°c a 2 b 2 d a 2 bcd 

12 12. 12 _ 1 12 _■ 

12 - 1 F2'- 1 12 - 1 T~ d 



ab 


ao 


a 2 b) aV 


a a bc 


12 1 


12 


12 = 1 


"12 _ 



2 2 

seu a 2 b in ab dat 

a 3 b 2 + 2a H bc + 2a°b 2 c -f 3a 2 bcd 
Nimirum non tan tum omnia exempla unius formae in unum exemplum 
alten" us duco (quemadmodum et Tu notasti) ad formas provenientes in- 
veniendas, sed et ad numeros formis provenientibus praefigendos cuili- 
bet formae provenienti subscribo quotientem ex divisione nameri exem- 
plorum formae multiplicantis, hoc loco a 2 b (qui numerus est hie 12) 
per numerum exemplorum cujusque formae provenientis, ut a°bcd in 
literis 4 exempla sunt 4. et 12 per 4 dat 3. Si forma saepius prove- 
niat, multiplicandus quotiens per numerum repetitionum. Notabile est, 
in quibusdam casibus quotientem esse fractionem, sed eam postea sem- 
per multiplicatione per numerum repetitionum tolli Hujus autem 
regulae ope Tabulam condere coepi, cujus ope primo aspectu statim 
formae in formam duetus sciri possit, et vero pulchras illa habet pro- 
gressiones, quarum magnam partem jam video. Porro in Algebra quo- 
que pulcherrimos ea Tabula usus habebit, non tan tum in problematibus 
illis, ubi literae incognitae se eodem habent modo, sed et in aliis Om- 
nibus, quia problemata omnia tandem reduci possent ad problemata in- 
cognitarum se similiter habentium: quod est utilissimum, quia tunc ple- 
rumque pulchra compendia se proferunt et (quod sane magni momenti 
est) una aequatio omnibus illis incognitis simul inveniendis servit, et 



374 SciBntj an 5£[d)h:nfjau§. 

diversae illae incognitae sunt aequationis ultimo inventae radices: unde 
semper summae earum et summae rectangulorum ex ipsis et parallele- 
pipedorum seu rectangulorum solidorum summa etc. inveniri potest. 
Ex ipsa nimirum aequatione nltimata, nam in ea secundus terminus 
aequatur summae radicum, tertius summae rectangulorum etc., cumque 
radices aequationis ultimatae sint eaedem cum indeterminatis seu in- 
cognitis pluribus in problemate resolvendo adhibitis patet, de illis hoc 
verum esse, quod earum summa et summa rectangulorum etc. habeatur. 
Ex. g. si x + y aequ. a et xy aequ. b 2 , fit aequatio y 2 — ay + b ? aequ. 
0. cujus aequationis una radix erit y, altera x. Hinc etiam patet, cum 
omnia problemata possint reduci (vel calculo vel linearum ductu) ad 
incognitas similiter se habentes, et in problematis similiter se habenti- 
bus ad ultimatam aequationem reductis habeatur omnium incognitarum 
summa et summa rectangulorum etc., hinc utique omnia problemata 
tandem his tantum adhibitis resolventur seu ut tuis literis utar, posi- 
tis incognitis problematis a, b, c, d, e inveniendis, invenientur ope 
ipsarum x, y, z etc! posito x aequ. a + b + c -j- etc., y aequ. ab -f ac 
-4- etc., % aequ. abc + etc. [Sed tunc non vicissim a, b, c servire debent 
ad inveniendam x, quod in aequationum radicibus investigandis fit. 
adeoque tunc non ipsarum y, z etc. valores primum quaerendi, sed 

ipsarum a, b, c etc. per a 4 f b 4 + c 4 aequ. . . . ., a 4 b 4 c 4 aequ ]. 

Et hoc mihi inter maxima totius Algebrae arcana habendum videtur, 
cum illius ope omnia problemata reducantur ad pauca. et tabulae con- 
di possint, per quas cuncta sine calculo inveniantur. Haec etiam vera 
videtur esse via inveniendi constructiones Geometricas elegantes. Haec 
Tibi candide perscribere volui. quia et haec et multa alia a Te potis- 
simum perfici posse spero. Analytici nostri (si Vietam excipias) parum 
de constructionibus elegantibus solliciti sunt, calculum exhibere con- 
tenti; cum tarnen problemata ista pleraque ingenii potius quam praxeos 
causa quaerantur, hinc mihi videtur semper elegans quoque constructio 
esse quoad licet quaerenda. Hugenius mihi dixit, se aliqnid meditatum 
circa demonstrationes ex calculo concinnandas elegantes more Veterum, 
longe diversum a Schoteniano: ego circa artem inveniendi constructio- 
nes elegantes multa habeo notata, sed tarnen nondum perfecta; potissL 
mum autem arcanum consistit, ut dixi, in eo ut quaerantur incognitae 
plures se similiter habentes, item pauciorum radicum. Saepe enim ratio, 
cur problemata justo altius ascendunt, oritur non tarn ex ipsorum na- 
tura, quam ex natura incognitae assumtae, quae plures habet radices, 
cum tarnen problema resolvi possit per aliam incognitam habentem 
pauciores. Ex. g. si pro incognita snmas distantiam puncti quaesiti a 
centro sectionis Conicae, pauciores orientur radices, quam si sumas di- 



Seiönia cm £ftf)irnljau3. 375 

stantiam a foeo, quia duo sunt foci, adeoque et duae distantiae satis- 
facientes, loco unius. Sed haec obiter. Ad reliqua literarum tuarum 
capita venio. Methodi qua circa quadraturas uteris, scripseram vesti- 
gia quaedam in Fabrio et Pascalio extare, sed et me tale quiddam sub- 
inde tentasse. Hoc Tu ita interpretari videris ac si suspicarer Te 
aliunde hausisse, quod mihi nee per somnium in meutern venit. Scio 
enim eam Tibi ingenii vim esse, ut etiam praestautiora exeogitare 
possis. Tota res huc redit, ni fallor, quemadmodum in figura plana 
quadraturam dare possim, vel quaerendo summam omnium y vel quae- 
rendo summam omnium x, ita in solido, ubi tres sunt indeterminabae 
x, y, z, etiam tribus modis in plana resolvi solidum potest, unde com- 
parando inter se valores totius contenti semper ejusdem aequationes 
tetragonisticae oriuntur. Ex his autem aequationibus tetragonisticis 
variae oriuntur quadraturae, ut explieuisti. Ego non hunc tantum, sed 
et infinitos alios modos habeo obtinendi aequationes tetragonisticas per 
caiculum, cujus istae a Te propositae sunt casus tantum. Calculum 
autem hunc exequor per nova quaedam signa mirae commoditatis, de 
quibus cum nuper scripsissem respondes, tuum exprimendi modum ma- 
gis ordinarium ac intelligibilem esse, et Te uovitatem in defmitionibus 
rerum quam maxime effugere-, hoc enim nihil aliud esse quam scientias 
difficiles reddere. Sed idem olim opponere potuissent veteres Arithme- 
tici, cum alii recentiores loco characterum Romanorum Arabicos intro- 
ducerent, aut veteres Algebraici, cum Yieta pro numeris literas aiferret. 
In signis speetanda est commoditas ad inveniendum, quae maxima est, 
quoties rei naturam intimam paucis exprimunt et velut pingunt, ita 
enim mirifice imminuitur cogitandi labor. Talia vero sunt signa a me 
in calculo aequationum tetragonisticarum adhibita, quibus problemata 
saepe difficillima paucis lineis solvo. Ex. g. problema illud, quod Car- 
tesius in Epistolis frustra aggressus est: invenire curvam talem ut 
intervallum AT inter tangentem CT et ordinatam EA in axe sumtam 
sit reeta constans, meis characteribus adhibitis tribus quatuorve lineolis 
solvo. Est enim mihi pro methodo tangentium inversa et methodo te- 
tragonistica calculus idem, eadem signa. De his omnibus me jam olim 
Tibi loqui memini, sed parum attendenti; itaque tantum abest ? ut Te 
tuam istam methodum quadrandi a me hausisse putem ? ut contra potius 
animadverterim Te ad multa a me proposita non satis attendisse, quo- 
niam nescio qua praeventione semper suspicabaris, meas methodos esse 
tantum particulares et parum naturales; illis itaque neglectis Tu tua 
sponte quaerebas eadem, et cum denique non raro ad illa ipsa per Te 
venisses ? quibus ego usus fueram, tunc Tibi universalia admodum ac 
naturalia videbantur et diversa plane a meis prius propositis appare- 



376 £etfint3 an SfdjtrnfjauS., 

bant, tum quod ea aliter exprimeres quam ego, tum quod Tibi viae ac 
Processus, quo ad ea perveneras, conscio magis blandirentur, quam cum 
a me proponebantur, quia Tibi quippe minus attendenti processum me» 
um et inveniendi modum non exposueram. Fateor hoc Te commodi 
inde reportasse, tum quod ista hoc modo tua fierent, tum quod ita in 
inveniendo Te exerceres; verum potuisses labori et tempori parcere et 
inveniendi artem in aliis adhuc intactis exercere. Nam ut in genere 
dicam, quod sentio, si me jam olim audivisses, tempus quod quadraturis 
et aequationum radicibus hactenus impendisti, magnam partem aliis 
impendisses, quia ultra ea, quae ex Parisiensibus nostris collationibus 
sumi poterant nondum profecisti. Nam et ego jam Parisiis omnem 
comparationem referebam ad rectangula ab, abc etc. inveniendarum ra- 
dicum causa: et quod quadraturas attinet, Methodum per differentias 
quam jam olim Tibi proposui, omnibus aliis praefero. Omnis enim 
figura differentialis est quadrabilis, et contra omnis figura quadrabilis 
est differentialis. Differential em voco, cujus ordinatarum series coinci- 
dit seriei differentiarum ab alia serie: quaerendum est ergo tantum, an 
data figura sit differentialis : id vero invenitur comparando aequationem 
figurae datae cum aequatione generali figurae differentialis, ope enim 
hujus aequationis differentialis generalis possunt enumerari omnes ae- 
quationes speciales, quae sunt ad figuras quadrabiles, et ita facile condi 
posset tabula omnium figurarum quadrabilium. Duo tarnen adhuc desi- 
dero in hac methodo, primum quod tantum exhibet figuras illas. quarum 
quadratrices sunt analyticae [quadratrix figura est, cujus figura differenti- 
alis est figura data, seu quae ita se habet ad datam, ut series aliqua 
ad suas differentias], non vero eas quadratrices, quae sunt transcen- 
dentes. Ex. g. non ostendisset, quod quadratrix Hyperbolae sit loga- 
rithmica. Hac utique methodo area figurae propositae non potest 
inveniri, quando nee per aequationem exprimi potest, per aequationem, 
inquam, communem, alioqui enim etiam quantitates transcendentes seu 
(si ita apellare libet) non-analyticae per aequationes, sed transcenden- 
tes (in quibus incognita exponentem ingreditur) exprimi possent. Hq,ee 
itaque methodus, etsi ostendat Circulum et Hyperbolam non habere 
quadratricem analyticam, non tarnen ostendit, qualem habeant quadra- 
tricem; et non potest ostendere haec methodus, utrum forte figura ali- 
qua proposita si non absolute, saltem ex supposita alterius v. g. Circuli 
aut Hyperboles quadratura possit inveniri, ex. g. utrum curva Ellipseos 
inveniri possit supposita Circuli vel Hyperbolae vel utriusque quadra- 
tura, quemadmodum ego inveni curvam Hj^perbolae aequilaterae ex 
supposita Hyperbolae quadratura. Habeo etiam varias artes, quibus 
huic defectui mederi licet. Alter hujus methodi defectus est, quod et- 



Setfmtjj cm £ftfjtrnfiau§. 377 

si ostendat figuram aliquam non esse quadrabilem analytice quadratura 
universali omnibus portionibus communi, seu non habere quadratrieem 
änalyticam, non tarnen ostendit, utrum non specialis aliqua portio spe- 
cial! ratione quadrari possit. Atque ita hodieque ignoramus, utrum 
possibile sit, inveniri quadraturam specialem certi alicujus sectoris vel 
segmenti circularis vel etiam integri circuli. Habeo quidem varias vias, 
quibus speciales hujusmodi quadraturas invenio, sed null am habeo ita 
comparatam ut ejus ope determinare possim, an quadratura aliqua spe- 
cialis proposita, v. g. integri circuli sit possibilis (per quantitatem äna- 
lyticam ordinariam seu non - transcendentem), an vero impossibilis. 
Hujusmodi itaque difficultates a Te quaeri optarem, quas scilicet nos 
non dum in potestate habemus. Ego nullam hactenus aliam viam de- 
monstrandi tales impossibilitates specialium portionum quadraturas in- 
veniendi agnoseo, quam per resolutiones aequationum transcendentium, 
seu ubi incognita exponentem ingreditur. Nam qui ejusmodi aequatio- 
nem x v + ya x + etc. aequ. solvere seu in aliam ordinariam mutare, 
seu impossibilitatem in ordinariam mutandi ostendere potest, is etiam 
perfecte omnes quadraturas invenire potest, aut demonstrare impossi- 
bilitatem, quia omnes quadraturae per hujusmodi aequationes transcen- 
dentes exprimi possunt Itaque restat perficienda analytica ista tran- 
scendens, qua absoluta omnia habebimus, quae nunc quaerimus in hoc 
genere. Quae ideo annotare volui, quoniam scribis, nondum Te opus 
habuisse his aequationibus : quod non miror, quoniam nee aliüs quis- 
quam earum usum perspexit, aut änalyticam satis generaliter traetavit. 
Methodus mea resolvendi quadraturas per logarithmos eoineidit cum 
methodo ista reducendi eas ad aequationes transcendentes. Est autem 
utique generalissima, quia omnibus curvis analyticis pariter ac tran- 
scendentibus communis est. Eam quia breviter satis describere non 
possum, et alioqui haec epistola prolixissima est, alteri tempori servo. 
Tres ais methodos quadraturarum a Te aestimari, unam qua Heuratius, 
Barrovius, aliique passim utuntur ope tangentium, alteram meam trans- 
mutandi figuram unam in aliam ope calculi , tertiam tuam per diversas 
ejusdem solidi sectiones. Ego vero omnes istas tres methodos pro par- 
tibus habeo generalis Calculi mei Tetragonistici, cujus exemplum tan- 
tum erat methodus illa transmutatoria, quam Tibi communieavi. Nam 
et caetera omnia per calculum certum et constantem efficio, unde plu- 
rima theoremata methodique a Gregorio aliisque data mihi non haben- 
tur tanti: nam inter mea tantum rudimenta fuere ; postea vero ista 
omnia calculo consequi didiei, et eadem opera nactus sum multo majora. 
Ttaque non sine causa optavi, ut in alia potius inquireres momenti ma- 
joris, et quae nondum sunt in potestate ? veluti (1) demonstrationem 



378 Sei&rnä an £ftf)trnf)au§. 

impossibilitatis quadraturae portionis alicujus specialis, ex. g. Circuli 
integri; (2) Methodum tangentium inversam, quando scilicet curva quae- 
sita est transcendens, nam quando est analytica, tunc etiam methodum 
tangentium inversam universaliter in potestate habeo; in transcenden- 
tibus autem caleulus quidem meus tetragonisticus saepissime satisfacit, 
sed supersunt tarnen aliqua, quae nondum satis excussi, adeoque non- 
dum possum pronuntiare, me ea habere in potestate-, (3) Resolutionem 
aequationum, in quibus incognita in exponentem ingreditur ac proinde 
inventionem radicis sive per valorem transcendentem (literas vel nu- 
meros irrationales in exponente exhibentem) sive per valorem communem 
(cum non nisi numeri rationales exponentem ingrediuntur) quando id 
fieri potest. Hoc autem tertio capite effecto, duo priora, quadratura 
scilicet et methodus tangentium in versa, statim absoluta erunt. (4) Re- 
solutionen! problematum Greometriae communis (quae scilicet ad aequa- 
tiones ordinarias revocantur) per calculos brevissimos et constructiones 
elegantissimas lineares: huc pertinet ars contrahendi calculum ab ini- 
tio, ut postea non sit opus depressione; ars ex calculo concinnandi 
elegantes constructiones lineares, imo ars perveniendi ad constructiones 
sine calculo per analysin seu non tarn magnitudinis (quae ad calculum 
pertinet) quam situs, in quo mihi videntur aliquid habuisse Veteres, 
quod obliteratum hodie restitui, ac forte longius produci posset. Haec 
tractatio, etsi minus sit grandisona quam priores, est tarnen magis cap- 
tui communi accommodata, nee minus ingenü desiderat quam ulla ali- 
arum; caeterum jam supra aliquid ex ea attigi. (5) Resolutionen! pro- 
blematum Numericorum Diophanteorum, sed in eo sura, ut hunc arti- 
culum expungam. Nam aliquot ab hinc septimanes viam et facillimam 
et generalissimam reperisse videor, omnia haec problemata resolvendi, 
et quando id in numeris rationalibus fieri non potest, demonstrandi im- 
possibilitatem. Caeterum haec quatuor aut quinque desiderata a Te 
examinari optarem. Haud dubie enim multa in illis magni momenti 
detegeres; in aliis vero quae jam in potestate nostra sunt, Te parcio- 
rem esse suaderem, nisi ubi forte elegantes progressiones et pulchra 
theoremata reperies. Nam etiam quando aliquid in potestate habemus, 
non ideo tarnen pulchra theoremata in eo latentia eruimus atque ani- 
madvertimus. Itaque tametsi utique manifeste habeamus in potestate 
enumerationem omnium curvarum analyticarum communem, quoniam 
tarnen caleulus ad eam rem necessarius ? nisi arte tractetur, satis pro- 
lixus est, ideo pulchrum aliquid et difficile praestabis, si veram curva- 
rum hujusmodi progressionem in infinitum progredientem nobis deteges. 
Saepe enim fit, ut diversae inter se aequationes, tarnen ejusdem gene- 
ris sint, ex g. xy aequ» a 2 et x 2 y 2 aequ. b 2 , utraque aequatio est ad 



£ctfmia an £ftfjirnfjau§. 379 

Hyperbolam; hoc autem in altioribus constanti ac facili ratione detegere 
posse magni momenti foret. Illud etiam nosse vellem, quomodo ut ais, 
triginta tantum quaclraturis determinatis, alias omnes exhibere confidas. 
Caeterum dum reliqua tuarum literarum percurro, obiter animadverto 
Te scribere: „multi admodum. falso credunt Artem Combinatoriam esse 
separatim scientiam et ante Algebram ae alias scientias addiscendam, 
imo sunt qui credunt Artem Gombinatoriam plura in se continere quam 
artem vulgo Algebram dictam, hoc est filiam plus scire quam matrem, 
nam revera si nulla alia re id vel ex sola potestatum compositione 
patet, Artem Combinatoriam ex Algebra addisei". Hactenus verba tua, 
quae haud dubie in me diriguntur. Uli enim multi, qui ita ? ut Tu 
ais, putant, praeter me opinor pauci sunt; puto autem Te recte sentire, 
quia me non videris percepisse. Nam si combinatoriam habes pro 
Scientia inveniendi numeros variationum, fatebor Tibi lubens eam seien- 
tiae Numerorum esse subordinatam et per consequens Algebrae, quia 
et scientia Numerorum Algebrae subordinata est, utique enim non in- 
venies numeros illos nisi addendo, multiplicando etc., Multiplieandi 
autem ars ex scientia generali de quantitate, quam nonnulli Algebram 
vocant, descendit. Verum mihi aliud lo.nge est Ars Combinatoria, sei- 
licet scientia de formis seu de simili et dissimili, quemadmodum Alge- 
bra est scientia de magnitudine seu de aequali et inaequali; imo Com- 
binatoria parum differre videtur a Scientia Characteristica generali, 
cujus ope characteres apti ad Algebram, ad Musicam, imo et ad Logicam 
exeogitati sunt aut exeogitari possunt. Hujus scientiae etiam portio 
est Cryptographia, quamquam in ea non täm componere quam resolvere 
composita et ut ita dicam radices investigare difficile sit. Nam quod 
radix in Algebra , id clavis in Cryptographia Divinatoria. Algebra a 
se ipsa tantum habet regulas acqualitatum et proportionum, sed quando 
problemata difficiliora sunt et aequationum radices valde involutae, 
cogitur mutuo sumere aliqua a scientia superiore de simili et dissimili 
seu a Combinatoria. Nam artificium comparandi aequationes similes 
seu ejusdem formae jam Cardano aliisque fuit notum et a Vieta 
distinetissime descriptum, proprie ex Arte Combinatoria petitum est, 
nee tantum cum de formulis magnitudinem exprimentibus atque aequa- 
tionibus resolvendis agitur, sed etiam aliarum formularum nihil cum 
magnitudine commune habentium clavis involuta evolvenda est, adhiberi 
potest ac debet. Ars etiam quaerendi progressiones et condendi tabulas 
formularum est pure Combinatoria, neque enim tantum in formulis 
magnitudines exprimentibus, sed et aliis omnibus locum habent. Possunt 
enim etiam formulae exceptari exprimentes situm atque duetum linearum 
et angulorum, magnitudinibus licet non consicleratis, cujus ope facilius 



380 SetBntj an Stfc^trtt^aitS . 

titique elegantiores constructionps reperientur, quam per calculum 
magnitudinum. Qu od Triangulorum eosdem angulos habentium latera 
sint proportionalia, hoc demonstrari potest ope theorematuni Combina- 
toriorum (seu de simili et dissimili) longe naturalius, quam fecit Euclides. 
Fateor interim nusquam pulchriora, quam in Algebra Artis Combina- 
toriae sive Characteristicae generalis speeimina edita esse, ac proinde 
qui Algebram teneat, facilius Combinatoriam generalem constituturum, 
quia semper ad scientias generales facilius a posteriori ex speeialibus 
exemplis, quam a priori pervenitur. Tpsam autem Combinatoriam seu 
Characteristicam generalem longe majora conti nere, quam Algebra dedit, 
dubitari non debet; ejus enim ope omnes cogitationes nostrae velut 
pingi et figi et contrahi atque ördinari possunt: pingi aliis ut doceantur; 
figi nobis ne obliviseamur-, cöntrahi ut paucis; ördinari ut omnia 
in conspectu meditantibus babeantur. Quamquam autem sciam Te nescio 
qua de causa praeoccupatum ab bis meditationibus meis fuisse alienio- 
rem, credo tarnen, ubi serio rem examinaveris, mecum sensurum, gene- 
ralem baue Characteristicam incredibilis usus fore, cum et lingua sive 
seriptura ejus ope exeogitari possit, quae paucis diebus disci possit et 
omnibus exprimendis, quae in usu communi oecurunt, sit sufFecturä et 
ad judicandum atque inveniendum mire valitura, exemplo characterum 
numeralium; utique enim facilius multo arithmeticis characteribus cal- 
culamus, quam Romanis idque vel calamo vel mente: haud dubie quia 
characteres Arabici commodiores sunt, id est genesin numerorum melius 
exprimentes. Nemo autem vereri debet, ne characterum contemplatio 
nos a rebus abducat, imo contra ad intima rerum ducet. Nam hodie 
ob characteres male ordinatos confusas saepe notitias habemus, tunc 
autem ope characterum habebimus facile distinetissimas; erit enim in 
promptu velut Mechanicum meditandi filum, cujus ope idea quaelibet in 
alias, ex quibus componitur, facillime resolvi possit, imo charactere 
alieujus coneeptus attente considerato, statim coneeptus simpliciores, in 
quos resolvitur, menti oecurrent: unde quoniam resolutio coneeptus 
resolutione characteris ad amussim respondet, characteres tantum aspecti 
nobis adaequatas notitias sponte et sine labore ingerent in mentem, 
quo nullum ad perfectionem mentis majus auxilium sperari potest. Faec 
ad Te paulo fusius perscribere volui, mi Amice, ut experirer plusne 
apud Te rationes quam praejudicatae opiniones valerent; si dices, rem 
esse praeclaram sed difficilem, satis a Te obtinui. Nam difficultas me 
non terret, cum satis videam certas et ni fallor commodissimas superandi 
eam rationes. Spinosae opera posthuma prodiisse non ignorabis. Extat 
et in illis fragmentum de Emendatione intellectus, sed ubi ego maxime 
aliquid expeetabam, ibi desinit In Ethica non ubique satis sententias 



fietbma an ^tcöirnfiauä, 381 

suas exponit, quod sie satis animadverto. Nonnunquam paralogizat, 
quod inde factum, quia a rigore dernonstrandi abscessit; ego certe puto, 
utile esse in üeometricis discedere a rigore, quoniam in iilis faeiie 
caventur errores, at in Metaphysieis et Ethicis summum dernonstrandi 
rigorem sequendum puto, quia m iiiis lacilis lapsus ; si tarnen Ciiaracte- 
risticen constitutam iiaberemus, aeque tuto in Metapliysicis ae in Matne- 
maticis ratiocinaremur. Ais detimtiones rerum esse traditu diificiles: 
intelligis fortasse coneeptus quam maxime simpiiees et ut ita dicam 
originarios, quos tradere i'aeeor diiiicile esse. Verum seiendum est 
ejusdem rei plures esse definitiones, id est proprietates reeiprocas rem 
ab aiiis omnibus distinguentes, et ex una quaque nos omnes ducere 
posse alias rei proprietates, quod etiam non ignoras, sed ex liis delini» 
üonibus aliae aiiis perlectiones sive primis atque adaequatis notionibus 
propriores sunt. Et quidem certam nabeo notam deliniüonis peri'ectae 
atque adaequatae, quando seilicet pereepta semel delinitione 
dubitari amplius non potest, utruin res, ea delinitione 
comprehensa, sit possibilis vel non. Caeterum qui Gharacteristi- 
cam seu Analyticain universalem constituere velit, initio quibuseunqae 
uti potest delini tionibus, quia omnes continuata resolutione tandem in 
idem desinunt. (^uod ais in rebus valde compositis opus esse caieulo, 
in eo plane mecum sentis: idem autem est ac si uixisses opus esse 
ckaracteribus , mini aliud enim est Oalculus quam operatio per 
characteres , quae non solum in quantitatibus > sed et in omni alia 
ratiocinatione locum habet; interea quando id lieri potest, magni aestimo, 
ea quae sine ealculo prolixo, id est sine cliarta et calamo, sola vi 
mentis peragi possunt, quia quam minimum pendent ab exterms, et in 
Captivi quoque, cui negatur caiamus aut cui ligatae sunt manus, 
potestate sunt. Itaque exercere nos debemus tum in calcuiando, tum 
in meditando, et debemus conari ea quae ealculo sumus nacti, etiam 
sine ealculo postea sola meditatione demonstrare, quod saepe succedere 
expertus sum. Sed non dubito, quin de multis iuein sentiamus, et sl 
ditl'eramus sequendi ratione, quam nolim dissensus iuter nos causam 
esse, quemadmodum nee dissensus amicitiam ininuet. (4 uare spero 
sinceritatem ineam Tibi non ingratam fore, qua sententiam de tua radi- 
cum ex aequatiouibus extractione exposui; quoniam enim a scopo abiu- 
dere putavi, voiui id Tibi signiiieare, ut labori parceres. Vicissim 
de mea exspecto Judicium tu um, cui sane multum tribuo ? nee dubito 
proliteri et plurima nie didicisse a Te et etiamnum discere posse ; 
Teque egregiarum inventionum esse capacem, et quae ab aiiis atque 
etiam ine jam exhibita sunt ? etiam per Te praestare posse, si auimum 
attendas. Malim tarnen pubiici boui causa Te animum potius applicare 



382 £ftf)irnfjcut$ an SeiBnig. 

ad intacta, et quae nondum in potestate habemus; spero etiain prae- 
judicia nonnulla, quae contra meas opiniones quasdam habere videris, 
magis magisque deletum iri. Quod superest, vale faveque ac sanitatis 
pariter tuae statum ac studiorum egregiorum progressum significa etc. 



IX. 

Cfdjirnfyaus an $eibn\$. 

Cum*) jam dum, postquam ex Siculo itinere reversus essem, 
Romae ultra mensem ob excessivum calorem detinerer, mirabar me nihil 
respönsionis a Te accipere, quapropter cum instabat abitus, praecipua 
quae se mihi obtulerant curiosa in peracto itinere Tibi literis signifi- 
cabam, quas Te recepisse autumo; rogabam in iis si placeret respon- 
sorias ad hasce dare, ut mitteres Grenevam (vulgo Genf) quia ibi 
quibusdam commiseram, ut literas ad me directas interim reciperent. Secl 
cum eo pervenissem, nihil a Te vidi; quapropter judicare poteris, quo 
gaudio affectus fuerim, cum literas tuas Romae adhuc eo ipso die quo 
secessi, recepi. Ad illas autem respondere hactenus non licuit, cum 
nullam occasionem habuerim, ut certus essem Te hasce recepturum, 
jam vero cum Parisiis sim, id nullatenus negligere volui; quae autem 
in itinere quod ultra aliquot menses duravit, se mihi obtulere, quidque 
novi hie audiverim, literis ad Dn. Schuller eodem tempore significo, 
quem rogavi, ut Te eorum partieipem facere velit, ne eadem bis repetere 
mihi opus foret. Quapropter me accingo, ut literis Tuis respondeam, 
et primo quoad Methodum meam radices exhibendi non miror, quod 
talia profers, hanc enim plane non pereepisti, quod quidem ex Tuis 
literis mihi clarissimum, ut postmodum ostendam. Duo autem video in 
causa fuisse : primum quod non suffieienter satis demonstrationem illius 
explicarim, hoc est nimis breviter, licet revera contineat omnia, quae 
ad eam necessaria sunt, et revera haec praevidebam ? adeoque eandem 
bis repetii, quamque in superioribus exemplo ? sed unico saltem decla- 
raram; verum cum admodum prolixus fuerim in antecedentibus, vix me 
tum longius extendere poteram ; seeunda fuit ? quod quia absque dubio 
prineipium attentius quam reliqua respexisti, hoc est primam partem 
(in tres etenim partes divido, quae Tibi circa haec communieavi) hieque 
quaedam oecurrebant, quae videbantur cum tuis cogitatis consentire, 

*) D^ne Dxt unb Saturn. 



äfdürnfjcws an SctBnij. 383 

omnia sequentia Ulis applicasti, hoc est rebus quae ab iis diversissimae, 
adeoque non miror Te ea non assecutum, omnia enim illa quae in prima 
parte explico, saltem accidentalia sunt hujus Methodi, sed ipsa essentialia 
parte secunda continentur, et revera melius fecissem, si secundam partem 
primo collocassem, quod eerte si denuo eam in ordinem redigere tempus 
erit, non omittam, ne aliis quoque id impedimento sit, quominus eandem 
faeile percipiant, quod fusius jam et clarissime ostendam. Dicis itaque 
primo, posito ab etc. — y, abc etc. = z, a 4 etc. = h ? a 4 b 4 etc. = e, 
a 4 b 4 c 4 = z 4 , invenire ipsam e ex datis y, z, li aeque diflPicile esse quam 
invenire aequationis propositae radicem etc. quae omnia si Tibi conce- 
dam, nihil hoc ad me, nam quae hie habes et quae in sequentibus 
porro deducis, me nullatenus tangunt; tali enim ratione ego prorsus 
nego me procedere. Et haec, me hercle, clarissime ostendunt Te Re= 
duetionem meam quoque non pereepisse adeoque nee demonstrationem 
hujus Methodi quae ea nititur. Adeoque vides Te hisce meam Metho- 
dum non destruere (siquidem verum est quod jam suppono; statim 
autem exemplo aliquo demonstrabo, me talem viam radices determinandi 
non inire) is enim qui hoc ostendere vult ? debet meam demonstrationem 
aggredi quam bis repetii in fine tertiae partis, ubi ostendi quod hac 
Methodo infallibiter radices habeamus; hanc autem ostendere falsam, 
judico impossibile, nam profecto licet authoritas mea hie non valeat, 
possum tarnen dicere, quod licet attente respexerim ad rem, quae revera 
facilis, attamen nihil potuerim invenire quod non solide concludat; sed 
non tarn facilis apparebit, nisi illis qui attente artiücium considerabant, 
quod tradidi, quo reduetio aequationum (quae post comparationem 
restat peragenda) faeile peragitur. Uli enim qui easdem aequationes 
reducere conabuntur, via ordinaria ac experto labore respicient mea et 
mecum calculabuntur, absque dubio pereipient reduetionis meae facili- 
tatae formam ac qua ratione in eam ineiderim ex notatis parte secunda, 
atque si tum dignabuntur respicere ad demonstrationem meam, absque 
dubio hanc optime pereipient, confidoque hanc firmissimam eos esse 
experturos. Verum propius ad ipsam rem accedo et pergo ostendere, 
quae effecere, quominus eandem pereeperis. Dicis itaque: faeile 
errorem deprehendi, quia plane olim similia cogitabam, a 
quibus postea tempus et progressus meditandi me liberarunt ? 
et paulo post: Res eo tota redire videtur, ut potestates 
exprimamus per reetangula ab, abc, abcd etc., haec ergo 
ratio mire mihi blandiebatur, quemadmodum et Tibi arrisisse 
video, sed tandem irritam deprehendi. Hucusque tua verba; ad 
quae respondeo, me absolute negare, quod in eo consistat mea Methodus, 
quodque e contra ex ea pateat, qui tale quid aggrediuntur ? scopum 



384 ifd)trnt)au§ cm Seibmj. 

nullatenus posse attingere (et revera candide fateor, me nee de Ulis 
quidem quantum scio cogitasse) quod non melius ostendere potero, quam 
si breviter declarem, in qaa consistit mea Methodus, illudque omne uno 
exemplo illustrem, quo nulla obscuritas remaneat. Sit itaque linea 
reeta quam vocemus x, haec coneipiatur divisa esse in duas partes, in 
tres, in quatuor etc. atque sie in infinitum, quas vocemus a, b, c, d etc.; 
erit itaque x — a-l-b, x = a + b + c, x = a + b+c-i-d etc. Jam 
iiant a quaJibet tali aequatione omnes potestates x (hie forte statim 
credes, hoc cum tuis cogitationibus alias habitis, ut certo loco tuarum 
literarum innuis, consentire, sed quaeso ne properes, mox diversissima 
sentias, et qui hueusque saltem pervenit, quidem in via reeta est, prout 
credo multos ad haec reüexisse, sed ad progrediendum infhiitae viae 
se offerunt quibus in avia dedueimur et lateor me in vera obtinenda 
diu liic laborasse et observasse, sed tandem in eam ineidi quae talis) 
sit ex. x 4 = a 4 + 4a 8 b + öaabb + 12aabc. Considerando hasce quantitates 
b 4 b a a etc. etc. 

c 4 a 3 c 
etc. etc. 
observavi 1. eas omnes aequaliter compositas esse; 2. hasce quantitates 
aequaliter compositas duorurn generum esse, quaedanl enim sunt primi- 
tivae quae non dividuutur nisi per se ac unitatem, aliae quae ab bis 
derivatae ac divisionem patiuntur, prioris generis sunt a 4 -f- b 4 + c 4 
4- . . aabb -j- acc + bbec, posterioris a 3 b + b ö a etc. item aabc etc. 3. Inter 
quantitates primitivas denuo esse baue differentiam , quod vel omnes 
terinini, ex quibus constant, sint quantitates simpiiees ex. a + b, a -f- b 
+ c, item ab + ac + bc etc, abc + abd +■ bed ~H aed etc. et bas primitivas 
simplicissiinas voco, vei quod omnes termini, ex quibus constant, sint 
potestates a a -j- b 3 -■{- e 3 , a 4 -f b* + c 4 etc. item aabb -+- aacc + bbec, item 
aabbec + aabbdd etc. 4. Hinc jam mea intentio in ejusmödi potestatibus 
omnia redueere ad primitivas quantitates, adeo ut nullae adessent quae 
non sint primitivae, uti iit supra, ubi adest a 5 b etc. aabc etc. quae non 
sunt primitivae quantitates. Et in eo consistit essentiale meae 
Methodi, de quo tarnen ne quidem mentionem facis in responsione tua, 
quasi ne quidem bac de re locutus fuissem in prineipio partis seeundae, 
et ac si absque eo Methodus iila consistere queat. Jam quae sequuutur 
aeeidentalia sunt et possuut variis modis lieri, sed simplicissimain credo 
qua usus, et quae directe ex priori bus sequitur. 5. Ut itaque id quod 
non est primitiv um in ejusmödi potestatibus ad taies reducerem, id 
conatus lui eit'icere ope quantitatum primitivarum smiplicissimarum, de 
quo supra anno tot, 3. adeoque supposui praeter x = a + b, x = a + b + c, 
x — a + b + c + d etc. etiam y = ab + bc + ac, z — abc etc. quae omnes 



£fdjtnrfjcm$ an Öetöm^. 385 

talis sunt conditionis, et qua ratione porro ex iis intentum meum 
obtinuerim, parte prima prolixe ostendi. Sed notandum, ut ibi etiam 
notavi, non necessarium esse licet optimum ad tale quid efficiendum, 
ut utamur quantitatibus primitivis simplicissimis, quibuscunque enim 
aliis suppositionibus, modo quantitates sint primitivae, poterimus efficere 
ut potestates superiores ex puris quantitatibus primitivis eonstent (quod 
etiam non attendis, cum loqueris quod sola rectangula adhibeam, cum 
tarnen aliquot exempla in communicatis ostenderim); num vero semper 
potestates sie reduetae ad primitivas quantitates adhibeant medium ad 
radices determinandas , eo demonstrationem tunc non extendi, quia 
nondum tempus habui haec ad finem optatum deducere, et quia ea ipsa 
quae tunc inveneram ad id sufficiebant determinandum. Ex quibus 
patet haec nihil aliud esse quam perfectionemElementorum lib. 2. Euclidis ; 
qui si bene processisset nobis talia Theoremata debebat exhibere, ille 
saltem unicum communicat prout ego desidero ex. xx = aa + 2ab, ubi 

bb 
utique tota potestas ex puris primitivis. Ac tandem hinc parte tertia 
ostendo ope talium Theorematum quae tunc inveni, hoc est 
potestatum quae fiunt a linea reeta seetain quoteunque 
partes et quae ex puris primitivis quantitatibus constant- 
non solum omnium aequationum radices universales deter, 
minari , sed et particulares quae eandem cum prioribus 
compositionem obtinent, quam demonstrationem si destruere 
valeas magnum quid mihi praestabis. Ex quibus pereipies quantum 
haec differant a tuis cogitatis, primo enim potestates illas non refero 
ad rectangula, sed ad primitivas quantitates; quae quidem multum 
differunt, qui enim prius praetendit, aliquid suseipit quod impossibile 
est, ut facile ostendere possem, sed hoc labore me sublevas, dum hoc 
concedis; sed qui posterius, rem omnino possibilem, ut in iis quae Tibi 
transmisi potuisti videre et quae variis modis fieri potest; sie ex. prior 
potestas redaeta ad puras primitivas est talis a 4 — 4abxx + 4abcx 

etc. 
+ dupl. |~| ab + ac + bc, item x 4 — 2aaxx — 8abcx — 2aabb + a 4 . 2. qui 

— a 4 — b 4 — c 4 etc. etc. etc. 

meam Methodum seit, per eam dirigitur, quas formulas eligere debeat 
ac qua ratione his uti, nimirum ut potestates illas ad primitivas quan- 
titates redigat; verum qui a formulis ineipit, sane infinitas vias prae 
se habet, quibus non nisi tentando progreditur nee certo seit quam 
eligere debeat, quae unica causa est quare ad haecce quae mihi de hisce 
Parisiis dixisti nun quam attendi nee revera aestimavi, quia talia mentem 
non perficiunt. Sed ego iisdem aliquid constans tunc quaesivi et utique 

25 



386 £fdjtrn$au3 an Scißnfg. 

obtinm,viamaliquam, sed quae laborios a admodum et specialissimus prioris 
Methodi casus, ex illa omnia quae tunc a Te hausi et quae proprio 
labore tunc assequutus fui, si illis inhaesissem diutius, revera effeeissent, 
ut nihil praestans unquam assecutus fuissem, cum mihi non poterant 
dare cognitionem quam supra explicavi. 3. hinc quoque quod supra promisi 
facile ostendam, nimirum sit x 4 — 4abxx + 4abcx + dupl. |__| ab + ac + bc 

— 4ac — a 4 — b 4 — c 4 

-4bc 
ponatur x 4 — pxx -f qx — r = o, atque hinc comparatione instituta 
habebimus tres aequationes pro tribus literis a, b, c inveniendis, atque 
invenies aequationibus hisce reductis ad cubicam perveniri aequationem, 
atque sie x quod = supponitur a + b + c, habebitur, hoc est radix 
|~| to — M to aequationis ope cubicae, quae revera diversa sunt ab iis quae 
percenses et vides quidem rem mihi optime succedere ad meum finem 
obtinendum, quare tua utique quae adfers me nullatenus tangunt, ut 
dixi. Verum quia reduetio ordinaria via procedendo laboriosa, ego 
ostendi exemplo, qua ratione haec eo reducere valeamus, ut nihil aliud 
opus erit quam hanc quaestionem solvere ab + ac + bc = p, abc = q, 
a 4 + b 4 + e 4 = r, quod facillimum, et eo exemplo universalem viam, 
qua ratione semper res ad tales quaestiones resolvendas, ubi reetangula 
et potestates oecurrunt, reducere poskimus, quod fateor non facile intelli- 
getur nisi quis mecum calculetur, tunc etenim videbit causam hujus 
reduetionis ab hac aequatione pendere x 4 — 4yxx + 4zx + 2yy — a 4 — b 4 

— c 4 ; sit jam x 4 — pxx + qx — r, nam hinc statim patet comparatione 

facta esse 4y = p, adeoque y = j, 4z = q adeoque z = -j, jam 2yy — a 4 

— b 4 — c 4 = — r, in hac aequatione y potest restitui et habebitur 

a 4 + b 4 + c 4 = r + ^ adeoque reduximus rem eo , ut sola reetangula y, 

z adsint et potestates aequales cognitis quantitatibus, et hinc si velis 
respicere ad Theoremata A et B, observabis hoc necessario semper 
fieri posse, cum enim Theoremata illa aequalem dimensionem in omnibus 
suis terminis obtinent, sitque x ? xx, x 3 , x 4 etc., necessario aliqui termini 
esse debent ut solae quantitates y, z, t etc. adjungantur x, xx, x 3 etc. 
adeoque comparatione facta hae quantitates y, z 7 t aequales erunt 
cognitis p, q, r etc., sique jam ubieunque oecurrunt potestates y, z, t, 
etc. restituantur cognitae p, q, r etc. quae ipsis aequales, res eo redueta 
erit, ut nihil supersit quam quaestionem solvere ubi reetangula et 
potestates dantur aequales cognitis, quod ultra modum aestimandum est. 
Qui haec pereipiet, videbit me laboriosissimam rem ad maximam facili- 
tatem reduxisse et hinc absque dubio meam demonstrationem facile 
mtelliget, hoc ipso enim nititur. Quae quantum in me est, hie volui 



SfdjtmtjauS an ÖciBnig. 387 

darum reddere, ut a Te plane percipiatur et tunc tuum Judicium non 
reformido, seio enim Te candidi esse ingenii et inventi nunc praestan- 
tiam nosse aestimare. Hinc jam porro non difficulter respondere possum 
ad omnia reliqua quae habes; dicis Te vero tunc memini non rectangulis 
solis, sed aliquando et potestatibus uti solitum, sed nunc vero se reet- 
angula etiam Tibi approbavere, quibus credo satis percipio, quid velis, 
uti et quando pütes primam meam inquisitionem circa talia fuisse irra- 
tionalium ope (non vidisti quae multo antea circa regulam Hudenii qui 
quoque ponit x — a + b laboraverim et quae adhuc reservo) et multa 
alia talia quae refers. Attamen de talibus disputare non mea . . . 
consuetudo nee quoque credam circa ea me ulli unquam injustitiam 
feeisse, quapropter haecce relinquens sie respondeo. Causa in promptu 
est, quia tunc non sciebam potestates ad primitivas quantitates debere 
referri nee ab ullo haec audiveram, et licet quis mihi dixisset rectan- 
gulis me uti debere ? hoc tarnen nihil mihi profuisset, si non dixisset 
rationem ob quam, hoc est quia quantitates primitivas simplicissimas 
repraesentant uti jam scio; porro quoque non seivissem cum reetangula 
sola non sufficiunt 7 quas insuper quantitates deberem assumere, ut hoc 
succederet, alias enim judicassem rem impossibilem et sie ab hoc opere 
penitus recessissem prout Tibi ! contigit*, porro nee qui numeri his 
rectangulis praefigendi, absque eo enim res itidem successu destituitur, 
atque sie revera non multum mihi communicasset sua reetangulorum 
cognitione, quam in egregium tentationum labyrinthum praeeipitando. 
Quoad Methodum vero qua ratione ipsa reduetio fieri debet ad primi- 
tivas quantitates, hoc tan quam accidentale cuique relinquo, ut arbitrio 
suo disponat, mihi quidem brevissima visa fuit quam communieavi, sed 
forte alia se adhuc compendia offerrent, si revidendi tempus aderit, 
interim hactenus mihi non suffecit, nee jamdum, ut in praxi numerum 
saltem exemplorum cujusque formae determinarem , sed ipsa exempla 
quaeque adeo apponere necesse habui; alias equidem potestates quoque 
exprimo x 3 =~ a 3 + 3a 2 b + 6abc } uti in Algebrae meae compendio haec cum 
aliis non contemnendis asservo. Observationes quae a parte assignare 
curasti sunt peregregiae et placuerunt, licet enim verum sit, quod qui 
generalem habet Methodum necessario haec, si ita se habeant, posse in 
praxi acquirere, attamen et perutile est tarn generales reflexiones facere 
et quae meutern aptam reddunt, ut res quam ab str actis sime coneipiat, 
quod apprime in Mathematicis necessarium. Quoad ultimam annotatio- 
nem non necesse est ut multum labores in formis radicum determinandis, 
si enim ponamus x = j^a + l/b,x == |^a + v^b + )/c etc. haec si liberentur 
a signis radicalibus, radices universales omnium aquationum exhibent 

ut alias dixi; sed quia haec liberatio a signis perquam molesta est, 

25* 



388 tfdjmi^auS att Sctfinij. 

hinc haecce ad superiorem Methodum reducta, qnae omnia compendia Signa 
radicalia breviter ablegendi in se continet, parvo labore haec poterimus et 
certo determinare. Atque haecce sufficiant hac vice circa hanc materiam. 
Quoad Quadaturas miror revera, quod mihi de novo affingis 
aliquid, quod tarnen cum viderem Te eo inclinare, posterioribus 
literis tarn clare ostenderam, ut nauseam potuisset movere, et cum de 
tribus Methodis loquerer, quae mihi placerent, nonne expresse dixi, quod 
hanc Methodum aestimarem, quae in quavis quantitate (non saltem in 
solido) in sua Elementa resoluta (non tantum in superficies) omnibus 
modis quibus id fieri potest, haecce ad invicem adaequaret, et de hac 
Methodo dixeram, quod aeque late crederem illam se extendere, quam 
Tuae aequationes, quas appellare Tibi placet Tetragonisticas. Sed 
longum abest, si vellem omnia hie recensere, quae mihi in tuis literis 
affingis ; sie eadem ratione revera non est mea sententia, quod improbem 
novitatem in definitionibus vocum hac ratione ut interpreteris, sed tan- 
tum inusitatum modum eas exprimendi, cum nulla in de utilitas et per 
alia magis usitata haec melius possimus efficere, et sie maxime laudo 
Vietam, quod potius literas alphabeti voluerit adhibere, quam nescio 
quae alia monstra characterum •, sed maxime mihi in ipso displicet, quod 
tarn pulchram scientiam foedarit talibus vocabulis: Hypobibasmus, Anti- 
thesis, Coefficiens, Gradus parodici, et infinitis aliis ineptiis, quae fateor 
si in libri alieujus lectione offendam, vix a me impetrare possim ut 
legam; quapropter Cartesius et Dn. Spinoza mihi ultra modum placent, 
quod a talibus abstinuerint, nam haec efficiunt, ut multi homines tales 
libros legere negligant, atque sie sapientiae augmentum damnum patitur 
et praeterea memoria oneratur superfluis. Quoad tuos characteres si 
utilitatem insignem afferant, non improbo, sed pro talibus reputavi, 
quia videbam in illis quae afferebas me aeque facile ac intelligibilius 
posse procedere, et saltem quatenus hominum ingenium expertus fui, 
observavi haec illis perquam molesta esse. Ac needum probas satis 
praesentibus literis eorum utilitatem dum dicis, quibus problemata 
difficillima paucis lineis absolvo, ex. gr. invenire curvam talem ut 
intervallum AT sit reeta constans: nescio num mecum 
joceris, nonne hoc facillime et universaliter sive AT sit 
constans, sive quaeunque ratione composita, Dn. Barrow 
Appendi. 3. p. 123 prop. 3. ostendit, et hoc ego absque 
illis characteribus alia methodo, quae quoque univer- 
salis, praesto tanta facilitate, ut statim absque ullo 
calculo pateat, qualis sit haec curva (sive convexam 
aut coneavam versus CT desideres) et si calculo deberem 
uti, quatuor literis scriptis res peraeta esset. Sed ut 




£fdjirttfjau§ an Seifen^. 



389 



videas nura vera loquar, exemplum tradam, ex quo cognosces, quanta 
sit ipsius facilitas, et num tui characteres Tibi majorem praebeant; 
etenim fere absque ut me servirem calculo, sequens solvi problema: 
sit BC perpendicularis ad BT Tangentem, quaerantur jam tales curvae, 
ut AT aut quaelibet ejus potestas multiplicata in AB aut quamlibet 
potestatem, item ut iVC aut quaelibet ejus potestas multiplicata in AB 
aut quamlibet ejus potestatem sit = potestati convenienti a constante 
aliqua quantitate ex gr. ut quadratum AT in AB sit aequale 
semper cubo a constante quantitate; dico omnes illas curvas esse geo- 
metricas. Et quoad Methodum tuam de differentiis , ubi hos ipsos 
characteres seu signa soles adhibere, quaeso, candide loquamur, nonne 
melius fecisses, illam hac aut simili ratione communicando (sit curva 
HFGB quaecunque, sit HPML rect- 
angulum, inveniatur jam curva BTQ, 
ita ut rectangulum JKNO erit aequale 
semper rectangulo DCRS, supponendo 
GE et FE esse indefinite parvas, 
hoc autem fiet si fiat ut AD (suppo- 
nendo AF Tangentem esse) ad FD, 
sie constans KN ad DT) quam lo- 
quendo de curva differentiali et aliis üf 
talibus, quae credo pauci et non 
absque labore intelligant, ipse statim 
non intellexissem, nisi legissem, quae 
Barrow pag. 37 et 38 suarum Lect. 
circa haec habet, et mihi notum 
fuisset ex eodem authore, quod modo indieavi, nee existimo Te fingere 
posse tuam Methodum ab iis quae dixi differre, haec enim ex Tuis literis 
nimis aperta; et quiequid certe illa invenisti, ego hisee paucis eadem 
facilitate semper assequar. Sed jam ad ipsam Methodum accedo, nescio 
quare eam omnibus aliis praeferas; si hoc fieret ob eam rationem, quia 
natura nobis indicat, quod debeamus a simplicissimis ineipere et rectan- 
gulum utique est simplicissima figurarum, quas seimus, utique Tibi 
assentirer, et hoc ipsum quidem Dn. Barrow bene perspexit, licet sero 
nimis, nam post multa superflua, quae nobis tradidit, observavit se 
eadem et multo praestantiora, hoc unico observato (quod modo indi- 
eavi) posse acquirere; sed si ob aliam rationem banc Methodum omnibus 
aliis praefers, plane diversum sentio, nam omnia quae ibi recenses, ego 
eadem ratione aliis infinitis modis possum praestare, cum eadem ratione 
sicuti ponendo rectangulum HLMP et assumendo omnes curvas geome- 
tricas aut analyticas BFH, determinare licet numerum curvarum BTQ 




390 SfdjtrnljcMS an SetBnt^ 

quadrabilium, sie assumpta quaeunque figura quadrabili loco trianguli, 
haec omnia eadem ratione assequi licet, atque hisce suffieienter ostendi, 
quare in aestimio habeam quaedam theoremata Dn. Barrow (fateor 
interim quod sua Theoremata infinities generaliora efficere potuisset, 
uti et Dn. Gregorius Scotus, qui haec sine dubio visu excepisset, 
existimabat, se Geometriam ad maximam universalitatem reduxisse, cum 
tarnen sua Theoremata meorum, de quibus alias, perquam speciales 
casus existant). Et miror Te parvi facere eadem, et interim quae 
affers, nihil sunt, quam ea ipsa, ut jam fuse ostendi, aut ad minimum 
ego eadem hisce paucis praestare valeo. Et quaeso, nonne praeterea 
Dn. Barrow unico Theoremate, quod supra notavi pag. 123 omnes 
quadraturas ad Logarithmos reduxit? Ope hujus facillime Gregorii 
a S. Vincentio Theorema de hyperbola exhibetur (de aequalitate nimirum 
spatiorum, quatenus ad asyraptotos refertur) ostenditur quadratricem 
hyperbolae esse Logarithmicam (quod Tu in Tua methodo desideras, 
quae tale quid ut fateris, non exhibet): Ipsius Logarithmici spatii datur 
quadratura et infinita talia, quorum unumquodque aestimationem 
meretur. Atque sie me credo etiam ex Tuis ipsis literis deduxisse, 
quod mea aestimanda sint, licet verbis contrarium dicas. Dicis porro, 
et ita facile condi posset Tabula omnium Figurarum; ne haec Tibi 
persuadeas, fateor licet multa compendia adhibuerim, res tarnen ultra 
modum laboriosa est; hunc interim fruetum hinc obtinui, ut illa dis- 
quisitione, dum generalibus curvarum expressionibus omnes curvas 
quadrabiles determinare conabar, quod nimirum observabam, qua ratione 
Resolutio Problematum Numericorum facillime sit expedienda ac genera- 
lissima ratione et quando id in numeris non fieri potest, qua via de- 
monstrandi impossibilitas innotescat; adeoque haecce postquam ad 
maximum compendium reduxi, ut inservire possent alii, qui forte talia 
suseipere ob prolixitatem non reformidaret, reliqui et me ad alia con- 
vertens, perpendi haec multo facilius peragi posse, si rem sie aggre- 
JL^^ diamur: sit curva quaeeunque et lineas AB et BC 

vocemus x et y (soleo autem, ut obiter hoc notem, 
characteres figurae sie ascribere, ut medium locum 
oecupent intra duo puneta , quibus linea terminatur, 
y v quam repraesentant) si jam ex data x omnes compo- 

sitiones possibiles faciamus (ex. gr. x ? xx, x 3 , x 4 etc. j/x, l/xx, y^x 8 etc. 
yx, yxx, |/x 3 etc. hasque deinde binas ac binas, ternas ac ternas etc. 
conjungendo signis -(-et — et extrahendo radices per gradus prout feci, 
et alia his similia) illasque aequales ponamus areae ABC hineque jam 
per problema 7 pag. 25 Barrow. determinemus longitudinem lineae BC, 
habebimus seriem omnium curvarum quadrabilium et cujus omnia spatia 




£frf}iTttfjcm§ an SetBnig. 391 

constanti regula quadrantur et hinc clarissime sequitur, curvae spatia 
quae hac ratione non quadrantur, veluti cireulus, hyperbola, tale quid 
non admittere; quid autem ego existimem, quod efficiendum sit, ut ad 
ultimam perfectionem circa quadraturas perveniamus, nondum hie oranes 
meas cogitationes in ordinem redegi ut Tibi ausim ea proponere, quam- 
quam me hoc totum oecupet, quantum per negotia, quibus premor, licet. 
Caeterum quod non opus habuerim aequationibus, quas transcendentes 
vocas, in quadraturis (nam alias cum Dn. Slusio et Cartesio in aliis 
problematibus haec observo, ut exponentem potestatum litera explicem) 
non credo inde evenisse, quod non satis generaliter analysin ac quis- 
quam alius circa haec traetarim, cum quoque omnes curvas generalissime 
calculo exprimo, tarn Geometricas, quam transcendentes ut vocas, meo- 
que judicio admodum simplici, cum eadem expressione, qua Cartesius 
Geometricas exprimat, omnes conceptibiles curvas exprimam, hoeque 
insuper hac expressione obtinens, ut omnium talium curvarum Tangentes 
eadem prorsns facilitate, imo iisdem legibus, prout Dn. Slusius prae- 
scribit, definiam; atque haec existimo esse validas rationes, ad minimum 
ut Tibi quantum possum probabilissima concedam, non praejudicatas 
opiniones, quae effecere quo minus Te in quibusdam non secutus fuerim ; 
interim tarnen ingenue fateor quoad hanc tuam expressionem, me illam 
non vilipendere, revera enim ignoro num melior sit mea, sed illam saltem 
sit judieavi positis prioribus rationibus; quod si in continuatione meo- 
rum studiorum (quae sie mihi videor disposuisse ut certo me ad opta- 
tum circa talia finem sint deduetura) mihi aliquid detegatur, quo cessent, 
liberrime Tibi manus dabo atque tum non intermittam haec ipsa quoque 
aggrediendo experiri quantum valeant. Atque hoc existimo majori utili- 
tate fieri ? quam si ipsas jam aggrederer ob rationes quae mihi incertae, 
atque certum ac fixum cogitationum filum (sie enim semper progrediendo 
soleo progredi, omnia alia inordinata studia magis menti obsunt quam 
prosunt) hisce interrumperem. Adde quod maximi momenti esse judicem; 
postquam quis aliquo modo seit, quid sit distineta cognitio ac aliqua- 
tenus verae Methodi regulas perspexit, ut in quam proprias inclinationes 
sequatur, et contra ut nihil magis caveat quam aliorum inclinationes 
sequi, si cum ipsius non consentiant (licet non causas sciat) cujusque 
regulae praestantiam experientia et rationes novi, quibus non tarn mea 
defendo quam author Tibi sum ut strenue talibus ineumbas, quia 
Te eo inclinari sentis. Et licet itaque pateat quod non credam quod 
magnum inde damnum passus fuerim ea non sequendo, agnosco interim 
maximum quod mihi in meis disquisitionibus obtigit fuisse, quod me 
primo ad ßadicum extractionem et quae huic sunt agnata con versus 
fuerim, atque sie non meam curvarum expressionem non solum respexerim 



392 



£fdjirnf)CM§ an SetBntg. 



duplicem quoque 
vidi in Cycloide 




omnibus reliquis omissis, hoc est quod nihil aliud quam simpliciter 
curvas solas considerarim ; hinc enim cito omnium Radicum expressionem 
obtinuissem multo praestantiori ratione, quam fuit ea, quam Tibi supra 
communicavi, et quae intima harum rerum mysteria recludit, veluti jam 
scio Tangentium constructionem expeditissimam, quae ex ipsa curvarum 
natura fluit, ac alia non minoris momenti circa quadraturas. Methodum 
Tangentium inversarum jam quoque scio duplici via, absolute si 
curva Geometrica, quandoque si non 
viäm qua portiones speciales quadrentur; 
ADF spatiumDEF absolute quadrari, quando 
AB est quarta pars AC ? illudque spatium 
esse — spatio ABD quod Dn. Hugens qua- 
dravit; imo iniinita quadrabilia spatia dari, 
si cyclois ad alia curva spatia refertur, prout 
jam relata ad quadratum; posteriori spatia 
particularia ad infinitas series reduco atque 
sie quandoque tales series se patiuntur, ad finitas quantitates referri. 
Quae causa porro fuerit, cur haecce Tibi transcripserim circa Artem 
combinatoriam, revera jam me latet, certum est nie ad Tua tunc non 
reflexisse, credo tarnen occasionem id mihi dedisse, quia imaginationem 
plenam de iis tunc habebam ex conversatione Dn. Kircheri, qui prae- 
cipue mecum loquebatur de sua Arte combinatoria ejusque praestantia. 
Alias per ipsam tunc non intellexi Artem quae recenset saltem numerum 
variationum, sed et quae ipsas variationes exhibet, nam multiplicatione 
potest'atum ex formulis x = a-f-b ? x = a + b + c etc. utrumque acquiritur. 
Dicis quae de Pascalio et Fabrio adfers, me Tibi hoc sie interpretari 
videre ac si suspicarer etc. quod tarnen Tibi ne per somnium in meutern 
venit; respondeo quod mea intentio revera quoque hoc non fuit. Atque 
quia vidi quod me multa ex praeconeeptis opinionibus agere praesumis 
hoeque Te sie judicare credo (licet imbecillitatem meam profiteor) quia 
Tibi non semper rationes, quare aliquid sustinuerim, aperte indieavi, 
coactus quodammodo fui Philosophice i. e. liberrime, attamen vere 
amicali responsione Tibi cogitationes meas hisce aperire, inter quae 
libere exarata locum quoque concedes huic responsioni, dico itaque me 
observasse quod admodum curiosus es in determinandis rerum inven- 
toribus, quod si hoc facis eam ob causam, ut observes, qua ratione 
augmentum sapientiae de seculo in seculum creverit, ac alia quae hinc 
sequuntur, ut ita curiositati tuae satisfacias, haec nihil ad me. Sed haec 
maxime in mundo jam agitantur, et si ob eas consas, Philosophice ut 
dixi hie Tibi meas cogitationes dicam, miror quod homines si inventum 
nobile jam in possessione habeant, diu laborent in inventore inquirendo; 



SfdjtrofjauS an SetBnig. 393 

quaeso quam utilitatem hoc fert vel iis vel inventoribus, quod sciant 
quod Petrus aut Paulus appellatus fuerit? sie dieunt jam, Dn. Rhedi 
librum scripsisse quo determinat verum Telescopiorum inventorem, vix 
risum potui eontinere, quod enim aliud mundo indieavit quam tria aut 
quatuor vocabula quorum infinita seimus. Verum dicent, quoque indi- 
eavit fuisse Italum, et quid tum, si Turca, aut Americanus 

fuisset; sie revera, quod huc refert sive Cartesius sive Vieta compa- 
rationem adinvenerit, modo eam sciam, hoc ego saltem respicio. Et 
quando de comparatione mihi verba fuere, citavi Cartesium nullam 
aliam ob rationem, quam ut non repetere deberem quae ibi habet, et ut 
quis me paucis intelligeret quae vellem, quod semper in citatione au~ 
thorum observo. Sed expresse moneo, me jam locutum de hominibus qui 
jam diu e vita excessere, nam si in vita adhuc sint, tunc injustitia esset 
non velle attribuere iis quae ipsis debentur, praeeipue ob utilitatem 
quae ad inventores hinc provenire potest et quoque ad alios, qui cum 
Authoris ingenium hac ratione cognoscant, ipsi suppeditare possunt 
media, ut multa alia ipsis communicare valeat. Possem hinc ostendere 
mala quae oriuntur a superiori curiositate, sed aliquid ex praeeipuis 
notabo quod est ut saepeiis quae in vita sunt inventa egregia praeripiuntur 
et ascribuntur mortuis qui saepissime longissime ab illa cognitione abfuere, 
atque sie volebam clare ostendere quantum ab eo quod tradideram prae- 
dicti authores dietassent, ut et sie indirecte a tali curiositate dimoverem. 
Haec mea vera fuit intentio, quod jam aperte explieavi Quoad tandem 
Characteristicam Taam dicis: Te nescio qua de causa praeoccu- 
patum ab his meis meditationibus fuisse alieniorem, quod 
revera in quantum differam ignoro, nam credo me talia quaedam 
prioribus literis indigitasse, quae quoque citas et eonfiteris me tecum 
sentire. Praeterea multum hac de re olim tecum locutus, in quibus 
aperte dixi, me in praeeipuis tecum convenire, licet non in omnibus. 
Ut autem perfecte hae de re judicare possis, meam sententiam clare 
hisce declarabo. Cum aliquatenus Algebrae cognitionem mihi acqui- 
siveram, perplacebant in ea quod quasi luden do tarn remotae a nostra 
cognitione veritates possent acquiri; hinc maxime tale quid in aliis 
scientiis desideravi, sed cum non ita statim applicatio pateret, et 
Cartesius loquebatur de sua Methodo, quasi haec se universaliter ad 
omnia et aeque facile extenderet, ego credebam ipsum tale quid habuisse, 
ac proinde maxime hoc in suis scriptis perquirebam, in quibus evolvendis 
tum temporis maxime oecupatus eram, sed nihil revera inveni quod 
animo satisfaceret; interim tarnen ineidi paulo post in Epistolam, in 
sua loquitur de lingua aliqua Philosophica, qua Rusticus aeque facile 
posset (si recte memini) in veritatis inquisitione progredi ac magnus 



394 £ftf)irnf)au3 an Setönig. 

Philosophus, et alia plura his non absimilia, quae admodum mirabar et 
utique inexpectata mihi erant. Sed Linguae vocabulum mihi obfuit, 
ut haec non perciperem; sed dum in demonstrationibus concinnandis 
admodum occupatus essem ac delectarer me ipsum ex calculo Algebraico 
tanta facilitate illas posse elicere, ad quas excogitandas legendo mathe- 
matica Scripta divinum ingenium habuisse existimaram, observavi quod 
revera eadem res utrobique peragatur eadem certitudine nisi quod 
Algebra haec expeditius exsequatur, atque adeo nullam aliam differentiam 
esse quam si quis duabus diversis unguis eadem loquatur; hie subito 
reflexi ad ea quae inveneram in modo indicata epistola, et haecce 
applicans vidi omnia perfecte consentire. Hinc existimabam, me verum 
sensum Cartesii pereepisse, adeoque in mea sententia confirmatior factus 
auetoritate tanti Philosophi multas quidem posthac, sed frustra volvi 
cogitationes adeoque quo mihi viam sternerem ad illud acquirendum, 
mihi firmiter proposui Algebram ex professo excolere, quia nimirum 
jam tale quid habebamus utsic bene iis perpensis, simul addiscerem appli- 
cationem ejusdem ad omnia. Hinc Algebram primo ex variis authoribus in 
unum corpus coli egi utsic omnia quae dispersa erant praeeipua inventa simul 
contemplandi facilior occasio esset, quo deinde breve compendium adornavi 
etalia multa peregi quibus recenseiidishic supersedeo. Deinde cum in cogni- 
tionem pervenissem Dn. Spinosae, Dn. Schullerum rogavi ut ab ipso 
inquireret in veram methodum investigandi veritatem (quia tunc tem- 
poris domum eram ex Hollandia reversus) sed mihi in responsione re- 
tulit, quod ipsius praeeipua cura fuerit, ideam veram ab omnibus aliis 
ideis, falsa, fieta et dubia distinguere, et hinc se incredibilem facilitatem 
in progressu veritatis acquirendae ostendisse ; cum demum in Hollandiam 
reversus, ipsum accessi $t post varia, quoque ostensa Cartesii epistola, 
quid de illa sentiret, rogabam, sed ille ridendo respondebat: credisne, 
mi Amice, omnia quae Cartesius dixit, vera esse? dixi: non; bene dum 
replieavit, res itaque haec nobis non magnam solicitudinem causabit, et 
sie alia uti solebat. Attamen fateor mihi vix probabile videbatur, quod 
Cartesius haecce, si non eorum solide persuasus fuisset, ad Mersennum 
scripsisset ? cum sciebat tunc literas suas a multis visum iri, quapropter 
hisce non dimovebar a mea opinione. Hanc Epistolam Tibi postea quo- 
que, ut probe noris, monstravi et varia de hisce rebus collocuti fuimus, 
sed quantum jam recordor, in eo semper se terminabat discursus, quod 
viderem Te methodum hanc ad omnia, quae in Mundo sunt, extendere 
(nee video me deeeptum, nam et adhuc es in ea sententia, ut clare 
tuae literae indicant, dicis enim: ope ejus omnes nostrae cogita- 
tiones etc. in quibus Tibi non contrarius sum, et revera perquam op- 
tarem, ut tale quid haberemus, et quis vellet de ejus praestantia du- 



SfdjirnljauS an SdBntg. 395 

bitare!), sed mea cogitatio tunc erat, quod saltem in tali methodo oc- 
cupatio essem acquirenda, ut problemata physica eadem ratione tractare 
possem et resolvere, ac problemata mathematica ope Algebrae, et eo 
saltem conatus meos postea extendi. Verum deinde percepi, non opus 
esse ut progrederer ad ea, cum necdum habeamus in ipsa Algebra ve- 
ram ac genuinam artem inveniendi; observavi enim nos mirum in mo- 
dum omnes deceptos fuisse Algebrae speciositate, hancque esse confu- 
sissimam artem, quod magis magisque videbam, cum mihi illuxit verae 
Analyseos Idea, praesertim cum infinitis exemplis hac in re confirmatior 
f actus. Dicam itaque Tibi me in talem metbodum incidisse quae his 
praerogativis gaudet 1, non posse dari faciliorem, hoc statim ex ejus 
forma et notione facillimae methodi patet; 2, nulla aequationum reduc- 
tione hie opus esse; 3, nulla earundem ad simpliciores depressione; 4, 
nulla radicum extractione; 5, nulla radicum electione, nam radice ex- 
traeta non seimus statim alias, quae radix proposito problemati satis- 
facit; hisce ad eam perfectionem reduetis, quantum temporis angustia 
mihi permisit, nondum tarnen volui aggredi ipsa problemata physica, 
nisi prius problemata mechanica et quae motum speetant, quatenus is 
imaginationi subjiciatur, ad similem metbodum reduxissem, et hie qui- 
dem observavi talia tarn facile posse solvi, ut vix calculo ullo opus sit. 
Cumque tot viae non coneurrant ad idem problema solvendum. quot in 
Geometricis 7 difficultas hie non tanta est, ut ibi ad omnium facillimam 
determinandam ? adeo ut hie facile possint praescribi präeeepta, quibus 
observatis, si centum idem problema solvendum suseiperent, necessario 
tarnen omnes per easdem vias cogitationes dirigerent ad ignotum deter- 
minandum, attamen si problemata nimis composita essent, vix absque 
calculi adjumento res procederet; considerans interim hie facilius multo 
causam, quam in Geometricis, quare calculo opus sit, observavi scien- 
tiam aliquam nobis superesse, quae nullo calculo indigeat et quae bene 
in ordinem redaeta, omnia particularia in Physicis absque calculo po- 
terunt determinari et huic scientiae convenit, quae dicis ut et in captivi, 
cui negatur calamus et cui ligatae manus, potestate sit, nee mirum, 
nam haec ea ipsa est, circa quam et post mortem poterimus esse oc- 
cupati. Vix interim credo, quod quis talem scientiam (quae merito 
aeterna posset appellari, ut et omnes, quae ad hanc perfectionem possint 
reduci) nobis facile tradet; licet in hac ipsa credam problemata majori 
posse facilitate solvi, quam ulla analysi mathematica, nisi quis se sua- 
que ad talem statum redegerit, ut quam minime a rebus externis de- 
pendeat. Atque hisce meas cogitationes circa haec, seu si mavis opi- 
niones aut praeconeepta praejudicia (ab amicis siquidem quieto haec 
suseipio vultu) libere exposui/ Quoad definitiones rerum, quod dixerim 



396 SfdjiraljauS an Scibntg. 

eas esse difficiles, per eas non intellexi, ut existimes conceptus maxime 
simplices; credo enim tales conceptus facile posse definiri, imo eo 
facilius quo simpliciores sunt, ut per se patet. Nee Te credo aliud 
posse sentire , et quando dicis eas esse perdifficiles, absque dubio 
ad alias respicis quam ad hör um coneeptuum naturam-, hoc quoque clare 
patet ? si statuas Essentiale seu nota definitionis perfeetae atque adae- 
quatae in eo eonsistere, quod semper per causam efficientem proximam 
exprimatur; hoc posito omnia quae ab Authoribus afferri solent, quod 
definitio debeat constare genere et differentia, quod non latius debeat 
extendere re definita etc. imo quod ipse adfers, quod pereepta ea non 
amplius dubitari possit utrum sit possibile nee ne, haec omnia, inquam, 
et quae possunt afferri. hinc statim necessario et tan quam proprietates 
saltem sequuntur; tales autem definitiones ego judico maxime difficiles 
esse et eo difficiliores quo res magis composita est; et ut taceam Phy- 
sica, ubi res nimis clara est (ex. definitionem hominis per causam effici- 
entem non mihi quis facile exhibebit), in ipsis Mathematicis nee statim 
obvium est tales definitiones dare. ex. definitionem centrorum seu foco- 
rum curvarum nemo adhuc hac conditione exhibuit. Alias autem defi- 
nitiones quae non nisi proprietates saltem rei definitae exprimunt, non 
vero causam efficientem, ego nullatenus aestimo, cum probe jam sciam 
quantum detrimentum factum sit scientiis hoc unico intermisso, nee mi- 
ror ut Mathematica saltem attingam, quod omnes conqueruntur obscura 
esse quae circa proportionem habentur et infinitae aliae disputationes 
quas habent; haec enim omnia hinc originem trahunt, nee credo ullum 
adaequatam demonstrationem nobis exhibiturum, quod triangula similia 
proportionalia, nisi quis definitiones nobis exhibeat quae lineae reetae 
et proportionis causam efficientem exprimunt, hinc enim res unico in- 
tuito(u?) clara. Multa talia habeo assignata, quae si tempus mihi con- 
cedat in ordinem redigam; Curvam hyperbolicam ex data spatii qua- 
dratura exhibendi, duas vias habeo, si quidem possibile, id certo educendi 
ex calculo, sed quia hie quaedam prolixitas et circumspectio opus ? non- 
dum tempus fuit id perficiendi, et credo alteram ex hisce duabus viis 
cum tuis cogitationibus convenire. Permulta adhuc restant quae mihi 
proposueram Tibi significanda, sed tot oecupationibus distrahor ut mihi 
impossibiie sit me longius extendere, sunt etenim hie permulti quos 
novi et quidem ex ipsis cognatis praeterea duo Principes (de Wolfen- 
buttel et Wurtemberg) quos in meis itineribus cognoscere mihi datum 
fuit; quae effecere ut ultra mensem circa haec conscribenda oecupatus 
fuerim, et toties interruptus fui et impeditus ut mirer me haecce ad- 
huc potuisse consignare; proinde quaeso excuses lapsus meos quos com- 
misi, quodque satis confuse et minus legibiliter ea exararim ? quod mihi 



£ftf)mtfjaus an Jßcißnij. 397 

facile a Tua humanitate promitto. Nee unquam velim credas apud me 
dissensum posse amieitias diminuere, qui non satis mirari possum, quod 
homines his praejudieiis in tantum indulgeant. Eandem libertatem quam 
mihi saltem teetam volo, quare non alii concedam? Et quaeso quodnam 
hoc mihi damnum affert, quod alius aliam opinionem a mea diversam 
sustinet in rebus quae nullum interesse respiciunt. Et certo Tibi per- 
suadeas mihi pergrata fuisse Tua et eo magis quo majori sinceritate 
mihi visus es loqui, nam utique omnia eo tendunt; ut credis, si ea 
quae indicas, fuissem secutus, me majores progressus fecisse, quae licet 
non ita bona essent respectu mei 7 velut Tibi persuades, nonne hoc so- 
lum me tibi devinciret? ita mearn perfectionem desideras et tuo labore 
adjuvare conaris, licet mihi non quam alia Amica officia praestitisses, 
quorum tarnen permultorum non immemor vivo, ut semper libere quam 
plurimis confessus sum ? in meis itineribus nunquam me utiliorem con- 
versationem habuisse quam Tecum. Nee quatenus Te novi, impossibile 
judico ut et imposterum ullae tuae literae mihi possint ingratae esse, 
quapropter Te obsecro ut me digneris Tuis responsionibus prout hac- 
tenus amice solitus fuisti, et cum sciam quod ubique locorum corre- 
spondeas cum viris doctis, quaeso si aliquid sit, quod judicas mihi posse 
adjumento esse in meis studiis, non intermittas mihi quam cito signi- 
ficare. Ego sane si tale quid scirem, quod ullatenus Tibi inservire 
crederem ad studia tua promovenda, nunquam deessem, quo Tibi eo 
gratificarer. Praecipua quae jam scio, est Nova hypothesis circa verum 
systema mundi, quam Gallus et ut videtur Vir admodum doctus nobis 
exhibuit. Magnas difficultates magna facilitate solvit et res revera 
digna est quae consideretur; sed quia cum Authore de Journal des Sca- 
vans correspondes, credo quod eandem Tibi transmiserit, ut et alia quae 
curiosa sunt in praedicto diario (uti est Microscopiorum excellentium 
confectio ope candelae, prout ipse expertus fui etc.) quibus itaque 
recensendis supersedeo. Utilis denuo hie res instituta est: quidam 
Chirurgus singulis mensibus promisit publico communicare Les Nou- 
velles decouvertes sur toutes les parties de la Medicine ; duo menses 
jam vulgati extant, ubi quaedam curiosa. 3dj Ijabe ju Turin 3 bücf)er 
üon Jordano Bruno, barunter de infinito et immenso, erfauffet umb ein 
teibltdjeg gelb, fo gerotefi ttiele fc^öne gebändelt in fidj t)att. Sexti Philosophi 
Pyrrhoniarum hypotheseon libri tres, Parisiis 1569 in folio, Ijabe tttitt 
delectation gelegen. Grimaldi optica ift tttitt feinen experimenten illustriret. 
Opera posthuma Toricelli werben wir cmdj mitt eljiften (jaben, ttne and) 
Bellini observationes Anatomicas. £>obe bte «Sprn. Viviani, Ehedi, Malia- 
bechi ju Florenz gefprodjett, ben §m. Septala unb Caravagio ju Meyland, 
Signor Rossetti ju Turin, fcon beut ttrit tttitt eljiften fd)öne observationes 



398 £fd&a 4 nfjaus an Set&ntj. 

circa .... gelatas, Nivem et grandinem $u ertDarten, §r. Leti in 
Genevre, ber oor ie£o Vitam Philippi 2di R. H. fdjreibt, ift urjad) gewejen, 
ba$ be§ Sixti Vti Vita gleichfalls in brud gegeben, ein bud), ba£ angenehm 
unb mitt nu^en ju lefen. Sdj bin jo pressirt, ba| ijier gezwungen bin oor 
biefcmaljt injufjalten. 2)a3 übrige wirb ber £r. D. Schuller berichten, wie 
oben ermähnt, jonften wolle no$ gebaut traben, roa% mitt Jürgen in ben oer= 
lotjrnen brieff inne gewesen, bod) idj l)abe grofte §offnung bafj wir tyn wieber 
bekommen wollen, im id) jweifel faft nidjt, baj3 üjn ein gutter frennb auf* 
gefangen. §r. Bullialdum l;abe gefprodfjen, ber mir bie opera Mathematica 
Dn. Ferinat, jo ie£o biejeä jaljr gebrudt ju Tolosae in folio geliehen. §r. 
Hugens, bei; bem aud) gewesen unb oiele curiosa mitt tfjm conferiret, ift 
wieberumb fdjon bet) 8 Xagen franef, unb gefeit mir (eine Constitution nid^t 
jum beftcu. Memoires d'hollande finb nidjt unangenehm ju ■ legen, wenn man 
ot)ue bie§ bie Qät nidjt befjer amoenben fem. §r. Hugens gebaut, bafc-ber 
£>r. fcnete curiosa an ben Duc de Ckevres*) (weiß nitfjt ob ben 
natjmen redjt behalten) referirt, btette mir Ijierin nadjrtdjt ju oerteiljen, 
aud) wer gemelbte Duc. $d) verbleibe oieHeid)t noci) 2 monatt) in Paris, 
barnadj mödjte e3 motjt o§ne jweifel nad) Ijaufc getjen. ©o ber £>r. mir be= 
liebet antwort ju erteilen, fo tonnen fie nur bie 9Ibreffe fo eumdjten: au 
bout de la rue dauphine, dans la rue de Fosse a la couronne Royale. 
£)b äwar jeben ^u bienen mief) gar gerne jdjulbig erdenne, fo bedenne mid) 
fyierju ab(onberlid) oon feiten be$ §rn. nad) be3 Slpoftelg aufjfprudj, aller* 
meift aber ben glauben£genof$en, unb geftetje bafj felbft wüntfdje bajs mir ber* 
felbige fo etioaä aufftragen mödjte, in bero affairen t)ier auft ju würden, 
ba3 felbigen red)t nü^ltcf) fallen ftmbte, bamit Gelegenheit ju erweifen, wie ba3 
ofyn einige oorbefjaltung bin ic. 

<pr. Steno erfudje .... ju salutiren. $r. Wickefort Ijatt feinen 
Tractat: Memoires touchant les Ambassadeurs etc. new augirt auff- 
legen lagen im Hag, gebende fotdjeg, bamitt wen iemanb felbige^ erfauffen 
wolle, U)m bieje nadjridjt bienen, ba$ befte exemplar ju erweitern Millies 
valeto. 



*) Duo de Chevreuse. 



%\d)ixn$am att ßeiönig. 399 

X. 

Cfcfyirnfyaus an ie\bnx$*) 



Velim autem in principio scias, me literas praeter hasce, ad quas 
jam responsorias dedisti, diversas ope Dn. Septimii ad Te transmisisse, 
in quibus significaram, qua ratione ac qua occasione cum Dn. Nan- 
zario, Autore Griornale delli Letterati, literis correspondere liceret, nee 
non alia quae a me tum desiderabas; si nondum reeeperis, quaeso in 
iliam restitutionen serio inquires, cum avide exspeetarim responsuin 
tuum, neque si qua in re Tibi hie prodesse possem, occasio id exe- 
quendi mihi praecludatur. Quoad praesentes has jam dum — Maji 
datas, hae me perquam oecupatum offendere, nee me volui alienis cogi- 
tationibus tum immiscere, quo tarn implicato nodo (domum nimirum 
cito redeundi prout a Meis instanter urgetur) par essem et quo soluto 
sciebam nos liberius conversari posse, quod quidem, si aliquando ad 
Meos revertar ad ibidem scilicet semper commorandum, nullatenus possibile. 
Nunc vero, cum praesentia pericula quae imminebant, aliquatenus de- 
clinarim, aliis me cogitationibus oecupari nullatenus permittam, quam 
quae testificari possunt, quam suave mihi sit, Amicis satisfacere, et 
hac intentione refleetando ad prineipium tuarum literarum non aegre 
tuli, ut de mea sinceritate aliquatenus suspensum habueris animum, cum 
aliis interiora nostra non patent, nee ullam certitudinem dabant nos 
ipsa non mutaturos licet aliquando talia experti fuere. Attamen si 
de me aliquid praedicari licet, possum dicere, me in eo totum esse, ut 
bona fide semper agam, licet proprio id quandoque fiat damno, et non 
saepe miratum esse quod cum omnes homines propriam utilitatem 
tantum quaerant, eam viam non adhibeant eo perveniendi (hoc est bona 
fide ut constanter agant) quae infallibiliter eos eo defert et tarn plana 
est ut nullis artifieiis aut astutiis hie opus, quae alios adhibere necesse 
habent, quaeque tarn facile deteguntur, unico autem detecto omnis 
labitur fides, quaequid in contrarium deinde faciant. Nee mirari adhuc 
desinerem, nisi scirem Homines uteunque passionibus saltem incitari ad 
agendum, passiones autem praesentia imprimis respirare, cum priori via 



*) 2lucf) biefeS ^reiben if± oljtte Dxt unb £)atum. SeiBnifl erfjteit baffelBe ju= 
gleitf) mit bem üorljergefjenben. @3 ift auf einem golioblatt geftfjxteBen, beffen föember 
fe§r jerftört finb. 



400 



£f$irni) au£ an Öetßntg. 



progrediendo utilitas quae expectanda (licet certa) non tarnen tarn cito 
acquiratur. Et revera hisce tarn ratione quam experientia ita confir- 
matus sum ut haec quasi in liabitum conversa mecum, et revera 

gaudeo me aliquid habere quo Te hac vice possim; literarum 

enim quas tum Parisiis ad Te dedi exemplar reservavi, quod hac vice 
transmitto iis lituris refertum pröut tum primo conscripsi et quod ex 
signo pro Parisina cognosces papyro, optarem praeterea ut literas 
ipsas transmissas ope Mes, de Koch et Hensch reciperes (?). Ex con- 

formitate penitus apparebit mea innocentia, cujus 

Regnaldum cum . . , . methodo indivisibilium uti 

superficiei Conoidis Ellipticae, miror ipsum errasse et licet quandoque 

in errores commiserim ? attamen hie tempus erat ea re- 

videndi priusquam publicarentur ; interim non scio num ipsi injuriam 
facias, cum sphaeroidis oblongi dimensio revera saltem a quadratura 
.... dependeat prout sphaeroidis lati dimensio a quadratura hyper- 
bolae, prout vel ex horologio oscillatorio D. de Hugens apparet. Tibi 
itaque facile erit deeidere, si scias cujus sphaeroidis dimensio ab ipso 
exhibita. Hecordor bene Te mihi ostendisse longius a Te provectum 
Guldini prineipium, sed tum non intellexi, cum nulluni exemplum mihi 
exhibuisti, et me maxime obligares id applicando saltem ad Parabolam 
aut triangulum etc, Ego non ita pridem maxime ineubni in eo ut uni- 
versalem Methodum ex datae figurae alieujus mensura centrum gravi- 
tatis exhibendi, eruerem sed nihil profui; sequentia tarnen ultra modum 
facile demonstro. Data figura DCB tali ut □ 
CJHGr (puncto Gr ad libitum assumpto) ad GCH 
spatium eandem rationem habeat quam habet 
EU CEBD ad fig. DCB, quod tunc CHlum ÄFEB 
sit ad figuram ACB ut CE ad ED, existente E 
centro gravitatis, adeoque in talibus figuris quae 
hanc conditionem habent, datur centrum gravitatis 
spatii ex ejusdem spatii data mensura. Porro in. 
veni quod generali ter in omnibus figuris omnia 
□la CGH sint ad omnia C^la DGH ut CE 
ad ED. Et per haec theoremata infinitarum figurarum centra gravi- 
tatis assignantur 7 quae per Gruldini inventum non acquiruntur, itidem 
solidorum et curvarum, cum hae quantitates ad analogas superficies 
facile redueuntur. Quoad Analytica et praeeipue Methodum Radiees 
Aequationum universaliter obtinendi ? tres methodos habeo id certo asse- 
quendi. Et quoad primam qui fit ex formulis talibus xx a, xxa + b, 
x do a + b + c etc. prout Hudenius iisdem usus in Cardanica radice 
et ipse circa haec occupatumTe scio, efficiendo ex illis maximam potestatem 




Seißnfj- an £fdfjmtt)ctu£. 401 

incognitae, quam habet aequatio cujus radices desideramus, caeteras ejusdem 
incognitae potestates ordine per divisionem inserendo ac assumendo semper 
quotientes aequaliter compositas, quarum omnium possibilium modorum 
determinatus semper numerus facile exhibetur; hane vero methodum 
in praesentia abunde declaravi et specimina exhibui, sed non ita pridem 
ad majorem perfectionem deduxi. 2da est supponendoformulas omnes possi- 

biles radicum x a> V~l + Vb, x x f™ + ^ x :» ]/£ ' + VT+~yT 
quae facile omnes quot esse possunt numero determinantur et 
tunc liberandae sunt ab signis radicalibus atque comparatio instituenda. 
Specimen Tibi exhibebo ad formulas Cardanicas obtinendas. Sit x do 

V a + Vh, supponatur jam Va, x c et Vh x d et habebimus has tres 
aequationes xooc + d, aooc 3 et b Dod 3 , quibus reductis inveniemus 
aequationem absque signo radicali (ut Tibi jam notum erit juxta Metho. 
D. de Beaune radicalia signa auferendi, quaeque melior D. Hudenius) 
nimirum 

x 3 — 3a x 6 + 3bb x 3 — a 3 x> Jam addatur ab utraque 
— 3b x 6 + 3aa x 3 — 3 aab aequationis parte 

— 21 ab x 3 — 3 abb 27 abx 3 et extrahatur 

— b 3 utrobique radix cubica 

et erit x 3 — a — b .so 3 x V ab. Jam si inter x 3 — 3 x V ab — a oo et 

-b 
et aliam generalem x 3 — px — qx fiat comparatio terminorum, inve- 
nientur Regulae Cardanicae; in quo ....... ostendi quae ad ultimam 

perfectionem hujus methodi necssaria. Quoad Tertiam methodum ope 
ablationis intermediorum terminorum quaedam Tecum communicanda; 
sed haec ob brevitatem temporis alia vice. 



XI. 

£etbm3 an Cfcfyirnfyaus- 

Constitui quaedam reponere literis, quas ex itinere scriptas nee ad me 
perlatas Tute, cum hac transires, reddidisti. Quanquam enim ex collo- 
quiis ultro citroque habitis in plerisque, ubi Te haerere auf aliter sen- 
tire scripseras, satisfactum dubitationibus tuis opiner (quod Te ipsum 
ingenue agniturum et contraria tua Kbenter retracturum arbitror), utile 
tarnen erit nonnulla denuo attingere, ut intelligam an apud Te pro- 
fecerim, et ne amplius imposterum eadem dis cuter e opus sit. Actum 

26 



4Ö2 SetÖnis an £fd)tnrfjau£. 

est inter nos de Radieibus Aequationum, de Quadraturis, de aliis Geo- 
metricis, de Metaphysicis et Logicis. Radices aequationum tribus 
Methodis assequi credidisti: prima est per enumerationes formularum 
irrationalium, tollendo irrationales, sed calculo opus csset^immenso. 
Hanc methodum agitabas animo, cum primum Parisiis mecumjoquereris, 
quia tunc nondum eonstabat formulas generales pro qualibet aequatione 
dari posse; sed cum ostendissem imaginarias in speciem nihil obstare 
generalitati et specimine monstrassem, quomodo ponendo x n a + b series 
quaedam aequationum omnium graduum resolvi posset, et quomodo 
spes esset, assumendo plures partes posse inveniri radices gene- 
rales, merito mecum hanc methodum persecutus es. Cumque ego, 
confiderans Formas ab abc quas rectangula voco, esse simplicissimas, 

ac etc. 

etc. 
ad eas revocassem potestates ab x, et inde suppositis valoribus ipsarum 
y, z ex cognitis quantitibus per comparationem sumtis, seu posito 
a 5 + b 5 etc. n 0, ab + etc. n 2 et abc + etc. n § et abcd n 9> spera- 
rem invenire tales quatuor aequationes a 5 + b 5 etc. n 0, a 5 b 5 + a 5 c 5 
etc. n (5, a 5 b 5 c 5 + etc. n % a 5 b 5 c 5 d 5 n 9 5 ? quibus repertis habuisse- 
mus a 20 + a 15 + (5 a 10 + Qj. a 5 + Q 5 ' n et per consequens quaesitum: 
Tibi tunc methodus ista mea se non satis probabat, quia ad meas ope- 
randi rationes non satis attenderas, neque opinor eam tunc perceperas; 
postea tarnen de Tuo in eadem incidisti, multaque pulchra theoremata 
reperisti, atque haec est secunda tua Methodus pro aequationibus 
radicum. Sed ego interim deprehendi, istam methodum non posse ad 
exitum perducere, cumque Tu perstares successumque a Te demonstra- 
tum diceres et me dissentientem tua non intellexisse confidentissime asse- 
reres [his verbis: non miror quod talia profers, hanc enim plane non 
percepisti; item: ostendi quod hac methodo infallibiliter radices habe- 
antur; hanc autem ostendere falsam, judico impossibile; item: quam 
demonstrationem si destruere valeas, magnum quid mihi praestabis etc.] 
cum tarnen ego tuam methodum primo statim aspectu intellexissem, 
quippe mihi familiarissimam, quaedam etiam in tuis emendanda monuis- 
sem, ut quod pro x n a + b + c alium calculum adhibes quam pro 
xna + b + c + d, cum tarnen unus sufficiat pro Omnibus et in x 2 
sufficiant duae literae, in x 3 tres etc. ad valores potestatum invenien- 
dos pro literis quotcunque ; itaque gratissimum iuit, quod eorum Te 
convincere potui tum de sinceritate tum de exactitudine in hoc genere 
mea: de sinceritate quidem, ut agnosceres me vere asseruisse, haec olim 
mihi cognita; de exactitudine, quia ni fallor agnovisti, me tuam metho- 
dum diligenter legisse et intellexisse et errorem deprehendisse, locum 



ßctöntj an £ftfjtrtt§au3. 403 

enim lineola signatum apud me vidisti. Itaque imposterum spero Te non 
ita facile monita mea insuper habiturum, Tertiam tuam methodum ra- 
dices aequationum inveniendi, nempe si sit x 5 + px 4 + qx 3 + rx 2 +sx + t 
n 0, ponendo x 4 + bx 3 + ex 2 + dx + e n y, tollendo x per y et ope 
arbitrariarum b, c, d etc. auferendo terminos intermedios in aequatione 

proveniente y 5 + etc. n 0, non puto succedere posse in altiori- 

bus nisi quoad casus speciales. Ejusque rei videor mihi habere demon- 
strationem: itaque autor essem ne ea tempus perderes. Utile esse pot- 
est ad aequationes transformandas, non tarnen (generaliter) ad resol- 
vendas. 

Venio ad quadraturas et quae cum his connectuntur, ubi primum 
Apologiam texere cogor vocabulorum quae adhibui, quia ea sugillas. 
Nolim itaque putes ea esse inutilia; saepe enim hac ratione paucis 
lineolis exprimo theoremata generalissima, quibus alias explicandis opus 
esset replere paginam, quanquam necesse est Tibi et aliis quibus non 
distinete explicui, apparere obscuriora. Sunt tarnen pleraque ni fallor 
satis rebus significandis et memoriae juvandae apta, saltem me valde 
sublevant calculum, aequationem, problema, curvam etc. Algebra ica 
voco, quando per potentias certi finiti rationalis exponentis exprimi 
possunt, alias voco Transcend entia. Quid sit Calculus tetra- 
gonisticus, patet, id est serviens ad tetragonismos. Curvam qua- 
dratricem voco, quae servit ad aliam figuram quadrandam. Curvam 
summatricem et differentialem voco. quarum ordinatae se habent 
inter se ut summae et differentiae. Calculus differentialis est, quem 
praeter literas x, y etc. ingrediuntur infinite parvae dx, dy et similes. 
Invenire Tangentes eurvae, reducitur ad hoc problema: in venire seriei 
differentias ; invenire autem aream figurae, reducitur ad hoc datae seriei 
invenire summas, vel (quod magis instruit) data serie invenire aliam, 
cujus differentiae eoineidant terminis seriei datae. Ope hujus calculi 
differentialis omnia ista reperio, sine figurarum inspectione et linearum 
duetu: et per consequens ea, ad quae imaginatio per linearum duetus 
attingere nequit. Hinc inveni modum habendi tangentes sine sublatione 
fractionum et irrationalium, quam Te maximi facere testatus es, in 
quam non facile ineidet nisi qui considerabit tangentes ad differentias 
reduci Itaque nunc opinor non amplius dices, aliis methodis statim 
praestari, quod meo illo calculo differentiali. Nee possibile est gene- 
raliora praestari in hoc negotio, itaque ex quo mecum locutus 
es, non amplius opinor dices: quiequid ea methodo invenerim, 
Te per alias eadem facilitate praestiturum. Unum exemplum dabo, 
quod est ex utiissimis et mea methodo facillimis: Ex datis 
figurae partiumque ejus quarumeunque centris gravitatis invenire 

26* 



404 



SeiBntj an £fdjmtfjau3. 





Z^B 



iH%H q areas. Sint L centra portionum triline- 

arum orthogoniarum ABC. Sumatur BM 

aequal. LH et ducatur curva AM2M, 

quae (datis algebraice pimctis C et L) 

erit algebraica, ergo ad eam duci potest 

algebraice tangens MT. Erit area ABC 

ad rectangl. SBCR ut TB ad BM, ac 

proinde habetur figurae quadratura Alge- 

2O braica generalis. 

Cnrvam quam proponis, in qua posita BT tan- 

- gente sit quadratum AT in AB aequale eubo a con- 

stante, nullo negotio reperio, est enim ipsamet Hy- 

perbola. 

Caeterum tres habeo calculos transcendentibus 
etiam applicabiles, unum per differentias seu quan- 
titates infinite parvas, alterum per series infinitas ? tertium per expo- 
nentes irrationales, ex quibus novissimus habet aliquid prae caeteris, 
per ipsum enim solum demonstrare possum impossibilitatem quadraturae 
specialis ex. gr circuli totius; per duos vero priores tantum invenire 
possum aut impossibilem demonstrare quadraturam generalem algebraicam 
alicujus figurae. Est autem generalis quadratura algebraica idem quod 
inventio curvae algebraicae quadratricis, cujus ope quaelibet figurae 
datae portio quadrari potest. Quoniam autem testaris Tibi difficile 
videri, invenire omnes figuras quadrabiles, ideo osten- 
dam facilitatem Proposita sit curva algebraica quae- 
cunque, utique ejus aequatio continebitur sub hac 

(i) 

generali: n a + bx + cy + dxy + ex 2 + fy 2 etc. posi- 
tis a, b, c etc. datis, quaeritur an ipsa sit capax 
quadraturae algebraicae generalis, id est quaeritur 

(2) 
ejus curva summatrix, cujus aequatio sit n 1 + mx 
+ nz.+ pxz -f- qx 2 + rz 2 + etc., erunt ] ? m ? n etc. quaesitae. Ex nota 

(3) (4) 

. ; z m + pz + 2qx etc. . z 

methodo tangentmm constat esseT-n — ■ —^ — ; ponatur— n y, 

t n + px -f 2rz etc. r t J 

(5) 
et ex aequ. 3 et 4 fiet ny + pxy + 2rzy etc. n m + pz + 2qx etc., ex 
qua aequatione tollen do z ope aequationis 2 habebitur aequatio, in qua 
solae erunt indefinitae x et y, quae proinde coincidere debet cum aequ. 
1 data, quod an possibile sit, constabit ex comparatione terminorum, 




Seibmg an %\ djtrnljauS . 405 

qua inveniemus valores literarum p, m, n etc. Atque ita calculo ali- 
quot horarum habebimus universalem regulam pro quadratura generali 
algebraica figurae algebraicae cujuscunque. Et memini me Tibi jam 
haec Parisiis dicere, sed ut video non attendisti. Eadem et ad figuras 
transcendentes suo modo applieare et determinare possum, utrum datae 
figurae quadratura pendeat ex quadratura circuli aut hyperbolae vel 
utriusque ; item ad problemata methodi tangentium inversae, quanquam 
tunc artificio adhuc aiiquo nonnunquam opus sit Haec facilia quidem ? 
sed ideo difficilia visa autoribus, quia non solent aequationes generales 
adhibere pro curva qualibet ejusque tangentibus, ut inde regula unica 
pro omnibus inveniretur. Non est cur ßeynaldum defendas-, non enim 
soleo in talibus temere judieare. Ille utriusque sphaeroidis oblongi et 
lati superficiem se dedisse putat, ego puto ipsam dedisse neutrius. 
Pauci eorum qui Methodum indivisibilium vulgarem intelligunt, intelli- 
gunt usum Trianguli characteristici